La sphère dans les programmes

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1 CARTGRAPHIE ET ATHÉATIQUE ous nous sommes intéressés au problème de la réalisation des cartes, c'est-à-dire de la représentation plane de la Terre. ous avons d'une part examiné les outils mathématiques utilisés dans diérentes projections cartographiques, et par ailleurs nous avons conçu des activités que nous avons expérimentées en classe de seconde de lycée professionnel, en classe de seconde de lycée général et technologique, à la fête de la science ou en licence. Ce travail, a débouché sur l'écriture de la brochure 1. Ces deux aspects, théorie et activités avec les élèves, ont été travaillés conjointement, et dans cet exposé nous les présentons également en parallèle, et non pas l'un après l'autre. Une des motivations de ce travail a été la présence dans les programmes de seconde précédents d'un thème intitulé Repérage sur la sphère ; application à la géographie, à l'astronomie. Ce thème n'existe plus de manière explicite, mais néanmoins ce travail n'a pas vieilli en regard des programmes actuels. I La sphère dans les programmes n peut en eet, dès le début de la classe de seconde, s'appuyer sur les connaissances de collège concernant la sphère terrestre (parallèles et méridiens) et la géométrie dans l'espace. Voir ci-dessous un extrait du programme de troisième. Connaissances Capacités Exemples d'activités, commentaires phère - Connaître la nature de la section d'une sphère par un plan. - Calculer le rayon du cercle intersection connaissant le rayon de la sphère et la distance du plan au centre de la sphère. La sphère est dénie à partir du centre et du rayon. Les grands cercles de la sphère et les couples de points diamétralement opposés sont mis en évidence. Le fait que le centre du cercle d'intersection est l'intersection du plan et de la perpendiculaire menée du centre de la sphère à ce plan est admis. Le cas particulier où le plan est tangent à la sphère est également étudié. [Thèmes convergence] de - Représenter la sphère et certains de ses grands cercles. [Géographie] Aucune diculté n'est soulevée sur ces représentations. Le rapprochement est fait avec les connaissances que les élèves ont déjà de la sphère terrestre, notamment pour le repérage sur la sphère à l'aide des méridiens et des parallèles. Par ailleurs, le programme de seconde générale et technologique (année scolaire ) est centré sur la résolution de problèmes, et a pour fonction de conforter l'acquisition de la culture mathématique nécessaire à la compréhension du monde. Plus précisèment en ce qui concerne la géométrie dans l'espace, il a pour objectif : de développer la vision dans l'espace des élèves en entretenant les acquis du collège concernant les solides usuels ; d'introduire les notions de plans et droites de l'espace et leurs positions respectives... Les élèves doivent être capables de représenter en perspective parallèle une conguration simple et d'eectuer des constructions sur une telle gure. Ils doivent aussi être capables de mobiliser pour des démonstrations les théorèmes de géométrie plane. Voir ci-dessous un extrait du programme de seconde. 1. De la sphère au plan publiée en 200? aux Presses Universitaires de Franche-Comté

2 Contenus Capacités attendues Commentaires Géométrie dans l'espace Les solides usuels étudiés au collège : parallélépipède rectangle, pyramides, cône et cylindre de révolution, sphère. Droites et plans, positions relatives. Droites et plans parallèles. anipuler, construire, représenter en perspective des solides. C'est l'occasion d'eectuer des calculs de longueur, d'aire et de volumes. n entraîne les élèves à l'utilisation autonome d'un logiciel de géométrie dans l'espace. II A Représentations planes de la Terre Un modèle pour la Terre La Terre est constituée d'un ensemble de points qui sont repérés dans un référentiel terrestre par leurs coordonnées cartésiennes (x ; y ; z) ou sphériques (r ; λ ; ). i l'on considère, par exemple, que la Terre est sphérique, r est une constante, et la position de est entièrement déterminée par la donnée des angles λ (la longitude) et (la latitude). x z λ r y Repérage d'un point sur le globe terrestre, la Terre étant assimilée à une sphère : Pôle ord Parallèle passant par éridien passant par Équateur λ L m Longitude de Latitude de éridien de Greenwich Pôle ud Par convention, est positif dans l'hémisphère ord, négatif dans l'hémisphère ud, λ est positif pour une longitude Est, négatif pour une longitude uest. λ et seront exprimés en degrés. n a donc : et -180 λ 180. B Transpositions de notions planes à la sphère Les activités suivantes ont été menées avec des élèves de lycée professionnel (1 CAP vente) dans le cadre d'activités de culture scientique ainsi qu'à la fête de la science Ces activités avaient pour but de permettre aux élèves de s'approprier la sphère et de confronter quelques propriétés de géométrie plane et leurs homologues sur la sphère. ous vivons sur une sphère, mais localement

