Calculabilité. F. Sur - ENSMN. Motivation. 1 Motivation. 2 Que signifie calculer? 4 Classes de complexité. P et NP. d optimisation et.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Calculabilité. F. Sur - ENSMN. Motivation. 1 Motivation. 2 Que signifie calculer? 4 Classes de complexité. P et NP. d optimisation et."

Transcription

1 Cours de Tronc Commun Scientifique Recherche Opértionnelle Introduction à l clculilité Introduction à l clculilité 2 3 Frédéric Sur École des Mines de Nncy sur/enseignement/ro/ /34 2/34 Ojectifs Qu est-ce qu un prolème? Témoignge : En stge, j i à progrmmer l optimistion d une tournée de rmssge d ordures méngères. Après qutre mois de trvil je n i (presque) plus de ugs, mis on, ç rme... But ici : éléments de réponse à l question : lles sont les limites de l informtique? (des lgorithmes?) Réponse indépendnte de l technologie ; Nécessite de formliser ce qu est un prolème, et un progrmme informtique. 202 centenire de l nissnce d Aln. Exemples : trier un tleu de nomres, résoudre un prolème de progrmmtion linéire, tester l primlité d un entier nturel, chercher un circuit hmiltonien dns un grphe... Instnce d un prolème : trier le tleu {3, 5,, 2, 2, 7}, est-ce que est premier? inires (oui / non) versus prolèmes non-inires On se restreint ujourd hui ux prolèmes inires, on verr que cel suffit. 3/34 4/34

2 Qu est-ce qu un progrmme? Introduction à l clculilité Tout ce qui est progrmmle sur un ordinteur... Exemple : un progrmme de tri dmettnt en entrée un tleu, écrit en Jv tournnt sur un Mc /34 6/34 Exemples d utomte déterministe on cherche à modéliser l notion de progrmme informtique, pour pouvoir étlir des théorèmes sur ce qu on peut (ou ps) fire. sont un moyen de modéliser des progrmmes. Automte = ensemle fini d étts + trnsitions étiquetées pr les lettres d un lphet. Étts initiux et finls (cceptnts). Chque étt représente un étt de l mchine sur lequel est exécuté le progrmme, u fur et à mesure de l exécution. On lit une entrée (un mot) codée sur un lphet de guche à droite, l utomte se déplce d étts en étts selon les trnsitions. Exemple : 0 0 reconnît les mots sur {0, } se terminnt pr 0 i.e. entiers (en inire) divisiles pr 2. Exemple 2 : reconnît les mots sur {, } ne contennt ps deux consécutifs /34 8/34

3 Automtes non-déterministes Exemple Automte non-déterministe : plusieurs trnsitions peuvent correspondre à l même lettres Exemple : 2 3 c reconnît les mots de type n ou c n. ne correspond ps à un progrmme réel, cr il fut choisir une exécution. Intérêt : Plus simple pour coder une lterntive, et donc coder certins lngges. Automte non-déterministe : ou 2 reconnît les mots qui finissent pr. reconnu? reconnu? mots reconnus pr une des exécutions. 3 9/34 0/34 Déterministion d un utomte non-déterministe Lngges et prolèmes ou 2 3 Définition : l ensemle des mots (sur un lphet fixé) reconnus pr un utomte est son lngge. Déterministion :,2,3 construction d un utomte qui peut voir 2 N étts. Théorème : l ensemle des mots reconnus pr un utomte non-déterministe peut être reconnu pr un utomte déterministe (potentiellement eucoup plus gros). un utomte résout un prolème s il ccepte un lngge dont chque mot encode les instnces positives du prolème. Exemple : utomte résolvnt le prolème n est-il divisile pr 2?, vec encodge inire (sur l lphet {0, }). 0 0 /34 2/34

4 Limites des utomtes Théorème (Kleene) : les lngges reconnus pr les utomtes sont les lngges réguliers. Mis : tous les lngges ne sont ps réguliers....et en prticulier, les utomtes ne modélisent ps tous les progrmmes possiles. (936!) Exemple : il n existe ps d utomte reconnissnt : 3/34 { n n, n Z} Preuve : risonnement pr l surde (pumping lemm ou lemme de gonflement). : les utomtes ne forment ps un modèle ssez générl (pour notre prolème). Remrque : (lngges réguliers) sont effectivement utilisés e.g. pour le prsing dns un compilteur. 4/34 Illustrtion : wikipedi.org Définition : à chque étpe, l mchine lit le symole sur le run se trouvnt sous l tête de lecture, remplce ce symole selon l tle de trnsition de son étt cournt, se déplce à guche ou à droite selon l tle, chnge d étt. Un mot (en entrée) est ccepté si l mchine rrive dns un étt ccepteur. Illustrtion Exemple de trnsition : Si mchine dns étt 4 et lecture de c, lors remplcer c pr, psser dns étt 8, et déplcer run vers l droite. Exemple Prolème des circuits hmiltoniens dns les grphes. Étpe : trouver un encodge (=une description) risonnle de tout grphe à l ide de l lphet. Pr exemple : mtrice de trnsition codée sur le run. Étpe 2 : Construire une mchine de, qui étnt donné un grphe encodé sur l nde, termine dns un étt ccepteur ssi le grphe un circuit hmiltonien. (notion de résultt du clcul : ce qui reste sur le run) Voir ussi The LEGO Mchine : 5/34 6/34

