> 1 ère partie : > 2 e partie : Nombres premiers dans. Congruence dans. Séquence 3 MA03. Cned Académie en ligne

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1 > 1 ère partie : Nombres premiers dans > 2 e partie : Congruence dans 1

2 Partie 1 : Nombres premiers dans Chapitre 1 > Définition et propriétés... A AB Définition Propriétés Chapitre 2 > Méthode de recherche des nombres premiers ; crible d Eratosthène... A AB Recherche des nombres premiers inférieurs à 100 Savoir déterminer si un nombre donné est premier Chapitre 3 > Nombres premiers et nombres premiers entre eux... Chapitre 4 > Décomposition d un entier naturel en produit de facteurs premiers... A AB ABC Propriété de décomposition Exemples d utilisation Application à la recherche du nombre de diviseurs dans d un entier non nul Résumé... Exercices d entraînement... Aides aux exercices... Sommaire séquence 3 MA03 3

3 Définition et propriétés A Définition Exemples Un entier naturel n est premier s il admet exactement 4 diviseurs dans Å : 1, + 1, n et n, et donc exactement 2 diviseurs dans ı : 1 et n. Un entier naturel n strictement supérieur à 1 qui n est pas premier est dit composé : c est le cas s il admet dans ı au moins un diviseur autre que 1 et que n. 0 n est pas premier car on peut écrire par exemple : 0 = 2 0 = 5 0 = 7 0 = 25 0 = donc 2, 5, 7, 25, sont des diviseurs entiers naturels de zéro; puisque zéro n admet pas exactement deux diviseurs entiers naturels, il n est pas nombre un premier. 1 n est pas premier car le seul entier naturel diviseur de 1 est 1 lui-même (il n admet donc pas exactement deux diviseurs entiers naturels). 2 est premier car les seuls diviseurs entiers naturels de 2 sont 1 et 2. 3 est premier car les seuls diviseurs entiers naturels de 3 sont 1 et 3. 4 n est pas premier car il admet un autre diviseur entier naturel que 1 et 4 lui-même; en effet 2 est un diviseur de 4. le seul nombre pair qui soit premier est 2, car tout autre nombre pair est divisible par 1, par luimême et aussi par 2, donc n admet pas exactement deux diviseurs dans l ensemble des entiers naturels. B Propriétés Propriété Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1 n admet au moins un diviseur premier n est composé n admet au moins un diviseur premier p tel que p n Démonstration de la première partie : si n est premier, la propriété est vérifiée. si n n est pas premier c est qu il admet dans ı d autres diviseurs que 1 et n. Soit p le plus petit diviseur de n tel que : 1< p< n. Alors on peut affirmer que p est premier car sinon il aurait lui-même au moins un diviseur p tel que : 1< p < p. Mais p divisant p diviserait aussi n, et ceci est en contradiction avec le fait que p est le plus petit diviseur de n compris strictement entre 1 et n. D où p est premier. Conclusion : n entier et n> 1 admet au moins un diviseur premier. 5

4 Démonstration de la deuxième partie Il s agit de prouver une équivalence. soit n composé (non premier) ; comme dans la démonstration précédente, on appelle p le plus petit diviseur de n tel que 1< p< n ; on sait que p est premier et que n s écrit n = pk avec k de ı ; k est donc un diviseur de n supérieur ou égal à p d où n = pk p 2, donc p n l autre implication est évidente, car p est un diviseur positif de n autre que 1 et n (puisque 1< p n< n). Une conséquence importante est la suivante : Si n n admet pas de diviseur premier inférieur ou égal à n alors n est premier. On retient : Pour n entier, n > 1, il y a 2 cas : Soit n est premier Soit n admet un diviseur premier inférieur ou égal à n et alors n est composé Propriété Il existe une infinité de nombres premiers. À connaître Démonstration. Pour prouver cette propriété, il suffit de prouver que quel que soit le nombre entier k que l on se donne, on peut trouver un nombre premier supérieur à k. Considérons le nombre k! + 1 ; on va démontrer qu il admet au moins un diviseur premier supérieur à k ; ceci prouvera la propriété. Posons n = k! + 1 ; on peut écrire : n k! = 1. Le théorème de Bézout nous permet d affirmer que les nombres n et k! sont premiers entre eux, donc leur seul diviseur commun entier positif est 1. Cela veut dire que les entiers successifs 2, 3, 4,, k qui divisent k! ne divisent pas n. Or on sait que n admet au moins un diviseur premier p : il en résulte que p est un nombre premier supérieur strict à k. Conclusion L ensemble des nombres premiers n est pas borné, il y a une infinité de nombres premiers. Exemple 4! + 1 = 25 n est pas premier mais 25 n a pas de diviseur distinct de 1 et inférieur ou égal à 4 ; le plus petit diviseur premier de 25 est en effet : 5. L objectif de cet exemple est seulement d illustrer numériquement la démonstration précédente. 6

