> 1 ère partie : > 2 e partie : Nombres premiers dans. Congruence dans. Séquence 3 MA03. Cned Académie en ligne

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "> 1 ère partie : > 2 e partie : Nombres premiers dans. Congruence dans. Séquence 3 MA03. Cned Académie en ligne"

Transcription

1 > 1 ère partie : Nombres premiers dans > 2 e partie : Congruence dans 1

2 Partie 1 : Nombres premiers dans Chapitre 1 > Définition et propriétés... A AB Définition Propriétés Chapitre 2 > Méthode de recherche des nombres premiers ; crible d Eratosthène... A AB Recherche des nombres premiers inférieurs à 100 Savoir déterminer si un nombre donné est premier Chapitre 3 > Nombres premiers et nombres premiers entre eux... Chapitre 4 > Décomposition d un entier naturel en produit de facteurs premiers... A AB ABC Propriété de décomposition Exemples d utilisation Application à la recherche du nombre de diviseurs dans d un entier non nul Résumé... Exercices d entraînement... Aides aux exercices... Sommaire séquence 3 MA03 3

3 Définition et propriétés A Définition Exemples Un entier naturel n est premier s il admet exactement 4 diviseurs dans Å : 1, + 1, n et n, et donc exactement 2 diviseurs dans ı : 1 et n. Un entier naturel n strictement supérieur à 1 qui n est pas premier est dit composé : c est le cas s il admet dans ı au moins un diviseur autre que 1 et que n. 0 n est pas premier car on peut écrire par exemple : 0 = 2 0 = 5 0 = 7 0 = 25 0 = donc 2, 5, 7, 25, sont des diviseurs entiers naturels de zéro; puisque zéro n admet pas exactement deux diviseurs entiers naturels, il n est pas nombre un premier. 1 n est pas premier car le seul entier naturel diviseur de 1 est 1 lui-même (il n admet donc pas exactement deux diviseurs entiers naturels). 2 est premier car les seuls diviseurs entiers naturels de 2 sont 1 et 2. 3 est premier car les seuls diviseurs entiers naturels de 3 sont 1 et 3. 4 n est pas premier car il admet un autre diviseur entier naturel que 1 et 4 lui-même; en effet 2 est un diviseur de 4. le seul nombre pair qui soit premier est 2, car tout autre nombre pair est divisible par 1, par luimême et aussi par 2, donc n admet pas exactement deux diviseurs dans l ensemble des entiers naturels. B Propriétés Propriété Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1 n admet au moins un diviseur premier n est composé n admet au moins un diviseur premier p tel que p n Démonstration de la première partie : si n est premier, la propriété est vérifiée. si n n est pas premier c est qu il admet dans ı d autres diviseurs que 1 et n. Soit p le plus petit diviseur de n tel que : 1< p< n. Alors on peut affirmer que p est premier car sinon il aurait lui-même au moins un diviseur p tel que : 1< p < p. Mais p divisant p diviserait aussi n, et ceci est en contradiction avec le fait que p est le plus petit diviseur de n compris strictement entre 1 et n. D où p est premier. Conclusion : n entier et n> 1 admet au moins un diviseur premier. 5

4 Démonstration de la deuxième partie Il s agit de prouver une équivalence. soit n composé (non premier) ; comme dans la démonstration précédente, on appelle p le plus petit diviseur de n tel que 1< p< n ; on sait que p est premier et que n s écrit n = pk avec k de ı ; k est donc un diviseur de n supérieur ou égal à p d où n = pk p 2, donc p n l autre implication est évidente, car p est un diviseur positif de n autre que 1 et n (puisque 1< p n< n). Une conséquence importante est la suivante : Si n n admet pas de diviseur premier inférieur ou égal à n alors n est premier. On retient : Pour n entier, n > 1, il y a 2 cas : Soit n est premier Soit n admet un diviseur premier inférieur ou égal à n et alors n est composé Propriété Il existe une infinité de nombres premiers. À connaître Démonstration. Pour prouver cette propriété, il suffit de prouver que quel que soit le nombre entier k que l on se donne, on peut trouver un nombre premier supérieur à k. Considérons le nombre k! + 1 ; on va démontrer qu il admet au moins un diviseur premier supérieur à k ; ceci prouvera la propriété. Posons n = k! + 1 ; on peut écrire : n k! = 1. Le théorème de Bézout nous permet d affirmer que les nombres n et k! sont premiers entre eux, donc leur seul diviseur commun entier positif est 1. Cela veut dire que les entiers successifs 2, 3, 4,, k qui divisent k! ne divisent pas n. Or on sait que n admet au moins un diviseur premier p : il en résulte que p est un nombre premier supérieur strict à k. Conclusion L ensemble des nombres premiers n est pas borné, il y a une infinité de nombres premiers. Exemple 4! + 1 = 25 n est pas premier mais 25 n a pas de diviseur distinct de 1 et inférieur ou égal à 4 ; le plus petit diviseur premier de 25 est en effet : 5. L objectif de cet exemple est seulement d illustrer numériquement la démonstration précédente. 6

5 Méthode de recherche des nombres premiers ; crible d Eratosthène A Recherche des nombres premiers inférieurs à 100 On écrit la liste de tous les entiers de 0 à 99. On commence par rayer 0 et 1 qui ne sont pas premiers. 2 est premier et on raye tous ses multiples, c est-à-dire les entiers pairs à partir de 4. Le premier nombre non rayé est 3, il est premier, on raye alors tous les multiples de 3 qui sont encore en présence. L entier suivant non rayé est 5 ; il est premier ; on raye alors tous les multiples de 5 qui sont encore en présence. Et ainsi de suite Remarque Pour des raisons de lisibilité, il est apparu préférable d encadrer les nombres premiers, plutôt que de rayer les nombres non premiers Cette «table» des nombres premiers s appelle «Crible d Eratosthène». On peut bien sûr envisager d aller au delà de la valeur 99. ERATOSTHÈNE : Mathématicien, astronome et philosophe grec du III e siècle avant J.-C. B Savoir déterminer si un nombre donné est premier 22.Savoir déterminer si un nombre donné est premier Les nombres 211, 367, 491, 501 et 513 sont-ils premiers? Les nombres 211, 367, 491, 501 et 513 sont-ils premiers? 211 De façon évidente 211 n est divisible ni par 2, ni par 3 ni par 5. Essayons la division par les nombres premiers suivants : 7

6 a = 211 ; a = bq+ r et 0 r< b ; b est le diviseur, q est le quotient et r le reste. b = 7 q = 30 r = 1 b = 11 q = 19 r = 2 b = 13 q = 16 r = 3 b = 17 q = 12 r = 7 On va utiliser le résultat conséquence de la propriété 1 vue avant : S il n existe aucun nombre premier inférieur à n, qui soit un diviseur de n, alors cet entier n est premier. Avec la calculatrice on trouve : ,53 Dans cet exemple les nombres premiers inférieurs à 211 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13 et aucun d eux n est un diviseur de 211, on en déduit que 211 est premier. Conclusion : 211 est premier. Remarque La division par 17 était inutile puisqu il suffisait de faire les essais jusqu au plus grand nombre premier inférieur à 211 ; on peut cependant observer que jusqu à la division par 13 on avait : diviseur < quotient, et à partir de 17 on aura : diviseur > quotient. 367 Avec la calculatrice on trouve , 16 Le principe est le même, il y a 2 cas : soit 367 est premier, soit 367 admet un diviseur premier inférieur ou égal à 19. De façon évidente 367 n est pas divisible par 2 car il est impair. Il n est pas divisible par 3 car la somme de ses chiffres vaut = 16 dont la somme des chiffres est 1+ 6 = 7 et 7 n est pas divisible par 3. Il n est pas divisible par 5 car il ne se termine ni par 0 ni par 5. Il nous reste au maximum à faire les essais de division par 7, 11, 13, 17 et 19. On a 367 = donc 7 ne divise pas = donc 11 ne divise pas = donc 13 ne divise pas = donc 17 ne divise pas = donc 19 ne divise pas 367 Il est inutile de poursuivre les essais : aucun nombre premier, inférieur ou égal à 367, ne divise 367 donc : 367 est un nombre premier. 491 Avec la calculatrice on trouve , 16 Les essais consisteront à savoir s il existe au moins un nombre premier inférieur ou égal à 22 qui divise 491. Nous vous conseillons de faire les essais ; on trouve que 491 est un nombre premier. 8

7 501 Il est bon ici de repenser aux critères de divisibilité en base 10 ; on constate que la somme des chiffres de ce nombre vaut 6 et est divisible par 3, donc 501 est divisible par 3 donc : 501 n est pas un nombre premier. 501 est dit «composé». 513 Un raisonnement analogue permet d affirmer que 513 est divisible par 3 (et d ailleurs aussi par 9), d où 513 n est pas un nombre premier. 513 est dit «composé». 9

8 Nombres premiers et nombres premiers entre eux Propriété Tout entier naturel premier p est premier avec tous les entiers naturels qui ne sont pas des multiples de p. Deux entiers naturels premiers distincts, sont premiers entre eux. Un entier naturel premier est premier avec tous les entiers naturels non nuls qui lui sont strictement inférieurs. Si p premier divise un produit de facteurs, alors il divise l un des facteurs. Si p premier divise un produit de facteurs premiers, alors il est égal à l un des facteurs. Attention, ne pas confondre : p est premier (n est divisible dans que par 1 et p) p est premier avec q ( pgcd ( p, q) = 1) Démonstration Soit p un entier naturel premier et n entier naturel non multiple de p. Considérons d un diviseur positif commun à p et n ; d étant en particulier un diviseur de p qui est premier ne peut être que : d = 1 ou bien d = p. La seul possibilité est d = 1, car dans l autre cas on aurait n multiple de p, ce qui est contraire à l hypothèse. Il en résulte que le seul diviseur commun positif de p et de n est 1, d où p et n sont premiers entre eux. Ceci est une conséquence immédiate de, car si p et n sont deux entiers premiers distincts, aucun n est multiple de l autre. C est encore une conséquence immédiate de, car pour p entier donné, aucun entier non nul et strictement inférieur à p n est un multiple de p. Remarque Soit p premier qui divise un produit de facteurs. Supposons que p ne divise aucun des facteurs ; d après on déduit que p est premier avec chacun des facteurs ; or p étant premier avec plusieurs nombres, est premier avec leur produit ; ceci prouve que p ne divise pas ce produit. Cette conséquence est en contradiction avec le fait que p divise le produit de facteurs ; cela veut dire qu il est faux que p ne divise aucun des facteurs, d où p divise au moins un des facteurs. Le genre de la démonstration qui est conduite ici s appelle «un raisonnement par l absurde» ; il est basé sur le principe suivant : Si une supposition S conduit à une contradiction, alors c est la situation contraire de S qui est la bonne. D après on sait que p divise l un des facteurs ; mais ici on sait que ce facteur est lui aussi premier, donc il n est divisible par p que s il est égal à p. Donc p est égal à l un des facteurs. 10

