Romain Burgot & Tchim Silué. Synthèse de l article : Note sur l évaluation de l option de remboursement anticipé

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1 ENSAE 3 eme année Romain Burgo & Tchim Silué Synhèse de l aricle : Noe sur l évaluaion de l opion de remboursemen anicipé Mémoire de gesion ALM Juin 2006

2 Résumé Depuis 1979, la loi offre à l empruneur la possibilié de rembourser par anicipaion en parie ou en oalié un crédi immobilier avec une indemnié plafonnée à 3% du capial resan dû (CRD). Il fau préciser que cee indemnié n es pas due dans ceraines siuaions (vene du bien suie à un déménagemen professionnel). On di que l empruneur déien une opion de remboursemen anicipé qualifiée souven d opion cachée ou implicie. Cee opion à la même caracérisique que les opions américaines en ce sens qu elle peu êre exercée à chaque insan 1 jusqu à la dae de fin iniiale du prê. Comme le monre le graphique ci-dessous, depuis quelques années, on assise à une baisse marquée des aux ce qui enraîne une recrudescence des remboursemens anicipés. Fig. 1 Evoluion des aux fixes du marché à 15 ans - Prês immobiliers En plus de l inérê héorique cee noe, les aueurs souhaien : Évaluer cee opion e mere en évidence les déerminans de son prix Mere en place un sysème de arificaion (différenciée) pour compenser la pere liée à l exercice de cee opion Cee double problémaique s avère simple à consruire lorsque les remboursemens anicipés son déerminises. En effe dans ce cas, on es capable à priori de déerminer la probabilié (indépendane des condiions de marché) qu on ous les cliens d exercer l opion. La facuraion dans ce cas s effecue de façon forfaiaire. Cependan en praique, il exise une dépendance enre les aux de remboursemens anicipés e l évoluion des aux. Ce qui fai qu ils ne peuven pas êre supposés déerminises. La meilleure facuraion du coû de l opion ne peu donc êre forfaiaire mais pluô foncion des aux d inérês, de leur volailié e de leurs anicipaions fuures. Pour l évaluaion de cee opion, les aueurs uilisen une approche de ype srucurelle uilisée pour valoriser cerains produis de crédi (CDS, ec.). Cee approche ou modèle de la firme inroduie par Meron (1974) di qu une firme es en défau si sa valeur nee de marché aein zéro c es-à-dire la différence enre ses acifs e la valeur de sa dee. Les aueurs se ramènen donc à un calcul analogue à celui d une opion barrière. La valorisaion va donc s effecuer dans un cadre risque neure. Cee approche encore peu explorée, perme aux aueurs de reser dans un cadre réalise d un poin de vue économique ou en permean de faire des calculs uilisables en praique. 1 En praique on verra que cee opion es plus exercée en moyenne vers 7 ans mais peu en débu e fin de prê. 2

3 TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES Table des maières 1 Valorisaion e facuraion de l opion cachée Noaions Formule d évaluaion Modélisaion du emps jusqu au remboursemen anicipé Modélisaion saisique Modélisaion semi-raionnelle Loi des remboursemens anicipés Évaluaion de l opion cachée Modélisaion raionnelle facuraion de l opion Principe Applicaions Cas du remboursemen anicipé déerminise Cas du remboursemen anicipé foncion des aux d inérês modèle semi raionnel modèle raionnel Conclusion 12 3

4 Valorisaion e facuraion de l opion cachée 1 Valorisaion e facuraion de l opion cachée Afin de valoriser cee opion, comme dans le cas de l opion américaine, les aueurs on commencé par modéliser un emps d arrê représenan le emps jusqu au remboursemen anicipé. M M + CRD τ 0 τ T Fig. 2 Échéancier d un prê avec remboursemen anicipé 1.1 Noaions Pour la synhèse de l aricle, uilisons les mêmes noaions que les aueurs. T dae d échéance du prê M mensualié consane du prê (m en emps coninu) CRD capial resan dû à la dae. En τ dae du remboursemen anicipé, le clien paie CRD τ. MM le Marked-o-Marke du prê en (la valeur acuelle de l échéancier à venir) Foncion de survie : S() = Pr(τ > (r s ) s ) (1) Foncion de hasard : q(, h) = Pr(τ τ h, (r s ) s ) (2) Ces deux foncions qui serven à représener la loi des remboursemens anicipés son aussi uilisées dans les modèles à inensiés qui serven à évaluer les dérivés de crédi ou encore dans les modèles de durées. S() représene la probabilié que le remboursemen anicipé inervienne après le emps e q(, h) celle qu il inervienne au emps ou ulérieuremen sachan qu il inerviendra après le emps h. Ces définiions enraînen la relaion de récurrence ci-dessous : S() = (1 q(, h))s( h), avec S(0) = 1 (3) Si on fai l hypohèse Pr(τ h (r s ) s ) = Pr(τ h (r s ) s h ), hypohèse qui semble logique car seules les condiions de marché jusqu au emps h son uiles pour savoir si les remboursemens anicipés on lieu après ce emps, de plus les cliens exercen l opion dès que la baisse des aux leur semblen suffisammen imporanes sans enir compe des condiions de aux fuures. De l égalié 1, on ire S() S( h) = q(, h) S( h) ou en emps coninu 1 S() ds() = q() 2 (4) d ce qui perme donc de déduire la relaion en emps coninu lian les foncions de survie e de hasard e qui es une relaion connue, uilisée dans les modèles de durées. ( ) S() = exp q(s)ds (5) 2 q() = q(,0) 0 4

