Algèbre relationnelle

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1 SB AD FC Janvier / 58 Introduction Introduction SB AD FC Janvier / 58

2 Introduction Le modèle relationnel Inventé par Codd (IBM) en 1970 Fondements théoriques basés sur la théorie des relations. Propose un modèle pour la modélisation et l interrogation de données Facile à traduire dans des langages réels (ex. SQL) SB AD FC Janvier / 58 Les tables/relations Les tables/relations SB AD FC Janvier / 58

3 Les tables/relations Relations Exemple ville : ensemble de noms de villes heure : ensemble de chaînes de caractères de la forme XYhZT où X,Y,Z,T sont des chiffres. Train h-dép dest h-arr prov 13h15 Lyon 15h15 Paris 13h22 Nantes 15h30 Paris Schéma : Train (h-dép: heure ; dest: ville ; h-arr:heure ; prov:ville) Arité : 4 Cardinalité : 2 SB AD FC Janvier / 58 Les tables/relations Exemple de Relation Exemple Table player dans la base tennis pid name gender code last_name first_name 71 Vince Spadea M USA Spadea Vince 72 Igor Andreev M RUS Andreev Igor 73 Jiri Vanek M CZE Vanek Jiri 74 Benjamin Becker M GER Becker Benjamin 75 Dudi Sela M ISR Sela Dudi SB AD FC Janvier / 58

4 Les tables/relations Sur la table player Une table comme player est un tableau à deux dimensions Chaque ligne ou tuple contient des informations concernant un individu (ici, un joueur de tennis professionnel). Ces informations sont des valeurs d attributs. Les attributs qui définissent le schéma de la table sont pid, name, gender, code, last_name, first_name. Dans la vie d un table, on ajoute, on supprime et on modifie souvent les lignes d une table. On modifie beaucoup plus rarement les attributs. SB AD FC Janvier / 58 Les tables/relations Schema de la table player Schema Le schéma nous donne la liste des colonnes et le type/domaine de chaque colonne. Le schéma nous indique de quoi les lignes sont faites. Table "tennis.player" Column Type Modifiers pid integer not null name character varying(30) default NULL::character varying gender character varying(1) default NULL::character varying code character varying(3) default NULL::character varying last_name character varying first_name character varying Indexes: "Player_pkey" PRIMARY KEY, btree (pid) SB AD FC Janvier / 58

5 Formalisation Formalisation SB AD FC Janvier / 58 Formalisation Un peu de formalisation Domaine : ensemble dénombrable d éléments, (entiers, chaines de caractères, date,... ) Un domaine peut se définir par extension (en donnant laliste de toutes les valeurs possibles) par intention (en en donnant une propriété caractéristique). Produit Cartésien d une liste de domaines D 1, D 2,..., D k, noté D 1 D 2 D k est l ensemble des k-uplets (ou tuples) où, pour chaque i, v i D i. (v 1, v 2,..., v k ) SB AD FC Janvier / 58

6 Formalisation Relations Définition Une relation est un sous-ensemble du produit cartésien D 1 D 2 D k où D 1,..., D k sont des domaines. Exemple D 1 = {1, 2, 5}, D 2 = {2, 4} D 1 D 2 = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (5, 2), (5, 4)} R = {(1, 2), (1, 4), (5, 2), (5, 4)} On peut représenter R par le tableau : SB AD FC Janvier / 58 Cardinalité et arité Cardinalité et arité SB AD FC Janvier / 58

7 Cardinalité et arité Relations Cardinalité d une relation R nombre de tuples (lignes) de R. Exemple Si R = D 1 D 2 alors R = D 1 D 2. Arité d une relation R Nombre de colonnes de la relation R (nombre d attributs qui constituent chaque tuple de R) On parle parfois de degré d une relation. Exemple Soit R D 1 D 2 D k, Arité de R = longueur d un tuple de R = k SB AD FC Janvier / 58 Cardinalité et arité Relations Domaine peut apparaitre plusieurs fois dans la définition d une même relation. Attribut : nom/rôle de la colonne Précise la sémantique de celle-ci. Pas deux attributs identiques dans une table. Schéma d une relation : liste des attributs et domaines de la relation. Peut se noter R(A 1 :D 1, A 2 :D 2,..., A k :D k ) où A i : attribut et D i : domaine. SB AD FC Janvier / 58