3 elle nous apparaît comme plane. ous pensons lignes droites sur un plan, même quand nous les traçons sur un plan. Il s'agissait donc ici d'aller du plan vers la sphère. La première activité proposée demandait de retrouver le point de départ d'un pingouin qui, après s'être déplacé successivement de 100 km vers le ud, de 100 km vers l'est et de 100 km vers le ord se retrouve à son point de départ. Cette activité permet, par le biais de ces déplacements de resituer les méridiens, les parallèles et également de faire apparaître un triangle particulier sur la sphère. ous avons ensuite demandé aux élèves de comparer les distances entre les villes Paris et ew-york, Paris et Kaboul. Les élèves avaient du matériel à disposition : rubans, celle, mètre de couturière, élastique, chatterton,..., le choix demeurait à leur initiative. Cette activité permettait de revoir la notion de plus court chemin sur la sphère et les grands cercles vus en troisième. ous avons ensuite poser le problème des triangles tracés sur la sphère : comment mesures leurs angles? Les élèves ont utilisé sans diculté particulière les rapporteurs mis à disposition. Chaque groupe a ensuite à l'aide de chatterton matérialisé un triangle sur son globe, en a mesuré les angles et est venu inscrire ses mesures au tableau de la classe. Le fait que la somme des mesures soit systématiquement supérieur à 180 a provoqué une grande stupéfaction. ous avons alors rappelé que nous avions rencontré lors de l'étude du trajet du pingouin un triangle qui avait deux angles droits. ous leur avons fait trouver des triangles à 3 angles droits. En lycée professionnel, nous n'avons pas fait d'autre travail sur cette propriété en nous bornant à remarquer que les propriétés de géométrie plane n'étaient pas forcément valables sur la sphère. Cette activité a été également proposée à la fête de la science (tracer des triangles, mesurer les angles, sommer). La démonstration était ensuite rédigée sur un panneau placé un peu à part. Un triangle de la sphère déterminé par trois points (non opposés) est l'intersection de trois demi-sphères déterminées chacune par un grand cercle déterminé par 2 des points et contenant le troisième point. Il y a proportionnalité entre les bi-angles de la sphère et l'angle au sommmet qui les dénit. Lorsqu'on réunit les surfaces des bi-angles dénis par chaque côté d'un triangle ABC, on recouvre la sphère, mais le triangle ABC et le triangle qui lui est diamétralement opposé apparaissent trois fois chacun. n en déduit que l'aire de la sphère est la somme des aires des bi-angles et de 4 fois l'aire du triangle ABC. Après simplication, cela permet d'obtenir que la somme des mesures des angles est égale à π + A R 2. Cette somme est donc supérieure à π, l'écart est à π est proportionnel à l'aire du triangle (la distorsion n'apparaît pas pour les petits triangle) et inversement proportionnel au carré du rayon de la sphère. C À la recherche de cartes planes Pour aborder la problématique du dessin des cartes, nous avons chargé chaque groupe d'élèves de représenter un continent de leur choix. Les élèves pouvaient utiliser du papier soie (plus souple que du calque) mis à leur disposition. Les dicultés qui sont immanquablement apparues ont permis de pointer la diculté d'appliquer une sphère sur un plan. ous avons alors présenter aux élèves une simulation d'une situation de projection pour leur présenter quelques méthodes de tracé d'une carte. Une passoire de forme semi-sphérique, était perforée suivant des méridiens et des parallèles. ous avons placé une ampoule en son centre et en disposant de plusieurs façon une grande feuille de papier blanc, nous avons pu simuler une projection cylindrique ou une projection gnomonique et observer, pour chacune de ces projections la projection du réseau de méridiens et de parallèles. ous comptions ensuite demander aux élèves d'utiliser des trames associées à ces projections pour situer des points dont on connaît la latitude et la longitude, mais cet exercice venait après une séance déjà bien remplie et a été presque shunté. D éli-mélo de cartes Une carte donne une représentation simpliée de la réalité, elle en donne aussi une représentation déformée. n ne peut, en aplatisant la sphère, conerver à la fois les angles, les aires, les distances. Le concepteur d'une carte doit donc choisir, parmi les diérentes déformations, celles qu'il tolère, et celles qu'il considère comme inacceptables. Bien évidemment, cela va dépendre de l'utilisation que l'on souhaite faire de la carte. Par exemple, pour une carte de navigation, on privilégiera une carte où les angles sont conservés si l'on souhaite utiliser une boussole : c'est le cas de la projection de ercator.