9 Décomposition d un entier naturel en produit de facteurs premiers A Propriété de décomposition Propriété Tout entier naturel non premier supérieur strict à 1, PEUT s écrire de manière UNIQUE comme un produit de facteurs premiers. Remarque Exemples Il s agit là d un résultat très important : c est la «décomposition» en produit de facteurs premiers. 18 = = = = = Démonstration de l existence (l unicité sera admise) : Soit n un entier naturel non premier supérieur strict et à 1. On sait que n admet au moins un diviseur premier p 1 ; donc il existe q 1 de ı tel que : n = p 1 q 1 et 1< q 1 < n. si q 1 est premier, on a bien n = p 1 q 1 produit de deux facteurs premiers, et la démonstration est finie. sinon q 1 admet au moins un diviseur premier p 2 ; donc il existe q 2 de ı tel que : q 1 = p 2 q 2 et 1< q 2 < q 1 < n si q 2 est premier, on a bien n = p 1 p 2 q 2 produit de 3 facteurs premiers, et la démonstration est finie sinon q 2 admet au moins un diviseur premier p 3 ; donc il existe q 3 de ı tel que : q 2 = p 3 q 3 et 1< q 3 < q 2 < q 1 < n n-1 n On poursuit ainsi ce raisonnement, mais on imagine tout de suite que ce processus va s arrêter car entre 1 et n il y a au maximum ( n 2) entiers possibles. Cela veut dire qu à partir d un certain rang k, le quotient q k sera nécessairement premier et la démonstration sera terminée. Finalement : n = p 1 p 2 p 3 p k q k produit de facteurs premiers. Remarque 1 Remarque 2 Ces facteurs premiers ne sont pas forcément distincts entre eux, dans ce cas on regroupe ceux qui sont égaux et on a une écriture avec des exposants comme dans les exemples cités avant. L unicité (admise ici) veut dire qu on ne trouvera pas d autres facteurs premiers que ceux trouvés ici, même si on procède autrement. 11

10 B Exemples d utilisation a) Décomposer 300 en produit de facteurs premiers. disposition pratique dans laquelle on «épuise» successivement toutes les divisions par les facteurs premiers utilisés dans l ordre croissant : = = b) Décomposer 280 en produit de facteurs premiers. On procède de la même façon, on trouve : = Remarque c) En déduire le nombre de diviseurs de 280. Il faut ici être méthodique pour ne pas en oublier : 1 est un diviseur de 280 liste des diviseurs faits avec un seul facteur premier de la décomposition : 2, 5 et 7 liste des diviseurs faits avec deux facteurs premiers de la décomposition : 2 2 = 4 ; 2 5 = 10 ; 2 7 = 14 ; 5 7 = 35 liste des diviseurs faits avec trois facteurs premiers de la décomposition : = 8 ; = 20 ; = 28 ; = 70 liste des diviseurs faits avec quatre facteurs premiers de la décomposition: = 40 ; = 56 ; = 140 liste des diviseurs faits avec cinq facteurs premiers de la décomposition : = 280. Après comptage, on trouve que le nombre 280 possède exactement 16 diviseurs. Une autre façon de chercher tous les diviseurs sans avoir fait la décomposition en facteurs premiers, est de les associer 2 par 2 : 280 = = = = = = = = après 14, l entier le plus petit qui divise 280 est 20, donc la liste est complète. 12

11 d) Déterminer le pgcd de 300 et de 280 Nous avons pour l instant deux méthodes pour chercher ce pgcd : méthode Dresser la liste de tous les diviseurs entiers naturels de 300, puis de 280, puis repérer le plus grand entier commun à ces deux listes : il s agit du pgcd cherché. Cette méthode est adaptée seulement au cas de nombre assez petits. méthode Utilisation de l algorithme d Euclide pour lequel le dernier reste non nul est le pgcd cherché. Avec la décomposition en produit de facteurs premiers nous allons disposer d une troisième méthode : méthode La décomposition en produit de facteurs premiers va nous donner un autre moyen de chercher le p.g.c.d. On a : 300 = = si δ est le pgcd de 300 et de 280, chaque facteur premier p qui intervient dans la décomposition de δ doit diviser 300, c est-à-dire , donc p premier divisant un produit de facteurs premiers est égal à l un d eux : p est soit 2, soit 3, soit 5. En conduisant le même raisonnement pour δ diviseur de 280, on arrive à : p est soit 2, soit 5, soit 7. Finalement p ne peut être que 2 ou bien 5. Ce raisonnement vaut pour chaque facteur premier p de δ cherché, donc p peut être l un quelconque des facteurs premiers communs intervenant dans la décomposition de 300 et 280. On peut écrire aussi : 300 = = On ne prend que les facteurs communs, 300 : : δ : d où pgcd ( 300, 280) = = n est pas un facteur premier, mais est l élément neutre de la multiplication, d où : pgcd ( 300, 280) = = 20. Cette dernière ligne nous donne d une part la valeur 20 du pgcd, mais aussi sa décomposition en produit de facteurs premiers (on est certain que c est bien d elle dont il s agit, grâce à son unicité). Remarque e) Déterminer le ppcm de 300 et de 280. Là encore plusieurs méthodes : méthode On écrit dans l ordre croissant le début de la liste (infinie) des multiples entiers strictement positifs de 300, puis de 280, puis on repère le plus petit élément commun aux deux listes, c est le ppcm cherché. le nombre est de façon évidente un multiple commun de 300 et de 280, donc leur ppcm sera inférieur ou égal à leur produit. 13

12 méthode Si on a déjà calculé le pgcd, on utilise le résultat : ppcm( 300, 280) = = = 4200 pgcd( 300, 280) 20. Rappel : pgcd( a, b) ppcm( a,b) = ab méthode Utilisation de la décomposition en produit de facteurs premiers. Un multiple commun à 300 et 280 est tel que dans sa décomposition en produit de facteurs premiers, apparaissent au moins tous les facteurs premiers des décompositions de 300 ou de 280. Si nous prenons tous les facteurs premiers apparaissant dans la décomposition de 300 ou dans celle de 280, et rien qu eux, alors nous aurons le ppcm. 300 = = : : ppcm : ppcm( 300, 280) = = = 4200 Remarque Ces méthodes de calcul du pgcd et du ppcm, qui utilisent la décomposition en produit de facteurs premiers, se généralisent aux pgcd et ppcm de plusieurs nombres. C Application à la recherche du nombre de diviseurs dans d un entier non nul Reprenons l exemple du nombre diviseur 3 diviseurs 1 diviseur 1 diviseur 6 diviseurs 4 diviseurs Un travail direct qui visait à associer 2 par 2 les diviseurs, a permis de lister 16 diviseurs pour le nombre 280. Utilisons maintenant la décomposition en facteurs premiers de = Aidons-nous de cette décomposition pour lister les diviseurs et commencer à comprendre une méthode de comptage qui sera généralisable. 1 divise 280 2, 2 2, 2 3 divisent 280 : il s agit de 2 i pour 1 i 3 5 divise divise 280 les nombres de la forme : 2 i 5 et 2 i 7 divisent 280, pour 1 i 3 les nombres de la forme : 2 i 5 7 divisent 280, pour 0 i 3 14

13 Nous avons ainsi tous les diviseurs. Tous les renseignements détaillés au-dessus peuvent s écrire de façon plus condensée de la façon suivante : un diviseur de 280 s écrit 2 i 5 j 7k où i, j et k sont des entiers naturels tels que : 0 i 3, 0 j 1 et 0 k 1, C est-à-dire 4 possibilités pour i auxquelles se greffent 2 possibilités pour j, et enfin 2 possibilités pour k. Il y a donc en tout : = 16 diviseurs pour = le nombre de diviseurs de 280 est : ( 3+ 1) ( 1 + 1) ( 1 + 1) = 16 Généralisation Si n est premier, on sait par définition qu il possède exactement 2 diviseurs dans : ses diviseurs sont 1 et n lui-même Soit n un entier naturel non premier ( n> 1) facteurs premiers : ; il existe une unique décomposition en produit de α n p 1 α 1 p 2 α 2 p 3 α 3 p k α = k produit de facteurs de la forme p i i où les p i sont des entiers premiers, et α 1 est l exposant entier naturel non nul de p i. Un entier naturel d est un diviseur de n si et seulement si il s écrit sous la forme : γ d p 1 γ 1 p 2 γ 2 p 3 γ = 3 p k k où 0 γ i α i γ (si γ 1 = 0, c est que le facteur p 1 γ 1 n apparaît pas puisque : p 1 1 = p0 1 = 1 ) Il y a donc autant de diviseurs de n que de façons de choisir ( γ 1, γ 2, γ 3,, γ k ) sachant que chacune des coordonnées γ i écrites peut prendre ( α i + 1) valeurs allant de 0 à α i. Le nombre de possibilités est donc : ( α 1 + 1) ( α 2 + 1) + ( α 3 + 1) + +( α k + 1) nombre qu on peut encore écrire : ( α i + 1) i = 1 Ce nombre se lit «produit des nombres α i + 1 pour i variant de 1 à k». k α Si n se décompose en n p 1 α 1 p 2 α = 2 p k k le nombre de tous les diviseurs de n est : ( α 1 + 1)( α 2 + 1) ( α k + 1) On retiendra la propriété suivante : Propriété Soit n = α p 1 α 1 p 2 α 2 p 3 α 3 p k k la décomposition en produit de facteurs premiers d un entier naturel n. d est un diviseur de n si et seulement si la décomposition de d en produit de facteurs premiers est : d = γ p 1 γ 1 p 2 γ 2 p 3 γ 3 p k k où 0 γ i α i. Le nombre des diviseurs entiers naturels de n est : ( α 1 + 1) ( α 2 + 1) ( α 3 + 1) ( α k + 1) 15

