Informatique Graphique. Cours 2 - Lignes, cercles, ellipses. Introduction. Objectif de cette partie du cours

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1 Informatique Graphique Cours 2 - Lignes, cercles, ellipses Introduction Objectif de cette partie du cours Connaître les algorithmes de rastérisation utilisés dans les librairies graphiques. Cela est utile notamment : pour comprendre les techniques de base de l'infographie pour avoir une idée du coût (temps calcul) associé au tracé des différentes primitives graphiques si on veut implémenter une librairie (peu probable) si on veut créer des objets graphiques qui n'existent pas dans la librairie disponible (exemple : tracé de courbes splines) Système de coordonnées (fig. 2.1, p. 26) Les pixels sont aux intersections d'une grille à coordonnées entières. Les primitives graphiques (segments, rects, etc.) sont spécifiées par les coordonnées entières de leurs points caractéristiques (extrémités d'une ligne, diagonale d'un rectangle, etc.). Note : on pourrait utiliser des coordonnées non entières pour les points caractéristiques des primitives, et rastériser cependant sur une grille entière. Certains systèmes permettent cela, mais sauf mention contraire, on ne parlera que de coordonnées entières. On utilise souvent la notion de quadrant et d'octant, car les algorithmes doivent traiter différemment les cas correspondant aux quadrants et octants différents. Un point M est dans le 1er quadrant (resp. octant) si l'angle avec l'origine est compris entre 0 et π/2 (resp. π/4). Pourquoi la rasterisation? On utilise aujourd'hui presque exclusivement des écrans bitmaps.les entités graphiques que l'on veut manipuler sont : des images (bitmaps/pixmaps) Si ces images sont à la même résolution que celle de la mémoire d'écran, tout va bien.sinon, il faut faire des transformations d'image. Ce point ne sera pas aborde dans ce cours. L'opération principalement utilisée pour afficher des images est le CopyPixel: copie entre deux zones mémoire d'une partie rectangulaire de pixels. En général, au moins l'une des deux zones mémoires est la mémoire d'écran.

2 des objets graphiques (cas le plus fréquent) définis par leur géométrie (coordonnées) et leurs attributs graphiques (épaisseur de trait, couleur, motif de remplissage, etc.) Il faut donc dessiner l'objet graphique dans la mémoire d'écran, c'est-à-dire le convertir en un ensemble de pixels : c'est la rastérisation. La rastérisation est faite soit par la CPU (architecture sans processeur graphique) soit par un hardware spécialisé (architecture avec processeur graphique). Même dans ce second cas, il est parfois nécessaire d'implémenter la rastérisation en soft (par le CPU), par exemple si le processeur graphique n'a pas accès à la mémoire centrale et que l'on veut gérer des caches d'images hors écran. (fig. 3.3, p.70) Rasterisation des lignes Lignes simples (fig. 3.4, p. 73) : Epaisseur 1 pixel et couleur uniforme (noir). Définie par deux points P 0 (x 0,y 0 ) et P 1 (x 1,y 1 ). Algorithme naïf L'équation de la droite définie par P 0 et P 1 est Y = mx + B avec m = dy/dx = (y 1 -y 0 ) / (x 1 -x 0 ) et B = y 0 - mx 0 Il suffit alors de : calculer y i = mx i + B en commençant par le point ayant l'abscisse la plus petite ; allumer le point de coordonnées (x i, Round (y i )), où Round(x) retourne l'entier le plus proche de x ; incrémenter x i à chaque itération. Cet algorithme n'est pas efficace car chaque itération nécessite : une multiplication par un flottant une addition entre flottants l'appel à la fonction d'arrondi Algorithme incrémental On peut éliminer la multiplication par le flottant en remarquant que : y i+1 = m.x i+1 + B = m.(x i + dx) + B = m.x i + B + m.dx = y i + m.dx si dx = 1 (incrémentation d'un pas) alors y i+1 = y i + m L'ordonnée courante peut donc être calculée à partir de l'ordonnée précédente : c'est l'algorithme incrémental. Remarques 1. On n'a pas besoin de calculer B 2. Si m > 1 alors chaque incrémentation de x i d'une unité induit une incrémentation (ou décrémentation) de y i de m > 1 unités. On va alors avoir une ligne discontinue. Pour remédier à cela, on réalise l'itération sur y i plutôt que sur x i : cela correspond au cas où le point P1 n'est pas dans le premier octant par rapport à P0.