4 Grandes déformations au niveau des pôles Dans les manuels de géographie, on retrouve souvent la projection de Peters qui conserve les rapports d'aires. n peut aussi s'intéresser aux projections qui conservent les plus courts chemins, par exemple pour minimiser la consommation de carburant en avion. n peut ainsi classer les diérentes projections cartographiques selon leurs propriétés de conservation. Par ailleurs, nous avons vu que si la projection peut s'eectuer directement sur un plan, elle peut aussi se faire d'abord sur un cylindre, ou sur un cône, que l'on déroule ensuite. Les diérentes projections cartographiques peuvent aussi être classées selon la surface sur laquelle on projette.

5 elon la nature des déformations CFRE Conservation des angles ÉQUIVALETE Conservation des rapports d'aires AUTRE elon la surface sur laquelle on projette AZIUTALE Impossible d'avoir les deux à la fois Projection sur un plan à partir d'un point appelé centre de la projection CYLIDRIQUE Projection sur un cylindre CIQUE Projection sur un cône III Exemples de projections cartographiques ous présentons plusieurs projections cartographiques. Pour chacune, nous nous intéressons aux faisceaux de parallèles et de méridiens (la trame de la carte), puis aux propriétés conservées. A Projection gnomonique 1. Dénition oit (π) un plan strictement parallèle au plan équatorial, et soit un point de la sphère (équateur exclu). n appelle image de par la projection gnomonique sur (π), le point, intersection de la droite () et du plan (π). π Remarque : deux points situés aux antipodes ont la même image par cette projection. n se limitera dans la suite de cette étude à l'hémisphère ord 2. Trame de la carte (a) Parallèles

6 π P Ω Lorsque le point décrit le parallèle, la droite () engendre un cône de sommet et d'axe (). L'intersection de ce cône avec le plan (π) (perpendiculaire à l'axe () du cône) est un cercle de centre. Déterminons le rayon r de ce cercle en fonction de la latitude : Dans le triangle rectangle en, on a tan(90 ) = r, d'où r = tan() Figure dans le plan r Ω r Les parallèles sont représentés par des cercles de centre et de rayon inversement proportionnel à tan(). (b) éridiens π Les méridiens sont des (demi) grands cercles, et sont donc contenus dans des (demi) plans contenant le centre de la sphère. x Tout point P du demiméridien passant par se projette en un point de la demi-droite [ ). Réciproquement, tout point R de [ ) est le projeté d'un point du demi-méridien. Les demi-méridiens se projettent donc en des demi-droites d'origine. (c) Trame Les parallèles sont représentés par des cercles de centre et de rayon proportionnel à cotan(). Les méridiens sont représentés par des demi-droites d'origine. n obtient par exemple la trame suivante :