14 Exemple Exemples Quel est le nombre de diviseurs de 120? Réponse : la décomposition en produit de facteurs premiers de 120 est : = = il en résulte que le nombre de diviseurs de 120 est : ( 3+ 1) ( 1+ 1) ( 1+ 1) = 16 Exemple Quel est le plus petit entier naturel N ayant 18 diviseurs? Réponse : On essaie de faire apparaître 18 sous la forme : ( α 1 + 1) ( α 2 + 1) ( α k + 1) Les différentes façons d écrire 18 en produit de facteurs sont : 18 = 1 18 = ( 0+ 1) ( ) = 2 9 = ( 1+ 1) ( 8+ 1) = = ( 1+ 1) ( 2+ 1) ( 2+ 1) = 3 6 = ( 2+ 1) ( 5+ 1) (1) (2) (3) (4) Pour la ligne (1) on interprète ( 0+ 1) ( ) en ( α 1 + 1) ( α 2 + 1) où α 1 = 0 et α 2 = 17 sont les exposants de 2 facteurs de la décomposition en produit de facteurs premiers de N, et comme on cherche N le plus petit possible on va prendre les facteurs premiers les plus petits possibles. α N p 1 α = 1 p 2 2 = p0 1 p17 2 = p17 2 Correspondant à la ligne (1) on retient N = 2 17 = Pour la ligne (2) : N = p1 1 p8 2 N = ou N = ; le plus petit est N = = 768 Pour la ligne (3) : N = p1 1 p2 2 p2 3 N = = 180 Pour la ligne (4) : N = p2 1 p5 2 N = = 288 Conclusion Le plus petit entier naturel N ayant 18 diviseurs est N = 180. Exemple Déterminer tous les entiers naturels ayant 15 diviseurs et dont la décomposition en facteurs premiers ne contient que les facteurs 2, 3, 5 ou 7. Vérifier que les résultats trouvés sont des carrés d entiers. 16

15 Réponse 15 = 1 15 = ( 0+ 1) ( ) = 3 5 = ( 2+ 1) ( 4+ 1) Nous avons donc deux cas : soit le seul exposant à intervenir est 14, soit il y a deux exposants qui interviennent, qui sont les exposants 2 et 4. Cas où seul l exposant 14 intervient ; les réponses sont : 2 14, 3 14, 5 14 ou 7 14 ; ce sont effectivement tous des carrés, puisque les exposants sont pairs ; (par exemple 2 14 est le carré de 2 7 ). Cas où les exposants 2 et 4 interviennent ; les réponses sont : ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ce sont aussi tous des carrés (par exemple : = ( ) 2 ). 17

16 ésumé Nombres premiers Définition Un entier naturel n est premier s il admet exactement deux diviseurs dans ı, qui sont 1 et lui-même. (Il admet donc exactement quatre diviseurs dans Å, qui sont 1, 1, n et n. Un entier naturel n, strictement supérieur à 1, qui n est pas premier est dit composé. Propriétés Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1 n admet au moins un diviseur premier (n composé) (n admet au moins un diviseur premier p tel que : p n ) Il existe une infinité de nombres premiers Tout entier naturel premier p est premier avec tous les entiers naturels qui ne sont pas des multiples de p. Deux entiers naturels premiers distincts sont premiers entre eux. Un entier naturel premier est premier avec tous les entiers naturels non nuls qui lui sont strictement inférieurs. Si un nombre premier p divise un produit de facteurs, alors il divise l un des facteurs. Si un nombre premier p divise un produit de facteurs premiers, alors il est égal à l un des facteurs. Tout entier naturel non premier, supérieur strictement à 1, PEUT s écrire de manière UNIQUE comme un produit de facteurs premiers. α Soit n p 1 α 1 p 2 α 2 p 3 α = 3 p k k la décomposition en produit de facteurs premiers d un entier naturel n. (d est un diviseur de n) la décomposition de d en produit de facteurs premiers est : γ d p 1 γ 1 p 2 γ 2 p 3 γ = 3 p k k où 0 γ i α i Il faut aussi savoir ce qu est le «crible d Eratosthène» 18

17 xercices d entraînement Utilisation de la décomposition en produit de facteurs premiers, pour la recherche de p.g.c.d. et de p.p.c.m. Déterminer le p.g.c.d. et le p.p.c.m de 756 et 1764 de et et Lien entre décomposition en produit de facteurs premiers et nombre de diviseurs. Quel est le nombre de diviseurs de 15015? Lien entre décomposition en produit de facteurs premiers et nombre de diviseurs. Quel est le plus petit nombre entier ayant 10 diviseurs? Écriture d un entier en produit de 2 facteurs Déterminer x et y entiers positifs ou nuls vérifiant x 2 y 2 = 24 Écriture d un entier en produit de 2 facteurs Reconnaître si 401 est premier et résoudre dans l ensemble des entiers naturels l équation : x 2 y 2 = 401 Trouver une solution vérifiant une condition donnée. Déterminer les couples ( a, b) d entiers naturels tels que : 117a 260b = 0 et tels que pgcd( a, b) = 36. Quel est alors le p.p.c.m. de a et b? Utilisation de critères de divisibilité en base dix et utilisation de la décomposition en produit de facteurs premiers pour obtenir un carré parfait. Dans le système décimal de numération on considère le nombre 3x4y. Déterminer x et y pour que ce nombre soit divisible par 36. Soient a, b, c les trois nombres divisibles par 36 obtenus à la question précédente. Déterminer les plus petits nombres m, n et p tels que : ma, nb et pc soient les carrés de nombres entiers. Utilisation de tous les diviseurs d un nombre dont la décomposition contient 2 facteurs premiers distincts. Soit n = 200 = Quel est le nombre N des diviseurs de n? Les classer par ordre de grandeur croissante, calculer le produit P de tous ces diviseurs et vérifier la relation : n N = P 2 (1) Si la décomposition de n en produit de facteurs premiers est : n = a α b β, l égalité (1) est-elle encore vérifiée? 19

18 Exercice de recherche utilisant les deux notions à ne pas confondre : nombre premier nombres premiers entre eux Soit p un entier naturel premier a) Démontrer que si k est un entier naturel tel que 1 k p 1, le nombre p est divisible k par p. (Le nombre noté p désigne le nombre de combinaisons de k éléments parmi p). k b) En déduire que, quel que soit l entier naturel n, le nombre ( n+ 1) p n p 1 est divisible par p. Démontrer que quel que soit l entier naturel n, le nombre n p n est divisible par p. (On pourra faire un raisonnement par récurrence sur n). Pour quelles valeurs de n a-t-on : n p 1 1 divisible par p? Factorisation dans le système décimal de numération. Dans le système décimal de numération on considère les nombres de la forme ab ab ab, où les chiffres a et b peuvent prendre toutes les valeurs de 0 à 9. Soit E l ensemble constitué de tous ces nombres. (Par exemple , = et 0 = sont des éléments de E). Quel est le nombre n d éléments de E? Démontrer que tous les éléments de E admettent plusieurs diviseur communs et qu en particulier ils sont divisibles par 37. a) Quel est le plus grand diviseur commun d de tous les nombres de E? b) Sachant que tout diviseur commun à ces n nombres est aussi un diviseur de d, dresser la liste de tous les diviseurs communs aux n nombres de E. Calculer la somme S de tous les éléments de E. 20

19 ides aux exercices Exercices et Il s agit d exercices d application directe du cours : la décomposition en produit de facteurs premiers peut permettre de calculer p.g.c.d. et p.p.c.m., et aussi de calculer le nombre de diviseurs dans ı d un entier donné. Exercices et On pense à écrire : x 2 y 2 = ( x y) ( x+ y) ; ceci donne l idée d écrire aussi le second membre en un produit de deux facteurs. La première idée est de simplifier au maximum l équation proposée. Le théorème de Gauss pourra ensuite permettre de conclure. Revoir la condition pour qu un nombre soit divisible par 36, et utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers pour reconnaître un carré. Il est intéressant de remarquer que tous les diviseurs d un nombre n sont associés 2 par 2. En effet si d est un diviseur de n, alors il existe k entier tel que : n et k est aussi un diviseur de n. = dk a) p pp ( 1) ( p 2) ( p k+ 1) = k k! p Il est préférable d écrire ce résultat sous la forme : pp ( 1) ( p k+ 1) = k! pour pouvoir k utiliser le fait que p est un diviseur de : k! p, et là le théorème de Gauss doit certainement pouvoir k servir. b) Formule du binôme de Newton. L idée générale de cet exercice est de faire apparaître le nombre

20 Partie 2 : Congruence dans Chapitre 1 > Définition et propriétés de compatibilité... A AB Congruences modulo n dans, avec n entier naturel non nul Propriétés de compatibilité Chapitre 2 > Application des congruences à la recherche du reste dans un division euclidienne... A AB ABC Division euclidienne d un entier relatif a (a dans ) par un entier naturel b non nul (b dans *) Lien entre division euclidienne par n et congruence modulo n Quelques exemples Chapitre 3 > Lien entre critères de divisibilité usuels en base dix, et congruences... A AB ABC Utilisation des chiffres Quelques exemples Principe de la preuve par 9 Chapitre 4 > Le petit théorème de Fermat... A B Le petit théorème de Fermat Prolongement du petit théorème de Fermat Exemples C Résumé... Exercices d entraînement... Aides aux exercices... Chapitre 5 > Utilisation d un tableur... A B Recherche des diviseurs d un nombre Détermination du reste dans une division euclidienne Sommaire séquence 3 MA03 23