8 Clés et références Clés et références SB AD FC Janvier / 58 Clés et références Clés, références, etc Définition La clé d une relation est un ensemble minimal d attributs dont la valeur détermine complètement un tuple Ville(code_postal, nom, population) la valeur de code_postal détermine entièrement un tuple. Définition Une référence ou (clé étrangère) est un (groupe d ) attribut(s) dont les valeurs sont prises parmi celles d une clé d une autre table Ville(code_postal, nom, population) Departement(numero, nom, population, code_prefecture) la valeur de code_prefecture fait référence au code_postal de sa préfecture qui est une ville. SB AD FC Janvier / 58

9 Clés et références Schema de country_codes \d atp.country_codes Column Type Modifiers code character varying(3) not null country character varying(100) Indexes: "pk_country_codes" PRIMARY KEY, btree (code) Referenced by: TABLE "fk_player_code" CONSTRAINT "atp.player" FOREIGN KEY (code) REFERENCES atp.country_codes(code) SB AD FC Janvier / 58 Clés et références Schema de country_codes (suite) Identifiant code est une clé primaire ou identifiant pour la table country_code Référence Dans la table player, c est une clé étrangère ou référence qui permet de lier un tuple de player à un tuple de country_code SB AD FC Janvier / 58

10 Clés et références Résumé informel RELATION = TABLE A DEUX DIMENSIONS (NOM DE) COLONNE = ATTRIBUT EN-TÊTE DU TABLEAU = SCHEMA DE LA RELATION (description du type, définition intentionnelle) LIGNE = TUPLE ENSEMBLE DES LIGNES = CONTENU DE LA RELATION (*définition extensionnelle}) SB AD FC Janvier / 58 SB AD FC Janvier / 58

11 Une algèbre C est un ensemble E munis d opérations internes,, +,,.... Une opération prend en argument des (ou un) éléments de l ensemble et produit un élément de l ensemble. Exemple R muni de +,,, /,... C est une algèbre qui opère sur l ensemble des tables/relations. Dans un SGBD le langage de manipulation de données (SQL) met en oeuvre l algèbre relationnelle (et bien d autres choses). SB AD FC Janvier / 58 Opérateurs de base Opérateurs de base SB AD FC Janvier / 58

12 Opérateurs de base Liste des opérateurs L algèbre relationnelle comme Langage de Manipulation de données (LMD) Opérateurs de base Union Intersection Différence \ Projection Π Sélection σ Produit cartésien (déjà vu) Manipulent des relations pour produire d autres relations (le résultat) SB AD FC Janvier / 58 Opérateurs de base Projection Π La projection d une relation R de schéma R(A 1,..., A k ) sur les attributs A i1,..., A ip est la relation S de schéma S(A i1,..., A ip ) dont les tuples sont obtenus par élimination des attributs non mentionnés dans A i1,..., A ip (et par élimination des doublons). On note S = π Ai1,...,A i p (R). Élimination des doublons car une projection peut produire plusieurs fois le même tuple. SB AD FC Janvier / 58

13 Opérateurs de base Schema de tournament Column Type Modifiers tid integer not null default nextval('atp.tournament_tid_seq'::regclass) name character varying location character varying startdate date enddate date numrounds integer ttype character varying surface character varying outlier boolean SB AD FC Janvier / 58 Opérateurs de base Tuples de tournament tid name location startdate enddate rounds ttype surface 0 Australian Open Melbourne, Australia Singles Hard 1 Australian Open Melbourne, Australia Doubles Hard 2 French Open Roland Garros, Paris Singles Clay 3 French Open Roland Garros, Paris Doubles Clay 4 US Open Flushing Meadows, NY Singles Hard 5 US Open Flushing Meadows, NY Doubles Hard 6 Wimbledon London, Great Britain Singles Grass 7 Wimbledon London, Great Britain Doubles Grass 8 Heineken Open Auckland, New Zealand Singles Hard 9 Heineken Open Auckland, New Zealand Doubles Hard 10 Brasil Open 2007 Costa do Sauipe, Brasil Singles Clay 11 Brasil Open 2007 Costa do Sauipe, Brasil Doubles Clay 12 Countrywide Classic Los Angeles, CA, USA Singles Hard 13 Countrywide Classic Los Angeles, CA, USA Doubles Hard 14 BMW Open Munich, Germany Singles Clay SB AD FC Janvier / 58