5 L thèse de (-) Church ( ) Mchines de non-déterministes Les encodge des entrées d un prolème inire pour lesquels il existe un progrmme informtique répondnt correctement oui ou non sont ceux décidés pr une mchine de. Les instnces positives sont reconnus pr l mchine : terminison sur un étt ccepteur (lngge de l mchine). Celle-ci termine toujours (et donc on est cple de rejeter les mots non cceptés) Remrque : c est une thèse, discutle, ps un théorème puisqu on cherche justement à formliser ce qu est un progrmme. Comme pour les utomtes, on définit les mchines de non-déterministes : dns un étt donné, l lecture d un symole peut mener à différentes ctions (écriture, guche ou droite, étt suivnt). Propriété : les mchines de non-déterministes cceptent les mêmes lngges que les mchines de déterministes. comme pour les utomtes, u prix d une ugmenttion exponentielle de l tille de l mchine. 7/34 8/34 Introduction à l clculilité indécidles Remrque : l ensemle des lngges est non dénomrle. cr un lngge est une prtie de l ensemle des mots que l on peut former sur un lphet, et P(N) n est ps dénomrle. (théorème de Cntor 89) Mis les mchines de et l ensemle des mots sont dénomrles, donc l ensemle des lngges décidés {wj reconnu pr Mi}) ussi. ( Mi (union dénomrle d ensemles dénomrles) : il y des lngges qui ne sont ps reconnus pr une mchine de. Corollire (vec Church) : il y des prolèmes qui ne peuvent ps être résolus pr un progrmme informtique! On prle de lngges / prolèmes indécidles. 9/34 20/34

6 Exemples de prolèmes indécidles Introduction à l clculilité Exemple : Entrée : un progrmme en Jv, et une ligne du code Prolème : l ligne ser-t-elle exécutée? Indécidle. ( théorème de Rice 953) Exemple 2 : Dixième prolème de Hilert (900) : déterminer si p(x,..., xn) = 0 où p Z[X,..., Xn] une solution entière Indécidle. (Yuri Mtiysevich 970) 5 6 2/34 22/34 Mesure de l lgorithmique Soit ( n), T (n) le nomre mximl de trnsitions opérées pr une mchine de résolvnt un prolème lorsque l entrée est codée sur le run pr n cses. codge risonnle indépendnt de l progrmmtion de l lgorithme, donc on cherche seulement un ordre de grndeur. Exemples : Recherche du plus grnd entier dns un tleu : T (n) = O(n) Résolution du voygeur de commerce pr l progrmmtion dynmique : T (n) = O(n 2 2 n ) où n est le nomre de villes. on distingue polynomile et sur-polynomile (e.g. exponentielle) (risonnle vs non-risonnle) Cf cours progrmmtion dynmique pour des exemples. L clsse P Définition : un prolème est dns l clsse P si le lngge ssocié est décidé pr une mchine de déterministe et T (n) = O(P(n)) où P est un polynôme. Exemple : Prolème : 5 est-il le plus grnd élément d un tleu? Résolution : Donnée : un tleu t à n éléments. Algorithme : pour k vrint entre et n, si t[k]> 5 lors répondre non sinon k++. : O(n). 23/34 24/34

7 25/34 L clsse NP Définition : un prolème est dns l clsse NP si le lngge ssocié est décidé pr une mchine de non-déterministe et T (n) = O(P(n)) où P est un polynôme. Remrque : P NP. Exemple : l recherche d un cycle hmiltonien est dns NP. On génère de fçon non-déterministe des circuits de longueur n (=nre de sommets d une instnce) i.e. (modulo l lecture de l tille du grphe...) ) dns l étt q, je ne lis rien, et j écris ou 2 ou 3...ou n et je psse dns l étt q2 2) dns l étt q2, je ne lis rien, et j écris ou 2 ou...ou n et je psse dns l étt q3 etc. jusque qn étt ccepteur. ( en O(n)) Ensuite, on vérifie que le prcours généré est une permuttion des sommets et correspond à un circuit hmiltonien (encore en O(n)). Si oui, on ccepte, sinon on n ccepte ps. 26/34 L clsse NP-complet Définition : Un prolème NP est dit NP-complet s il est u moins ussi difficile que tout prolème de NP. Théorème : il existe u moins un prolème NP-complet (théorème de Cook 97, st). stion : comment démontre-t-on l NP-complétude? Étnt donné un prolème NP-complet P décidé pr M et un prolème NP P décidé pr M, si on peut coder toute instnce x de P de tille n en une instnce f (x) de P de tille u plus p(n) (p polynôme) telle que f (x) est décidé pr M ssi x est décidé pr M, lors P est NP-complet. Exemples de prolèmes NP-complets Existe-t-il un circuit Hmiltonien dns un grphe? Dns un grphe complet, existe-t-il un circuit pssnt une seule fois pr chque sommet, de longueur < L? (voygeur de commerce) Prolème du sc à dos (Knpsck prolem) Progrmmtion linéire en nomres entiers cr les prolèmes précédents peuvent être vus comme des p de PLNE (cf exercices) : réduction polynomile! etc. P NP : fcile. stion à, 000, 000 de dollrs : NP P? (Millenium prize, Cly Mthemtics Institute 2000) Remrque : pr déterministion des mchines de non-déterministes, on psse à exponentielle... Remrque 2 : si on trouve un lgorithme polynomil pour un prolème NP-complet, lors NP P. Remrque 3 : si NP P, lors tout prolème NP-complet une sur-polynomile. 27/34 28/34

8 Introduction à l clculilité Des prolèmes de décision ux prolèmes d optimistion Dns le cours de recherche opértionnelle, on s intéresse à des prolèmes d optimistion. Exemple : Sc à dos. on veut remplir un sc à dos vec n ojets de poids pi et de vleur vi. Le sc à dos à une cpcité limitée, et on veut mximiser s vleur totle. Prolème de décision ssocié : peut-on remplir le sc à dos de mnière à ce que s vleur soit V. Théorème : le prolème de décision sc à dos est NP-complet. stion : impct sur prolème d optimistion? si le p d optimistion est résolule pr un lgorithme polynomil, lors le p de décision églement. 29/34 30/34 Remrques Introduction à l clculilité Attention à ne ps sur-interpréter l NP-complétude! Le prolème NP-complet est peut-être plus générl que le prolème à triter. Exemple (ête) : circuit hmiltonien dns un grphe complet... C est de l dns le pire cs : peut-être que l lgo un comportement polynomil dns 99% des cs. Exemple : l lgorithme du simplexe est exponentiel dns le pire cs, mis fonctionne souvent très ien. Remrque : PL P (Khchiyn 979) /34 32/34

9 Référence iliogrphique Il y des limites à ce qu on peut fire vec un ordinteur... Vous ne pouvez ps écrire un progrmme pour chque prolème. (et personne ne le peut) Ex : résoudre les équtions diophntiennes générles. 2 Vous ne pouvez ps tout progrmmer de mnière efficce : ttention à l. Ex : tournée de rmssge des pouelles. D où l intérêt des heuristiques : guider l recherche en évitnt de prcourir le nomre sur-polynomil de cs. Elles donnent des solutions pprochées. Source : xkcd.com À suivre. Pierre Wolper, Introduction à l clculilité, InterEditions99. (pr exemple) 33/34 34/34

Ecole Normale Supérieure de Cachan 61 avenue du président Wilson 94230 CACHAN. Concours d admission en 3 ème année Informatique.