5 Méthode de recherche des nombres premiers ; crible d Eratosthène A Recherche des nombres premiers inférieurs à 100 On écrit la liste de tous les entiers de 0 à 99. On commence par rayer 0 et 1 qui ne sont pas premiers. 2 est premier et on raye tous ses multiples, c est-à-dire les entiers pairs à partir de 4. Le premier nombre non rayé est 3, il est premier, on raye alors tous les multiples de 3 qui sont encore en présence. L entier suivant non rayé est 5 ; il est premier ; on raye alors tous les multiples de 5 qui sont encore en présence. Et ainsi de suite Remarque Pour des raisons de lisibilité, il est apparu préférable d encadrer les nombres premiers, plutôt que de rayer les nombres non premiers Cette «table» des nombres premiers s appelle «Crible d Eratosthène». On peut bien sûr envisager d aller au delà de la valeur 99. ERATOSTHÈNE : Mathématicien, astronome et philosophe grec du III e siècle avant J.-C. B Savoir déterminer si un nombre donné est premier 22.Savoir déterminer si un nombre donné est premier Les nombres 211, 367, 491, 501 et 513 sont-ils premiers? Les nombres 211, 367, 491, 501 et 513 sont-ils premiers? 211 De façon évidente 211 n est divisible ni par 2, ni par 3 ni par 5. Essayons la division par les nombres premiers suivants : 7

6 a = 211 ; a = bq+ r et 0 r< b ; b est le diviseur, q est le quotient et r le reste. b = 7 q = 30 r = 1 b = 11 q = 19 r = 2 b = 13 q = 16 r = 3 b = 17 q = 12 r = 7 On va utiliser le résultat conséquence de la propriété 1 vue avant : S il n existe aucun nombre premier inférieur à n, qui soit un diviseur de n, alors cet entier n est premier. Avec la calculatrice on trouve : ,53 Dans cet exemple les nombres premiers inférieurs à 211 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13 et aucun d eux n est un diviseur de 211, on en déduit que 211 est premier. Conclusion : 211 est premier. Remarque La division par 17 était inutile puisqu il suffisait de faire les essais jusqu au plus grand nombre premier inférieur à 211 ; on peut cependant observer que jusqu à la division par 13 on avait : diviseur < quotient, et à partir de 17 on aura : diviseur > quotient. 367 Avec la calculatrice on trouve , 16 Le principe est le même, il y a 2 cas : soit 367 est premier, soit 367 admet un diviseur premier inférieur ou égal à 19. De façon évidente 367 n est pas divisible par 2 car il est impair. Il n est pas divisible par 3 car la somme de ses chiffres vaut = 16 dont la somme des chiffres est 1+ 6 = 7 et 7 n est pas divisible par 3. Il n est pas divisible par 5 car il ne se termine ni par 0 ni par 5. Il nous reste au maximum à faire les essais de division par 7, 11, 13, 17 et 19. On a 367 = donc 7 ne divise pas = donc 11 ne divise pas = donc 13 ne divise pas = donc 17 ne divise pas = donc 19 ne divise pas 367 Il est inutile de poursuivre les essais : aucun nombre premier, inférieur ou égal à 367, ne divise 367 donc : 367 est un nombre premier. 491 Avec la calculatrice on trouve , 16 Les essais consisteront à savoir s il existe au moins un nombre premier inférieur ou égal à 22 qui divise 491. Nous vous conseillons de faire les essais ; on trouve que 491 est un nombre premier. 8

7 501 Il est bon ici de repenser aux critères de divisibilité en base 10 ; on constate que la somme des chiffres de ce nombre vaut 6 et est divisible par 3, donc 501 est divisible par 3 donc : 501 n est pas un nombre premier. 501 est dit «composé». 513 Un raisonnement analogue permet d affirmer que 513 est divisible par 3 (et d ailleurs aussi par 9), d où 513 n est pas un nombre premier. 513 est dit «composé». 9

8 Nombres premiers et nombres premiers entre eux Propriété Tout entier naturel premier p est premier avec tous les entiers naturels qui ne sont pas des multiples de p. Deux entiers naturels premiers distincts, sont premiers entre eux. Un entier naturel premier est premier avec tous les entiers naturels non nuls qui lui sont strictement inférieurs. Si p premier divise un produit de facteurs, alors il divise l un des facteurs. Si p premier divise un produit de facteurs premiers, alors il est égal à l un des facteurs. Attention, ne pas confondre : p est premier (n est divisible dans que par 1 et p) p est premier avec q ( pgcd ( p, q) = 1) Démonstration Soit p un entier naturel premier et n entier naturel non multiple de p. Considérons d un diviseur positif commun à p et n ; d étant en particulier un diviseur de p qui est premier ne peut être que : d = 1 ou bien d = p. La seul possibilité est d = 1, car dans l autre cas on aurait n multiple de p, ce qui est contraire à l hypothèse. Il en résulte que le seul diviseur commun positif de p et de n est 1, d où p et n sont premiers entre eux. Ceci est une conséquence immédiate de, car si p et n sont deux entiers premiers distincts, aucun n est multiple de l autre. C est encore une conséquence immédiate de, car pour p entier donné, aucun entier non nul et strictement inférieur à p n est un multiple de p. Remarque Soit p premier qui divise un produit de facteurs. Supposons que p ne divise aucun des facteurs ; d après on déduit que p est premier avec chacun des facteurs ; or p étant premier avec plusieurs nombres, est premier avec leur produit ; ceci prouve que p ne divise pas ce produit. Cette conséquence est en contradiction avec le fait que p divise le produit de facteurs ; cela veut dire qu il est faux que p ne divise aucun des facteurs, d où p divise au moins un des facteurs. Le genre de la démonstration qui est conduite ici s appelle «un raisonnement par l absurde» ; il est basé sur le principe suivant : Si une supposition S conduit à une contradiction, alors c est la situation contraire de S qui est la bonne. D après on sait que p divise l un des facteurs ; mais ici on sait que ce facteur est lui aussi premier, donc il n est divisible par p que s il est égal à p. Donc p est égal à l un des facteurs. 10

