STT-2920 : Probabilités pour ingénieurs Solutions des exercices du chapitre 3 Automne 2015

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1 STT-2920 : Probabilités pour ingénieurs Solutions des exercices du chapitre 3 utomne 205 Numéro. Un jeu de cartes ordinaire est placé sur une table, face vers le bas. On tire les 52 cartes une après l autre. (a) Quelle est la probabilité d obtenir un as au premier tirage? (b) Quelle est la probabilité d obtenir un as au 3 e tirage sachant qu on a eu exactement 2 as parmi les 2 premiers tirages? (c) Quelle est la probabilité d obtenir un as au 3 e tirage sachant qu on a eu trois rois un 0 et deux 7 parmi les 6 premiers tirages? (d) Quelle est la probabilité d obtenir un as au 3 e tirage? (e) Quelle est la probabilité que le premier as survienne au 3 e tirage? (f) Quelle est la probabilité que le premier as survienne au 3 e tirage sachant qu on a eu trois rois un 0 et deux 7 parmi les 6 premiers tirages? (g) Quelle est la probabilité que le premier as survienne au 50 e tirage? (a) 4/52 = /3 = (b) 2/40 = /20 = (c) 4/46 = 2/23 = (d) 4/52 = /3 = (e) Il y a plusieurs approches possibles. En voici deux. Première méthode : La probabilité d obtenir notre premier as au 3 e tirage est égale à la probabilité d obtenir aucun as parmi les 2 premiers tirages multiplié par la probabilité conditionnelle d obtenir un as au 3 e tirage sachant qu on a obtenu aucun as parmi les 2 premiers tirages. On obtient donc ) ( 48 2 ( 52 2 ) 4 40 = Deuxième méthode : On utilise la règle de multiplication pour une intersection de 3 événements (correspondant à nos 3 tirages, dans l ordre chronologique). On obtient ainsi =

2 (f) près les 6 premiers tirages, il nous reste 46 cartes, dont 4 as. On remet l horloge à zéro. On veut donc la probabilité qu à partir d un jeu de 46 cartes comprenant 4 as, le premier as surviendra au 7 e tirage. On peut procéder comme à la partie (e) : Première méthode : ( 42 6 ) ( 46 6 ) 4 40 = Deuxième méthode : = (g) 0. Numéro 2. À l Université ishop, il y a 4 facultés. La faculté des Sciences et Génie compte 45% des professeurs. La faculté des Sciences de l dministration compte 30% des professeurs. La faculté des Sciences de l Éducation en compte 5% et la faculté des Lettres en compte 0%. En Sciences et Génie, seulement 2% des professeurs travaillent avec de l équipement informatique désuet. En Sciences de l dministration, ce pourcentage est de 5% alors que dans les deux autres facultés il est de 25%. (a) À l Université ishop, quel est le pourcentage de professeurs travaillant avec de l équipement informatique désuet? (b) Parmi les professeurs qui travaillent avec de l équipement informatique désuet, quelle est la proportion de professeurs des Sciences et Génie? Des Sciences de l dministration? Des Sciences de l Éducation? Des Lettres? Imaginons l expérience aléatoire qui consiste à choisir un professeur au hasard à l Université ishop. Posons G = l événement le professeur choisi vient de sciences et génie, = l événement le professeur choisi vient d administration, E = l événement le professeur choisi vient d éducation, L = l événement le professeur choisi vient des lettres, D = l événement le professeur choisi travaille avec de l équipement désuet. À la partie (a) on veut P[D]. La loi des probabilités totales nous donne P[D] = P[D G] P[G] + P[D ] P[] + P[D E] P[E] + P[D L] P[L] = {(0.02) (0.45)} + {(0.05) (0.30)} + {(0.25) (0.5)} + {(0.25) (0.0)} = = La réponse pour la partie (a) est donc 8.65%. P[L D]. Le théorème de ayes nous donne À la partie (b) on veut P[G D], P[ D], P[E D] et 2