Ecole Normale Supérieure de Cachan 61 avenue du président Wilson 94230 CACHAN. Concours d admission en 3 ème année Informatique. C39211 Ecole Normle Supérieure de Cchn 61 venue du président Wilson 94230 CACHAN Concours d dmission en 3 ème nnée Informtique Session 2009 INFORMATIQUE 1 Durée : 5 heures «Aucun document n est utorisé»

Plus en détail

Automates et langages

Automates et langages Automtes et lngges L exmen corrigé RICM 9 jnvier 22 Grmmire Automte Expression On considère l grmmire régulière G =(Γ,Σ,S,Π) vec Γ = {S,P,R}, Σ={,} et Π={S P,P R,P S,R,R P }.. Construire un utomte A cceptnt

Plus en détail

Algorithmes sur les mots (séquences)

Algorithmes sur les mots (séquences) Introduction Algorithmes sur les mots (séquences) Algorithmes sur les mots (textes, séquences, chines de crctères) Nomreuses pplictions : ses de données iliogrphiques ioinformtique (séquences de iomolécules)

Plus en détail

Chapitre 2 Les automates finis

Chapitre 2 Les automates finis Chpitre 2 Les utomtes finis 28 2.1 Introduction Automtes finis : première modélistion de l notion de procédure effective.(ont ussi d utres pplictions). Dérivtion de l notion d utomte fini de celle de progrmme

Plus en détail

3 LES OUTILS DE DESCRIPTION D UNE FONCTION LOGIQUE

3 LES OUTILS DE DESCRIPTION D UNE FONCTION LOGIQUE 1GEN ciences et Techniques Industrielles Pge 1 sur 7 Automtique et Informtiques Appliquées Génie Énergétique Première 1 - LA VARIABLE BINAIRE L électrotechnique, l électronique et l mécnique étudient et

Plus en détail

CH.1 Automates finis

CH.1 Automates finis CH.1 Automtes finis 1.1 Les utomtes finis déterministes 1.2 Les utomtes finis non déterministes 1. Les utomtes vec -trnsitions 1.4 Les expressions régulières 1.5 L'équivlence des modèles Automtes ch1 1

Plus en détail

Algorithmique et Programmation. Automates finis. Chap. I/9

Algorithmique et Programmation. Automates finis. Chap. I/9 Algorithmique et Progrmmtion. Automtes finis. Chp. I/9 Jen-Eric Pin To cite this version: Jen-Eric Pin. Algorithmique et Progrmmtion. Automtes finis. Chp. I/9. J. Akok et I. Comyn-Wttiu. Encyclopédie de

Plus en détail

STI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE

STI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE L' Algère de BOOLE L'lgère de Boole est l prtie des mthémtiques, de l logique et de l'électronique qui s'intéresse ux opértions et ux fonctions sur les vriles logiques. Le nom provient de George Boole.

Plus en détail

Cours d informatique théorique de M. Arfi. FMdKdD fmdkdd [à] free.fr

Cours d informatique théorique de M. Arfi. FMdKdD fmdkdd [à] free.fr Cours d informtique théorique de M. Arfi FMdKdD fmdkdd [à] free.fr Université du Hvre Année 2009 2010 Tle des mtières 1 Reltions et lois de composition internes 2 1.1 Reltions.....................................

Plus en détail

Automates finis. porte

Automates finis. porte utomtes finis Il s git d un modèle très souple, qui s dpte à des domines très différents en informtique. D une fçon générle, il sert à représenter les divers étts d un système (mécnique, électronique ou

Plus en détail

Automates à états fnis Damien Nouvel

Automates à états fnis Damien Nouvel Automtes Automtes à étts fnis Automtes à étts fnis Pln Représenttion des utomtes (FSA) Défnition formelle (DFA) Équivlence DFA / NFA / ε-nfa Licence Informtique L1 Automtes 2 / 30 Automtes à étts fnis

Plus en détail

SYSTEMES LOGIQUES LOGIQUE COMBINATOIRE

SYSTEMES LOGIQUES LOGIQUE COMBINATOIRE Ch.I Commnde des systèmes logiques ogique comintoire - p1 SYSTEMES OGIQUES OGIQUE COMBINATOIRE I Commnde des systèmes logiques 1. Structure des systèmes utomtisés Reprenons l structure étlie dns le cours

Plus en détail

Techniques d analyse de circuits

Techniques d analyse de circuits Chpitre 3 Tehniques d nlyse de iruits Ce hpitre présente différentes méthodes d nlyse de iruits. Ces méthodes permettent de simplifier l nlyse de iruits ontennt plusieurs éléments. Bien qu on peut résoudre

Plus en détail

Option informatique :

Option informatique : Option formtique : l deuxième nnée Lurent Chéno été 1996 Lycée Louis-le-Grnd, Pris Tle des mtières I Arres 13 1 Arres ires 15 1.1 Défitions et nottions... 15 1.1.1 Défition formelle d un rre ire... 15

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :

Plus en détail

Systèmes logiques combinatoires

Systèmes logiques combinatoires «'enseignement devrit être insi : celui qui le reçoit le recueille comme un don inestimle mis jmis comme une contrinte pénile.» Alert Einstein Systèmes logiques comintoires Définitions. es vriles inires