9 Décomposition d un entier naturel en produit de facteurs premiers A Propriété de décomposition Propriété Tout entier naturel non premier supérieur strict à 1, PEUT s écrire de manière UNIQUE comme un produit de facteurs premiers. Remarque Exemples Il s agit là d un résultat très important : c est la «décomposition» en produit de facteurs premiers. 18 = = = = = Démonstration de l existence (l unicité sera admise) : Soit n un entier naturel non premier supérieur strict et à 1. On sait que n admet au moins un diviseur premier p 1 ; donc il existe q 1 de ı tel que : n = p 1 q 1 et 1< q 1 < n. si q 1 est premier, on a bien n = p 1 q 1 produit de deux facteurs premiers, et la démonstration est finie. sinon q 1 admet au moins un diviseur premier p 2 ; donc il existe q 2 de ı tel que : q 1 = p 2 q 2 et 1< q 2 < q 1 < n si q 2 est premier, on a bien n = p 1 p 2 q 2 produit de 3 facteurs premiers, et la démonstration est finie sinon q 2 admet au moins un diviseur premier p 3 ; donc il existe q 3 de ı tel que : q 2 = p 3 q 3 et 1< q 3 < q 2 < q 1 < n n-1 n On poursuit ainsi ce raisonnement, mais on imagine tout de suite que ce processus va s arrêter car entre 1 et n il y a au maximum ( n 2) entiers possibles. Cela veut dire qu à partir d un certain rang k, le quotient q k sera nécessairement premier et la démonstration sera terminée. Finalement : n = p 1 p 2 p 3 p k q k produit de facteurs premiers. Remarque 1 Remarque 2 Ces facteurs premiers ne sont pas forcément distincts entre eux, dans ce cas on regroupe ceux qui sont égaux et on a une écriture avec des exposants comme dans les exemples cités avant. L unicité (admise ici) veut dire qu on ne trouvera pas d autres facteurs premiers que ceux trouvés ici, même si on procède autrement. 11

10 B Exemples d utilisation a) Décomposer 300 en produit de facteurs premiers. disposition pratique dans laquelle on «épuise» successivement toutes les divisions par les facteurs premiers utilisés dans l ordre croissant : = = b) Décomposer 280 en produit de facteurs premiers. On procède de la même façon, on trouve : = Remarque c) En déduire le nombre de diviseurs de 280. Il faut ici être méthodique pour ne pas en oublier : 1 est un diviseur de 280 liste des diviseurs faits avec un seul facteur premier de la décomposition : 2, 5 et 7 liste des diviseurs faits avec deux facteurs premiers de la décomposition : 2 2 = 4 ; 2 5 = 10 ; 2 7 = 14 ; 5 7 = 35 liste des diviseurs faits avec trois facteurs premiers de la décomposition : = 8 ; = 20 ; = 28 ; = 70 liste des diviseurs faits avec quatre facteurs premiers de la décomposition: = 40 ; = 56 ; = 140 liste des diviseurs faits avec cinq facteurs premiers de la décomposition : = 280. Après comptage, on trouve que le nombre 280 possède exactement 16 diviseurs. Une autre façon de chercher tous les diviseurs sans avoir fait la décomposition en facteurs premiers, est de les associer 2 par 2 : 280 = = = = = = = = après 14, l entier le plus petit qui divise 280 est 20, donc la liste est complète. 12

11 d) Déterminer le pgcd de 300 et de 280 Nous avons pour l instant deux méthodes pour chercher ce pgcd : méthode Dresser la liste de tous les diviseurs entiers naturels de 300, puis de 280, puis repérer le plus grand entier commun à ces deux listes : il s agit du pgcd cherché. Cette méthode est adaptée seulement au cas de nombre assez petits. méthode Utilisation de l algorithme d Euclide pour lequel le dernier reste non nul est le pgcd cherché. Avec la décomposition en produit de facteurs premiers nous allons disposer d une troisième méthode : méthode La décomposition en produit de facteurs premiers va nous donner un autre moyen de chercher le p.g.c.d. On a : 300 = = si δ est le pgcd de 300 et de 280, chaque facteur premier p qui intervient dans la décomposition de δ doit diviser 300, c est-à-dire , donc p premier divisant un produit de facteurs premiers est égal à l un d eux : p est soit 2, soit 3, soit 5. En conduisant le même raisonnement pour δ diviseur de 280, on arrive à : p est soit 2, soit 5, soit 7. Finalement p ne peut être que 2 ou bien 5. Ce raisonnement vaut pour chaque facteur premier p de δ cherché, donc p peut être l un quelconque des facteurs premiers communs intervenant dans la décomposition de 300 et 280. On peut écrire aussi : 300 = = On ne prend que les facteurs communs, 300 : : δ : d où pgcd ( 300, 280) = = n est pas un facteur premier, mais est l élément neutre de la multiplication, d où : pgcd ( 300, 280) = = 20. Cette dernière ligne nous donne d une part la valeur 20 du pgcd, mais aussi sa décomposition en produit de facteurs premiers (on est certain que c est bien d elle dont il s agit, grâce à son unicité). Remarque e) Déterminer le ppcm de 300 et de 280. Là encore plusieurs méthodes : méthode On écrit dans l ordre croissant le début de la liste (infinie) des multiples entiers strictement positifs de 300, puis de 280, puis on repère le plus petit élément commun aux deux listes, c est le ppcm cherché. le nombre est de façon évidente un multiple commun de 300 et de 280, donc leur ppcm sera inférieur ou égal à leur produit. 13