3 A chaque incrémentation de y i on incrémentera x i de 1/m car y i+1 = m.x i+1 + B y i + dy = m.x i+1 + B m.x i+1 = y i -B + dy m.x i+1 = m.x i + dy x i+1 = x i + dy / m = x i + 1/m Exercice : Ecrire l'algorithme (Programme (fig. 3.6, p.75)) Algorithme de Bresenham modifié (Fig. 3.7, p. 76) L'inconvénient de l'algorithme précédent est qu'il nécessite l'utilisation de la fonction d'arrondi (ce qui prend du temps). L'algorithme de Bresenham est intéressant car il n'utilise que des entiers. En supposant que la pente de la droite est comprise entre 0 et 1 (premier octant, les autres cas peuvent être traités de manière similaire), l'idée principale de l'algorithme de Bresenham modifié (ou algorithme du point médian) revient à choisir à chaque itération entre 2 points : E ou NE (Est ou NordEst). Pour effectuer ce choix, il suffit simplement de déterminer si la véritable ligne passe au dessus du point M (point médian) ou en dessous. Dans le premier cas ce sera NE qui sera choisit. Dans le second cas ce sera E. (Dans l'algorithme de Bresenham ce sont les distances entre E et Q, NE et Q qui sont comparées). On utilise une représentation de la droite par une fonction implicite de la forme F(x, y) = 0 : y = m.x + B y = (dy/dx).x + B y.dx = dy.x + B.dx F(x, y) = dy.x - dx.y + B. dx = 0 F(x, y) = a.x + b.y + c = 0 avec : a = dy, b = -dx, c = B.dx F(x, y) a les propriétés suivantes : F(x, y) est nulle pour tous les points appartenant à la droite, F(x, y) est positive pour tous les points situés en dessous de la droite (puisque b = -dx est négatif vu que dx est positif). F(x, y) est négative pour tous les points situés au dessus de la droite. Par conséquent il suffit de calculer d p = F(x p + 1, y p + 1/2) et de tester son signe : Si d p > 0, M se trouve en dessous, donc il faut choisir NE Si d p < 0, M se trouve au dessus, donc il faut choisir E Si d p = 0, on peut choisir n'importe quel point (E par exemple). Que se passe-t-il maintenant pour le point suivant? 1. Si au pas précédent on a choisi E Le nouveau point M aura pour coordonnées (x p + 2, y p + 1/2). Pour ce nouveau point : d p+1 = F(x p + 2, y p + 1/2) = a(x p + 2) + b(y p + 1/2) + c

4 or d'où d p = F(x p + 1, y p + 1/2) = a(x p + 1) + b(y p + 1/2) + c d p+1 - d p = a d p+1 = d p + a = d p + dy Donc on peut calculer la prochaine valeur qui permet de décider quel point choisir en fonction de la valeur précédente. 2. Si au pas précédent on a choisi NE Le nouveau point M aura pour coordonnées (x p + 2, y p + 3/2). Pour ce nouveau point : d p+1 = F(x p + 2, y p + 3/2) = a(x p + 2) + b(y p + 3/2) + c or d'où d p = F(x p + 1, y p + 1/2) = a(x p + 1) + b(y p + 1/2) + c d p+1 - d p = a+b d p+1 = d p +a+b = d p + dy - dx Donc là aussi, on peut calculer la prochaine valeur qui permet de décider quel point choisir en fonction de la valeur précédente. Résumé A chaque itération l'algorithme choisit entre les deux points E et NE en fonction du signe de la variable de décision d p. Le calcul de la valeur de d p+1 se fait à partir de d p et en fonction du point qui a été choisi au pas précédent. Si c'est E on rajoute dy. Si c'est NE on rajoute dy - dx. Condition initiale Le premier point est (x0,y0). Pour choisir le prochain point, on calcule la première valeur de d : d = F(x0 + 1, y0 + 1/2) = a(x0 + 1) + b(y0 + 1/2) + c = a.x0 + b.y0 + c + a + b/2 = F(x0, y0) + a + b/2 = a + b/2 puisque (x0,y0) est un point de la droite, on a F(x0, y0) = 0 donc d = dy - dx/2 Si on laisse la valeur initiale de d telle que on risque d'avoir toujours des additions de flottants (si dx n'est pas pair) dans les calculs suivants de d. Pour éliminer la division par 2 dans la valeur initiale de d, il suffit de redéfinir l'équation originale en la multipliant par 2 (ceci n'affectera pas son signe) : F(x, y) = 2(ax+by+c) Ceci multiplie les constantes et la variable de décision par 2 mais ne change pas son signe. Avec cet algorithme, à chaque itération on n'a plus besoin de faire que des additions entières.