3 P[G D] = = P[ D] = = P[E D] = = P[L D] = = Numéro 3. On se trouve devant n portes dont une est la bonne porte. On essaie les portes au hasard jusqu à ce qu on tombe sur la bonne porte. Dans chacun des cas suivants, calculez la probabilité qu on tombe sur la bonne porte au k e essai? (a) À chaque essai, chacune des n portes a la même probabilité /n d être choisie. [utrement dit, pour chaque essai on a oublié quelles portes ont été ouvertes aux essais précédents]. (b) Les portes déjà essayées ne sont jamais ré-essayées. Par exemple, après trois essais infructueux, on chosit pour le quatrième essai une des n 3 portes qui n ont pas encore été essayées, chacune avec probabilité /(n k). [utrement dit, lorsqu on essaie une porte, on marque cette porte d un gros X pour pouvoir se souvenir qu on l a déjà essayée et on ne la réessaie plus]. Note. Harry Potter et Hermione Granger font face à cette situation dans Harry Potter and the Order of the Phoenix. (a) Fixons k, un entier positif. Pour tomber sur la bonne porte au k e essai, il faut choisir une mauvaise porte à chacun des k premiers essais puis choisir la bonne porte au k e essai. Donc, pour chaque entier positif k, la règle de multiplication nous donne P[ on tombe sur la bonne porte (pour la première fois) au k e essai ] = ( ) k n n. (b) Voici deux solutions. Pour la première solution, on utilise la règle de multiplication comme à la partie (a). Pour chaque k {, 2,..., n} on obtient P[ on tombe sur la bonne porte au k e essai ] ( = ) ( n n = n n n 2 n ) ( n 2 n 3 n 2 n (k ) n (k 2) ) ( ) n (k 2) n (k ) = n. n (k ) Pour la deuxième solution, imaginez qu on choisisse au hasard l ordre dans lequel on va essayer les portes. Si les portes sont numérotées à n, ceci revient à choisir au hasard une permutation des entiers à n. Lors du choix d une telle permutation, chacun des nombres à n a la même probabilité de se retrouver en k e position. La probabilité que la bonne porte se retrouve en k e position est donc /n. utrement dit, la probabilité qu on tombe sur la bonne porte au k e essai est /n. Ceci est valide pour tout k {, 2,..., n}. 3

4 Numéro 4. Deux boules sont peinturées ou bien de couleur noire, ou bien de couleur rouge, indépendamment l une de l autre, avec probabilité /2 dans chaque cas. Les boules sont ensuite placées dans une urne. (a) Vous apprenez que la peinture noire a été utilisée. Étant donnée cette information, quelle est la probabilité que les deux boules aient été peinturées de couleur noire? (b) L urne est accidentellement renversée et une des deux boules en sort et roule sur le plancher. Vous constatez que cette boule est noire. Étant donnée cette information, quelle est la probabilité que l autre boule soit également de couleur noire? Disons que les boules s appellent la boule I et la boule II. Voici la liste des résultats possibles de l étape de la peinture : Résultat oule I oule II Probabilité NN Noire Noire /4 NR Noire Rouge /4 RN Rouge Noire /4 RR Rouge Rouge /4 À la partie (a), apprendre que la peinture noire a été utilisée est équivalent à apprendre que l événement {NN, NR, RN} s est réalisé. La probabilité désirée est donc P[{NN} {NN, NR, RN}] = P[{NN}] P[{NN, NR, RN} = /4 3/4 = 3. Voici maintenant la liste des résultats possibles des étapes peinture et boule renversée : Résultat oule I oule II oule renversée Probabilité a Noire Noire I /8 b Noire Noire II /8 c Noire Rouge I /8 d Noire Rouge II /8 e Rouge Noire I /8 f Rouge Noire II /8 g Rouge Rouge I /8 h Rouge Rouge II /8 pprendre que la boule renversée est noire est équivalent à apprendre que l événement {a, b, c, f} s est réalisé. La probabilité désirée est donc P[{a, b} {a, b, c, f}] = P[{a, b}] P[{a, b, c, f} = 2/8 4/8 = 2. 4

