Fissuration avec X-FEM et contact

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1 Fissuratio avec X-FEM et cotact Patrick Massi* Samuel Geiaut* Nicolas Moës** *LaMSID, CNRS-EDF, UMR , aveue du Gééral de Gaulle, Clamart {patrick.massi, **GeM, École Cetrale de Nates/Uiversité de Nates/UMR , rue de la Noé, Nates Cedex 3 icolas.moes@ec-ates.fr RÉSUMÉ. Ue ouvelle techique de prise e compte du cotact frottat sur les lèvres des fissures est présetée. La méthode X-FEM (exteded Fiite Elemet Method) permet d itroduire des fissures idépedammet du maillage cosidéré. Ce papier explique commet ous avos adapter ue formulatio cotiue proche du Lagragie Augmeté pour le cotact au cadre X-FEM. Des exemples umériques traités par le Code_Aster vieet illustrer l emploi de cette approche pour résoudre des problèmes tridimesioels de cotact avec frottemet. ABSTRACT. We preset a ew techique for modellig cracks with frictioal cotact o crack faces. The exteded Fiite Elemet Method (X-FEM) allows oe to itroduce cracks idepedetly of the mesh. This paper shows how we have adapted a cotiuous formulatio derived from the Augmeted Lagragia Method for cotact problems to the X-FEM framework. Numerical examples performed by the Code_Aster illustrate this approach for solvig three-dimesioal problems with frictioal cotact. MOTS-CLÉS : X-FEM, cotact frottat, fissure, 3D. KEYWORDS: X-FEM, frictioal cotact, crack, 3D. Nom de la revue. Volume X X/2001, pages 1 à X

2 2 Gies Cotexte Les études de fissuratio o-trasverse des rotors des cetrales ucléaires ot mis e évidece la écessité de ouvelles méthodes umériques utilisat des maillages o perturbés géométriquemet par la présece d ue fissure. La méthode X-FEM (Moës et al., 1999) permet au maillage de e pas se coformer à la géométrie des fissures, grâce à u erichissemet de l approximatio élémets fiis. Nous avos adapté ue méthode cotiue (Be Dhia et al., 2002) pour la prise e compte du cotact sur les lèvres de la fissure e 3D das le cadre X-FEM. Nous présetos des applicatios umériques 3D de fissures sous cotact frottat avec le Code_Aster, code élémets fiis de mécaique géérale développé par EDF. 2. Problème de cotact frottat et formulatio variatioelle mixte associée Das cette partie, o rappelle les équatios du problème o-liéaire de cotact frottat. O cosidère u domaie Ω R 3 comportat ue fissure Γ C. Ω est la bordure de Ω de ormale extérieure ext. Si la fissure traverse complètemet le domaie, o parlera d iterface et o otera par les idices 1 et 2 les deux domaies aisi délimités (Ω 1 et Ω 2 ). Les surfaces de cotact sot otées Γ 1 et Γ 2 de ormales extérieures 1 et 2 et o désigera par r 1 et r 2 les desités des efforts dues aux iteractios de cotact frottat évetuelles etre les deux surfaces. Les champs de cotraites et de déplacemets sot respectivemet otés σ et u. U chargemet quasi-statique est imposé sur la structure par l itermédiaire d ue desité de forces volumiques f et d ue desité de forces surfaciques t sur Γ t. O predra f = 0 et t = 0. Le solide est ecastré sur Γ u. Nous ous plaços das le cadre des petits déplacemets, e cosidérat u matériau élastique liéaire. La loi de comportemet du solide Ω s écrit σ = Cε das Ω où C est le teseur de Hooke et ε la partie symétrique du gradiet de u. Figure 1. Notatios du problème

3 Fissuratio avec X-FEM et cotact Lois du cotact frottat Soit p u poit de Γ c. O ote p 1 et p 2 la positio des poits iitialemet coïcidat sur Γ 1 et Γ 2 respectivemet. La coditio de o-iterpéétratio etre p 1 et p 2 est écrite das la directio de la ormale à Γ 1 = 1 d 1 ( x( p ) x( p 2 )) 0 = O décompose la desité d effort de cotact r e ue partie ormale λ qui désige la pressio ormale de cotact et ue autre tagetielle r. Avec ces otatios, les lois de cotact s écrivet sous la forme suivate : d 0, λ 0, λ = 0 Pour les phéomèes de frottemet, o utilise les lois de Coulomb suivates : r Si µλ r d < µλ alors v = 0 Si r = µ λ alors α 0; v = αr où µ est le coefficiet de frottemet de Coulomb et v la vitesse relative tagete. 2.2 Formulatio variatioelle mixte Le champ u doit apparteir à l esemble V 0 des champs suffisammet réguliers de déplacemets ciématiquemet admissibles. Désigos par H l espace des champs d actios de cotact. La formulatio faible à trois champs (Zarroug, 2002) s écrit : Trouver ( u, Λ) V0 H H Ω * *,λ, (, λ, Λ ) V H H v 0 ( g ) g [[ v]]d χ( g ) µλpb ( 0,1 ( g ) [[ v]]d = 0 σ( u) : ε( v)dω χ [1] ) ( g ) 1 ρ { ( ) } λ χ g g λ* dγ = 0 c { ( )( g )} Γ c + Β, ( χ ( ) ) µχ λ Λ Ρ Λd 1 g ΛΛdΓ 0 01 ρ c = g g ( ρ ) = λ ρd, > 0 ( ρ ) = Λ + ρv, > 0 où le double crochet représete le saut, et la foctio χ vaut 1 si x < 0 et 0 sio.