12 méthode Si on a déjà calculé le pgcd, on utilise le résultat : ppcm( 300, 280) = = = 4200 pgcd( 300, 280) 20. Rappel : pgcd( a, b) ppcm( a,b) = ab méthode Utilisation de la décomposition en produit de facteurs premiers. Un multiple commun à 300 et 280 est tel que dans sa décomposition en produit de facteurs premiers, apparaissent au moins tous les facteurs premiers des décompositions de 300 ou de 280. Si nous prenons tous les facteurs premiers apparaissant dans la décomposition de 300 ou dans celle de 280, et rien qu eux, alors nous aurons le ppcm. 300 = = : : ppcm : ppcm( 300, 280) = = = 4200 Remarque Ces méthodes de calcul du pgcd et du ppcm, qui utilisent la décomposition en produit de facteurs premiers, se généralisent aux pgcd et ppcm de plusieurs nombres. C Application à la recherche du nombre de diviseurs dans d un entier non nul Reprenons l exemple du nombre diviseur 3 diviseurs 1 diviseur 1 diviseur 6 diviseurs 4 diviseurs Un travail direct qui visait à associer 2 par 2 les diviseurs, a permis de lister 16 diviseurs pour le nombre 280. Utilisons maintenant la décomposition en facteurs premiers de = Aidons-nous de cette décomposition pour lister les diviseurs et commencer à comprendre une méthode de comptage qui sera généralisable. 1 divise 280 2, 2 2, 2 3 divisent 280 : il s agit de 2 i pour 1 i 3 5 divise divise 280 les nombres de la forme : 2 i 5 et 2 i 7 divisent 280, pour 1 i 3 les nombres de la forme : 2 i 5 7 divisent 280, pour 0 i 3 14

13 Nous avons ainsi tous les diviseurs. Tous les renseignements détaillés au-dessus peuvent s écrire de façon plus condensée de la façon suivante : un diviseur de 280 s écrit 2 i 5 j 7k où i, j et k sont des entiers naturels tels que : 0 i 3, 0 j 1 et 0 k 1, C est-à-dire 4 possibilités pour i auxquelles se greffent 2 possibilités pour j, et enfin 2 possibilités pour k. Il y a donc en tout : = 16 diviseurs pour = le nombre de diviseurs de 280 est : ( 3+ 1) ( 1 + 1) ( 1 + 1) = 16 Généralisation Si n est premier, on sait par définition qu il possède exactement 2 diviseurs dans : ses diviseurs sont 1 et n lui-même Soit n un entier naturel non premier ( n> 1) facteurs premiers : ; il existe une unique décomposition en produit de α n p 1 α 1 p 2 α 2 p 3 α 3 p k α = k produit de facteurs de la forme p i i où les p i sont des entiers premiers, et α 1 est l exposant entier naturel non nul de p i. Un entier naturel d est un diviseur de n si et seulement si il s écrit sous la forme : γ d p 1 γ 1 p 2 γ 2 p 3 γ = 3 p k k où 0 γ i α i γ (si γ 1 = 0, c est que le facteur p 1 γ 1 n apparaît pas puisque : p 1 1 = p0 1 = 1 ) Il y a donc autant de diviseurs de n que de façons de choisir ( γ 1, γ 2, γ 3,, γ k ) sachant que chacune des coordonnées γ i écrites peut prendre ( α i + 1) valeurs allant de 0 à α i. Le nombre de possibilités est donc : ( α 1 + 1) ( α 2 + 1) + ( α 3 + 1) + +( α k + 1) nombre qu on peut encore écrire : ( α i + 1) i = 1 Ce nombre se lit «produit des nombres α i + 1 pour i variant de 1 à k». k α Si n se décompose en n p 1 α 1 p 2 α = 2 p k k le nombre de tous les diviseurs de n est : ( α 1 + 1)( α 2 + 1) ( α k + 1) On retiendra la propriété suivante : Propriété Soit n = α p 1 α 1 p 2 α 2 p 3 α 3 p k k la décomposition en produit de facteurs premiers d un entier naturel n. d est un diviseur de n si et seulement si la décomposition de d en produit de facteurs premiers est : d = γ p 1 γ 1 p 2 γ 2 p 3 γ 3 p k k où 0 γ i α i. Le nombre des diviseurs entiers naturels de n est : ( α 1 + 1) ( α 2 + 1) ( α 3 + 1) ( α k + 1) 15