7 7 o 8 o 9 o 10 o 12 o 15 o 20 o 30 o 45 o 3. Déformations (a) Aires L'aire d'une calotte sphérique de rayon R est proportionnelle à sa hauteur h et est égale à 2πRh. n a h = R(1 sin()) soit à 1 sin(). Ω h Par exemple, si l'on compare l'aire de la calotte sphérique correspondant à une latitude > 45 à l'aire de l'hémisphère ord, le rapport des deux est égale à 1 sin(45 ), soit environ 0,3. 1 sin(0 ) La projection gnomonique ne conserve pas les aires. (b) Échelle le long d'un parallèle (C) Ω θ 2 θ l l La gure est faite dans le cas particulier où le plan (π) est tangent au pôle ord, mais le calcul ci-dessous est fait dans le cas général. Un arc de parallèle de centre Ω et de rayon r se projette en un arc de cercle de centre et de rayon r. n cherche à comparer les longueurs l et l de ces arcs de cercle.

8 r Les angles au centre égaux, d'où l l = r r. 1 Ω 2 et r, r r = Ω = R sin(). 1 2 sont Ω r Par exemple, en prenant = (plan de projection tangent au pôle ord), si l'on considère un arc de parallèle de longueur l = 100 km, il sera représenté par un arc de cercle de longueur l 102 km pour une latitude de 80, et l 578 km pour une latitude de 10. Par conséquent, l'échelle n'est pas la même pour toute la carte. (c) Plus court chemin Les plus courts chemins sur une sphère sont des arcs de grands cercles. En raisonnant comme avec les méridiens, on montre qu'un grand cercle se projette en une droite. Par conséquent, un arc de grand cercle se projette en un segment de droite. π La projection gnomonique (restreinte à l'hémisphère ord) conserve les plus courts chemins. 4. Activité en classe Le problème initial est la recherche du plus court chemin entre Dole et Quebec, et pour cela on cherche à aplatir la Terre. La projection gnomonique peut être présentée comme moyen de donner une représentation plane de la Terre. Les points de la Terre sont repérés par leur latitude et leur longitude ; pour placer leurs images sur la carte, on peut s'interroger sur les images des parallèles et des méridiens. Pour les parallèles, les élèves peuvent conjecturer qu'ils sont représentés par des cercles, puis s'en convaincre en calculant la distance '', que l'on trouve constante à latitude constante. Il s'agit pour cela d'extraire une gure plane de la gure en perspective, et les notions utilisées sont le théorème de Thalès et la trigonométrie. Pour les méridiens, la propriété utilisée concerne l'intersection de deux plans (ici le plan de projection et le plan contenant le méridien). Les élèves peuvent alors réaliser une trame de la carte (éventuellement avec un logiciel de géométrie). n peut ensuite placer sur cette carte les villes de Dole et Quebec. i l'on relie Dole et Québec par un segment, cela correspond-il au plus court chemin sur la sphère? ur une autre planisphère (par exemple en projection de ercator), les parallèles sont représentés par des segments de droite. À quoi correspond un segment de droite en projection gnomonique? n peut montrer qu'il s'agit de l'image d'un grand cercle. Le chemin passant par un parallèle est-il plus court ou plus long que celui passant par un grand cercle?

9 B Projection stéréographique 1. Dénition oit le pôle ud, (π) un plan parallèle au plan équatorial, et soit un point de la sphère distinct du point. n appelle image de par la projection stéréographique sur (π), à partir du pôle ud, le point, intersection de la droite () et du plan (π). Remarque : le point n'a pas d'image par cette projection. π Par rapport à la projection gnomonique, seul change le centre de la projection. La trame va-t-elle être diérente? Les propriétés de conservation (ou non conservation) vont-elles être diérentes? 2. Trame de la carte (a) Parallèles π H Avec le même raisonnement que pour la projection gnomonique, (intersection d'un cône et d'un plan perpendiculaire à l'axe de celui-ci), on montre que les parallèles se projettent en des cercles concentriques. le calcul de l'expression du rayon r en fonction de la latitude est diérent. Figure dans le plan () H α n a r = tan(α), où l'on note α l'angle, exprimé en degrés (pour tout, on a : 0 α < 90). r α est un angle inscrit qui intercepte l'arc, il est donc égal à la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même angle, soit : α = 1 (90 ). 2 n a donc : r = tan( 1 (90 ) 2 (b) éridiens π La situation est semblable à celle de la projection gnomonique puisque les méridiens passent par pôle ud qui est le centre de la projection. H Les demi-méridiens se projettent en des demi-droites d'origine. (c) Trame