4 4 Gies Origialité des discrétisatios élémets fiis La méthode X-FEM est basée sur la partitio de l uité (Melek et al., 1996) et propose d erichir la base des foctios de forme (Moës et al., 1999) das u voisiage de la fissure. Nous cocetreros otre attetio sur les élémets fiis etièremet coupés e deux par la fissure, erichis par ue foctio Heaviside. La particularité de cette méthode appliquée au cotact est que le saut de déplacemet das l équatio [1] est directemet relié à ces degrés de liberté erichis. Nous avos choisi comme icoues pour la pressio de cotact λ et le semimultiplicateur de frottemet Λ les valeurs aux poits d itersectio etre les arêtes des élémets et la surface de la fissure. Au sei d u élémet, ces poits d itersectio défiisset u polygoe o écessairemet pla, qui est associé à aucu élémet fii cou. La méthode reteue a été celle qui cosiste à découper ce polygoe e facettes triagulaire dot les sommets sot les poits d itersectio (voir Figure 2a). L approximatio de la pressio de cotact fait iterveir les ψ i, foctios de forme du triagle à 3 œuds et s écrit : 3 h λ ( x) = λ ψ ( x) [2] i= 1 i i Figure 2a et 2b. Exemple de découpage e facettes triagulaires sur u hexaèdre et œuds milieux associés Das l équatio [2], o remarque que les λ i sot associés à des poits qui e fot par partie du maillage. Pour retrouver u cadre élémets fiis classique, ous avos décidé de les associer aux œuds milieux des arêtes cosidérées (même si les poits d itersectio e sot pas exactemet au milieu des arêtes). Cet artifice est seulemet destié à ue implémetatio simple das u code élémets fiis gééral, qui accepte que des icoues odales. Das l exemple de la Figure 2b, seuls les

5 Fissuratio avec X-FEM et cotact 5 œuds milieux A, B, C, D portet des icoues de cotact, les autres œuds milieux e portet aucu degré de liberté et sot alors iactivés. Si la surface de cotact coïcide avec ue face d u élémet, alors les poits de cotact sot des œuds du maillage et les degrés de liberté de cotact sot alors portés par des œuds sommet des élémets fiis. L itégratio umérique des termes élémetaires de cotact se fait sur chaque facette avec u schéma à 12 poits de Gauss pour itégrer des moômes de degré Applicatios umériques Cette partie a pour but de préseter deux exemples d applicatios traitées avec le Code_Aster. Nous souligos que la méthode a été implémetée e 3D. O cosidère u bloc rectagulaire avec ue iterface de ormale (voir Figure 3a) chargé e compressio par σ zz sur les faces supérieures et iférieures. Il est discrétisé par u maillage régulier de hexaèdres. Le matériau a u module d Youg E = 100 MPa et u coefficiet de Poisso ν = 0. O pred e compte plusieurs positios agulaires de l iterface : θ = 0 (l iterface suit les faces des élémets) et θ = 22.5 (l iterface coupe les élémets). Le papier sur le cotact avec X-FEM (Dolbow et al., 2001) traite le même problème e se limitat au 2D. Il utilise u schéma itératif visat à satisfaire successivemet le comportemet et la coditio de cotact, et étudie la covergece suivat u coefficiet de raideur de rappel etre les lèvres. Le cas où θ = 22.5 est traité avec u coefficiet de frottemet de Coulomb µ > ta(θ) de telle sorte qu il y ait adhérece. Au fial, o retrouve la valeur aalytique de la pressio de cotact : λ = σ = σ z zz z z x y Figure 3a et 3b. Maillages du bloc 3D et du cylidre

6 6 Gies 2005 Le deuxième exemple est u cylidre plei traversé par ue iterface circulaire le log de sa hauteur. O remarque que le maillage (Figure 3b) e suit pas l iterface, représetée par la frotière etre les domaies rouge et bleu. Grâce à X-FEM, le cylidre itérieur peut se désolidariser du cylidre extérieur, sous l effet du chargemet appliqué : pressio P sur la pourtour du cylidre extérieur et tractio F sur le œud cetral de la face supérieure du cylidre itérieur. 5. Coclusio et perspectives Ue méthode origiale de prise e compte du cotact sur les lèvres de la fissure das le cadre de X-FEM e 3D a été présetée. Celle-ci s appuie sur ue formulatio variatioelle mixte du problème de cotact frottat. Ue attetio particulière a été doée à la mise e place das u code élémets fiis gééral. À terme est visée la résolutio de problèmes de propagatio de fissures e grads déplacemets das des cadres variés comme la thermique ou la plasticité. 6. Bibliographie Be Dhia H., Zarroug M., «Hybrid frictioal cotact particles-i elemets», Revue Européee des Élémets Fiis, vol. 9, 2002, p Dolbow J., Moës N., Belytschko T., «A exteded fiite elemet method for modellig crack growth with frictioal cotact», Computer methods i applied mechaics ad egieerig, vol. 190, 2001, p Melek J.M., Babuška I., «The partitio of uity fiite elemet method: Basic theory ad applicatios», Computer Methods i Applied Mechaics ad Egieerig et Sciece, vol. 139, 1999, p Moës N., Dolbow J., Belytschko T., «A fiite elemet method for crack growth without remeshig», Iteratioal Joural for Numerical Methods i Egieerig et Sciece, vol. 46, 1999, p Zarroug M., Élémets mixtes de cotact frottat e grades trasformatios et applicatios, Thèse de doctorat, École Cetrale de Paris, 2002.