14 Exemple Exemples Quel est le nombre de diviseurs de 120? Réponse : la décomposition en produit de facteurs premiers de 120 est : = = il en résulte que le nombre de diviseurs de 120 est : ( 3+ 1) ( 1+ 1) ( 1+ 1) = 16 Exemple Quel est le plus petit entier naturel N ayant 18 diviseurs? Réponse : On essaie de faire apparaître 18 sous la forme : ( α 1 + 1) ( α 2 + 1) ( α k + 1) Les différentes façons d écrire 18 en produit de facteurs sont : 18 = 1 18 = ( 0+ 1) ( ) = 2 9 = ( 1+ 1) ( 8+ 1) = = ( 1+ 1) ( 2+ 1) ( 2+ 1) = 3 6 = ( 2+ 1) ( 5+ 1) (1) (2) (3) (4) Pour la ligne (1) on interprète ( 0+ 1) ( ) en ( α 1 + 1) ( α 2 + 1) où α 1 = 0 et α 2 = 17 sont les exposants de 2 facteurs de la décomposition en produit de facteurs premiers de N, et comme on cherche N le plus petit possible on va prendre les facteurs premiers les plus petits possibles. α N p 1 α = 1 p 2 2 = p0 1 p17 2 = p17 2 Correspondant à la ligne (1) on retient N = 2 17 = Pour la ligne (2) : N = p1 1 p8 2 N = ou N = ; le plus petit est N = = 768 Pour la ligne (3) : N = p1 1 p2 2 p2 3 N = = 180 Pour la ligne (4) : N = p2 1 p5 2 N = = 288 Conclusion Le plus petit entier naturel N ayant 18 diviseurs est N = 180. Exemple Déterminer tous les entiers naturels ayant 15 diviseurs et dont la décomposition en facteurs premiers ne contient que les facteurs 2, 3, 5 ou 7. Vérifier que les résultats trouvés sont des carrés d entiers. 16

15 Réponse 15 = 1 15 = ( 0+ 1) ( ) = 3 5 = ( 2+ 1) ( 4+ 1) Nous avons donc deux cas : soit le seul exposant à intervenir est 14, soit il y a deux exposants qui interviennent, qui sont les exposants 2 et 4. Cas où seul l exposant 14 intervient ; les réponses sont : 2 14, 3 14, 5 14 ou 7 14 ; ce sont effectivement tous des carrés, puisque les exposants sont pairs ; (par exemple 2 14 est le carré de 2 7 ). Cas où les exposants 2 et 4 interviennent ; les réponses sont : ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ce sont aussi tous des carrés (par exemple : = ( ) 2 ). 17

16 ésumé Nombres premiers Définition Un entier naturel n est premier s il admet exactement deux diviseurs dans ı, qui sont 1 et lui-même. (Il admet donc exactement quatre diviseurs dans Å, qui sont 1, 1, n et n. Un entier naturel n, strictement supérieur à 1, qui n est pas premier est dit composé. Propriétés Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1 n admet au moins un diviseur premier (n composé) (n admet au moins un diviseur premier p tel que : p n ) Il existe une infinité de nombres premiers Tout entier naturel premier p est premier avec tous les entiers naturels qui ne sont pas des multiples de p. Deux entiers naturels premiers distincts sont premiers entre eux. Un entier naturel premier est premier avec tous les entiers naturels non nuls qui lui sont strictement inférieurs. Si un nombre premier p divise un produit de facteurs, alors il divise l un des facteurs. Si un nombre premier p divise un produit de facteurs premiers, alors il est égal à l un des facteurs. Tout entier naturel non premier, supérieur strictement à 1, PEUT s écrire de manière UNIQUE comme un produit de facteurs premiers. α Soit n p 1 α 1 p 2 α 2 p 3 α = 3 p k k la décomposition en produit de facteurs premiers d un entier naturel n. (d est un diviseur de n) la décomposition de d en produit de facteurs premiers est : γ d p 1 γ 1 p 2 γ 2 p 3 γ = 3 p k k où 0 γ i α i Il faut aussi savoir ce qu est le «crible d Eratosthène» 18

17 xercices d entraînement Utilisation de la décomposition en produit de facteurs premiers, pour la recherche de p.g.c.d. et de p.p.c.m. Déterminer le p.g.c.d. et le p.p.c.m de 756 et 1764 de et et Lien entre décomposition en produit de facteurs premiers et nombre de diviseurs. Quel est le nombre de diviseurs de 15015? Lien entre décomposition en produit de facteurs premiers et nombre de diviseurs. Quel est le plus petit nombre entier ayant 10 diviseurs? Écriture d un entier en produit de 2 facteurs Déterminer x et y entiers positifs ou nuls vérifiant x 2 y 2 = 24 Écriture d un entier en produit de 2 facteurs Reconnaître si 401 est premier et résoudre dans l ensemble des entiers naturels l équation : x 2 y 2 = 401 Trouver une solution vérifiant une condition donnée. Déterminer les couples ( a, b) d entiers naturels tels que : 117a 260b = 0 et tels que pgcd( a, b) = 36. Quel est alors le p.p.c.m. de a et b? Utilisation de critères de divisibilité en base dix et utilisation de la décomposition en produit de facteurs premiers pour obtenir un carré parfait. Dans le système décimal de numération on considère le nombre 3x4y. Déterminer x et y pour que ce nombre soit divisible par 36. Soient a, b, c les trois nombres divisibles par 36 obtenus à la question précédente. Déterminer les plus petits nombres m, n et p tels que : ma, nb et pc soient les carrés de nombres entiers. Utilisation de tous les diviseurs d un nombre dont la décomposition contient 2 facteurs premiers distincts. Soit n = 200 = Quel est le nombre N des diviseurs de n? Les classer par ordre de grandeur croissante, calculer le produit P de tous ces diviseurs et vérifier la relation : n N = P 2 (1) Si la décomposition de n en produit de facteurs premiers est : n = a α b β, l égalité (1) est-elle encore vérifiée? 19