14 Opérateurs de base Projection (exemple) Projection de la table tournament sur les colonnes location et surface location surface Melbourne, Australia Hard Auckland, New Zealand Hard Flushing Meadows, NY, USA Hard Munich, Germany Clay London, Great Britain Grass π location,surface tournament SB AD FC Janvier / 58 Opérateurs de base Sélection La sélection d une relation R par une condition C est une relation S de même schéma que R (même arité) dont les tuples sont ceux de R qui satisfont la condition C (cardinalité de S cardinalité de R) On note S = σ C (R). La condition C s exprime à l aide des noms d attributs de la relation ou de constantes (pour les opérandes) peut utiliser des opérateurs arithmétique de comparaisons (=,,,, <, >) ainsi que des connecteurs logique (,, ).. SB AD FC Janvier / 58

15 Opérateurs de base Sélection sur tournament Sélection des tuples pour lesquels l attribut ttype vaut 'Singles' tid name location startdate enddate rounds ttype surface 14 BMW Open Munich, Germany Singles Clay 12 Countrywide Classic Los Angeles, CA, Singles Hard 6 Wimbledon London, Great Britain Singles Grass 8 Heineken Open Auckland, New Zealand Singles Hard 0 Australian Open Melbourne, Australia Singles Hard 10 Brasil Open 2007 Costa do Sauipe, Brasil Singles Clay 2 French Open Roland Garros, Paris Singles Clay 4 US Open Flushing Meadows, NY, USA Singles Hard σ ttype= Singles tournament SB AD FC Janvier / 58 Opérateurs de base Renommage Renommage d une table consiste à renommer explicitement certains attributs. On peut souhaiter renommer des attributs pour mettre en correspondance deux schémas (préalable à certaines opérations binaires) traduire une base d usage internationale (localisation) Renommage dans country_codes pays Afghanistan Netherlands Antilles Albania Algeria Andorra code AFG AHO ALB ALG AND ρ country pays country_codes Cette opération ne change rien au contenu de la table, elle définit un nouveau schéma, avec un nouveau nom d attribut SB AD FC Janvier / 58

16 Opérateurs binaires Opérateurs binaires SB AD FC Janvier / 58 Opérateurs binaires Union et intersection L union et l intersection sont des opérations portant sur deux relations R 1 et R 2 de même schéma. T = R 1 R 2 est constituée des tuples appartenant à R 1 ou à R 2 mais pas nécessairement aux deux T = R 1 R 2 est constituée des tuples appartenant à R 1 et à R 2 Le schémas de R 1 R 2, R 1 R 2 est égal à celui de R 1 (et à celui de R 2!) SB AD FC Janvier / 58

17 Opérateurs binaires Différence ensembliste La différence de deux relations R 1 et R 2 (de même schéma) est une relation T de même schéma constituée des tuples appartenant à R 1 et n appartenant pas à R 2. On note T = R 1 R 2. Opération non commutative : R 1 R 2 R 2 R 1 (en général). #### Exemple On veut calculer la liste des joueurs qui ont participé à Roland Garros (French Open) mais pas à Wimbledon Il faut (et il suffit de) calculer la liste des pid des joueurs qui ont participé à Roland Garros, la liste des pid des joueurs qui ont participé à Wimbledon et faire la différence. SB AD FC Janvier / 58 Opérateurs binaires Produit Cartésien Déjà défini : construit des produits de relation. Le schéma de R 1 R 2 est la concaténation des schémas de R 1 et R 2 arité de R 1 R 2 = arité de R 1 arité de R 2 En algèbre relationnelle, cette opération est commutative : R 1 R 2 = R 2 R 1 cardinalité de R 1 R 2 = cardinalité de R 1 cardinalité de R 2 SB AD FC Janvier / 58

18 Opérateurs binaires Résumé Opérations ensemblistes classiques,,, \. Projection (π) : élimine des colonnes Sélection (σ) : élimine des lignes Pour interroger une BD, on combine ces opérateurs : π num (σ dest= Lyon (Train)) Numéro des trains dont la ville de destination est Lyon. SB AD FC Janvier / 58 Opérations complémentaires : les jointures Opérations complémentaires : les jointures SB AD FC Janvier / 58

