Vérification graphique d une loi

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1 Aexe L1 Vérificatio raphique d ue loi Après l étude de cette aexe, le lecteur pourra détermier si des doées empiriques sot adéquatemet décrites par ue loi théorique déjà coue e trasformat l équatio de la loi pour obteir ue foctio de la forme Y = MX + B et e vérifiat que le raphique Y(X) tracé à partir des doés expérimetales correspod bie à ue droite. A P E R Ç U Ue maière possible de détermier si les doées empiriques obteues lors d ue expériece obéisset à ue loi théorique déjà coue (ou partiellemet coue) cosiste à trasformer l équatio de la loi pour obteir ue foctio affie de la forme Y MX B et à costruire u raphique Y(X ) à partir des doées empiriques. Si o peut tracer sur le raphique ue droite qui passe suffisammet près des poits expérimetaux, o peut coclure que les doées sot coformes à la loi théorique : la pete de la droite correspod à M et l ordoée à l oriie correspod à B. La méthode à utiliser pour trasformer l équatio d ue loi théorique e foctio affie déped de la forme de la loi. Bie sûr, si la loi est déjà de la forme Y MX B, il y a rie à faire. Si la loi théorique est ue foctio de puissace de la forme y Cx et que la valeur de l exposat est coue, o peut poser Y y et X x, ce qui doe Y CX Si les doées sot coformes à la loi théorique, le raphique Y(X) devrait doer ue droite de pete C passat par l oriie. Das le cas d ue foctio de puissace à deux variables avec exposats cous, de la forme y Cx z o peut poser Y y et X xz : le raphique Y(X ) devrait alors doer ue droite de pete C passat par l oriie. p p E X P O S É Lorsque o recueille au laboratoire des doées empiriques (c est-à-dire, obteues lors d ue expériece), o désire souvet vérifier qu elles sot coformes à ue loi théorique déjà coue. La loi théorique est parfois issue d ue hypothèse : o est pas certais que la loi s applique das l expériece, et le but de l expériece est de détermier si c est le cas. Supposos que l o a effectué ue expériece plusieurs fois, e modifiat la valeur des paramètres pour les différets essais. Pour vérifier que les doées sot coformes à la loi théorique, o pourrait, pour chaque essai, remplacer les doées das la loi et vérifier que la cocordace est «suffisammet boe». Certais essais cocorderaiet davatae, d autres mois, et o pourrait essayer de tirer des coclusios à partir de l esemble des cocordaces. Mise à jour du 13 mars 013 Aexe L1 Vérificatio raphique d ue loi L1-1

2 Mais il est préférable de procéder de maière plus lobale et systématique e costruisat u raphique à partir des doées et e comparat la forme du raphique avec ce que prévoit la loi théorique. Lorsque le raphique qui représete la loi théorique est ue droite, la comparaiso est particulièremet facile, car il est relativemet aisé de détermier «à l œil» si des poits expérimetaux sot aliés. Lorsque le raphique qui représete la loi théorique est pas ue droite, la comparaiso peut être plus difficile. Toutefois, das bie des cas, o peut effectuer ue trasformatio de variables qui fait e sorte que la loi théorique soit représetée par ue droite sur le raphique, ce qui red aisé la comparaiso etre la loi et les doées expérimetales. Nous allos doer des exemples de cette approche plus loi das cette aexe. Cosidéros u raphique Y(X), c est-à-dire u raphique de Y, sur l axe vertical, e foctio de X, sur l axe horizotal. (Nous avos choisi X et Y majuscules, car ces variables e sot raremet utilisées das les lois physiques que ous allos recotrer.) Pour qu ue équatio soit représetée par ue droite sur le raphique, il doit s air d ue foctio affie, c est-à-dire dot l équatio est de la forme Y MX B Sur le raphique, M correspod à la pete et B à l ordoée à l oriie (schéma ci-cotre). Das le cas particulier où B 0, la droite passe par l oriie et o est e présece d ue foctio liéaire, Y MX : Y est alors directemet proportioel à X. Y B pete M X Nous allos commecer par aalyser ue situatio où la loi théorique que l o désire vérifier est déjà sous ue forme affie. Das ce cas, o peut directemet placer les doées sur u raphique afi de détermier si les poits expérimetaux sot aliés. Situatio 1 : L effet de la masse accrochée sur la loueur d u ressort. O susped u ressort au plafod, o y accroche des blocs de différetes masses m, et o mesure sa loueur L (la distace etre le plafod et le crochet auquel la masse est fixée). Les doées obteues sot cosiées das le tableau ci-cotre. O désire détermier si elles sot coformes à la loi théorique m L L0 k où L 0 est la loueur aturelle du ressort, k est la costate de rappel du ressort (ue mesure de sa riidité) et est le module du champ ravitatioel. La loueur L d u ressort e foctio de la masse m accrochée m (k) L (m) 0,5 1,63 1,0 1,85,0,4 3,0,7 5,0 3,63 7,0 4,38 La loi théorique que l o veut vérifier est déjà de la forme Y MX B avec Y L, X m, M et B L 0 k L1- Aexe du cahier de laboratoire Vérificatio raphique d ue loi