10 Les parallèles sont représentés par des cercles de centre et de rayon proportionnel à tan( 1 2 (90 )). Les méridiens sont représentés par des demi-droites d'origine. n obtient par exemple la trame suivante : Déformations (a) Aires n rappelle que l'aire d'une calotte sphérique de rayon R est proportionnelle à sa hauteur h et est égale à 2πRh. n a h = R(1 sin()) soit à 1 sin(). Par exemple, si l'on compare l'aire de la calotte sphérique correspondant à une latitude > 45 à l'aire de l'hémisphère ord, le rapport des deux est égale à 1 sin(45 ) 1 sin(0 ), soit environ 0,3. En projection stéréographique, le parallèle de latitude est représenté par un cercle de rayon r = cste tan( 1 (90 ). Le rapport des deux aires précédentes, en projection, est égal au carré 2 ( ) tan(22, 5 ) 2 du rapport des rayons, soit : 0, 17 tan(45 ) (b) Échelle le long d'un parallèle 0 Ω h

11 (C) Ω 2 θ 2 θ l 1 l 1 La gure est faite dans le cas particulier où le plan (π) est tangent au pôle ord, mais le calcul ci-dessous est fait dans le cas général. Un arc de parallèle de centre Ω et de rayon r se projette en un arc de cercle de centre et de rayon r. n cherche à comparer les longueurs l et l de ces arcs de cercle. Figure dans le plan () Les angles au centre égaux, d'où l l = r r. 1 Ω 2 et r, r r = H = R + R sin(). 1 2 sont H Par exemple, en prenant = (plan de projection tangent au pôle ord), si l'on considère un arc de parallèle de longueur l = 100 km, il sera représenté par un arc de cercle de longueur l 101 km pour une latitude de 80, et l 170 km pour une latitude de 10. La déformation est moindre que pour une projection gnomonique. (c) Angles Les droites (A) et (B) étant deux droites situées dans le plan tangent à la sphère en, il s'agit de montrer que les angles ÂB et  B sont égaux. (π) est le plan de projection, (P ) est le plan tangent à la sphère en (donc parallèle à (π)). Les points A et B appartiennent au plan (π), A les points C et D sont les points d'intersection B des droites (A) et (B) avec le plan (P ). (π) n a : - ÂB = ĈD (angles opposés par le sommet) - ĈD = Ĉ D (triangles superposables, car tangentes à la sphère issues d'un même point) - ĈD =  B (triangles homothétiques) n en déduit que les angles ÂB et  B sont égaux, et donc qu'une projection stéréographique conserve les angles. (d) Plus court chemin Les plus courts chemins sur une sphère étant des grands cercles, il s'agit de déterminer la projection d'un grand cercle. Dans le cas de la projection gnomonique, le plan contenant un grand cercle contenait aussi le centre de la projection, et un grand cercle se projetait en une droite. Ce n'est plus le cas pour une projection stéréographique. Une projection stéréographique est une inversion, et un grand cercle ne passant pas par le centre de projection se projette en un cercle. La projection stéréographique ne conserve pas les plus courts chemins. éanmoins, en admettant le résultat précédent, les élèves peuvent construire un plus court chemin en projection stéréographique. Exemple : tracé du plus court chemin entre Le Caire et hanghai. (P ) α C D