Plus en détail

Les règles de Descartes et de Budan Fourier

Les règles de Descartes et de Budan Fourier Ojectifs de ce chpitre Mthémtiques ssistées pr ordinteur Chpitre 4 : Rcines des polynômes réels et complexes Michel Eisermnn Mt49, DLST LS4, Année 8-9 www-fourierujf-grenolefr/ eiserm/cours # mo Document

Plus en détail

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville Théorème de Lx Milgrm Appliction u problème de Dirichlet pour l éqution de Sturm Liouville Résumé du cours de MEDP Mîtrise de mthémtiques 2000 2001 2001nov18 (medp-lx-milgrm.tex) Dns ce chpitre, on se

Plus en détail

2.1 L'automate minimal

2.1 L'automate minimal CH.2 Minimistion 2.1 L'utomte miniml 2.2 L'lgorithme de minimistion Automtes ch2 1 2.1 L'utomte miniml Le lngge L définit sur Σ* l reltion d'équivlence R L : x R L y ssi ( z, xz L yz L). L'AFD M définit

Plus en détail

CAP PRO E SCHEMA : LE MOTEUR

CAP PRO E SCHEMA : LE MOTEUR CAP PRO E SCHEMA : E MOTEUR folio folio folio folio folio folio folio 7 folio 8 folio 9 plque signlétique d un moteur puissnce sorée pr un moteur plque à ornes d un moteur triphsé e couplge étoile e couplge

Plus en détail

Automates temporisés

Automates temporisés Automtes temporisés introdution pr un néophyte Prtie I / II Mots et utomtes temporisés Merredi 30 otore 20002 ÉNS Lyon Jérôme DURAND-LOSE jerome.durnd-lose@ens-lyon.fr MC2 LIP - ÉNS Lyon Automtes temporisés

Plus en détail

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE Université de Metz Licence de Mthémtiques - 3ème nnée 1er semestre ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE pr Rlph Chill Lbortoire de Mthémtiques et Applictions de Metz Année 010/11 1 Tble des mtières Chpitre

Plus en détail

gfaubert septembre 2010 1

gfaubert septembre 2010 1 Notes de cours Pour l e secondire Compiltion et/ou crétion Guyline Fuert Septemre 00 gfuert septemre 00 Géométrie------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Plus en détail

2.1 Comment implanter en C un reconnaisseur de mots? Aut2 q 0 q 1

2.1 Comment implanter en C un reconnaisseur de mots? Aut2 q 0 q 1 Lngges Automtes Non-déterminisme Grmmires Attiuées et Génértives Expressions régulières Correction Prtielle de Progrmmes Ceci n'est ps un cours de Lngge C++ 2.1 Comment implnter en C un reconnisseur de

Plus en détail

Notes de révision : Automates et langages

Notes de révision : Automates et langages Préprtion à l grégtion de mthémtiques 2011 2012 Notes de révision : Automtes et lngges Benjmin MONMEGE et Sylvin SCHMITZ LSV, ENS Cchn & CNRS Version du 24 octore 2011 (r66m) CC Cretive Commons y-nc-s

Plus en détail

L'algèbre de BOOLE ou algèbre logique est l'algèbre définie pour des variables ne pouvant prendre que deux états.

L'algèbre de BOOLE ou algèbre logique est l'algèbre définie pour des variables ne pouvant prendre que deux états. ciences Industrielles ystèmes comintoires Ppnicol Roert Lycée Jcques Amyot I - YTEME COMBINATOIRE A. Algère de Boole. Vriles logiques: Un signl réel est une grndeur physique en générl continue, on ssocie

Plus en détail

Chapitre 9: Primitives et intégrales

Chapitre 9: Primitives et intégrales PRIMITIVES ET INTEGRALES 7 Chpitre 9: Primitives et intégrles Prérequis: Limites, dérivées Requis pour: Emen de mturité 9. «À quoi ç sert?» Un peu d histoire Isc Newton (64-77) Les clculs d ire de figures

Plus en détail

Automates d arbres avec visibilité : rapport de stage de licence (L3)

Automates d arbres avec visibilité : rapport de stage de licence (L3) Automtes d rbres vec visibilité : rpport de stge de licence (L3) Nicols Perrin ENS de Lyon Mître de stge : Hubert Comon-Lundh - LSV, ENS Cchn Autre encdrnt : Florent Jcquemrd - LSV, ENS Cchn Résumé Mon

Plus en détail

Exercices Mathématiques Discrètes : Relations

Exercices Mathématiques Discrètes : Relations Exeries Mthémtiques Disrètes : Reltions Reltions inires R1 Soient A = {0, 1, 2, 3, 4} et B = {0, 1, 2, 3} deux ensemles. Erire expliitement les ouples (, ) R où (, ) R si et seulement si : =, + = 4,

Plus en détail

Automates hyper-minimaux

Automates hyper-minimaux Université derouen UFR des sciences et techniques Projet nnuel de mster 1 Encdrnts : Pscl Cron et Ludovic Mignot Automtes hyper-minimux Jen-Bptiste PRIEZ Rouen, le 20 mi 2011 Résumé Deux lngges sont f-équivlents

Plus en détail

SESSION 2013 MPIN007! INFORMATIQUE. Durée : 3 heures!