21 Définition et propriétés de compatiblité A Congruences modulo n dans, avec n entier naturel non nul Exemples Considérons les entiers relatifs : 13, 8, 7 et 8 ; effectuons leurs différences deux à deux et observons si cette différence est multiple de 5. ( 13) ( 8) = 5 : c est un multiple de 5 (1) ( 13) 7 = 20 : c est un multiple de 5 (2) ( 13) 8 = 21 : ce n est pas un multiple de 5 (3) ( 8) 7 = 15 : c est un multiple de 5 (4) ( 8) 8 = 16 : ce n est pas un multiple de 5 (5) 7 8 = 1 : ce n est pas un multiple de 5 (6) Dans les lignes (1), (2) et (4) la différence est un multiple de 5 nous dirons que : 13 et 8 sont «congrus» modulo 5 13 et 7 sont «congrus» modulo 5 8 et 7 sont «congrus» modulo 5 et nous écrirons : 13 8 (mod 5) ou encore 13 8 [ 5] ou encore 13 8 ( 5) 13 7 (mod 5) ou encore 13 7 [ 5] ou encore 13 7 ( 5) 8 7 (mod 5) ou encore 8 7 [ 5] ou encore 8 7 ( 5) mais le cas de la ligne (3), par exemple, se traduit par ( 13) n est pas «congru» à 8 modulo 5 et peut s écrire : 13 8 [ 5] La signe utilisé ressemble au signe «égal» : =, mais ici, il y a trois barres superposées. Définition et notation Soit n un entier naturel non nul donné, et soient x et y deux entiers relatifs quelconques. On dit que x est congru à y modulo n si la différence x y est un multiple de n. Dans ce cas on note : x y (mod n) ou encore x y [n] ou encore x y (n) et on lit «x congru à y modulo n». Remarque si x y est multiple de n, on a aussi y x multiple de n donc si : x y n on a aussi : [ ] y x [ n] 25

22 B Propriétés de compatibilité Addition, soustraction et multiplication Propriété : Addition et soustraction de congruences de même module La relation de congruence modulo n est compatible avec l addition et avec la soustraction dans Å ; c est-à-dire que si on a : x y [ n] et x y [ n] alors on a aussi : et : x+ x y+ y [ n] x x y y [ n] Cela veut dire que si on a deux congruences modulo n, on peut les ajouter membre à membre ou les retrancher membre à membre et on obtient encore une congruence modulo n. Démonstration x y [ n] se traduit par x y multiple de n x y [ n] se traduit par x y multiple de n On en déduit que la «somme» ( x y) + ( x y ) est encore un multiple de n, c est-à-dire : ( x+ x ) ( y+ y ) multiple de n ; ceci veut dire x+ x y+ y [ n]. En remplaçant le mot «somme» par le mot «différence» dans le raisonnement précédent, on prouve : x x y y [ n] Exemple On sait 13 8 [5] 7 8 [5] En ajoutant membre à membre on obtient : En retranchant membre à membre on obtient : 6 16 [5] 20 0 [5] (on peut contrôler les deux nouvelles congruences obtenues en revenant à la définition). Propriété : Multiplication de congruences de même module La relation de congruence modulo n est compatible avec la multiplication dans Å ; c est-à-dire que si on a : x y [ n] et x y [ n] alors on a aussi : xx yy [ n] Cela veut dire que si on a deux congruences modulo n, on peut les multiplier membre à membre et on obtient encore une congruence modulo n. Démonstration x y [ n] donc il existe k de Å tel que x y = kn d où x = y+ kn x y [ n] donc il existe k de Å tel que x y = k n d où x = y + k n 26

23 On a donc : xx = ( y+ kn) ( y + k n) = yy + nky ( + k y+ kk n) Posons k = ky + k y+ kk n ; k est un élément de Å et xx yy = k n. Cette dernière ligne prouve : xx yy [ n]. Exemple On sait 13 8 [5] 7 8 [5] on en déduit : 13 7 ( 8) ( 8) [5] c est-à-dire : [5] (on peut encore contrôler ce résultat en revenant à la définition). Propriété : Multiplication par un entier Si x y [ n] on a aussi : alors quel que soit k de Å kx ky [ n] Exemple Démonstration Cette propriété est un cas particulier de la propriété 2, car : x y [ n] et k k [ n]. On sait 13 8 [5] En multipliant les deux membres par le même nombre ( 3) on obtient : [5] Propriété : Elévation à une puissance Si x y [ n] alors quel que soit l entier naturel p on a aussi : x p y p [ n] (par exemple) Exemple Remarque Cette propriété est une conséquence de la propriété 2; on l établit en faisant un raisonnement par récurrence). On sait Donc [ 5] [ 5] c est à dire [ 5] ou encore [ 5] De même [ 5] c est à dire [ 5] ou encore [ 5] De même [ 5] c est à dire [ 5] ou encore [ 5] Pour cette dernière ligne, on peut aussi procéder de la façon suivante : puisque [ 5] on en déduit ( 7 2 ) 2 ( 1) [ 5] c est à dire [ 5] Cette dernière idée est importante : quand un nombre est congru à 1 modulo n, le carré de ce nombre est congru à 1 modulo n. Prudence avec la division d une congruence par un entier Exemple : on sait [ 8] En divisant les deux membres par 2, a-t-on encore une congruence modulo 8? réponse : non car 9 5 [8] 27

24 Remarque Cela veut dire qu en général «x y [n]» n implique pas «- x y = - [n]» k k Par contre : 9 5 [ 4] (on a divisé aussi le module par 2). Propriété : Simplification d une congruence Soient x et y deux entiers divisibles par un même entier naturel k ; x y n si ( x y [n] et n divisible par k) alors (on divise aussi le module) k k k x y si ( x y [n] et n et k premiers entre eux) alors - - k k Démonstration Puisque x, y et n sont divisibles par k, il existe des entiers x, y et n tels que x = kx, y = ky et n = kn. La congruence x y [ n] se traduit par l existence d un entier p tel que x y = p n, donc kx ky = pkn ( ); en simplifiant par k, on obtient : x y = pn ; la différence x y étant x y n un multiple de n, cela se traduit par : x = y [ n ] ou encore : k k k De même, puisque x et y sont divisibles par k, il existe des entiers x et y tels que x = kx et y = ky. Avoir x y [n] veut dire que n divise x y, c est à dire n divise kx ky ou encore n divise kx ( y ). On sait ici que n et k sont premiers entre eux; d après le théorème de Gauss, on en déduit que n x y divise x y ; cela se traduit par la congruence : x y [n], ou encore - - [n]. k k [ n] Exemples On a [8] ; on peut diviser 18, 10 et aussi le module 8 par 2 et on a bien : 9 5 [4] (il faut bien remarquer qu on a aussi divisé le module par 2). On a 36 6 [5] ; 36 et 6 sont divisibles par 3 et ce diviseur 3 est premier avec le module 5; on constate que l on a bien : 12 2 [5] et de même puisque 2 est premier avec 5, on a aussi 6 1 [5]. 28

25 Application des congruences à la recherche du reste dans une division euclidenne A Division euclidienne d un entier relatif a (a dans ) par un entier naturel b non nul (b dans *) Exemple Autres exemples * Le cas a 0 (a dans ı) a déjà été traité dans la première séquence ; il s agit de la division euclidienne d un entier naturel a par un entier naturel b non nul. Il existe un quotient q unique et un reste r unique dans ı tels que : * Cas a< 0 on veut diviser ( 20) par 3 : on sait 20 = donc 20 = 3 ( 6) 2 = 3 ( 6) = 3 ( 7) + 1 a = bq+ r et 0 r< b On retient la dernière écriture car on a le reste 1 dans ı et inférieur strictement à 3. Le cas général se traite comme l exemple précédent pour lequel on observe : 20 = et 0 2< 3 20 = 3 ( 7) + 1 et 0 1< 3 Le quotient de la division euclidienne de ( 20) par 3 est ( 7) et le reste est 1. division euclidienne de ( 503) par 26 On a : 503 = et 0 9< = 26 ( 19) 9 = 26 ( 20) = 26 ( 20) + 17 et 0 17 < 26 Le quotient de la division euclidienne de ( 503) par 26 est q = 20 et le reste est r = 17. division euclidienne de ( 1036) par 4. On a : 1036 = (reste nul car 1036 est multiple de 4) donc : 1036 = 4 ( 259) Le quotient de la division euclidienne de ( 1036) par 4 est ( 259) est le reste est r = 0. Propriété Quel que soit l entier relatif a (a dans Å) et l entier naturel non nul b (b dans ı * ), il existe un unique nombre q dans Å, et un unique nombre r dans ı vérifiant : a = bq+ r et 0 r< b. q s appelle le quotient et r s appelle le reste de la division euclidienne de a par b. Remarque Cette propriété généralise la division euclidienne vue sur les entiers naturels, et permet d avoir toujours la même condition sur le reste : 0 reste < diviseur 29

26 B Lien entre division euclidienne par n (n ) et congruente modulo n Soit a dans Å et n dans ı *. La division euclidienne de a par n se traduit par : a = nq+ r et 0 r< n donc a r = nq donc a r multiple de n, donc a r [ n]. Ce résultat qui aura des applications importantes, fait l objet de la propriété suivante : Propriété un entier relatif a est congru modulo n à son reste r dans la division euclidienne de a par n x y( mod n) x et y ont même reste dans la division euclidienne par n. C Quelques exemples Exemple Quel est le reste dans la division euclidienne de par 7? (Il ne s agit bien sûr pas de calculer ce nombre ). Réponse La division euclidienne de 2006 par 7 donne : 2006 = Le reste est 4 donc (mod 7) La compatibilité de la relation de congruence avec l élévation à une puissance permet de dire que : pour tout exposant n de ı * on aura aussi 2006 n 4 n (mod 7) et en particulier = (mod 7). Il va être beaucoup plus simple d examiner les puissances successives de 4 : on a : 4 4 (mod 7) donc : (mod 7) car 16 = d où : (mod 7) (en multipliant les 2 membres par 4) c est-à-dire : (mod 7) ou encore : (mod 7) car 8 = Ce dernier résultat est très important, car il va simplifier beaucoup les choses du fait que : ( 4 3 ) (mod 7) ( 4 3 ) (mod 7) ( 4 3 ) (mod 7) ( 4 3 ) k 1 k 1 (mod 7) pour k quelconque de ı * 30