12 L C h LC En résumé : la projection stéréographique est une projection azimutale (sur un plan), elle ne conserve ni les rapports d'aires, ni les rapports de longueurs. En revanche, elle conserve les angles, on dit qu'elle est conforme. Elle ne conserve pas les plus courts chemins, mais ces derniers peuvent se représenter assez facilement. Ce type de carte pourrait être utile à la navigation. C Projection cylindrique centrale n parle de projection cylindrique lorsque la projection de la sphère se fait d'abord sur un cylindre, que l'on déroule ensuite pour obtenir une carte plane. (Σ) La projection peut se faire horizontalement, depuis le centre des parallèles. Dans ce cas, une calotte sphérique de hauteur h se projette en un cylindre de même hauteur h. H Cette projection, appelée isocylindrique, conserve les aires. () ( ) La projection peut aussi se faire depuis le centre de la Terre, il s'agit alors de la projection cylindrique centrale. 1. Dénition

13 oit la sphère de centre, de rayon R, et le cylindre (Σ) tangent à la sphère suivant l'équateur. L'axe ( ) du cylindre coupe la sphère en et. oit un point de la sphère, diérent de et. (C ) n appelle image de par la projection cylindrique centrale sur le cylindre (Σ), le point, intersection de la demi-droite [) avec (Σ). I L λ (γ) m T T (Σ) Remarque : tout point de l'équateur est invariant par cette projection. (DL) (D) ( ) 2. Trame de la carte (a) Parallèles n a représenté ci-contre le parallèle passant par de centre ω), et son image par la projection cylindrique centrale : le cercle de centre ω, passant par, intersection de (Σ) avec le demi-cône de révolution de sommet, d'axe ( ), contenant ce parallèle. (C ) (C ) ω ω Les parallèles se projettent en des cercles sur (Σ). ( ) (b) éridiens étant un point non situé sur l'équateur, m étant le point de l'équateur de même longitude que, on a représenté ci-contre le méridien passant par (demicercle ouvert de diamètre []), et son image par la projection cylindrique centrale : la droite (m ), intersection de (Σ) avec le demi-plan ouvert, de frontière ( ), contenant ce méridien. m () Les méridiens se projettent en des droites, génératrices de (Σ). (Σ) (Q) ( ) (c) Trame Lorsque l'on développe le cylindre pour obtenir une carte plane, ( ) - Les parallèles sont représentés par des segments de droite, la distance à l'équateur étant proportionnelle à tan(). - Les méridiens sont représentés par des droites, la distance d'un méridien au méridien de Greenwich étant proportionnelle à λ ; les méridiens pris tous les 15 seront donc des droites équidistantes sur la trame. m λ u L Les coordonnées de dans le repère orthonormé (L, u, ( k ) sont Rλ π ) 180 ; R tan(). k L u n obtient la trame suivante :

14 λ = 180 λ = 150 λ = 120 λ = 90 λ = 60 λ = 30 λ = 0 λ = 30 λ = 60 λ = 90 λ = 120 λ = 150 λ = 180 = 75 = 60 = 45 = 30 = 15 Équateur = 15 = 30 = 45 = 60 = Déformations (a) Aires Il sut de regarder sur la trame la partie de l'hémisphère ord correpondant à des latitudes inférieures à 45, qui dans la réalité représente 70% de l'hémisphère ord, pour se convaincre que cette projection ne conserve pas les aires. (b) Échelle le long d'un parallèle Il est clair qu'une telle projection ne conserve pas les rapports de distance, puisque tous les parallèles (dont la longueur dépend de la latitude) sont représentés par des segments de même longueur. Par exemple, si l'on considère un arc de parallèle de longueur l = 100 km, il sera représenté par un arc de cercle de longueur l 102 km pour une latitude de 10, et l 576 km pour une latitude de 80. Les plus grandes déformations concernent les plus grandes latitudes. (c) Plus court chemin L'image d'un grand cercle ne passant pas par les pôles et est une ellipse, intersection du plan contenant ce grand cercle avec le cylindre (Σ). U Remarque : l'image de l'équateur est un cercle. D Lorsque l'on développe le cylindre pour obtenir une carte plane, les grands cercles (autres que l'équateur et ne passant pas par les pôles et ) sont donc représentés par des arcs de sinusoïdes. (d) Angles La projection cylindrique centrale conserve-t-elle les angles? Pour répondre à cette question, nous gardons dans la trame précédente les méridiens, et nous allons calculer l'écartement des parallèles pour que la projection soit conforme, c'est-à-dire pour qu'elle conserve les angles. Projection de ercator ercator (Gerard Kremer, ) est un mathématicien et géographe amand qui étudia à l'université de Louvain. Il est l'auteur de cartes par la projection qui porte son nom. L'Atlas de ercator est publié en (Σ) U L ( )