5 Formule d évaluaion Valorisaion e facuraion de l opion cachée 1.2 Formule d évaluaion L évaluaion de cee opion implicie consise à calculer le mark-o-marke du crédi en enan compe de l évenualié des remboursemens anicipés. Ici les aueurs noen P cee quanié ce qui pourrai faire penser à prix. Cependan le vériable prix correspond à la différence enre le mark-o-marke du prê sans remboursemen anicipé e le mark-o-marke du crédi en prenan en compe les remboursemens anicipés. Cee méhode de valorisaion des remboursemens anicipés a éé longemps appliqué dans la liéraure pour la valorisaion de ce ype d opion. Les ypes de prês éaien esseniellemen les prês hypohécaires aux USA. La valorisaion s effecue en univers risque neure Q dans lequel le prix des acifs (échangeables) acualisés son des maringales. Pour calculer le mark-o-marke du prê avec ou sans remboursemen anicipé, lisons comme l on fai les aueurs les flux reçus par la banque e les probabiliés associées à ces flux. Soi N un enier e h N = T N le pas de emps. A chaque insan + ih N la banque reçoi : m h (pas de remboursemen anicipé en +ih) avec probabilié S ( + ih) = S( + ih) S() = Pr(τ > + ih τ, (r s ) s +ih ). Dans la définiion de S() en 1 on condiionne uniquemen suivan les condiions de marché e non suivan τ >, pour garder cee même définiion inroduisons S comme défini ci-dessus. CRD +(i 1)h = m h + CRD +ih (s il y a remboursemen anicipé) avec probabilié Pr( + (i 1)h < τ + ih τ, (r s ) s +ih ) = q( + ih, h) S ( + (i 1)h). En effe on reconnaî le produi de la probabilié de ne pas avoir de remboursemen anicipé jusqu en + (i 1)h avec celle d en avoir enre cee dae e + ih. Dans la noe, les aueurs on marqué que la banque reçoi m h avec probabilié S ( + (i 1)h) qui ne correspond pas ou à fai à la probabilié de ne pas avoir de remboursemen anicipé jusqu en + ih. Cependan au oal, comme le monre le calcul ci-dessus, la banque reçoi en moyenne S ( + (i 1)h) m h+q(+ih, h) S (+(i 1)h) CRD +ih. Donc on peu comprendre la raison pour laquelle les aueurs on évalué la foncion de survie en + (i 1)h. En effe, en + ih la banque reçoi en moyenne S ( + ih) m h + q( + ih, h) S ( + (i 1)h) (m h + CRD +ih ). En se servan de 3, on obien que q( + ih, h) S ( + (i 1)h) = S ( + (i 1)h) S ( + ih) 3 Ce qui perme de déduire que S ( + ih) m h + q( + ih, h) S ( + (i 1)h) m h = S ( + (i 1)h) m h e finalemen on obien la valeur de l échéancier fuur du crédi N P (, h) = E Q e +ih r udu S ( + (i 1)h) (m h + q( + ih, h)crd +ih ) F. (6) La formule en emps coninu s obien en faisan endre N vers (h vers 0). Admeons l hypohèse de coninuié de S e de q. Le résula es simple à éablir pour E Q e +ih N r udu S ( + (i 1)h) m h F. Il suffi d appliquer le héorème de Riemann puis uiliser la convergence dominée à cause de l espérance. Pour le second erme E Q e +ih N r udu S ( + (i 1)h) q( + ih, h)crd +ih F, il fau se rappeler que q( + ih, h) S ( + (i 1)h) = S ( + (i 1)h) S ( + ih) e réécrire le erme sous la 3 Cee égalié es vraie en uilisan la foncion de survie S mais on l éabli pour S en divisan ous les ermes de l égalié par S(). 5