27 Ne perdons pas de vue que : (mod 7) Effectuons la division euclidienne de 503 par = Donc = 4 ( ) = ( 4 3 ) D après les calculs faits avant on a : ( 4 3 ) (mod 7) et (mod 7) donc ( 4 3 ) (mod 7) c est-à-dire (mod 7) ou encore (mod 7) Remarque Exemple 2 étant tel que : 0 2< 7, est le reste dans la division euclidienne de par 7. La méthode mise en œuvre dans cet exemple est très importante. Calculer le reste dans la division euclidienne par 7 du nombre : Réponse 19 5 [ 7] d où [ 7] Intéressons-nous aux puissances successives de [7] [7] [7] donc ( 5 3 ) 2 ( 1) [7] c est-à-dire [7] d où pour tout k de ı * on aura 5 6k 1 [7] car 1 k = 1 Effectuons la division euclidienne de 52 par 6 : 52 = donc 5 52 = = or [7] et [7] d où en multipliant membre à membre, on obtient : [7] Il en résulte : [7]. Effectuons un travail analogue pour

28 23 2 [7] donc [7] [7] [7] donc 2 3k 1 [7] 41 = donc 2 41 = = [7] Récapitulatif : [7] et [7] d où [7] Conclusion : le reste de dans la division euclidienne par 7 est 1. Remarque Il est parfois utile de faire apparaître des nombres négatifs asses tôt dans les calculs de congruences ; ici : 19 5 [7] donc aussi 19 2 [7] 23 2 [7] D où ( 2) ( 2 3 ) 31 [7] Or 2 3 = 8 1 [7] donc ( 2 3 ) [7] Cette méthode évite d étudier les puissances de 5 modulo 7. 32

29 Lien entre critères de divisibilité usuels en base dix, et congruences A Utilisation des chiffres Soit le nombre n = x p x p 1 x 2 x 1 x 0(dix) Il s agit de l écriture avec les chiffres écrits les uns à côté des autres. Critère de divisibilité par 2, par 5 ou par 10 n = x p x p 1 x 2 x x modulo 2 ou modulo 5 ou modulo 10 car 10 = 2 5 donc n x 0 (mod 2) ou (mod 5) ou (mod 10) Il en résulte que n est divisible par 2, par 5 ou par 10 si c est le cas du nombre des unités. Critère de divisibilité par 4, par 25 ou par 100 n = x p x p 1 x x 1 x modulo 100 ou modulo 4 ou modulo 25 car 100 = 4 25 donc n x 1 x 0 (mod 100) ou (mod 4) ou (mod 25) Il en résulte que n est divisible par 4, par 25 ou par 100 si c est le cas du nombre formé par ses 2 derniers chiffres à droite. Critère de divisibilité par 8, par 125 ou par 1000 n = x p x p 1 x x 2 x 1 x modulo 1000 ou modulo 8 ou modulo 125 car 1000 = donc n = x 2 x 1 x 0 (mod 1000) ou (mod 8) ou (mod 125) Il en résulte que n est divisible par 8, par 125 ou par 1000 si c est le cas du nombre formé par ses 3 derniers chiffres à droite. Critère de divisibilité par 3 ou par 9 n = x p 10 p + x p 1 10 p x x 10 + x modulo 3 ou modulo 9 donc pour tout exposant k ı * : 10 k 1 k 1 (mod 3) ou (mod 9) D où n x p + x p x 2 + x 1 + x 0 (mod 3) ou (mod 9) c est-à-dire : dans une congruence modulo 3 ou modulo 9 un nombre n est congru à la somme de ses chiffres. Il en résulte que n est divisible par 3 ou par 9 si c est le cas de la somme de ses chiffres. 33

30 Exemples [3] ou [9] 0 [3] ou [9] [3] ou [9] [3] ou [9] [3] [9] Le reste de la division euclidienne de par 9 est 3. Critère de divisibilité par 11 n = x p 10 p + x p 1 10 p x x 10 + x On sait que 10 1 donc 10 k ( 1) k ( mod11). Si k est pair : 10 k 1 (mod 11) et si k est impair 10 k 1 (mod 11). Il en résulte que n x 0 x 1 + x 2 x 3 + x 4 x 5 (mod 11); on prend le chiffre des unités, on lui retranche le chiffre des dizaines, puis on ajoute le chiffre des centaines, puis on retranche le chiffre des «mille», puis on ajoute le chiffre des «dix-mille», etc ; on dit que l on fait «la somme alternée» des chiffres à partir du chiffre des unités. On vient de prouver que dans une congruence modulo 11, un nombre est congru à «la somme alternée» de ses chiffres à partir du chiffre des unités. Il en résulte que n est divisible par 11 si c est le cas pour la «somme alternée» de ses chiffres. B Quelques exemples Exemple Clément a fait à la main la multiplication suivante : = En utilisant les congruences modulo 9, prouver que le résultat est faux. Réponse (mod 9), c est à dire (mod 9) (mod 9), c est à dire (mod 9) Il en résulte que : (mod 9) 7 (mod 9) Examinons la valeur modulo 9 du résultat proposé par Clément : ( 3 + 6) + ( 7+ 8) + ( 7+ 7) + ( 7+ 6) (mod 9) (mod 9) (mod 9) donc (mod 9) Le premier nombre est congru à 7 et le deuxième est congru à 6 modulo 9; il en résulte que ces deux membres ne sont pas égaux, et donc le résultat de Clément est faux. Exemple Sans utiliser de calculatrice, peut-on affirmer que le nombre est divisible par 11? Réponse Ce nombre est divisible par 11 si et seulement si il est congru à zéro modulo 11. On va utiliser le résultat établi précédemment modulo 11, le nombre est congru à la somme «alternée» de ses chiffres à partir du chiffre des unités. 34

31 (mod 11) 6 (mod 11) Ce nombre n est pas congru à zéro modulo 11, donc n est pas divisible par 11. Exemple Trouver les deux chiffres x et y du nombre N soit divisible par 72. = 28x75y (écriture décimale), pour que ce nombre N Réponse On sait que 72 = 8 9 et que 8 et 9 sont premiers entre eux. Pour que le nombre N proposé soit divisible par 72, il suffit donc qu il soit divisible par 8 et par 9. N divisible par 8 75y divisible par 8 (1) N divisible par x y 0 (mod 9) (2) Exploitons la ligne (1) en faisant différents essais avec la calculatrice (y est un entier compris entre 0 et 9). Seul 752 est divisible par 8 ( 752 = 8 94), donc si y existe, il vaut nécessairement 2. Reportons cette valeur de y dans l information (2) : x y = 10+ x = 24 + x 6 + x (mod 9) On cherche x entier naturel entre 0 et 9 tel que : 6+ x 0 (mod 9) ; nécessairement x = 3. Si N satisfait aux conditions alors N = On contrôle que = Conclusion : Le nombre N cherché est C Principe de la preuve par 9 Exemple d une multiplication Peut-on savoir sans poser l opération et sans utiliser sa calculatrice si le résultat de la multiplication : peut donner : ? Utilisons les congruences modulo = 5 et ( 1+ 8) 7 On a : [9] et [9] donc [9] 35 8 [9] [9] et [9] 0 [9] On est certain que : car ces deux membres ne sont pas congrus au même nombre modulo 9. 35

32 Remarque Si on prend une calculatrice, pour l exemple précédent on trouve le bon résultat suivant : = Mais si par exemple on permute deux chiffres, les congruences ne permettront pas de constater une erreur. Le principe général est le suivant : si x y = z et si x x [9], y y [9] et z z [9] alors on doit nécessairement avoir : x y z [9] il s agit bien d une condition nécessaire, mais elle n est pas suffisante. Cela permet tout de même de pouvoir affirmer qu un résultat est faux. Disposition pratique x y = z x x [9] x' y y [9] z' x'y' y' z z [9] Pour que l opération soit bonne il est nécessaire d avoir z x y [9].? = x5 7 5 = 35 0 [9] donc n est sûrement pas la bonne réponse. Cas d une division euclidienne Divisons a par b : Supposons a a [9] b b [9] q q [9] r r [9] a = bq+ r et 0 r< b. Alors nécessairement on doit avoir : a b q + r [9]? Peut-on avoir = x8+0 6 La réponse est non car [9] Peut-on avoir = ? x8+0 Cette fois-ci on a bien : 6 8 = [9] 36

33 donc [9] donc [9] donc [9] MAIS on ne peut PAS quand même conclure à l exactitude du résultat (et d ailleurs il est faux). Disposition pratique : b' a' b'q'+r' q' si a b q + r [9] alors le calcul est faux. Principe général d une preuve par 9 xy =? z z' x' y' x'y' Si x y z [9] alors la multiplication est FAUSSE Si x y z [9] la multiplication peut être bonne, mais sans certitude.? a = bq+ r b' a' b'q'+r' q' Si a b q + r [9] alors la division est FAUSSE Si a b q + r [9] la division peut être bonne, mais sans certitude. La simplicité de ces preuves réside dans le fait que les nombres x, y, z, a, b, q et r qui interviennent sont très petits et les calculs se font très aisément «de tête». Exemple On peut aussi faire des preuves par 11 Sans faire l opération, peut-on savoir si on a : = Preuve par 9 3 On a bien 6 = 6, mais cette preuve ne permet pas de conclure Preuve par 11 C est le même principe : on veut tester xy =? z Soit x x [11] ; y y [11] ; z z [11] Si x y z [11] la multiplication est fausse Si x y z [11] la multiplication peut être bonne, mais sans certitude. Disposition : x' ici x [11] z' x'y' y [11] y' z [11]? x = 3 ; y = 1 ; z = 4 On a : 3 4 [11] donc la multiplication est sûrement fausse