18 Exercice de recherche utilisant les deux notions à ne pas confondre : nombre premier nombres premiers entre eux Soit p un entier naturel premier a) Démontrer que si k est un entier naturel tel que 1 k p 1, le nombre p est divisible k par p. (Le nombre noté p désigne le nombre de combinaisons de k éléments parmi p). k b) En déduire que, quel que soit l entier naturel n, le nombre ( n+ 1) p n p 1 est divisible par p. Démontrer que quel que soit l entier naturel n, le nombre n p n est divisible par p. (On pourra faire un raisonnement par récurrence sur n). Pour quelles valeurs de n a-t-on : n p 1 1 divisible par p? Factorisation dans le système décimal de numération. Dans le système décimal de numération on considère les nombres de la forme ab ab ab, où les chiffres a et b peuvent prendre toutes les valeurs de 0 à 9. Soit E l ensemble constitué de tous ces nombres. (Par exemple , = et 0 = sont des éléments de E). Quel est le nombre n d éléments de E? Démontrer que tous les éléments de E admettent plusieurs diviseur communs et qu en particulier ils sont divisibles par 37. a) Quel est le plus grand diviseur commun d de tous les nombres de E? b) Sachant que tout diviseur commun à ces n nombres est aussi un diviseur de d, dresser la liste de tous les diviseurs communs aux n nombres de E. Calculer la somme S de tous les éléments de E. 20

19 ides aux exercices Exercices et Il s agit d exercices d application directe du cours : la décomposition en produit de facteurs premiers peut permettre de calculer p.g.c.d. et p.p.c.m., et aussi de calculer le nombre de diviseurs dans ı d un entier donné. Exercices et On pense à écrire : x 2 y 2 = ( x y) ( x+ y) ; ceci donne l idée d écrire aussi le second membre en un produit de deux facteurs. La première idée est de simplifier au maximum l équation proposée. Le théorème de Gauss pourra ensuite permettre de conclure. Revoir la condition pour qu un nombre soit divisible par 36, et utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers pour reconnaître un carré. Il est intéressant de remarquer que tous les diviseurs d un nombre n sont associés 2 par 2. En effet si d est un diviseur de n, alors il existe k entier tel que : n et k est aussi un diviseur de n. = dk a) p pp ( 1) ( p 2) ( p k+ 1) = k k! p Il est préférable d écrire ce résultat sous la forme : pp ( 1) ( p k+ 1) = k! pour pouvoir k utiliser le fait que p est un diviseur de : k! p, et là le théorème de Gauss doit certainement pouvoir k servir. b) Formule du binôme de Newton. L idée générale de cet exercice est de faire apparaître le nombre

20 Partie 2 : Congruence dans Chapitre 1 > Définition et propriétés de compatibilité... A AB Congruences modulo n dans, avec n entier naturel non nul Propriétés de compatibilité Chapitre 2 > Application des congruences à la recherche du reste dans un division euclidienne... A AB ABC Division euclidienne d un entier relatif a (a dans ) par un entier naturel b non nul (b dans *) Lien entre division euclidienne par n et congruence modulo n Quelques exemples Chapitre 3 > Lien entre critères de divisibilité usuels en base dix, et congruences... A AB ABC Utilisation des chiffres Quelques exemples Principe de la preuve par 9 Chapitre 4 > Le petit théorème de Fermat... A B Le petit théorème de Fermat Prolongement du petit théorème de Fermat Exemples C Résumé... Exercices d entraînement... Aides aux exercices... Chapitre 5 > Utilisation d un tableur... A B Recherche des diviseurs d un nombre Détermination du reste dans une division euclidienne Sommaire séquence 3 MA03 23

21 Définition et propriétés de compatiblité A Congruences modulo n dans, avec n entier naturel non nul Exemples Considérons les entiers relatifs : 13, 8, 7 et 8 ; effectuons leurs différences deux à deux et observons si cette différence est multiple de 5. ( 13) ( 8) = 5 : c est un multiple de 5 (1) ( 13) 7 = 20 : c est un multiple de 5 (2) ( 13) 8 = 21 : ce n est pas un multiple de 5 (3) ( 8) 7 = 15 : c est un multiple de 5 (4) ( 8) 8 = 16 : ce n est pas un multiple de 5 (5) 7 8 = 1 : ce n est pas un multiple de 5 (6) Dans les lignes (1), (2) et (4) la différence est un multiple de 5 nous dirons que : 13 et 8 sont «congrus» modulo 5 13 et 7 sont «congrus» modulo 5 8 et 7 sont «congrus» modulo 5 et nous écrirons : 13 8 (mod 5) ou encore 13 8 [ 5] ou encore 13 8 ( 5) 13 7 (mod 5) ou encore 13 7 [ 5] ou encore 13 7 ( 5) 8 7 (mod 5) ou encore 8 7 [ 5] ou encore 8 7 ( 5) mais le cas de la ligne (3), par exemple, se traduit par ( 13) n est pas «congru» à 8 modulo 5 et peut s écrire : 13 8 [ 5] La signe utilisé ressemble au signe «égal» : =, mais ici, il y a trois barres superposées. Définition et notation Soit n un entier naturel non nul donné, et soient x et y deux entiers relatifs quelconques. On dit que x est congru à y modulo n si la différence x y est un multiple de n. Dans ce cas on note : x y (mod n) ou encore x y [n] ou encore x y (n) et on lit «x congru à y modulo n». Remarque si x y est multiple de n, on a aussi y x multiple de n donc si : x y n on a aussi : [ ] y x [ n] 25