6 Modélisaion du emps jusqu au remboursemen anicipé forme E Q N e +ih a S(+(i 1)h) S(+ih) h r udu S( + (i 1)h) S ( + ih) CRD +ih h F. Alors lorsque h end vers 0 on h S ( + (i 1)h) = q( + (i 1)h) S ( + (i 1)h). En se servan de cee approximaion, du héorème de Riemann puis de la convergence dominée, on obien finalemen la limie de ce erme. En emps coninu on a donc : P () = E Q T e v (ru+q(u))du (m + q(v)crd v )dv F. (7) Une aure égalié inéressane e uile pour la parie applicaion es de faire dépendre cee formule de valorisaion du aux d inérê du credi. On sai que m = dcrd v + γcrd v (8) dv Les aueurs injecen 8 dans 7, puis à l aide d inégraions par paries obiennen ( où CRD q v = CRD v exp P () = CRD + E Q T v ) q(u)du e v rudu (γ r v )CRD q vdv F Les aueurs fon une remarque imporane selon laquelle, si les remboursemens anicipés éaien déerminises e indépendans de q(v), il serai possible de parfaiemen se couvrir à l aide swaps de ype IAS (Indexed Amorizing Swaps) qui son des swaps pour lesquels le noionnel du conra iniial es amori dans le emps suivan les mouvemens d un aux sous-jacen. Ils peuven êre basés sur les aux EURIBOR, LIBOR ou mêmes ceux des prês hypohécaires. Cependan dans la réalié, la disribuion des remboursemens anicipés dépend des aux d inérês. La façon de modéliser cee disribuion dépendra du ype de remboursemen anicipé(ra) : RA srucurel indépendan des aux mais aein une valeur minimale quand les aux son élevés. RA conjoncurel esseniellemen lié aux mouvemens des aux. 2 Modélisaion du emps jusqu au remboursemen anicipé Les aueurs on adopé rois ypes de modélisaion : 2.1 Modélisaion saisique Dans cee approche, la foncion q de aux de RA es de la forme q(v) = f(effe durée resan à courir, effe condiions de marché ) L effe durée resane à courir (DRAC) enraîne une forme en cloche pour la forme de q(v). En effe, on a peu de RA en débu e fin de prê. Du coup l effe condiions de marchés ne se résume pas en un écar de aux mais pluô en l écar enre la valeur de marché (MM du prê) e le CRD. Ce qui permera de conserver la forme en cloche induie par l effe DRAC. Les aueurs fon une remarque imporane qui es que les empruneurs ne calculen pas la valeur de marché de leur prê afin de la comparer au CRD mais fon pluô un calcul grossier pour lequel MM CRD es une bonne approximaion. 2.2 Modélisaion semi-raionnelle Ici, les aueurs proposen deux définiions possibles du emps jusqu au remboursemen anicipé : (9) 6

7 Modélisaion semi-raionnelle Modélisaion du emps jusqu au remboursemen anicipé τ = inf{; r < r s} ou s es un seuil refléan le comporemen des empruneurs face aux variaions des aux e r le aux du prê. Cee définiion semble monrer l aiude psychologique des empruneurs mais ne ien pas compe du fai qu on n a peu de RA en débu e fin de prê d où la définiion suivane. Noons φ s la foncion de répariion de s. τ = inf{; MM > CRD s} dans ce cas, seules les variaions brusques e imporanes de aux en fin de prê pourron enraîner des RA Loi des remboursemens anicipés Pour déerminer la loi, les aueurs se serven des foncions de survie e de hasard. La foncion de survie S() = Pr(τ > (r s ) s ) = 1 φ s (r r ) où r = min u (r u) (10) La foncion de hasard φs (r r +h ) φ s (r r ) q(, h) = Pr(τ τ h, (r s ) s ) = max 1 φ s (r ; 0 r ) (11) Évaluaion de l opion cachée Dans cee parie, il fau déerminer la forme de φ s. Pour cela les aueurs supposen que le seuil s es spécifique à chaque empruneur e que la loi du seuil es indépendane des mouvemens de aux. Dans ce cas, la loi du seuil pour chaque empruneur es une foncion de Dirac : En uilisan cee foncion dans l expression 6 on obien φ s (x) = 1 x s (12) P s (, T, h) = N h m E Q N 1 e +ih + CRD +h E Q i=0 r udu (1 1 r r +(i 1)h s) F e +ih r udu 1 r r +(i+1)h s r r +ih F (13) La valeur de l opion se décompose donc en deux ermes correspondan aux prix de deux acifs financiers don le sous-jacen es le aux cour. Le premier es un acif payan la mensualié an que le aux ne passe sous une barrière e le second paie pluô le CRD dès que le aux passe sous le seuil e que la barrière n a pas éé franchie auparavan. Vu qu ici les flux dépenden des aux, il y a une fore ineracion enre les flux e le coefficien d acualisaion. Pour pallier à ce problème on pourrai évaluer l opion sous la probabilié forward risque-neure Q +ih. On obien ainsi P s (, T, h) = N h m B(, + ih)e Q+ih (1 1 r r +(i 1)h s) F N 1 + B(, + ih)crd +h E Q+ih 1 r r +(i+1)h s r r +ih F i=0 (14) A parir de 14, les aueurs effecuen un rapprochemen avec la valorisaion des opions barrières de ype binaire pour lesquels, on obien une formule fermée lorsque le sous-jacen sui une dynamique de ype Black & Scholes. Ce qui leur perme, en paran du consa que, le aux cour ne sui pas en général 7