34 Le petit théorème de Fermat A Le petit théorème de Fermat Le but de ce paragraphe est de démontrer le théorème suivant : Si p est un nombre premier et a un entier naturel non divisible par p, alors par p, c est à dire a p 1 1 (mod p). a p 1 1 est divisible Etape 1 Commentaire Ce théorème est souvent appelé «petit théorème de Fermat», par opposition au «grand théorème de Fermat» dont l énoncé est : Lorsque n est un entier supérieur ou égal à trois, l équation x n + y n = z n, n a pas de solutions en nombres entiers, hormis la solution x = y =z = 0». Fermat a énoncé ce théorème sans en laisser de démonstration. La preuve en a été faite finalement en 1997, plus de trois cents après, et après que des générations de mathématiciens aient tenté, sans succès, de le démontrer. Mais parmi ceux qui n ont pas réussi, certains ont «apporté une pierre», et contribué à l édifice de la solution présentée par le mathématicien anglais Andrew Wiles (1997). Une démonstration du petit théorème consiste à écrire la liste des multiples de a jusqu à ( p 1)a : a, 2a, 3a, ( p 1)a Montrons que deux quelconques de ces p nombres ont des restes distincts et non nuls dans la division par p. Pour cela on fait un raisonnement par l absurde. Supposons que l un de ces nombres, par exemple ka pour 1 k p 1 soit divisible par p. p étant premier, non diviseur de a, diviserait k ; mais cela est impossible car k est plus petit que p. Il en résulte qu aucun des nombres de la liste admet 0 comme reste dans la division par p. Supposons que deux de ces nombres, par exemple ka et ka pour 1 k p 1 et 1 k p 1 ait le même reste dans la division par p. Cela veut dire que ka k a (mod p) donc ( k k )a 0 mod p) donc p divise ( k k )a. Mais p est premier et ne divise pas a, donc p doit diviser k k c est-à-dire k k (mod p) ; ceci est impossible car ces deux nombres k et k sont distincts et compris entre 1 et p 1. Conclusion : ces p nombres a, 2a, 3a,, (p 1)a admettent p restes distincts non nuls dans la division par p. A l ordre près, ces restes sont donc 1, 2, 3,, p 1. Etape 2 Montrons que le produit de ces p nombres est congru à ( p 1)! dans la congruence modulo p. Le produit de ces p nombres est congru modulo p, au produit des restes de chacun d eux dans la division euclidienne par p ; c est à dire : a 2a 3a ( p 1)a ( p 1) (mod p), c est-à-dire : a p 1 ( p 1)! ( p 1)! (mod p). Les deux membres de la congruence sont divisibles par ( p 1)!. On pourra diviser les deux membres par ( p 1)! et obtenir une congruence vraie modulo p si on prouve que p et ( p 1)! sont premiers entre-eux. 38

35 On sait que p est premier, et que p ne divise aucun des nombres 1, 2, 3,, (p 1) qui lui sont inférieurs; cela prouve que p et ( p 1)! sont premiers entre eux; et ainsi on a bien : a p 1 1 (mod p) c est à dire a p 1 1 divisible par p. B Prolongement du petit théorème de Fermat Déduisez du petit théorème de Fermat le résultat suivant : Si p est un nombre premier et a un entier quelconque, alors a p a (mod p), c est-à-dire a p a divisible par p. (On ne suppose plus ici a non divisible par p, seulement a > 0). En effet : Si a divisible par p on a aussi a p divisible par p donc on a bien la différence a p a divisible par p. Si a non divisible par p, d après le petit théorème de Fermat, on a : a p 1 1 (mod p) et en multipliant les deux membres de la congruence par a, on obtient a p a (mod p), c est à dire a p a divisible par p. C Exemples Exemple Sachant que 101 est un nombre premier, a) Trouver le reste de dans la division par 101. b) Trouver le reste de dans la division par 101. Réponse a) Puisque 101 est premier et ne divise pas 2, le petit théorème de Fermat permet d affirmer que (mod 101), donc le reste de la division de par 101 est 1. b) Puisque 101 est premier et ne divise pas 3, le petit théorème de Fermat permet d affirmer que (mod 101); en multipliant les deux membres de la congruence par 3 2 on obtient : (mod 101), donc le reste de la division de par 101 est 9. Exemple Trouver le reste de dans la division par 29. Réponse Le nombre 29 est premier et ne divise pas 8; d après le petit théorème de Fermat, on peut affirmer que : (mod 29). La division euclidienne de 900 par 28 donne : 900 = Donc = 8 ( ) + 4 = ( 828 ) Or ( mod 29) donc ( 8 28 ) (mod 29) D où : (mod 29) ; 8 2 = 64 6 (mod 29) On a : 8 2 = 64 6 (mod 29) donc (mod 29) Il en résulte : (mod 29), donc le reste de la division de par 29 est 7. 39

36 Exemple Prouver que quelque soit l entier naturel a non nul, a 13 a est divisible par 26. Réponse D après le prolongement du petit théorème de Fermat on peut affirmer que a 13 a (mod 13) car 13 est premier ; cela veut dire a 13 a divisible par 13. Si a est pair, a 13 est pair, donc a 13 a est pair d où a 13 a est divisible par 2. Si a est impair, a 13 est impair, donc a 13 a est pair d où a 13 a est divisible par 2. Dans tous les cas on a : a 13 a divisible par 13 et 2, nombres qui sont premiers entre eux, donc a 13 a est divisible par leur produit 26. Exemple Montrer que est divisible par Réponse La décomposition de 1001 en produit de facteurs premiers est : 1001 = , donc si un nombre est divisible par 7, par 11 et par 13, il est divisible par leur produit Montrons que est divisible par 7, par 11 et par 13. Les nombres 7, 11 et 13 sont premiers et ne divisent pas 300. Par ailleurs = ( ) 500 et = ( ) 300 et = ( ) 250. D après le petit théorème de Fermat, on déduit : = ( ) (mod 7), donc divisible par = ( ) (mod 11), donc divisible par = ( ) (mod 13), donc divisible par 13. Conclusion Le nombre étant divisible par les facteurs premiers 7, 11 et 13 est divisible par leur produit

37 ésumé Définition de la relation de congruence modulo n (n dans *) Soit n un entier naturel non nul donné ; soient x et y deux entiers relatifs quelconques. On dit que x est congru à y modulo n si la différence x y est un multiple de n et on note : x y (mod n) ou encore x y [n] ou encore x y (n) x y (mod n) x y multiple de n. Propriété des congruences compatibilité avec l addition et la soustraction dans Å : si x y [n] et x y [n] alors x + x y+ y [n] et x x y y [n] compatibilité avec la multiplication et l élévation à une même puissance dans Å : si x y [n] et x y [n] alors xx yy [n] et x p y p [n] (p dans ) simplification d une congruence : soient x et y deux entiers divisibles par un même entier naturel k ; x y n si ( x y [n] et n divisible par k) alors (on divise aussi le module) k k k x y si ( x y [n] et n et k premiers entre eux ) alors - - [ n] k k un entier relatif a est congru modulo n au reste obtenu dans la division euclidienne de a par n x y [n] x et y ont le même reste dans la division euclidienne par n Le petit théorème de Fermat Si p est un nombre premier et a un entier naturel non divisible par p, alors a p 1 1 (mod p). 41

38 xercices d entraînement Congruences modulo 10. Trouver le chiffre des unités de Congruences modulo 11. Paul a écrit son numéro de téléphone sur un papier pour Annie; mais il a plu sur le papier et un chiffre que l on note «a» est illisible : a Annie se souvient que Paul lui a dit : «Mon nombre fétiche est 11 et, justement, mon numéro est divisible par 11». Pouvez-vous aider Annie à retrouver le chiffre manquant? Les carrés dans les congruences modulo 3. Démontrer que pour tout entier n non multiple de 3 on a : n 2 1( mod 3). En déduire que quels que soient les entiers relatifs a et b, le nombre ab( a 2 b 2 ) est divisible par 3. Utilisation des compatibilités de l addition et de la multiplication avec les congruences. Les entiers seront écrits ici en base dix. En remarquant que : 999 = 27 37, démontrer que pour tout entier positif n on a : 10 3n 1 (mod 37) En déduire le reste de la division par 37 du nombre A = Observation de phénomènes périodiques dans la recherche des restes. Déterminer, en utilisant les congruences, les restes de la division par 7 des nombres suivants : 3 ; ; ; ; ; ;. Si p est un entier positif, démontrer que 3 p et 3 p 6 ont le même reste dans la division par 7. Quel que soit l entier naturel n, démontrer que 2005 n et 3 n ont le même reste dans la division par 7. Déterminer n pour que ce reste soit 5. Situation assez complexe où on peut procéder par élimination des cas. Démontrer que si trois nombres entiers relatifs x, y et z sont tels que la somme x 3 + y 3 + z 3 est divisible par 3, alors la somme x+ y+ z est aussi divisible par 3. Démontrer que si x 3 + y 3 + z 3 est divisible par 9 alors l un au moins des trois nombres x, y ou z est divisible par 3. 42

39 Dans la division euclidienne par 7, il y a 7 restes possibles. Un tableau peut aider à voir tous les cas. Déterminer les entiers relatifs n tels que n (mod 7). Déterminer les entiers relatifs n tels que n (mod 7). En déduire que pour tout entier relatif n, le nombre nn ( 3 + 1) ( n 3 1) est divisible par 42. Il s agit de résoudre un problème de calendrier en utilisant l arithmétique. Trois bateaux partent en croisière du même port. L un part tous les jours, un autre part tous les 9 jours et le dernier part tous les 15 jours. Ils partent ensemble le lundi 27 avril. À quelle date repartiront-ils à nouveau ensemble un lundi? (On tiendra compte des mois de 30 jours, de 31 jours, et du mois de février qui comporte 28 jours les années non bissextiles, c est-à-dire non multiples de 4, et 29 jours sinon). 43

40 ides aux exercices Utiliser le fait qu un nombre est congru modulo 10 à son chiffre des unités, et savoir utiliser la compatibilité des congruences avec l élévation à une même puissance. Connaître et savoir utiliser le critère de divisibilité par 11. Penser à décomposer en plusieurs cas. Bien connaître la définition de congruence et les propriétés de compatibilité avec les opérations. Quand on trouve [7], on est assuré de retrouver ensuite les valeurs trouvées avant car [7] ; [7] ; [7] ; On peut observer que : x 3 x = xx ( 2 1) = xx ( 1) ( x+ 1) pour prouver que x 3 est congru à x modulo 3 Un examen de tous les cas peut être à faire. On peut penser remplir un tableau du genre n congru à n 3 n n 3 1 congru à congru à congru à 42 = 7 6 avec 7 et 6 premiers entre eux. Voir que l exercice se ramène à une recherche de p.p.c.m. 44