15 1569. L'idée de ercator est de proposer une carte simpliant la navigation. Grâce à la boussole, les navigateurs peuvent facilement suivre des routes à cap constant (loxodromie). ercator cherche donc à réaliser une carte où : - > éridiens et parallèles sont représentées par des droites ortogonales, - > éridiens équidistants - > Échelle pour représenter les parallèles vérie : Routes à cap constant = segments de la carte (conservation de l'angle par rapport aux méridiens) Loxodromie sur la projection cherchée ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ Loxodromie sur la sphère Il cherche une carte dans laquelle l'angle par rapport aux méridiens est conservée, il va en fait réaliser une projection conforme (conservation des angles). La seule chose que ercator doit déterminer est la graduation qui xe l'écart entre les parallèles. Pour déterminer cette graduation, il va procéder de manière algorithmique, en remplaçant l'égalité des angles cherchée par la similitude de petits triangles : ur la sphère : ur la carte : A C a c B b Les angles sont les mêmes si et seulement si les triangles sont semblables AB = ab AC ac - Position initiale du triangle BAC en B 0 A 0 C 0, latitudes : B 0 0, A 0 et C 0 1, 1 d'écart de longitude entre A 0 et C 0. - n déplace le triangle BAC le long du méridien : B 1 = A 0, nouvelle position B 1A 1C 1,... - ur la carte, l'unité est ac. n détermine les valeurs de ba (b na n) correspondant aux positions successives du triangle ABC. Cela permettra d'installer une nouvelle graduation sur l'axe vertical. b 0a 0 = A0B0 ac = A 0C 0 b 0 b n = π ( 180 π 180 cos( π 1 cos( π )ac bn 1an 1 = π 180 cos( nπ 180 ) 180 ) + 1 cos( 2π 180 )... 1 cos( nπ 180 ) ac 180 )ac La démarche de ercator peut se traduire avec une interprétation physique de son raisonnement : n cherche une fonction V, de façon à remplacer les coordonnées (λ, ) d'un point de la sphère par des coordonnées (λ, V ()) sur la carte en respectant les contraintes précédentes.

16 n en déduit : dv d = 1 cos() AB = AC Rd R cos()dλ et ab ac = dv dλ La fonction cherchée par ercator est donc la solution de l'équation diérentielle : V 1 = cos(v ) V (0) = 0 olution : V () = ln (tan( 2 + π ) 4 ) n peut également arriver à cette équation diérentielle en posant le problème de la recherche d'une carte conforme : ( La diérentielle en tout point est une similitude) Φ \ Γ ]0, 2π[ ] π 2, π 2 [ g ]0, 2π[ J (l, θ) (l, V (θ)) n connait plutôt la fonction Φ 1 : (λ, ) (cos λ cos, sin λ cos, sin ) n raisonne donc sur (g Φ) 1 et on cherche à déterminer la fonction W = V 1. Cette démarche conduit évidemment à la même équation diérentielle. Cet exercice a été abordé en troisième année de licence de mathématiques dans l'unité de calcul diérentiel. Ce qui peut ramener au programme de Terminale est d'observer que la démarche de ercator revient à la détermination, par la méthode d'euler, d'une solution approchée de cette équation diérentielle. ous pouvons comparer le peu de diérence entre les trames exactes et approchées sur un l'intervalle [0, 60]. En conclusion, nous pouvons comparer les qualités des diérents systèmes de projection étudiés : Conservation des angles Conservation des aires Autres Azimutales téréographique Gnomonique Coniques Lambert Cylindriques ercator Isocylindrique Centrale IV Cartographie au quotidien ous venons de présenter quelques éléments de cartographie, relativement simples. la réalité est beaucoup plus complexe. 1. Choix d'un système géodésique de référence