SESSION 2013 MPIN007! INFORMATIQUE. Durée : 3 heures! SESSION 2013 MPIN007 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP " INFORMATIQUE Durée : 3 heures " N.B. : Le cndidt ttcher l plus grnde importnce à l clrté, à l précision et à l concision de l rédction. Si un cndidt

Plus en détail

Automates temporisés. Amal El Fallah Seghrouchni Amal.Elfallah@lip6.fr

Automates temporisés. Amal El Fallah Seghrouchni Amal.Elfallah@lip6.fr Automtes temporisés Aml El Fllh Seghrouchni Aml.Elfllh@lip6.fr Pln Introduction Définition d un utomte temporisé Composition d utomtes temporisés Automtes hybrides Conclusion Le problème à résoudre monde

Plus en détail

Cours de «concepts avancés de compilation» Travaux pratiques. Auteur : F. Védrine

Cours de «concepts avancés de compilation» Travaux pratiques. Auteur : F. Védrine Cours de «onepts vnés de ompiltion» Trvux prtiques Auteur : F. Védrine Les utomtes et les expressions régulières Les utomtes sont onstitués d étts et de trnsitions. Un étt définit l vnée dns l reonnissne

Plus en détail

LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES

LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES Mrie-Pule Muller Version du 14 juillet 2005 Ce cours présente et met en oeuvre quelques méthodes mthémtiques pour l informtique théorique. Ces notions de bse pourront

Plus en détail

ESTIMER LA PRÉCISION DES MESURES

ESTIMER LA PRÉCISION DES MESURES ESTIMER LA PRÉCISION DES MESURES I. Précision d'une mesure directe Une mesure directe est une mesure lue sur un ppreil de mesure. Le résultt d'une mesure directe n'est jmis connu de fçon prfitement excte.

Plus en détail

Tout ce qu il faut savoir en math

Tout ce qu il faut savoir en math Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion

Plus en détail

Théorie des automates et langages formels

Théorie des automates et langages formels Fculté des sciences Déprtement de mthémtiques Théorie des utomtes et lngges formels 1 4 7, d c d 2 c c d 5 c d c d, 8 c d 3 6 9,c,d,c,d,,c,d Année cdémique 2009 2010 Michel Rigo Tle des mtières Chpitre

Plus en détail

Exercices corrigés 9325 = 2 4662 + 1 4662 = 2 2331 + 0 2331 = 2 1165 + 1

Exercices corrigés 9325 = 2 4662 + 1 4662 = 2 2331 + 0 2331 = 2 1165 + 1 Grenoble INP Pgor 1ère nnée Exercices corrigés Anlyse numérique NB : Les exercices corrigés ici sont les exercices proposés durnt les sénces de cours. Les corrections données sont des corrections plus

Plus en détail

Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre 2007. 1 Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3

Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre 2007. 1 Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3 Reltions binires Mrc SAGE 8 octobre 007 Tble des mtières Amuse gueule Combintoire dns les quotients 3 Problème d extrém 3 4 Un théorème de point xe 3 5 Sur l conjugisons dns R 3 6 Sur les corps totlement

Plus en détail

Séquence 7. Intégration. Sommaire

Séquence 7. Intégration. Sommaire Séquence 7 Intégrtion Sommire. Prérequis. Aire et intégrle d une fonction continue et positive sur [ ; ]. Primitives 4. Primitives et intégrles d une fonction continue 5. Synthèse de l séquence Dns ce

Plus en détail

Chimie Avancement d une réaction chimique Chap.8

Chimie Avancement d une réaction chimique Chap.8 ère S Thème : Couleurs et imges TP n 6 Chimie Avncement d une réction chimique Chp.8 Notions et contenus Réction chimique réctif limitnt stœchiométrie notion d vncement Compétences eigiles Identifier le

Plus en détail

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler

Plus en détail

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) ( Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est

Plus en détail

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (

Plus en détail

Là où on s y attend le moins, des

Là où on s y attend le moins, des REGARDS LOGIQUE & CALCUL L conjecture du crré inscrit Plcer sur une coure fermée qutre points formnt les coins d un crré est presque toujours possile. C est ien, mis comment se dérrsser du «presque»? Jen-Pul

Plus en détail

2006-2007 PARTIE I (VERSION 1.0) (VERSION 4.0)

2006-2007 PARTIE I (VERSION 1.0) (VERSION 4.0) INITIATION A SCILAB M1-M2 MODELISATION EN BIOLOGIE DES POPULATIONS ET DES ECOSYSTEMES MODELISATION DU FONCTIONNEMENT DES ECOSYSTEMES 2006-2007 PARTIE I (VERSION 1.0) (VERSION 4.0) Soudni Kmel (Mître de

Plus en détail

Des extraits de cette norme seront présentés pour la compréhension de la démarche.

Des extraits de cette norme seront présentés pour la compréhension de la démarche. Estimtion de l incertitude de l mesure : Appliction à l incertitude sur le clcul de l concentrtion d EDTA lors de l détermintion de l dureté d une eu nturelle Pour cette démrche, nous nous ppuierons sur

Plus en détail

/HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV

/HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV /HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV I. Définition On ppelle système combintoire tout système numérique dont les sorties sont exclusivement définies à prtir des vribles d entrée (Figure ). = f(x, x 2,,, x n ) x x

Plus en détail

Logiciel Anti-Spyware Enterprise Module

Logiciel Anti-Spyware Enterprise Module Logiciel Anti-Spywre Enterprise Module version 8.0 Guide Qu est-ce qu Anti-Spywre Enterprise Module? McAfee Anti-Spywre Enterprise Module est un module d extension qui permet d étendre les cpcités de détection

Plus en détail

TD : Arbres Binaires de Recherche (A.B.R.)

TD : Arbres Binaires de Recherche (A.B.R.) TD : Arres Binires de eherhe (A.B..) Olivier ynud rynud@isim.fr http ://www.isim.fr/rynud ésumé Dns e Td nous proposons trois exeries. Le premier est onsré à l implémenttion du T.D.A. Ensemles dynmiques

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

Fiabilité, sécurité et enfichage intégral éprouvés. Tous les connecteurs sont équipés de dispositifs de verrouillage antiarrachement.