22 B Propriétés de compatibilité Addition, soustraction et multiplication Propriété : Addition et soustraction de congruences de même module La relation de congruence modulo n est compatible avec l addition et avec la soustraction dans Å ; c est-à-dire que si on a : x y [ n] et x y [ n] alors on a aussi : et : x+ x y+ y [ n] x x y y [ n] Cela veut dire que si on a deux congruences modulo n, on peut les ajouter membre à membre ou les retrancher membre à membre et on obtient encore une congruence modulo n. Démonstration x y [ n] se traduit par x y multiple de n x y [ n] se traduit par x y multiple de n On en déduit que la «somme» ( x y) + ( x y ) est encore un multiple de n, c est-à-dire : ( x+ x ) ( y+ y ) multiple de n ; ceci veut dire x+ x y+ y [ n]. En remplaçant le mot «somme» par le mot «différence» dans le raisonnement précédent, on prouve : x x y y [ n] Exemple On sait 13 8 [5] 7 8 [5] En ajoutant membre à membre on obtient : En retranchant membre à membre on obtient : 6 16 [5] 20 0 [5] (on peut contrôler les deux nouvelles congruences obtenues en revenant à la définition). Propriété : Multiplication de congruences de même module La relation de congruence modulo n est compatible avec la multiplication dans Å ; c est-à-dire que si on a : x y [ n] et x y [ n] alors on a aussi : xx yy [ n] Cela veut dire que si on a deux congruences modulo n, on peut les multiplier membre à membre et on obtient encore une congruence modulo n. Démonstration x y [ n] donc il existe k de Å tel que x y = kn d où x = y+ kn x y [ n] donc il existe k de Å tel que x y = k n d où x = y + k n 26

23 On a donc : xx = ( y+ kn) ( y + k n) = yy + nky ( + k y+ kk n) Posons k = ky + k y+ kk n ; k est un élément de Å et xx yy = k n. Cette dernière ligne prouve : xx yy [ n]. Exemple On sait 13 8 [5] 7 8 [5] on en déduit : 13 7 ( 8) ( 8) [5] c est-à-dire : [5] (on peut encore contrôler ce résultat en revenant à la définition). Propriété : Multiplication par un entier Si x y [ n] on a aussi : alors quel que soit k de Å kx ky [ n] Exemple Démonstration Cette propriété est un cas particulier de la propriété 2, car : x y [ n] et k k [ n]. On sait 13 8 [5] En multipliant les deux membres par le même nombre ( 3) on obtient : [5] Propriété : Elévation à une puissance Si x y [ n] alors quel que soit l entier naturel p on a aussi : x p y p [ n] (par exemple) Exemple Remarque Cette propriété est une conséquence de la propriété 2; on l établit en faisant un raisonnement par récurrence). On sait Donc [ 5] [ 5] c est à dire [ 5] ou encore [ 5] De même [ 5] c est à dire [ 5] ou encore [ 5] De même [ 5] c est à dire [ 5] ou encore [ 5] Pour cette dernière ligne, on peut aussi procéder de la façon suivante : puisque [ 5] on en déduit ( 7 2 ) 2 ( 1) [ 5] c est à dire [ 5] Cette dernière idée est importante : quand un nombre est congru à 1 modulo n, le carré de ce nombre est congru à 1 modulo n. Prudence avec la division d une congruence par un entier Exemple : on sait [ 8] En divisant les deux membres par 2, a-t-on encore une congruence modulo 8? réponse : non car 9 5 [8] 27

24 Remarque Cela veut dire qu en général «x y [n]» n implique pas «- x y = - [n]» k k Par contre : 9 5 [ 4] (on a divisé aussi le module par 2). Propriété : Simplification d une congruence Soient x et y deux entiers divisibles par un même entier naturel k ; x y n si ( x y [n] et n divisible par k) alors (on divise aussi le module) k k k x y si ( x y [n] et n et k premiers entre eux) alors - - k k Démonstration Puisque x, y et n sont divisibles par k, il existe des entiers x, y et n tels que x = kx, y = ky et n = kn. La congruence x y [ n] se traduit par l existence d un entier p tel que x y = p n, donc kx ky = pkn ( ); en simplifiant par k, on obtient : x y = pn ; la différence x y étant x y n un multiple de n, cela se traduit par : x = y [ n ] ou encore : k k k De même, puisque x et y sont divisibles par k, il existe des entiers x et y tels que x = kx et y = ky. Avoir x y [n] veut dire que n divise x y, c est à dire n divise kx ky ou encore n divise kx ( y ). On sait ici que n et k sont premiers entre eux; d après le théorème de Gauss, on en déduit que n x y divise x y ; cela se traduit par la congruence : x y [n], ou encore - - [n]. k k [ n] Exemples On a [8] ; on peut diviser 18, 10 et aussi le module 8 par 2 et on a bien : 9 5 [4] (il faut bien remarquer qu on a aussi divisé le module par 2). On a 36 6 [5] ; 36 et 6 sont divisibles par 3 et ce diviseur 3 est premier avec le module 5; on constate que l on a bien : 12 2 [5] et de même puisque 2 est premier avec 5, on a aussi 6 1 [5]. 28

