MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

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1 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Cinquième cours Taux instantané constant Taux instantané constant Date de comparaison Taux instantané constant Date de comparaison Diagramme d entrées et sorties Taux instantané constant Date de comparaison Diagramme d entrées et sorties Équation de valeur 1

2 Si nous connaissons la fonction d accumulation Si nous connaissons le taux instantané de l intérêt alors le taux instantané est et le principal, alors nous pouvons déterminer la fonction d accumulation Le montant d intérêt gagné pendant la période allant de 0 jusqu au temps t Nous allons maintenant considérer des questions relatives au temps, à la durée d un prêt: échéance moyenne, duplication du capital Le montant d intérêt gagné pendant la période allant du temps t = a jusqu au temps t = b est Échéance moyenne: L échéance moyenne est le moment pour lequel un versement de Nous avons le diagramme d entrées et sorties suivant: est équivalent à n versements de respectivement payables aux moments 2

3 comparaison t= 0: De ceci, nous obtenons que Rappelons que De ceci, nous obtenons que Finalement Donc Finalement Dans cette dernière équation, désigne le taux instantané de l intérêt constant équivalent au taux d intérêt composé Autre forme équivalente: c est-à-dire 3

4 Échéance moyenne approché: Il est possible d approximer la valeur de par l échéance moyenne approchée Échéance moyenne approché: (suite) Pour démontrer cette formule, il faut utiliser la série binomiale En effet, si et développer en série Exemple 1: Anastasia doit rembourser un prêt en faisant 4 versements : 1500$, 3500$, 3000$, 2500$ payable respectivement à la fin de la 5 e, 7 e, 8 e et 12 e année. Le taux d intérêt composé de ce prêt est 6% par année. Le total des versements de ce prêt est 10500$. Supposons qu elle préfèrerait faire un seul versement de 10500$ pour rembourser ce prêt. Exemple 1: (suite) Nous devons calculer l échéance moyenne. Par ce qui précède, nous obtenons le diagramme suivant du flux financier Quand doit-elle faire ce remboursement? Exemple 1: (suite) Le taux d intérêt est Exemple 1: (suite) Le taux d intérêt est comparaison t = 0 est 4

5 Exemple 1: (suite) Nous obtenons que l échéance moyenne est alors Exemple 1: (suite) Par contre, nous obtenons que l échéance moyenne approchée est soit environ après 8 ans, 13 jours, 21heures et 8 minutes. soit environ après 8 ans, 69 jours, 12heures et 34 minutes. Remarque 1: Il est possible de montrer que nous avons toujours Remarque 1: (suite) L inégalité est une conséquence de l inégalité entre la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique: Duplication du capital: Combien faut-il de temps pour qu un capital investi double? Si nous investissons un capital de K dollars au taux d intérêt composé i, nous voulons déterminer le temps t nécessaire pour que la valeur accumulée après cette période soit 2K. En équation, nous avons 5

6 Après simplification, nous obtenons Après simplification, nous obtenons En prenant le logarithme des deux côtés de l égalité, nous obtenons Après simplification, nous obtenons En prenant le logarithme des deux côtés de l égalité, nous obtenons Cette valeur peut être approximée par la règle de 72. Finalement Cette valeur Exemple 2: Si le taux d intérêt composé est peut être approximée par la règle de 72. alors il faudra pour que le capital double Plus précisément, Par la règle de 72, nous obtenons comme approximation 6

7 Triplication du capital: Combien faut-il de temps pour qu un capital investi triple? Triplication du capital: (suite) Nous pouvons procéder exactement comme pour la duplication du capital et obtenir que le temps nécessaire pour que le capital triple est Cette valeur Cette valeur peut être approximée par la règle de 114. peut être approximée par la règle de 114. Plus précisément, Exemple 3: Si le taux d intérêt composé est alors il faudra pour que le capital triple Nous allons maintenant considérer des questions relatives au taux d intérêt. Par la règle de 114, nous obtenons comme approximation 7

8 Situation 1: Considérons une situation très simple. Le flux financier a une seule entrée P et une seule sortie A. Nous connaissons la durée de la transaction n. Dans une telle situation, le diagramme d entrées et sorties est Situation 1: (suite) comparaison t = n est où Situation 1: (suite) comparaison t = n est où Nous obtenons facilement que Situation 2: Considérons une situation plus complexe. Le flux financier a plusieurs entrées et plusieurs sorties. Nous connaissons les moments où ces montants sont versés. Dans une telle situation, l équation de valeurs nous permet d écrire une équation de la forme après avoir transféré tous les termes d un coté de l équation de valeurs à l autre. Pour résoudre ce type de questions, nous verrons deux méthodes dans le cours: Méthode de bissection Méthode de Newton-Raphson Exemple 4: Déterminons le taux d intérêt d un prêt dont le flux financier est représenté par le diagramme d entrées et sorties suivant: Nous allons maintenant expliquer la méthode de bissection. Nous verrons plus tard celle de Newton-Raphson. 8

9 comparaison t = 9 est comparaison t = 9 est En transférant tout vers la gauche, nous obtenons comparaison t = 9 est En transférant tout vers la gauche, nous obtenons Nous pouvons noter que Donc la fonction a un zéro entre 4% et 6%. Nous subdivisons cet intervalle en deux, nous évaluons la fonction au point milieu 5% pour savoir dans quel sousintervalle se trouve le zéro. Nous répétons ensuite cet algorithme avec le sous-intervalle plus petit. i 4% 6% 5% 5.5% 5.25% 5.125% % % % f(i) Donc nous pouvons conclure que le taux d intérêt recherché est approximativement 5.2%. Si nous voulons plus de précision, il faut poursuivre nos calculs dans le tableau précédent. 9

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