8 Modélisaion raionnelle facuraion de l opion un modèle log-normal sous la probabilié forward risque neure, d éablir qu il es préférable d uiliser l écar enre la valeur de marché e le CRD. De façon analogue on rerouve la formule d évaluaion P s (, T, h) = N h m B(, + ih)e Q+ih (1 1(MTM CRD)+ih s) F N 1 + B(, + ih)crd +h E Q+ih 1 (MM CRD)+(i+1)h s (MM CRD) +ih F i=0 (15) Cee formule monre, e comme le fon remarquer les aueurs, que l on obien une formule fermée, une fois les calculs effecués, lorsqu on suppose une dynamique du ype Black & Scholes pour le processus MM. Ils présenen les calculs en annexe. 2.3 Modélisaion raionnelle Cee approche es rès proche de la manière de valoriser l opion américaine. la valeur obenue ser à mesurer le degré de raionalié des empruneurs. Mahémaiquemen, cee approche es simple e classique. En effe, elle se ramène à un programme d opimisaion dynamique sur l espace τ(, T ) des emps d arrês possibles auxquels l opion peu êre exercée enre e T qui consise à minimiser les flux acualisés versés par le clien e déerminer l insan opimal pour effecuer le remboursemen anicipé. V (, r ) = inf τ τ(,t ) E Q τ me v rudu dv + CRD τ F qui équivau à résoudre l équaion variaionnelle suivane qui se résou par différences finies e perme de connaîre la poliique opimale à suivre pour le clien. V min + a(b r) V r + σ2 2 V 2 r 2 rv ; V (, r ) CRD (17) Pour obenir cee équaion, les aueurs fon déjà l hypohèse qu ils fon par la suie e suivan laquelle le aux cour sui un modèle de Vasicek : dr = a(b r )d + σdw. 3 facuraion de l opion Après la parie modélisaion e valorisaion, les aueurs proposen e discuen des méhodes de facuraion de l opion. Ils proposen rois modes de facuraion possibles : 1. sous forme de marge d inérê incluse dans le aux nominal d ocroi 2. faire payer en une fois à l ocroi 3. faire payer ex pos, lors du remboursemen anicipé. Seule la première méhode présene un inérê héorique e semble naurelle e c es celle que les aueurs déaillen ici. En effe comme le soulignen les aueurs, la roisième relève du cadre réglemenaire e la seconde es moins naurelle. 3.1 Principe Il va s agir de déerminer le aux nominal qui perme à la banque de se couvrir conre oues les peres liées à l opion implicie de remboursemen anicipé. La démarche de calcul es la suivane : Calcul de la valeur du marché V (γ) sous conraine que l empruneur n a pas droi au remboursemen anicipé. Calcul de la valeur du marché avec possibilié de remboursemen anicipé V (γ ) où γ es le aux nominal de couverure recherché. (16) 8