19 Opérations complémentaires : les jointures Les jointures Opérations (très) pratiques pour la manipulation de données : les jointures. Jointure Jointure naturelle θ-jointure et équi-jointure Les jointures externes SB AD FC Janvier / 58 Opérations complémentaires : les jointures Jointure La jointure T = R 1 C R 2 de deux relations R 1 et R 2 sous la condition C est la relation T de schéma : la concaténation des schéma de R 1 et R 2 formée des tuples du produit cartésien R 1 R 2 qui satisfont la condition C SB AD FC Janvier / 58

20 Opérations complémentaires : les jointures Jointure π... (player C country_codes) last_name first_name country code gender Spadea Vince United States USA M Andreev Igor Russia RUS M Vanek Jiri Czech Republic CZE M Becker Benjamin Germany GER M Sela Dudi Israel ISR M Srichaphan Paradorn Thailand THA M Gicquel Marc France FRA M Jones Alun Australia AUS M Tsonga Jo-Wilfried France FRA M Lapentti Nicolas Ecuador ECU M {Jointure de player et de country_codes sur la condition player.code = country_codes.code, puis projection sur last_name, first_name, country, code, gender} SB AD FC Janvier / 58 Opérations complémentaires : les jointures Équi-Jointure et θ-jointure Équi-jointure La condition de jointure porte sur des attributs de types comparables et impose l égalité. Dans l exemple précédent, la jointure est une équi-jointure. θ-jointure condition de jointure entre attributs de types comparables et avec un opérateur différents de l égalité i.e. {<, >,,, }. SB AD FC Janvier / 58

21 Opérations complémentaires : les jointures Jointure naturelle R 1 d attributs A 1,.., A k, B 1,..., B h R 2 d attributs A 1,.., A k, C 1,..., C l A 1,..., A k : attributs communs. La jointure naturelle sur deux relations R 1 et R 2 est la relation d attributs A 1,.., A k, B 1,..., B h, C 1,..., C l définie par : σ A1,..,A k,b 1,...,B h,c 1,...,C l (R 1 C R 2 ) où C = R 1.A 1 = R 2.A 1... R 1.A h = R 2.A h Autrement dit, on réalise une équi-jointure sur tous les attributs communs et on ne garde qu un seul exemplaire de ces attributs communs par projection. Notation : R 1 R 2. Lorsqu on prend seulement une partie des attributs communs, on spécifie le nom de ceux-ci en indice. Exemple La jointure entre player et country_codes est une jointure naturelle (l attribut commun est code). SB AD FC Janvier / 58 Opérations complémentaires : les jointures Représentation graphique - arbre de requête π name,country σ gender= female code player country_codes Pour : π name,country σ gender= female (player code country_codes) SB AD FC Janvier / 58

22 Encore des opérations... Encore des opérations... SB AD FC Janvier / 58 Jointure externe Encore des opérations... 1 Perte d information dans jointure naturelle : les tuples ne satisfaisant pas la condition disparaissent. 2 On ajoute "symboliquement" une ligne dont les valeurs sont vides (ou avec valeur spéciale NULL) pour garder les tuples initiaux "non satisfaisants" après la jointure. SB AD FC Janvier / 58

23 Jointure externe (définition) Encore des opérations... Jointure externe à droite ext entre deux tables R et S, sous la condition C, est une table : - de même schéma que R C S - contenant les tuples de R C S... - et pour chaque tuple t 2 de S tel qu il n existe pas de tuple t 1 tel que (t 1, t 2 ) vérifie la condition C, un tuple de la forme (NULL, t 2 ) où les attributs provenant de R ne sont pas renseignés... - Notation R ext C S SB AD FC Janvier / 58 Jointure externe Jointure externe SB AD FC Janvier / 58

24 Jointure externe Jointure externe Jointure externe à droite entre player et country_code avec une equi-jointure sur l attribut commun code, puis sélection sur la condition last_name est nulle et projection sur quelques attributs provenant des tables player et country_codes (10 premiers résultats affichés). last_name first_name country code gender Venezuela VEN Tajikistan TJK Iraq IRQ Côte d Ivoire CIV Cameroon CMR Malaysia MAS Egypt EGY Indonesia INA Organization of Eastern Caribbean States (OECS) (Davis Cup Entity) ECA Saudi Arabia KSA A noter Dans un SGBD, les jointures externes sont un moyen commode pour réaliser la différence entre tables. SB AD FC Janvier / 58 Division Division SB AD FC Janvier / 58