5 Numéro 5. On considère une expérience aléatoire avec ensemble de résultats possibles Ω. On considère deux événements mutuellement exclusifs, disons les événements et. On suppose que 0 < P[] < et 0 < P[] <. On répète cette expérience jusqu à ce que l événement ou l événement se réalise. Quelle est la probabilité que ce soit l événement qui se réalise? Posons H = l événement se réalise avant, E k = l événement se réalise pour la première fois à la k e répétition, F k = l événement ne se réalise à aucune des k premières répétitions, G k = l événement se réalise à la k e répétition. On veut calculer P[H]. On obtient P[H] = = = P[H E k ] = k= P[F k G k ] = k= P[F k ] P[G k ] k= ( (P[] + P[])) k P[] = P[] k= P[] P[] + P[]. ( (P[] + P[])) k k= Numéro 6. Le jeu de craps se joue de la façon suivante. Étape. Le joueur lance une paire de dés. Si la somme des deux lancers est 7 ou, le joueur gagne et le jeu est terminé. Si la somme des deux lancers est 2, 3 ou 2, le joueur perd et le jeu est terminé. Si la somme des deux lancers est 4, 5, 6, 8, 9 ou 0, on passe à l étape 2. Étape 2. Le joueur lance la paire de dés jusqu à ce qu il obtienne une somme égale à la somme obtenue à l étape ou une somme égale à 7. Si le joueur obtient une somme égale à la somme obtenue à l étape, il gagne. S il obtient une somme égale à 7, il perd. Question : u jeu de craps, quelle est la probabilité que le joueur gagne? Écrivons G pour dénoter l événement le joueur gagne et, pour k = 2, 3, 4,..., 2, écrivons E k pour dénoter l événement la somme des dés est k à la première étape. On obtient les probabilités suivantes : 5

6 k P[E k ] P[G E k ] 2 / / /36 3/9 5 4/36 4/0 6 5/36 5/ 7 6/36 8 5/36 5/ 9 4/36 4/0 0 3/36 3/9 2/36 2 /36 0 Dans ce tableau, les probabilités P[G E k ], k = 4, 5, 6, 8, 9 et 0, sont obtenu à l aide du résultat du problème précédent. Par exemple, P[G E 5 ] = P[obtenir une somme de 5] P[obtenir une somme de 5] + P[obtenir une somme de 7] = 4/36 4/36 + 6/36 = 4 0. À partir de ce tableau, on obtient le résultat désiré en passant par la loi des probabilités totales : P[G] = 2 k=2 P[G E k ] P[E k ] = Numéro 7. Pierre, Jean et Jacques sont dans une cellule de la prison du roi. Le roi a décidé que demain un des trois prisoniers sera exécuté et que les deux autres seront libérés. Le roi a fait son choix au hasard et de façon équiprobable. Seul le roi et le gardien de prison savent qui va être exécuté. Pierre s adresse au gardien : Puisqu au moins un de mes deux compagnons de cellule sera libéré, pourquoi ne me donnes-tu pas le nom d un prisonnier, parmi Jean et Jacques, qui sera libéré? Je te promets de ne rien leur dire. Le gardien répond : Écoute Pierre, si je fais ce que tu me demandes, ta probabilité d être exécuté passera de /3 à /2!. Que pensez-vous du raisonnement du gardien? Posons D après l énoncé du problème, on a = l événement c est Pierre qui sera exécuté, = l événement c est Jean qui sera exécuté, C = l événement c est Jacques qui sera exécuté. P[] = P[] = P[C] = /3. Maintenant supposons que le gardien accepte de se prêter au petit jeu de Pierre. Posons G = l événement le gardien répond que Jean ne sera pas exécuté, H = l événement le gardien répond que Jacques ne sera pas exécuté. 6