5 Exercice : Ecrire l'algorithme pour le premier octant (Programme, fig. 3.8, p. 78) Exercices: Est-ce qu'une ligne tracée de P à Q est identique à une ligne tracée de Q à P? Sinon que faire pour que ce soit le cas. Est-ce que l'on peut tracer une ligne en utilisant la symétrie par rapport à son centre? Si oui écrire l'algorithme. Rasterisation des cercles Cercle centrés à l'origine (faire une translation pour les autres cercles) Epaisseur 1 pixel et couleur uniforme (noir). Définis par le rayon R. Algorithme naïf L'équation du cercle est x 2 +y 2 = R 2. d'où y = (+/-) SQR (R 2 - x 2 ). Il suffit alors de : 1- calculer y i = SQR (R 2 - x i 2 ) en commençant par x0 = 0 2- calculer y = Round (y i ) 3- allumer le point de coordonnées (x i, y) --> 1er quadrant 4- allumer le point de coordonnées (-x i, y) --> 2ème quadrant 5- allumer le point de coordonnées (-x i, -y) --> 3ème quadrant 6- allumer le point de coordonnées (x i, -y) --> 4ème quadrant 7- incrémenter x i à chaque itération jusqu'à x R = R. Cet algorithme n'est pas efficace car chaque itération nécessite : une multiplication et surtout l'utilisation de la racine carré De plus des discontinuités de plus en plus importantes vont apparaitre au fur et à mesure que x i augmente. Remarque Une méthode toujours inefficace mais qui évite le problèmes des discontinuités consiste à calculer x = R.cos(t) et y = R.sin(t) en faisant varier t de 0 à 90. Amélioration de l'algorithme par exploitation de la symétrie (Fig 3.13, p.83) On peut améliorer l'algorithme en ne calculant que les valeurs concernant le second octant (x variant de 0 à R/SQR(2) ) ou celles du premier octant (t variant de 0 à 45 ). Les autres valeurs se déduisant par symétrie.

6 Algorithme du point médian (Fig 3.14, p. 83) On remarque que dans le second octant, la pente du cercle est comprise entre 0 (en π/2) et -1 (en π/4). Si un point P(x, y) appartient au cercle rastérisé, soit son point Est P(x+1, y) soit son point SE P(x+1, y-1) en fait partie. La choix du point dépend de la proximité du cercle réel. On utilise la même technique que pour le tracé des lignes : On calcule ici uniquement les valeurs concernant le second octant (x variant de 0 à R/SQR(2)). A chaque pas il faudra choisir entre E (si M se trouve au dessus du cercle) et SE (si M se trouve au dessous du cercle). Soit F(x, y) = x 2 + y 2 - R 2 F(x, y) a les propriétés suivantes : F(x, y) = 0 pour les points appartenant au cercle F(x, y) > 0 pour les points situés en dehors du cercle F(x, y) < 0 pour les points situés à l'intérieur du cercle donc si F(M) 0 il faudra choisir SE (la cas d'égalité est arbitraire) si F(M) < 0 il faudra choisir E La valeur de F au point médian est : d p = F(M) = F(x p + 1,y p - 1/2) = (x p + 1) 2 +(y p - 1/2) 2 - R 2 Si dp < 0 On choisit E, donc : d p+1 = F(x p + 2, y p - 1/2) = (x p + 2) 2 + (y p - 1/2) 2 - R 2 = (x p ) 2 + (y p - 1/2) 2 - R 2 = (x p + 1) 2 + (y p - 1/2) 2 - R (x p + 1) = d p + 2x p + 3 Si dp 0 On choisit SE, donc : d p+1 = F(x p + 2, y p -3/2) = (x p + 2) 2 + (y p - 3/2) 2 - R 2 = (x p ) 2 + (y p - 1/2-1) 2 - R 2 = (x p + 1) 2 + (y p - 1/2) 2 - R (x p + 1) + 1-2(y p - 1/2) = d p + 2x p - 2y p + 5 Remarque Dans le cas des lignes la différence entre d p et d p+1 était une constante. Ici elle est fonction du point P(x p, y p ) précédent appelé point d'évaluation. Cette fonction est cependant linéaire (donc peu coûteuse en calcul).