17 ous avons dit que la Terre est constituée d'un ensemble de points qui sont repérés dans un référentiel terrestre par leurs coordonnées (cartésiennes ou géographiques). z r y Il existe en France un certain nombre de points clairement identiés et dont on connait les coordonnées. Environ points géodésiques sont ainsi répertoriés sur le site de l'ig. Par exemple à aint-flour, le clocher aint-vincent de la Cathédrale (photo, schéma et références issues du site de l'ig). x λ (a) Ellipsoïdes et Géoïde ous avons dans cet exposé assimilé la Terre à une sphère. ais dans la réalité la Terre n'est pas sphérique, et en cartographie, elle est plutôt assimilée à un ellipsoïde (compromis entre un modèle aussi proche que possible de la réalité et la simplicité d'emploi). Il existe plusieurs ellipsoïdes de référence : L'ellipsoïde Clarke 1880 (associé aux mesures terrestres en France). L'ellipsoïde GR80 (associé aux mesures satellitaires). En réalité, la Terre n'est pas exactement un ellipsoïde, même pour l'altitude 0 ; sa forme réelle (et très complexe) est appelée géoïde. L'altitude donnée ici correspond sans doute à l'altitude par rapport au géoïde. (b) esures terrestres et satellitaires Il existe plusieurs types de mesures, qui donnent des systèmes de références diérents. En France, on utilise essentiellement les deux systèmes suivants : Un système réalisé à partir de mesures terrestres : le système TF ( ouvelle Triangulation de la France), associé à l'ellipsoïde de Clarke. Un système réalisé à partir de mesures satellitaires : le système RGF93 (Réseau Géodésique Français). C'est le système géodésique ociel qui remplace le TF depuis Il est à peu près équivalent au système WG84 (World geodetic système) utilisé par le GP. Ces systèmes sont associés à l'ellipsoïde GR80. (c) Latitude et longitude du clocher aint-vincent La latitude et la longitude sont données ici en mètres pour une projection Lambert 3 (voir paragraphe suivant). Dans cette projection, le parallèle de référence est le parallèle de latitude 49 gr ( 44 06') et le méridien de référence est le méridien de Paris. Le point d'intersection de ces deux axes a pour coordonnées ( ; ). Le clocher aint-vincent se situe donc à environ 59,7 km à l'est du méridien de Paris et à 104,1 km au nord du parallèle de latitude 44 06'. 2. Choix d'une projection cartographique (a) Remarques générales Les points de la Terre étant repérés, il s'agit maintenant de leur associer leur point image sur la carte. Cette transformation s'appelle une projection cartographique, même s'il ne s'agit pas nécessairement d'une projection au sens mathématique du terme. Du reste, avec le développement

18 de l'informatique, il y a abondance de projections dénies analytiquement et non géométriquement. Cependant l'informatique ne résout en rien le problème incontournable des déformations par projection. ous avons déjà vu que le choix de la projection va se faire en fonction des besoins de la carte. Il va aussi dépendre de la latitude du lieu à cartographier. Pour limiter les déformations, on choisira de préférence : pour les régions polaires, une projection azimutale ; pour les régions de latitudes moyennes, une projection conique ; pour les régions de latitudes faibles, une projection cylindrique. (b) Cartes IG à l'échelle 1/ En ce qui concerne la France, les projections utilisées par l'ig sont des projections coniques conformes (projections sur un cône et qui conservent les angles). Les projections se font sur des cônes sécants à la Terre selon deux parallèles proches du lieu à cartographier pour limiter les déformations, diérents selon les latitudes. Les données de l'ellipsoïde et de la projection utilisée sont précisées dans les cartes à l'échelle 1/25000.