25 Division Division Division de R par S relation R de schéma R(A 1, A 2,..., A k ) relation S de schéma S(A p+1,..., A k ) (Schema de S Schema de R) Définition La division (ou le quotient) de R par S est une relation T de schéma T (A 1,..., A p ) formée des tuples qui, concaténés à chaque tuple de S, donnent un tuple de R. Notation T = R S SB AD FC Janvier / 58 Division Tables played_in et registration Dans la base tennis, on trouve les tables registration et played_in, qui permettent de déterminer quels joueurs se sont inscrits à quel tournoi. Chaque tuple de played_in représente l inscription d un joueur ou d une équipe de double à un tournoi Column Type Modifiers tid integer not null registrnum integer not null seed integer - L attribut tid indique le tournoi concerné (un tuple de tournament identifié par son attribut tid. - L attribut registration est un numéro d inscription - L attribut seed, quand il est renseigné, permet de repérer les têtes de série. SB AD FC Janvier / 58

26 Division Table registration Si la base tennis ne concernait que des compétitions en simple (single), nous pourrions représenter les inscriptions de manière très simple : par des couples (tid,pid). Pour pouvoir représenter de façon homogène les inscriptions aux tournois en simple et en double, on a choisi d utiliser deux tables played_in et registration. SB AD FC Janvier / 58 Division Table registration (visualisation) \d atp.registration Column Type Modifiers registrnum integer not null pid integer Indexes: "fki_registration_played_in" btree (registrnum) Foreign-key constraints: "fk_registration_played_in" FOREIGN KEY (registrnum) REFERENCES atp.played_in(registrnum) "fk_registration_player" FOREIGN KEY (pid) REFERENCES atp.player(pid) "fk_registrnum_played_in" FOREIGN KEY (registrnum) REFERENCES atp.played_in(registrnum) ON UPDATE CASCADE ON DELETE CASCADE SB AD FC Janvier / 58

27 Division Table registration (suite) Pour chaque inscription à un tournoi (tuple de played_in identifié par registrnum), on trouvera un ou deux tuples dans registration. Ce ou ces tuples permettent de savoir quel(s) joueur(s) portent quels numéros d inscription. SB AD FC Janvier / 58 Division Division : les joueurs qui ont participé à tous les tournois du grand schlem au moins une fois Le grand schlem est formé par quatre tournois : Autralian Open, French Open, Wimbledon et US Open. Attention Cette question n est pas la même que la question : quels sont les joueurs qui ont participé à au moins un tournoi du grand schlem? Pourtant... Nous allons commencer par construire une requête qui correspond presque à cette question intermédiaire. Nous calculons les couples (tid,pid) qui correspondent à une inscription à un tournoi du grand schlem (table GSI). Pour répondre à la question de départ, il suffit de diviser GSI par sa projection sur tid SB AD FC Janvier / 58

28 Division Division : les joueurs qui ont participé à tous les tournois du grand schlem (... ) Calcul des tid des tournois du grand schlem GS π tid σ name ( FrenchOpen,..., Wimbledon )tournament Calcul des couples (tid,pid) correspondant aux jours participant à au moins un tournoi du grand schlem} GSI π tid,pid (GS played_in registration) Les pid des joueurs ayant participé à tous les tournois du grand schlem R GSI (π tid GSI) SB AD FC Janvier / 58 Les opérateurs de base et les autres Les opérateurs de base et les autres SB AD FC Janvier / 58

29 Les opérateurs de base et les autres Interdéfinissabilité des opérateurs L union, la différence, le produit cartésien, la sélection et la projection sont suffisants pour définir tous les opérateurs que l on a vu. Mais avoir un panel plus large d opérateurs simplifie l écriture des requêtes. Quelques définitions Pour la Jointure : R C S σ C (R S) Pour l intersection : A B = A B ((B A) (A B)) SB AD FC Janvier / 58 Les opérateurs de base et les autres Définition de la division R de schéma R(A 1, A 2,..., A k ), S de schéma S(A p+1,..., A k ) La relation T = R S de schéma T (A 1,..., A p ). π A1,...,A p π A1,...,A p R R π A1,...,A p S R SB AD FC Janvier / 58