3 Si les doées sot coformes à la loi, le raphique de L e foctio de m devrait doer ue droite dot la pete correspod à /k et l ordoée à l oriie correspod à L 0. Pour obteir le raphique avec le loiciel Excel, o commece par y etrer le tableau de doées, puis o le sélectioe. Das le meu Isertio, o demade u raphique de type Nuae de poits avec marqueurs uiquemet : ue fois le raphique créé, il est pratique de choisir la Mise e forme 9 das le meu Dispositio du raphique pour faire apparaitre automatiquemet des zoes de texte pour le titre du raphique et les titres des axes, aisi que la courbe de tedace et so équatio. Après avoir chaé les variables x et y das l équatio affichée pour qu elles soiet coformes aux véritables variables du raphique (L et m), et après quelques petits ajustemets cosmétiques, o obtiet le raphique ci-dessous. L (m) La loueur L d'u ressort e foctio de la masse m accrochée L = 0,49m + 1,4183 R² = 0,9987 Pour pouvoir détermier «à l œil» si les poits expérimetaux sot aliés, il est importat d ajuster le cadre du raphique pour que la hauteur de la zoe quadrillée soit à peu près éale à sa lareur : e effet, lorsque le raphique est trop «écrasé» ou trop «maire», la cocordace etre les doées et la courbe de tedace parait souvet meilleure qu elle e l est réellemet! m (k) Ici, la cocordace etre les poits expérimetaux et la courbe de tedace est excellete, ce qui est cofirmé par le fait que le coefficiet R qui est très près de 1. E arrodissat les valeurs umériques doées par Excel à 3 chiffres siificatifs, o coclure que la loueur du ressort est doée par m L L0 k avec L 0 1,4 m et /k 0,49 m/k (Vérifiez que les uités de L 0 et /k fot e sorte que l équatio soit cohérete du poit de vue des uités.) Comme 9,8 N/k (o suppose que l expériece a lieu près de la surface de la Terre!), o peut coclure que la costate de rappel du ressort est k (9,8 N/k) / (0,49 m/k),8 N/m Nous allos maiteat examier des situatios plus complexes pour lesquelles il faut appliquer ue trasformatio de variables à la loi théorique et aux doées expérimetales pour obteir u raphique qui doe ue droite. Mise à jour du 13 mars 013 Aexe L1 Vérificatio raphique d ue loi L1-3

4 Situatio : L effet de la hauteur de chute sur le temps de chute d ue bille. Afi de détermier la relatio qui existe etre la hauteur de chute d ue bille et la durée de la chute, o lâche ue bille à différetes hauteurs H par rapport au sol (vitesse iitiale ulle), o filme sa chute et o aalyse le film afi de détermier la durée T de la chute. Les doées obteues sot cosiées das le tableau ci-cotre. O désire détermier si elles sot coformes à la loi théorique obteue à partir des équatios de la ciématique à accélératio costate : T H La durée de chute T d ue bille lâchée à partir du repos pour différetes valeurs de la hauteur de chute H H (m) T (s) 0,0 0, 0,80 0,4 1,0 0,5 3,30 0,8 7,50 1,3 O peut trasformer la loi théorique H T H e ue foctio affie de la forme Y MX B e posat Y T, X H, M et B 0 Si les doées sot coformes à la loi, le raphique de T e foctio de H devrait doer ue droite qui passe par l oriie (car B 0) et dot la pete correspod à /. Das le tableau ci-cotre, o a remplacé la coloe H du tableau de doées d oriie par ue coloe qui idique H (remarquez les uités : comme H est e mètres, H est e mètres exposat ). O peut maiteat utiliser Excel pour tracer le raphique, exactemet comme o l a fait das la situatio 1 : o obtiet le raphique ci-dessous. H (m ) T (s) 0,447 0, 0,894 0,4 1,095 0,5 1,817 0,8,739 1,3 T (s) Temps de chute T e foctio de la racie carrée de la hateur H de chute 1,4 1, 1 0,8 0,6 T = 0,4758 H 0,053 R² = 0,997 Comme le coefficiet R est très près de 1, o peut coclure que le temps de chute est doé par T (0,476 s/m ) H Remarquez que les uités de la costate fot e sorte que l équatio est cohérete du poit de vue des uités. 0,4 0, H (m ) E théorie, la costate vaut ( ) 0,451 s/m 9,8 m/s L1-4 Aexe du cahier de laboratoire Vérificatio raphique d ue loi