41 Utilisation d un tableur A Recherche des diviseurs d un nombre Problème Construire un outil logiciel qui permette de trouver tous les diviseurs d un entier. Cet outil pourra être ensuite réutilisé pour résoudre des problèmes. Principe de résolution Exercice Il s agit de diviser N qu on étudie par chaque entier inférieur à l entier N et de vérifier si le quotient est entier. Si il l est on note le diviseur dans une colonne et le quotient dans une autre. Fabriquer une feuille qui permette de trouver tous les diviseurs de 455. Une cellule, par exemple F1, contient le nombre N à étudier. La colonne A contient la liste des entiers. Cette liste est obtenue en mettant 1 dans A2, puis la formule «=A2 + 1» dans A3 et en recopiant A3 vers le bas. Remarque : on peut limiter ces entiers aux entiers inférieurs ou égaux à la racine carrée de 455 ; pour cela, dans la cellule A3 on utilise la commande SI(A2<=rac(455) ; A2+1 ;»») et on recopie A3 vers le bas. La colonne B la liste des quotients. Cette liste est obtenue en écrivant la formule «=$F$1/A2» dans B2 et en recopiant vers le bas. Les troisième et quatrième colonnes contiennent les diviseurs de N. Comme savoir si un nombre est un diviseur de N, il suffit de vérifier que son quotient est entier, pour cela on utilise la fonction «partie entière» notée «ent» dans le langage d Excel. ent(n) donne le plus grand entier inférieur ou égal à n ainsi que la commande SI. Donc danc C2 on écrira «=SI(ent(B2) = B2 ; B2 ; "")». Dans la cellule D2 on pourra écrire «=SI(ent(B2) = B2 ; A2 ; "")». Recopier ces formules vers le bas. On lit les diviseurs de 455, ce sont les nombres : 1, 5, 7, 13, 35, 65, 91 et

42 B Détermination du reste dans une division euclidienne Déterminer le reste de la division euclidienne de 3^2 002 par 97. (3^2002 veut dire ) La fonction mod(nombre ; diviseur) donne le reste dans la division euclidienne du nombre par le diviseur. On a : 3^48 congru 1 (modulo 97) (voir utilisation du tableur ci-dessous) 2002 = 48* d où 3^2002 = (3^48)^41*3^34. Ce nombre est congru à 3^34 (mod 97) puisque 3^48 congru 1 (mod 97) Or 3^48 est congru à 24 (modulo 97) On a : 0<=24<97, donc 24 est le reste de la division euclidienne de 3^2002 par

Contrôle de mathématiques

Contrôle de mathématiques Contrôle de mathématiques Correction du Lundi 18 octobre 2010 Exercice 1 Diviseurs (5 points) 1) Trouver dans N tous les diviseurs de 810. D 810 = {1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 27; 30; 45; 54; 81; 90;

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Cours d arithmétique Première partie

Cours d arithmétique Première partie Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant

Plus en détail

Sur l algorithme RSA

Sur l algorithme RSA Sur l algorithme RSA Le RSA a été inventé par Rivest, Shamir et Adleman en 1978. C est l exemple le plus courant de cryptographie asymétrique, toujours considéré comme sûr, avec la technologie actuelle,

Plus en détail

XI- Division euclidienne, pgcd et algorithme d Euclide

XI- Division euclidienne, pgcd et algorithme d Euclide XI- Division euclidienne, pgcd et algorithme d Euclide L arithmétique consiste à travailler exclusivement avec des nombres entiers. Quand on additionne deux nombres entiers, on obtient un nombre entier,

Plus en détail

Définition : On obtient les nombres entiers en ajoutant ou retranchant des unités à zéro.

Définition : On obtient les nombres entiers en ajoutant ou retranchant des unités à zéro. Chapitre : Les nombres rationnels Programme officiel BO du 8/08/08 Connaissances : Diviseurs communs à deux entiers, PGCD. Fractions irréductibles. Opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire.

Plus en détail

Arithmétique. 2 ième année de DUT Informatique. Version 2.1 3 février 2009. Ph. Roux

Arithmétique. 2 ième année de DUT Informatique. Version 2.1 3 février 2009. Ph. Roux Arithmétique 2 ième année de DUT Informatique Version 2.1 3 février 2009 Ph. Roux 2002-2009 Table des matières Table des matières 2 1 cours magistral 3 1.1 Divisibilité.................................

Plus en détail

1 Définition et premières propriétés des congruences

1 Définition et premières propriétés des congruences Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon

Plus en détail

108y= 1 où x et y sont des entiers

108y= 1 où x et y sont des entiers Polynésie Juin 202 Série S Exercice Partie A On considère l équation ( ) relatifs E :x y= où x et y sont des entiers Vérifier que le couple ( ;3 ) est solution de cette équation 2 Déterminer l ensemble

Plus en détail

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 mat231-exo-03.tex (29 septembre 2008) Feuille d exercices n o 3 Exercice 3.1 Soit K un corps commutatif et soit {P 0, P 1,... P n } une famille de polynômes de

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Chapitre VI - Méthodes de factorisation

Chapitre VI - Méthodes de factorisation Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.

Plus en détail

CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 2009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES. (Classe terminale S)

CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 2009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES. (Classe terminale S) MA 09 CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Classe terminale S) DURÉE : 5 heures La calculatrice de poche est autorisée, conformément à la réglementation. La clarté et

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 Relations binaires Relations d équivalence Exercice 1 [ 02643 ] [Correction] Soit R une relation binaire sur un ensemble E à la fois réflexive

Plus en détail

Cours et activités en arithmétique pour les classes terminales - 3 e édition

Cours et activités en arithmétique pour les classes terminales - 3 e édition Cours et activités en arithmétique pour les classes terminales - 3 e édition Groupe de travail sur la liaison Lycées-Universités IREM de Marseille 2 Table des matières 1 Introduction 7 2 Un projet de cours

Plus en détail

Ensembles et applications. Motivations. Exo7

Ensembles et applications. Motivations. Exo7 o7 nsembles et applications Vidéo partie 1. nsembles Vidéo partie 2. Applications Vidéo partie 3. Injection, surjection, bijection Vidéo partie 4. nsembles finis Vidéo partie 5. Relation d'équivalence

Plus en détail

Représentation d un entier en base b

Représentation d un entier en base b Représentation d un entier en base b 13 octobre 2012 1 Prérequis Les bases de la programmation en langage sont supposées avoir été travaillées L écriture en base b d un entier est ainsi défini à partir

Plus en détail

Préliminaire : Logique et raisonnement mathématique... 3 Arithmétique... 9 Géométrie plane... 27 Annexes...47

Préliminaire : Logique et raisonnement mathématique... 3 Arithmétique... 9 Géométrie plane... 27 Annexes...47 Université Paris 6, Licence FONDNATEXP, UE Maths LG308 http://www.math.jussieu.fr/~romagny/lg308 Version de Septembre 2006 Le cours de ce premier semestre est composé de deux parties principales : Arithmétique,

Plus en détail

avec des nombres entiers

avec des nombres entiers Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0

Plus en détail

STRUCTURES ALGÉBRIQUES FONDAMENTALES

STRUCTURES ALGÉBRIQUES FONDAMENTALES STRUCTURES ALGÉBRIQUES FONDAMENTALES A. BOUARICH 1. Notion de relations binaires 1.1. Relation binaire d équivalence sur un ensemble. Définition 1. Soit A un ensemble non vide. Une fonction propositionnelle

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 18 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R (x + y, x

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007

Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007 Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007 page 1 / 10 abscisse addition additionner ajouter appliquer

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

2 30 402 457 1 est le plus grand nombre premier connu en 2005. Son ordre de grandeur est de :

2 30 402 457 1 est le plus grand nombre premier connu en 2005. Son ordre de grandeur est de : ARITHMETIQUE Emilien Suquet, suquet@automaths.com I Introduction aux différents ensembles de nombres L'ensemble de tous les nombres se nomme l'ensemble des réels. On le note IR (de real en allemand) On

Plus en détail

FONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES

FONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES AYBERK ZEYTİN 1. DIVISIBILITÉ Comment on peut écrire un entier naturel comme un produit des petits entiers? Cette question a une infinitude d interconnexions entre les nombres

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Vous revisiterez tous les nombres rencontrés au collège, en commençant par les nombres entiers pour finir par les nombres réels.

Vous revisiterez tous les nombres rencontrés au collège, en commençant par les nombres entiers pour finir par les nombres réels. Cette partie est consacrée aux nombres. Vous revisiterez tous les nombres rencontrés au collège, en commençant par les nombres entiers pour finir par les nombres réels. L aperçu historique vous permettra

Plus en détail

Support de cours de préparation au concours de Professeur des Ecoles

Support de cours de préparation au concours de Professeur des Ecoles Support de cours de préparation au concours de Professeur des Ecoles Denis Vekemans 1 1. Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais

Plus en détail

Calcul rapide des puissances

Calcul rapide des puissances Calcul rapide des puissances Par Mathtous Il s'agit de puissances à exposant entier naturel (avec la convention a 0 = 1, et a 1 = a). Si on applique la dénition pour calculer a n, on calcule de proche

Plus en détail

Anneaux, algèbres. Chapitre 2. 2.1 Structures

Anneaux, algèbres. Chapitre 2. 2.1 Structures Chapitre 2 Anneaux, algèbres 2.1 Structures Un anneau est un ensemble A muni de deux opérations internes + et et d éléments 0 A et 1 A qui vérifient : associativité de l addition : commutativité de l addition

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE. - Notes de cours et de travaux dirigés - PHILIPPE MALBOS

ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE. - Notes de cours et de travaux dirigés - PHILIPPE MALBOS UNIVERSITÉ CLAUDE BERNARD LYON Licence Sciences, Technologies, Santé Enseignement de mathématiques des parcours Informatique ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE - Notes de cours et de travaux

Plus en détail

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Suites numériques

Raisonnement par récurrence Suites numériques Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.