9 Applicaions facuraion de l opion Fig. 3 Facuraion de l opion de remboursemen anicipé Enfin on déermine γ en résolvan V (γ) = V (γ ) Un exemple de facuraion sur le graphique 3 si γ = 6% alors γ = 8.3%. 3.2 Applicaions Les aueurs on donc simulé les différens modèles présenés. Les aux cours suiven un modèle de Vasicek dr = a(b r )d + σdw avec a = 0.5 e σ = La valeur iniiale du aux e celle de b dépenden de la configuraion dans laquelle on se rouve : Les aux d inérês décroissen de 10% à 4 % sur une période de 10 ans. Dans ce cas r 0 = 0.1 e b = 0.4. Les aux croissen de 4% à 6.5% sur une période de 10 ans. Alors r 0 = 0.04 e b = Il s agira à chaque fois de comparer le cas avec remboursemen anicipé avec celui sans RA. Dans le cas sans RA, la formule du Mark-o-Marke de l échéancier fuur es P SANS RA () = T 3.3 Cas du remboursemen anicipé déerminise B(, v)m. (18) On obien une formule fermée. P () = CRD + E Q T e v rudu (γ r v )CRD q vdv F (19) où CRD q v = CRD v exp ( (v )q) Bien que les aueurs fon des applicaions pour le cas déerminise, rappelons qu il demeure assez irréalise. Ici, on suppose que seul 10% des cliens fai des remboursemens anicipés de façon indépendane des mouvemens de aux. Dans ce cas, on consae que la pere enregisrée es croissane avec les aux du crédi. Cependan il es simple de calculer le aux permean de neuraliser cee pere. Dans un el modèle, on peu esimér une durée effecive du prê beaucoup plus coure que la durée du conra iniiale. Malgré ce fai qui rédui le coû du refinancemen, la banque doi augmener le aux avec le aux de remboursemens anicipés afin de couvrir ces peres. 9

10 Cas du remboursemen anicipé foncion des aux d inérês facuraion de l opion 3.4 Cas du remboursemen anicipé foncion des aux d inérês Dans cee parie, les aueurs soulèven un problème imporan lié au mode de facuraion qu ils on choisi d éudier. En effe, augmener le aux du crédi à cause des RA a pour effe : d améliorer la marge commerciale de la banque (les mensualiés augmenen pour la même durée) d incier les cliens à effecuer des RA (le aux es plus élevé) Le second poin enraîne un effe de reroacion qui peu compliquer les calculs e même souven mener vers un problème sans soluion modèle semi raionnel Dans ce modèle, les aueurs modélisen le comporemen des cliens raionnels qui remboursemen ou leur CRD dès l insan où ça leur es renable économiquemen. Il rembourse donc en τ défini par : τ = inf {, MM > (1 + pénalié)crd + seuil} (20) Cependan les aueurs déduisen ou consaen plusieurs résulas inéressans : 1. le prix avec opion es oujours inférieur au prix sans opion 2. la capacié de déerminer à aux fixé le seuil opimal qui minimise les flux acualisés versés par le clien. On peu ensuie classifier les cliens en deux caégories ceux qui remboursen rop souven e ceux qui remboursen rop peu souven. 3. le modèle déerminise es peu réalise pour la facuraion de l opion lorsque les aux augmenen. En effe l écar avec les spreads des aux du modèle semi raionnel es plus imporan lors d une hausse modèle raionnel Le résula imporan de cee méhode es de déerminer les individus rès raionnels e qui feron perdre assez d argen à la banque. Elle perme donc de déerminer la borne supérieure de la pere que peu subir la banque suie aux remboursemens anicipés. Fig. 4 Valeur de l échéancier dans le cas d une anicipaion de baisse des aux Fig. 5 Facuraion de l opion dans le cas d une anicipaion de baisse des aux 10

11 Cas du remboursemen anicipé foncion des aux d inérês facuraion de l opion Fig. 6 Valeur de l échéancier dans le cas d une anicipaion de hausse des aux Fig. 7 Facuraion de l opion dans le cas d une anicipaion de hausse des aux 11

12 RÉFÉRENCES 4 Conclusion Cee noe a proposé plusieurs façons de valoriser l opion de remboursemen anicipé. Les aueurs son allé au delà des modèles héoriques présenés, en proposan différenes manières de facurer cee opion. En effe, ils on proposé rois modèles de valorisaion : 1. Un modèle simple e peu réalise qui suppose que les RA son indépendans des aux mais ce modèle perme d obenir des formules fermées e plus simple à implémener. Il s agi du modèle déerminise. 2. Le modèle semi raionnel es plus réalise mais pas oujours éviden à facurer car dans ceraines siuaion on peu ne pas obenir de spread de aux à facurer aux cliens. 3. Le modèle raionnel correspond plus au cas d un sress-scénario car il correspond à la pere maximale que peu subir la banque suie aux RA Les aueurs cien une exension du modèle qui consiserai à mere en place une facuraion différenciée pour les cliens. En effe, ou au long de la noe, les modélisaions reposaien sur un seuil unique. ce qui a pour inconvénien de faire payer les bons cliens auan que les mauvais. Il faudrai donc différencier les cliens en foncion de leurs caracérisiques socio-professionnelles ou comporemenales pour la facuraion. Références P. Demey, A. Fracho, and G. Riboule. Noe sur l évaluaion de l opion de remboursemen anicipé. Groupe de Recherche Opéraionnelle, Crédi Lyonnais France,

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