5 L écart e la costate expérimetale et la costate théorique est 0,476 0, % 5,5% 0,451 ce qui est très satisfaisat, compte teu que les temps de chute expérimetaux étaiet mesurés avec u seul chiffre siificatif! Das la situatio que ous veos d aalyser, o sait que la droite devrait passer théoriquemet par l oriie (B 0) : e effet, pour ue distace de chute H 0, il est clair que le temps de chute doit être T 0! Aisi, o aurait pu forcer la courbe de tedace à passer par l oriie (e faisat u clic droit sur la courbe de tedace pour afficher le Format de la courbe de tedace et e cochat la case Défiir l iterceptio = 0,0). Si o fait cela, l équatio de la courbe de tedace affichée par Excel deviet T 0,466 H, ce qui ecore plus près de la valeur théorique de la costate. Nous allos maiteat aalyser ue situatio où la loi théorique déped de deux variables. Situatio 3 : Ue astroaute et so pedule. Ue astroaute accroche ue roche au bout d ue corde afi de former u pedule. Elle veut détermier commet la période T du pedule (le temps requis pour faire u aller-retour) est affectée par la loueur L de la corde et par le module de l accélératio de chute libre sur la plaète où elle se trouve. Premièremet, elle fait 5 essais sur Terre ( 9,8 m/s ) e faisat varier la loueur de la corde. Puis elle arde la loueur costate (L 0,8 m) et elle fait des essais à la surface de ciq plaètes pour avoir différetes accélératios de chute libre. Ses résultats sot cosiés das le tableau ci-cotre. O suppose que la période est doée par la loi de puissace T C L/ L (m) (m/s ) T (s) 0,1 9,8 0,65 0, 9,8 0,90 0,4 9,8 1,3 0,6 9,8 1,6 0,8 9,8 1,8 0,8 1,5 4,6 0,8,5 3,6 0,8 4,9,5 0,8 6,0,3 0,8 9,8 1,8 et o désire détermier la valeur de la costate C. O peut trasformer la loi théorique e ue foctio affie de la forme Y MX B e posat Y T, X L/, M = C et B 0 Si les doées sot coformes à la loi, le raphique de T e foctio de L/ devrait doer ue droite qui passe par l oriie (car B 0) et dot la pete correspod à C. Das le tableau ci-cotre, o iséré ue coloe L/ das le tableau des doées d oriie. Remarquez les uités de L/ : comme L est e mètres et est e mètres par secode carrée, L/ est e secodes. L (m) (m/s ) L / (s) T (s) 0,1 9,8 0,101 0,65 0, 9,8 0,143 0,90 0,4 9,8 0,0 1,3 0,6 9,8 0,47 1,6 0,8 9,8 0,86 1,8 0,8 1,5 0,730 4,6 0,8,5 0,566 3,6 0,8 4,9 0,404,5 0,8 6,0 0,365,3 0,8 9,8 0,86 1,8 Mise à jour du 13 mars 013 Aexe L1 Vérificatio raphique d ue loi L1-5

6 O peut maiteat utiliser Excel pour tracer le raphique de T e foctio de L/, exactemet comme o l a fait das la situatio 1 : o obtiet le raphique cidessous. T (s) La période T d'ue pedule e foctio de la racie carrée de sa loueur L sur l'accélératio de chute libre T = 6,851 L + 0,011 R² = 0,9996 Comme le coefficiet R est très près de 1, o peut coclure que la période du pedule est doée par T 6,9 L/ Comme T et L/ sot tous les deux e secodes, la costate est sas uités. 1 Au chapitre 1 du tome 3, ous verros que la période d u pedule est doée par l équatio théorique 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 L (s) T L/ L1-6 Aexe du cahier de laboratoire Vérificatio raphique d ue loi