Fiabilité, sécurité et enfichage intégral éprouvés. Tous les connecteurs sont équipés de dispositifs de verrouillage antiarrachement. Fibilité, sécurité et enfichge intégrl éprouvés Tous les connecteurs sont équipés de dispositifs de verrouillge ntirrchement. 100% stekerbr Qu est-ce qu une instlltion 100 % enfichble? Mtériel fourni en

Plus en détail

Créer des jeux avec GLUP

Créer des jeux avec GLUP Créer des jeux vec GLUP GLUP (générteur ludopédgogique) est un service en ligne du CRDP de l cdémie de Versilles. Il permet de trnsformer des exercices à se de texte en mini-jeux téléchrgeles. Les jeux

Plus en détail

Séquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire

Séquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire Séquence 8 Proilité : lois à densité Sommire. Prérequis 2. Lois de proilité à densité sur un intervlle 3. Lois uniformes 4. Lois exponentielles 5. Synthèse de l séquence Dns cette séquence, on introduit

Plus en détail

Chapitre 11 : L inductance

Chapitre 11 : L inductance Chpitre : inductnce Exercices E. On donne A πr 4π 4 metn N 8 spires/m. () Selon l exemple., µ n A 4π 7 (8) 4π 4 (,5) 5 µh (b) À prtir de l éqution.4, on trouve ξ ξ 4 3 5 6 6,3 A/s E. On donne A πr,5π 4

Plus en détail

Lancement d u site Internet

Lancement d u site Internet Lncement d u site Internet d u S M E T O M - G E E O D E www.smetom-geeode.fr Votre contct presse Erwn GUILLERON, chrgé de communiction SMETOM-GEEODE - 14 rue l Mirie - 77160 Poigny Tél : 01.64.00.26.45

Plus en détail

Caisse enregistreuse électronique CE-6100 GROCERY DAIRY H.B.A. 6!00 FROZEN FOOD DELICATESSEN. Mode d emploi. Eu Di U.K.

Caisse enregistreuse électronique CE-6100 GROCERY DAIRY H.B.A. 6!00 FROZEN FOOD DELICATESSEN. Mode d emploi. Eu Di U.K. Cisse enregistreuse électronique CE-6100 GROCERY DAIRY H.B.A. 6!00 FROZEN FOOD DELICATESSEN Eu Di U.K. Mode d emploi Introduction et tle des mtières Introduction Toutes nos félicittions pour l cht de cette

Plus en détail

Cours 9: Automates finis

Cours 9: Automates finis Cours 9: Automates finis Olivier Bournez ournez@lix.polytechnique.fr LIX, Ecole Polytechnique INF421-a Bases de la programmation et de l algorithmique Aujourd hui Rappels Déterminisation Automates et expressions

Plus en détail

Votre Image au travers de vos éditions Clients

Votre Image au travers de vos éditions Clients Votre Imge u trvers de vos éditions Clients Nos prtenires: LOGITAS SA est un tiers de confince, prtenire des éditeurs de logiciels et des utilisteurs pour l conception, le contrôle et l conservtion de

Plus en détail

1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 2. 2.1.

1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 2. 2.1. T/TR 01-01 Pge 3 r+ 1. EQUIPMENT CONCERNE L interconnexion numerique interntionl pour le service visiophonique et de visioconf&ence necessite l stndrdistion des principux prmttres num&iques tels que d~it,

Plus en détail

Tableau d extension de mise en sécurité pour CMSI type B modulable Réf. : 322 001 Module deux lignes de mise en sécurité Réf.

Tableau d extension de mise en sécurité pour CMSI type B modulable Réf. : 322 001 Module deux lignes de mise en sécurité Réf. Tleu d extension de mise en sécurité pour CMSI type B modulle Réf. : 00 Module deux lignes de mise en sécurité Réf. : 00 DE MISE EN MISE EN 5 7 8 8 PROGRAM. SYSTEME Fus. F, 5H50V MANUEL DE MISE EN ŒUVRE

Plus en détail

Caisse enregistreuse électronique CE-T300 GROCERY DAIRY H.B.A. FROZEN FOOD DELICATESSEN. Mode d emploi. Eu Di U.K.

Caisse enregistreuse électronique CE-T300 GROCERY DAIRY H.B.A. FROZEN FOOD DELICATESSEN. Mode d emploi. Eu Di U.K. Cisse enregistreuse électronique CE-T300 GROCERY DAIRY H.B.A. FROZEN FOOD DELICATESSEN Eu Di U.K. Mode d emploi Introduction et tle des mtières Introduction Toutes nos félicittions pour l cht de cette

Plus en détail

3.8. 1 Estimation de l aire d une région curviligne. Exemple 1 Estimer l aire de la région sous une hyperbole. Solution

3.8. 1 Estimation de l aire d une région curviligne. Exemple 1 Estimer l aire de la région sous une hyperbole. Solution .8 Aperçu de l intégrle.8 APERÇU DE L INTÉGRALE Estimtion de l ire d une région curviligne Erreur d pproimtion Aire ecte d une région curviligne 4 Intégrle définie 5 Intégrle définie négtive 6 Propriétés

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO Université Pris-Duphine DUMI2E UFR Mthémtiques de l décision Notes de cours Anlyse 2 Filippo SANTAMBROGIO Année 2008 2 Tble des mtières 1 Optimistion de fonctions continues et dérivbles 5 1.1 Continuité........................................

Plus en détail

Calcul de la rugosité surfacique

Calcul de la rugosité surfacique VI èmes Journées d Etudes Techniques 200 The Interntionl congress for pplied mechnics L mécnique et les mtériux, moteurs du développement durble du 05 u 07 mi 200, Mrrkech Mroc Clcul de l rugosité surfcique

Plus en détail

Avant d utiliser l appareil, lisez ce Guide de référence rapide pour connaître la procédure de configuration et d installation.

Avant d utiliser l appareil, lisez ce Guide de référence rapide pour connaître la procédure de configuration et d installation. Guide de référence rpide Commencer Avnt d utiliser l ppreil, lisez ce Guide de référence rpide pour connître l procédure de configurtion et d instlltion. NE rccordez PAS le câle d interfce mintennt. 1

Plus en détail

edatenq est une application qui permet aux entreprises de compléter et d'envoyer leurs déclarations statistiques par internet.

edatenq est une application qui permet aux entreprises de compléter et d'envoyer leurs déclarations statistiques par internet. Sttistique mensuelle tourisme et hôtellerie Introduction edatenq est une ppliction qui permet ux entreprises de compléter et d'envoyer leurs déclrtions sttistiques pr internet. Il s'git d'une ppliction

Plus en détail

Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre

Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers l dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chpitre Chpitre 20 Intégrtion Sommire 20.1 Continuité uniforme.................................