Plus en détail

1/24. I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d un. I expressions arithmétiques. I structures de contrôle (tests, boucles)

1/24. I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d un. I expressions arithmétiques. I structures de contrôle (tests, boucles) 1/4 Objectif de ce cours /4 Objectifs de ce cours Introduction au langage C - Cours Girardot/Roelens Septembre 013 Du problème au programme I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d

Plus en détail

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 009 L Maths (a) Rappelons d abord le résultat suivant : Théorème 0.. Densité de Q dans R. QUESTIONS DE COURS. Preuve. Il nous faut nous montrer que tout réel est

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient

Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient Université Lille 1 Algèbre 2010/11 M51.MIMP Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient Exercice 1 Soient G, G deux groupes et f un homomorphisme de G dans G. Montrer que si A G, alors f( A )

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1

UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1 UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA & SMI Semestre 1 Module : Algèbre 1 Année universitaire : 011-01 A. Redouani & E. Elqorachi 1 Contenu du Module : Chapitre 1 : Introduction Logique

Plus en détail

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010 N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES 1 Les énoncés La plupart des phrases que l on rencontre dans un livre

Plus en détail

Algorithmes - Solutions

Algorithmes - Solutions Algorithmes - Solutions I Algorithmes liés au programme de la classe de première Du fait de l importance du travail d arithmétique en terminale, les algorithmes plus directement liés à la classe de première

Plus en détail

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires :

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : Exo7 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R R f 1 x,y = x + y,x y f : R R f x,y,z = xy,x,y f : R R f x,y,z = x + y + z,y z,x

Plus en détail

3 ème E IE1 nombres entiers et rationnels Sujet 1 2015-2016

3 ème E IE1 nombres entiers et rationnels Sujet 1 2015-2016 3 ème E IE1 nombres entiers et rationnels Sujet 1 2015-2016 Exercice 1 : (1,5 points) Je suis un nombre de 4 chiffres, multiple de 9 et de 10. Mon chiffre des dizaines est le même que celui des centaines.

Plus en détail

M2 EFM TD MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES : ARITHMÉTIQUE CHRISTOPHE RITZENTHALER

M2 EFM TD MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES : ARITHMÉTIQUE CHRISTOPHE RITZENTHALER M2 EFM TD MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES : ARITHMÉTIQUE CHRISTOPHE RITZENTHALER 1. Euclide, relation de Bézout, gcd Exercice 1. [DKM94,.14] Montrer que 6 n 3 n our tout entier n ositif. Exercice 2. [DKM94,.15]

Plus en détail

COURS MPSI A.1.IV.NOTIONS DE BASE : RELATIONS R. FERRÉOL 13/14

COURS MPSI A.1.IV.NOTIONS DE BASE : RELATIONS R. FERRÉOL 13/14 IV) RELATIONS. 1) Définition. DEF : une relationrest définie par la donnée d unensemblededépart E, d unensembled arrivée F et d un ensemble G de couples(x,y) avecxdanse ety dansf (autrement dit, G est

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Logique. Plan du chapitre

Logique. Plan du chapitre Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier

Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Vincent Lefèvre (Lycée P. de Fermat, Toulouse) 1990, 1991 1 Introduction Nous allons étudier des propriétés du triangle de Pascal dans Z/pZ, p étant un nombre

Plus en détail

Représentation des nombres entiers et réels. en binaire en mémoire

Représentation des nombres entiers et réels. en binaire en mémoire L3 Mag1 Phys. fond., cours C 15-16 Rep. des nbs. en binaire 25-09-05 23 :06 :02 page 1 1 Nombres entiers 1.1 Représentation binaire Représentation des nombres entiers et réels Tout entier positif n peut

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Théorie des ensembles

Théorie des ensembles Théorie des ensembles Cours de licence d informatique Saint-Etienne 2002/2003 Bruno Deschamps 2 Contents 1 Eléments de théorie des ensembles 3 1.1 Introduction au calcul propositionnel..................

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015 Énoncé Dans tout le problème, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n est pas un ensemble fini. Tous les espaces vectoriels considérés sont des K espaces vectoriels de dimension finie.

Plus en détail

RÉVISION DE CALCUL NUMÉRIQUE

RÉVISION DE CALCUL NUMÉRIQUE RÉVISION DE CALCUL NUMÉRIQUE. Les ensembles numériques. Propriétés des nombres réels. Ordre des opérations. Nombres premiers. Opérations sur les fractions 7. Puissances entières 0.7 Notation scientifique.8

Plus en détail

Université Joseph Fourier, Grenoble. Systèmes linéaires. Bernard Ycart

Université Joseph Fourier, Grenoble. Systèmes linéaires. Bernard Ycart Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Systèmes linéaires Bernard Ycart Si vous savez déjà résoudre un système linéaire par la méthode de Gauss, vous n apprendrez pas grand chose de neuf dans

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

CALCULATRICE AUTORISEE

CALCULATRICE AUTORISEE Lycée F. MISTRAL AVIGNON BAC BLANC 2012 Epreuve de MATHEMATIQUES Série S CALCULATRICE AUTORISEE DUREE : 4 heures Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu il est complet Ce sujet comporte 3 pages

Plus en détail

Table des matières. 3 Suites de nombres réels 29. 3.2 Limites... 30

Table des matières. 3 Suites de nombres réels 29. 3.2 Limites... 30 Table des matières 1 Généralités 3 1.1 Un peu de logique................................. 3 1.1.1 Vocabulaire................................ 3 1.1.2 Opérations logiques............................ 4 1.1.3

Plus en détail

LES ALGORITHMES ARITHMETIQUES

LES ALGORITHMES ARITHMETIQUES LES ALGORITHMES ARITHMETIQUES I- Introduction Dans ce chapitre nous allons étudier quelques algorithmes relatifs à l arithmétique qui est une branche des mathématiques qui étudie les relations entre les

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Coefficients binomiaux

Coefficients binomiaux Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant

Plus en détail

TD: Ensembles, applications, dénombrement

TD: Ensembles, applications, dénombrement Université de Provence Année 011/1 Licence Math Info ème année S3 Fondements de l Informatique 1 Ensembles et fonctions TD: Ensembles, applications, dénombrement 1. On suppose que l ensemble de tous les

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations

Plus en détail

Arithmétique binaire. Chapitre. 5.1 Notions. 5.1.1 Bit. 5.1.2 Mot

Arithmétique binaire. Chapitre. 5.1 Notions. 5.1.1 Bit. 5.1.2 Mot Chapitre 5 Arithmétique binaire L es codes sont manipulés au quotidien sans qu on s en rende compte, et leur compréhension est quasi instinctive. Le seul fait de lire fait appel au codage alphabétique,

Plus en détail

Mathématiques assistées par ordinateur

Mathématiques assistées par ordinateur Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynômes réels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Année 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/ eiserm/cours # mao Document

Plus en détail

Cours 9: Automates finis

Cours 9: Automates finis Cours 9: Automates finis Olivier Bournez ournez@lix.polytechnique.fr LIX, Ecole Polytechnique INF421-a Bases de la programmation et de l algorithmique Aujourd hui Rappels Déterminisation Automates et expressions

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Fondements de l informatique: Examen Durée: 3h

Fondements de l informatique: Examen Durée: 3h École polytechnique X2013 INF412 Fondements de l informatique Fondements de l informatique: Examen Durée: 3h Sujet proposé par Olivier Bournez Version 3 (corrigé) L énoncé comporte 4 parties (sections),

Plus en détail

Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010

Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010 Université de Provence Introduction à l Informatique Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010 Année 2009-10 Aucun document n est autorisé Les exercices peuvent être traités dans le désordre.

Plus en détail

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Exo7 Topologie générale Exercice 1 1. Rappeler les définitions d une borne supérieure (inférieure) d un ensemble de nombres réels. Si A et B sont deux ensembles

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Factorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode

Factorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode Factorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode Rappel : Distributivité simple Soient les nombres, et. On a : Factoriser, c est transformer une somme ou une différence de termes en

Plus en détail

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 2001 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Classe terminale S) Durée : 5 heures La calculatrice de poche est autorisée. La clarté et la précision de la rédaction seront prises

Plus en détail

Nombres premiers. Comment reconnaître un nombre premier? Mais...

Nombres premiers. Comment reconnaître un nombre premier? Mais... Introduction Nombres premiers Nombres premiers Rutger Noot IRMA Université de Strasbourg et CNRS Le 19 janvier 2011 IREM Strasbourg Definition Un nombre premier est un entier naturel p > 1 ayant exactement

Plus en détail

LIMITES EXERCICES CORRIGES

LIMITES EXERCICES CORRIGES ours et eercices de mathématiques LIMITES EXERIES ORRIGES M UAZ, http://mathscyrreer Eercice n Déterminer la ite éventuelle en de chacune des onctions suivantes : ) ) ) 4 ( ) Déterminer la ite éventuelle

Plus en détail

Séquence 6. Ensemble des nombres complexes. Sommaire. Prérequis Définition Forme algébrique Forme trigonométrique Synthèse

Séquence 6. Ensemble des nombres complexes. Sommaire. Prérequis Définition Forme algébrique Forme trigonométrique Synthèse Séquence 6 Ensemble des nombres complexes Sommaire Prérequis Définition Forme algébrique Forme trigonométrique Synthèse Cette séquence est une brève introduction à un nouvel ensemble de nombres, ensemble

Plus en détail

1 Exercices à savoir faire

1 Exercices à savoir faire Licence 1 Mathématiques 2013 2014 Algèbre et Arithmétique 1 Feuille n 5 : Congruences, indicatrice d Euler, RSA 1 Exercices à savoir faire Exercice 1 1 Trouver tous les couples (x, y) Z 2 tels que 3x +

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie

Plus en détail

Premiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon

Premiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010 ii Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes 1 1.0 Ensembles, relations,

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

La persistance des nombres

La persistance des nombres regards logique & calcul La persistance des nombres Quand on multiplie les chiffres d un nombre entier, on trouve un autre nombre entier, et l on peut recommencer. Combien de fois? Onze fois au plus...

Plus en détail

CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»

CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.

Plus en détail

Cours 3. La conditionnelle: instructions si et selon Les boucles Comment raisonner sur les boucles: les invariants de boucle

Cours 3. La conditionnelle: instructions si et selon Les boucles Comment raisonner sur les boucles: les invariants de boucle Cours 3 : Instructions qui changent l ordre d exécution séquentiel 1 Cours 3 Instructions qui changent l ordre d exécution séquentiel La conditionnelle: instructions si et selon Les boucles Comment raisonner

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

6. Les différents types de démonstrations

6. Les différents types de démonstrations LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,

Plus en détail

Définition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3

Définition 0,752 = 0,7 + 0,05 + 0,002 SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS = 7 10 1 + 5 10 2 + 2 10 3 8 Systèmes de numération INTRODUCTION SYSTÈMES DE NUMÉRATION POSITIONNELS Dans un système positionnel, le nombre de symboles est fixe On représente par un symbole chaque chiffre inférieur à la base, incluant

Plus en détail