7 On a alors P[G ] = /2 et P[H ] = /2, P[G ] = 0 et P[H ] =, P[G C] = et P[H C] = 0. Donc, dans le cas où le gardien dit à Pierre que Jean ne sera pas exécuté, la probabilité que Pierre soit exécuté est P[ G] = P[G ] P[] P[G ] P[] + P[G ] P[] + P[G C] P[C] = /6 / /3 = 3 et dans le cas où le gardien dit à Pierre que Jacques ne sera pas exécuté, la probabilité que Pierre soit exécuté est P[ H] = P[H ] P[] P[H ] P[] + P[H ] P[] + P[H C] P[C] = /6 /6 + /3 + 0 = 3. Numéro 8. On fait trois tirages avec remise à partir d un panier contenant cinq boules rouges et quatre boules noires. Quelle est la probabilité d obtenir trois boules rouges? Quelles est la probabilité d obtenir deux boules rouges et une boule noire? P[ trois rouges ] = ( ) 5 3 = P[ deux rouges et une noire ] = P[ NRR ] + P[ RNR ] + P[ RRN ] = = = = Numéro 9. On fait trois tirages sans remise à partir d un panier contenant cinq boules rouges et quatre boules noires. Quelle est la probabilité d obtenir trois boules rouges? Quelles est la probabilité d obtenir deux boules rouges et une boule noire? P[ trois rouges ] = = = P[ deux rouges et une noire ] = P[ NRR ] + P[ RNR ] + P[ RRN ] = = = =

8 Numéro 0. À partir d un panier contenant cinq boules rouges et quatre boules noires, on fait des tirages avec remise jusqu à ce qu on obtienne une boule rouge. Quelle est la probabilité que ça prendra exactement trois tirages? P[ trois tirages ] = P[ NNR ] = = Numéro. À partir d un panier contenant cinq boules rouges et quatre boules noires, on fait des tirages sans remise jusqu à ce qu on obtienne une boule rouge. Quelle est la probabilité que ça prendra exactement trois tirages? P[ trois tirages ] = P[ NNR ] = = Numéro 2. Calculez la fiabilité des réseaux suivants. Dans chaque cas, on suppose que toutes les composantes ont la même fiabilité de Réseau : 2 3 Réponse pour le réseau : Réseau 2 :

9 Solution pour le réseau 2 : On conditionne sur l état des composantes 7 et 8 et on utilise la loi des probabilités totales. Posons = l événement la 7 ne fonctionne pas et la 8 ne fonctionne pas, = l événement la 7 fonctionne et la 8 ne fonctionne pas, C = l événement la 7 ne fonctionne pas et la 8 fonctionne, D = l événement la 7 fonctionne et la 8 fonctionne, F = l événement le réseau fonctionne. On a P[] = (0.05) 2, P[] = (0.95)(0.05), P[C] = (0.05)(0.95, ) P[D] = (0.95) 2. Si la 7 ne fonctionne pas et la 8 ne fonctionne pas, alors le réseau est réduit à 2 3 et sa fiabilité est ( (0.95) 3 ) 2 = , c est-à-dire P[F ] = Si la 7 fonctionne et la 8 ne fonctionne pas, alors le réseau est réduit à 2 3 et sa fiabilité est ( (0.05) 2 )( ( (0.95) 2 ) 2 ) = , c est-à-dire P[F ] =

10 Si la 7 ne fonctionne pas et la 8 fonctionne, alors le réseau est réduit à 2 3 et sa fiabilité est ( ( (0.95) 2 ) 2 )( (0.05) 2 ) = , c est-à-dire P[F C] = Enfin, si la 7 fonctionne et la 8 fonctionne, alors le réseau est réduit à 2 3 et sa fiabilité est ( (0.05) 2 ) 3 = , c est-à-dire P[F D] = La loi des probabilités totales nous donne donc P[F ] = P[F ]P[] + P[F ]P[] + P[F C]P[C] + P[F D]P[D] = Claude élisle Septembre 205 0