Plus en détail

Conseils et astuces pour les structures de base de la Ligne D30

Conseils et astuces pour les structures de base de la Ligne D30 Conseils et stuces pour les structures de bse de l Ligne D30 Conseils et stuces pour l Ligne D30 Ligne D30 - l solution élégnte pour votre production. Rentbilité optimle et méliortion continue des séquences

Plus en détail

- Phénoméne aérospatial non identifié ( 0.V.N.I )

- Phénoméne aérospatial non identifié ( 0.V.N.I ) ENQUETE PRELIMINAIRE ANALYSE ET REFEREWCES : Phénoméne érosptil non identifié ( 0VNI ) B8E 25400 DEF/GEND/OE/DOlRENS du 28/9/1992 Nous soussigné : M D L chef J S, OPJ djoint u commndnt de l brigde en résidence

Plus en détail

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005 MATHÉMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM nnnée universitire 24-25 Driss BOULARAS 2 Tble des mtières Rppels 5. Ensembles et opértions sur les ensembles.................. 5.. Prties d un ensemble.........................

Plus en détail

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel COURS D ANALYSE Licence d Informtique, première nnée Lurent Michel Printemps 2010 2 Tble des mtières 1 Éléments de logique 5 1.1 Fbriquer des énoncés........................ 5 1.1.1 Enoncés élémentires.....................

Plus en détail

LITE-FLOOR. Dalles de sol et marches d escalier. Information technique

LITE-FLOOR. Dalles de sol et marches d escalier. Information technique LITE-FLOOR Dlles de sol et mrches d esclier Informtion technique Recommndtions pour le clcul et l pose de LITE-FLOOR Générlités Cette rochure reprend les règles de se à respecter pour grntir l rélistion

Plus en détail

Préparation à l'examen écrit de maturité Mathématiques 2013

Préparation à l'examen écrit de maturité Mathématiques 2013 Wechter Loïc Mturité 2013 Mthémtiques Cours de M. Flcoz 2013 Préprtion à l'exmen écrit de mturité Mthémtiques 2013 1.Primitives et intégrles 1.1Primitives (CRM pp.77-80) Une primitive pourrit se définir

Plus en détail

Table des matières Dénombrer et sommer Événements et Probabilités

Table des matières Dénombrer et sommer Événements et Probabilités Tble des mtières 1 Dénombrer et sommer 5 1.1 Rppels ensemblistes............................. 5 1.1.1 Opértions ensemblistes....................... 5 1.1.2 Bijections............................... 7 1.2

Plus en détail

Systèmes de transitions Automates à états finis

Systèmes de transitions Automates à états finis M2P GLRE Génie Logiciel, logiciels Réprtis et Embrqués Systèmes de trnsitions Automtes à étts finis Z. Mmmeri 1. Comportement de système L description de comportement d un système désigne l expression

Plus en détail

Logiciel pour le poste de travail Agilent MassHunter

Logiciel pour le poste de travail Agilent MassHunter Logiciel pour le poste de trvil Agilent MssHunter Anlyse qulittive Guide de fmiliristion pour CPG/SM Notices Agilent Technologies, Inc. 2012 Conformément ux lois interntionles reltives à l propriété intellectuelle,

Plus en détail

Microéconomie de l Incertitude M1 Banque et Marchés Financiers

Microéconomie de l Incertitude M1 Banque et Marchés Financiers Microéconomie de l Incertitude M1 Bnque et Mrchés Finnciers Emmnuel DUGUET Notes de Cours, V1 2 1 Concepts de bse 5 1.1 Les loteries................................ 6 1.2 Le critère d espérnce mthémtique..................

Plus en détail

S il ne peut être déterminé en raison d'excavations et de remblais antérieurs, la référence est le terrain naturel environnant.

S il ne peut être déterminé en raison d'excavations et de remblais antérieurs, la référence est le terrain naturel environnant. Annexe A MESSAGE TYPE 8. COMMENTAIRES DES DEFINITIONS DE L ANNEXE NOTIONS ET METHODES DE MESURE 1. TERRAIN DE RÉFÉRENCE 1.1 Terrin de référence Le terrin de référence équivut u terrin nturel. S il ne peut

Plus en détail

REGLEMENT DU CLASSEMENT NATIONAL

REGLEMENT DU CLASSEMENT NATIONAL REGLEMET DU CLASSEMET ATIOAL / Les règles indiquées ici sont celles utilisées pour clculer les ttributions de points de l sison -. I. PRICIPES DE BASE Le clssement ntionl de l F.F.B. est le seul uquel

Plus en détail

P hotographies aériennes. Photographies aériennes actuelles. La BD ORTHO de l IGN. Les photographies «satellitales»

P hotographies aériennes. Photographies aériennes actuelles. La BD ORTHO de l IGN. Les photographies «satellitales» P hotogrphies ériennes Pr rpport ux crtes, les photogrphies ériennes pportent deux vntges mjeurs : leur mise à jour est eucoup plus fréquente ; leur possiilité d nlyse est ien supérieure : on distingue

Plus en détail

Influence du milieu d étude sur l activité (suite) Inhibition et activation

Influence du milieu d étude sur l activité (suite) Inhibition et activation Influence du milieu d étude sur l ctivité (suite) Inhibition et ctivtion Influence de l tempérture Influence du ph 1 Influence de l tempérture Si on chuffe une préprtion enzymtique, l ctivité ugmente jusqu

Plus en détail

SYSTEME DE TELEPHONIE

SYSTEME DE TELEPHONIE YTEME DE TELEPHOIE LE OUVEUTE PTIE MOITEU COULEU Le système de téléphonie comporte un moniteur vec un écrn couleurs de intégré u téléphone. Cette prtie est disponile en lnc, nthrcite et Tech. TLE DE MTIEE