7 Condition initiale Le premier point a pour coordonnées (0, R). Le premier point médian M a pour coordonnées (1, R-1/2) : F(M) = 5/4 - R Pour éliminer la fraction on introduit une nouvelle variable h = d - 1/4. La valeur initiale de h devient 1 - R. Tester d < 0 revient à tester h < -1/4. Comme h débute par une valeur entière et que par la suite on lui ajoute ou on lui retranche des valeurs entières, tester h < -1/4 revient à tester h < 0. Ce qui revient finalement à garder le même algorithme mais en prenant simplement comme valeur initiale 1 - R au lieu de 5/4 - R. Exercice Ecrire l'algorithme (Programme fig. 3.16, p. 86) Différences du second ordre On peut rendre le calcul de dp moins coûteux en utilisant les différences du second ordre : puisque dp varie d'un valeur linéaire, on peut écrire dp+1 = dp + delta, delta variant d'une constante d'une itération à l'autre. Si on fait un mouvement E à l'étape courante, dp+1 = dp + deltae. Si on fait un mouvement SE à l'étape courante, dp+1 = dp + deltase. Il faut mettre à jour deltae et deltase à chaque étape. Au point (xp, yp), deltae = 2xp + 3 deltase = 2xp - 2yp + 5. Mouvement E Si on fait un mouvement E, on passe au point (xp + 1, yp). Pour ce nouveau point, deltae = 2(xp + 1) + 3 deltase = 2(xp + 1) - 2yp + 5. deltae a donc varié de +2, ainsi que deltase. Donc, dans une étape E : d := d + deltae; deltae := deltae + 2; deltase := delta SE + 2; Mouvement SE Si on fait un mouvement SE, on passe au point (xp + 1, yp - 1). Pour ce nouveau point, deltae = 2(xp + 1) + 3 deltase = 2(xp + 1) - 2(yp - 1) + 5. deltae a donc varié de +2, et deltase de +4. Donc, dans une étape SE d := d + deltase; deltae := deltae + 2; deltase := delta SE + 4;

8 Initialisation : deltae := 3; deltase := -2 * R + 5; Exercice Modifier l'algorithme pour utiliser les differences du second ordre (Programme Fig p. 87). Rasterisation des ELLIPSES On considère des ellipses d'axes parallèles aux axes du repère orthonormé (ellipses horizontales), centrées à l'origine. Les ellipses non centrées à l'origine sont traitées par simple translation. Les ellipses non horizontales son plus difficiles à traiter. La fonction implicite définissant l'ellipse est F(x, y) = bx 2 + ay 2 - a 2 b 2 = 0 La technique est la même que pour le cercle, mais il est plus difficile de déterminer le point où il faut passer de la comparaison des points E et SE à la comparaison des points S et SE (l'équivalent des octants pour les cercles). Ce point est caractérisé par une tangente de pente -1. Le vecteur gradient (perpendiculaire à la tangente) permet de calculer ce point : grad F(x, y) = F/ x i + F/ y j = 2b 2 x i + 2a 2 y j On passe du premier au second octant lorsque la composante i devient plus grande que celle en j (Fig. 3.20, p. 89). Etant au point (xp, yp), on détermine si le point médian suivant est dans un autre octant en évaluant si a 2 (yp - 1/2) b 2 (xp+1). Dans le second octant, on calcule les différences du permier ordre de la façon suivante : Pour un mouvement E dp+1 = F(xp + 2, yp - 1/2) = b 2 (xp + 1) 2 + a 2 (yp - 1/2)2 - a 2 b 2 comme dp = F(xp + 1, yp - 1/2) = b 2 (xp + 2) 2 + a 2 (yp - 1/2)2 - a 2 b 2 L'incrément est deltae = b 2 (2xp + 3) Pour un mouvement SE dp+1 = F(xp + 2, yp - 3/2) = b 2 (xp + 1) 2 + a 2 (yp - 3/2) 2 - a 2 b 2 et l'incrément est deltase = b 2 (2xp + 3) + a 2 (-2yp + 2) La condition initiale est calculée pour le point (1, b - 1/2), sachant que (0, b) est sur l'ellipse : F(1, b - 1/2) = b 2 + a 2 (b - 1/2) 2 - a 2 b 2 = b 2 + a 2 (-b + 1/4) Exercice Calculer les incréments et la condition initiale pour le premier octant (p. 89).

9 Ecrire l'algorithme (Fig. 3.21, p. 90). Différences du second ordre Comme pour le cercle, on peut calculer l'incrément delta incrémentalement grâce aux différences du second ordre. On peut aussi évaluer incrémentalement la condition sur le gradient pour détecter le changement de région. Exercices sur ce cours 3.1 à 3.11, p. 142

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