Plus en détail

Machine à coudre informatisée Manuel d'instructions

Machine à coudre informatisée Manuel d'instructions APPRENEZ À CONNAÎTRE VOTRE MACHINE À COUDRE NOTIONS ÉLÉMENTAIRES DE COUTURE POINTS DE COUTURE COURANTS ANNEXE Mchine à coudre informtisée Mnuel d'instructions INSTRUCTIONS DE SÉCURITÉ IMPORTANTES Lorsque

Plus en détail

SOMMAIRE. Objectifs de la séance :

SOMMAIRE. Objectifs de la séance : Ojetifs de l séne : d'nlyser le fontionnement d'un système simple de définir le onept de logique progrmmée de iter les rtéristiques fontionnelles d'un système séquentiel de déoder le shém de rordement

Plus en détail

3- Les taux d'intérêt

3- Les taux d'intérêt 3- Les tux d'intérêt Mishkin (2007), Monnie, Bnque et mrchés finnciers, Person Eduction, ch. 4 et 6 Vernimmen (2005), Finnce d'entreprise, Dlloz, ch. 20 à 22 1- Mesurer les tux d'intérêt comprer les différents

Plus en détail

Introduction à la modélisation et à la vérication p. 1/8

Introduction à la modélisation et à la vérication p. 1/8 Introduction à l modélistion et à l vériction Appliction ux systèmes temporisés Ptrici Bouyer LSV CNRS & ENS de Cchn Introduction à l modélistion et à l vériction p. 1/8 Modélistion & Vériction Introduction

Plus en détail

Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction

Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction 2e semestre 2/ UE 4 U : Abrégé de cours Anlyse 3: fonctions nlytiques Les notes suivntes, disponibles à l dresse http://www.iecn.u-nncy.fr/ bertrm/, contiennent les définitions et les résultts principux

Plus en détail

S.Mouassa 1, A.Beniaiche 2.

S.Mouassa 1, A.Beniaiche 2. L'infuence de 'émission spontnée sur 'effet de istiité optique des sers à sornts stures d'un résonteur Fry-Perot trimode dont 'érgissement est inhomogène. S.Mouss,.Beniiche. Déprtement d'optique et de

Plus en détail

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions Université Clude Bernrd, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Snté 43, boulevrd 11 novembre 1918 Spécilité Mthémtiques 69622 Villeurbnne cedex, Frnce L. Pujo-Menjouet pujo@mth.univ-lyon1.fr Cours d

Plus en détail

Architecture et micro-architecture des processeurs

Architecture et micro-architecture des processeurs Sheet numer 1 Architecture et micro-rchitecture des processeurs Bernrd Goossens Sheet numer 1 Sheet numer 2 Sheet numer 2 Sheet numer 3 Je dédie ce livre à l mémoire de Louis Nolin, mon mître. Sheet numer

Plus en détail

Le Calcul Intégral. niveau maturité. Daniel Farquet

Le Calcul Intégral. niveau maturité. Daniel Farquet Le Clcul Intégrl niveu mturité Dniel Frquet Eté 8 Tble des mtières Introduction Intégrle indéfinie 3. Définitions et générlités................................ 3.. Déf. d une primitive..............................

Plus en détail

Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4

Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4 Université Pris I, Pnthéon - Sorbonne Licence MASS Cours d Anlyse S4 Jen-Mrc Brdet (Université Pris 1, SAMM) UFR 27 et Equipe SAMM (Sttistique, Anlyse et Modélistion Multidisiplinire) Université Pnthéon-Sorbonne,

Plus en détail

Chapitre 6. Modélisation en P.L.I. 6.1 Lien entre PL et PLI. 6.1.1 Approximation de la PLI

Chapitre 6. Modélisation en P.L.I. 6.1 Lien entre PL et PLI. 6.1.1 Approximation de la PLI Chapitre 6 Modélisation en P.L.I. 6.1 Lien entre PL et PLI (P) problème de PL. On restreint les variables à être entières : on a un problème de PLI (ILP en anglais). On restreint certaines variables à

Plus en détail

Site web de réservations de voyages mettant en relation des clients voyageurs, des prestataires de services leur gestionnaire de

Site web de réservations de voyages mettant en relation des clients voyageurs, des prestataires de services leur gestionnaire de Usger Gérer session utilisteur Client Système comptble Client fidélisé Gérer Suivi Rés Administrteur site de réservtion Gestionnire fidélité Gérer Fidélité Gestionnire Hotels Gérer Hotels Site web de réservtions

Plus en détail

Chapitre VI Contraintes holonomiques

Chapitre VI Contraintes holonomiques 55 Chpitre VI Contrintes holonomiques Les contrintes isopérimétriques vues u chpitre précéent ne sont qu un eemple prticulier e contrintes sur les fonctions y e notre espce e fonctions missibles. Dns ce

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Progrmmes des clsses préprtoires ux Grndes Ecoles Filière : scientifique Voie : Mthémtiques et physique (MP) Discipline : Mthémtiques Seconde nnée Clsse préprtoire MP Progrmme de mthémtiques Tble des mtières

Plus en détail

MATHEMATIQUES GENERALES partim A

MATHEMATIQUES GENERALES partim A Fculté des Sciences MATHEMATIQUES GENERALES prtim A Première nnée de bchelier en Biologie, Chimie, Géogrphie, Géologie, Physique et Informtique, Philosophie Année cdémique 04-05 Frnçoise BASTIN Introduction

Plus en détail

Expérience de programmation générique sur des structures non-séquentielles : les automates p.1/40

Expérience de programmation générique sur des structures non-séquentielles : les automates p.1/40 Expériene de progrmmtion générique sur des strutures non-séquentielles : les utomtes IGM - Université de Mrne L Vllée Vinent Le Mout Expériene de progrmmtion générique sur des strutures non-séquentielles

Plus en détail

Thèse Présentée Pour obtenir le diplôme de doctorat en sciences En génie civil Option : structure

Thèse Présentée Pour obtenir le diplôme de doctorat en sciences En génie civil Option : structure République Algérienne Démocrtique et Populire Ministère de l enseignement supérieur et de l recherche scientifique Université Mentouri de Constntine Fculté des sciences et sciences de l ingénieur Déprtement

Plus en détail