25 Application des congruences à la recherche du reste dans une division euclidenne A Division euclidienne d un entier relatif a (a dans ) par un entier naturel b non nul (b dans *) Exemple Autres exemples * Le cas a 0 (a dans ı) a déjà été traité dans la première séquence ; il s agit de la division euclidienne d un entier naturel a par un entier naturel b non nul. Il existe un quotient q unique et un reste r unique dans ı tels que : * Cas a< 0 on veut diviser ( 20) par 3 : on sait 20 = donc 20 = 3 ( 6) 2 = 3 ( 6) = 3 ( 7) + 1 a = bq+ r et 0 r< b On retient la dernière écriture car on a le reste 1 dans ı et inférieur strictement à 3. Le cas général se traite comme l exemple précédent pour lequel on observe : 20 = et 0 2< 3 20 = 3 ( 7) + 1 et 0 1< 3 Le quotient de la division euclidienne de ( 20) par 3 est ( 7) et le reste est 1. division euclidienne de ( 503) par 26 On a : 503 = et 0 9< = 26 ( 19) 9 = 26 ( 20) = 26 ( 20) + 17 et 0 17 < 26 Le quotient de la division euclidienne de ( 503) par 26 est q = 20 et le reste est r = 17. division euclidienne de ( 1036) par 4. On a : 1036 = (reste nul car 1036 est multiple de 4) donc : 1036 = 4 ( 259) Le quotient de la division euclidienne de ( 1036) par 4 est ( 259) est le reste est r = 0. Propriété Quel que soit l entier relatif a (a dans Å) et l entier naturel non nul b (b dans ı * ), il existe un unique nombre q dans Å, et un unique nombre r dans ı vérifiant : a = bq+ r et 0 r< b. q s appelle le quotient et r s appelle le reste de la division euclidienne de a par b. Remarque Cette propriété généralise la division euclidienne vue sur les entiers naturels, et permet d avoir toujours la même condition sur le reste : 0 reste < diviseur 29

26 B Lien entre division euclidienne par n (n ) et congruente modulo n Soit a dans Å et n dans ı *. La division euclidienne de a par n se traduit par : a = nq+ r et 0 r< n donc a r = nq donc a r multiple de n, donc a r [ n]. Ce résultat qui aura des applications importantes, fait l objet de la propriété suivante : Propriété un entier relatif a est congru modulo n à son reste r dans la division euclidienne de a par n x y( mod n) x et y ont même reste dans la division euclidienne par n. C Quelques exemples Exemple Quel est le reste dans la division euclidienne de par 7? (Il ne s agit bien sûr pas de calculer ce nombre ). Réponse La division euclidienne de 2006 par 7 donne : 2006 = Le reste est 4 donc (mod 7) La compatibilité de la relation de congruence avec l élévation à une puissance permet de dire que : pour tout exposant n de ı * on aura aussi 2006 n 4 n (mod 7) et en particulier = (mod 7). Il va être beaucoup plus simple d examiner les puissances successives de 4 : on a : 4 4 (mod 7) donc : (mod 7) car 16 = d où : (mod 7) (en multipliant les 2 membres par 4) c est-à-dire : (mod 7) ou encore : (mod 7) car 8 = Ce dernier résultat est très important, car il va simplifier beaucoup les choses du fait que : ( 4 3 ) (mod 7) ( 4 3 ) (mod 7) ( 4 3 ) (mod 7) ( 4 3 ) k 1 k 1 (mod 7) pour k quelconque de ı * 30

27 Ne perdons pas de vue que : (mod 7) Effectuons la division euclidienne de 503 par = Donc = 4 ( ) = ( 4 3 ) D après les calculs faits avant on a : ( 4 3 ) (mod 7) et (mod 7) donc ( 4 3 ) (mod 7) c est-à-dire (mod 7) ou encore (mod 7) Remarque Exemple 2 étant tel que : 0 2< 7, est le reste dans la division euclidienne de par 7. La méthode mise en œuvre dans cet exemple est très importante. Calculer le reste dans la division euclidienne par 7 du nombre : Réponse 19 5 [ 7] d où [ 7] Intéressons-nous aux puissances successives de [7] [7] [7] donc ( 5 3 ) 2 ( 1) [7] c est-à-dire [7] d où pour tout k de ı * on aura 5 6k 1 [7] car 1 k = 1 Effectuons la division euclidienne de 52 par 6 : 52 = donc 5 52 = = or [7] et [7] d où en multipliant membre à membre, on obtient : [7] Il en résulte : [7]. Effectuons un travail analogue pour

28 23 2 [7] donc [7] [7] [7] donc 2 3k 1 [7] 41 = donc 2 41 = = [7] Récapitulatif : [7] et [7] d où [7] Conclusion : le reste de dans la division euclidienne par 7 est 1. Remarque Il est parfois utile de faire apparaître des nombres négatifs asses tôt dans les calculs de congruences ; ici : 19 5 [7] donc aussi 19 2 [7] 23 2 [7] D où ( 2) ( 2 3 ) 31 [7] Or 2 3 = 8 1 [7] donc ( 2 3 ) [7] Cette méthode évite d étudier les puissances de 5 modulo 7. 32

29 Lien entre critères de divisibilité usuels en base dix, et congruences A Utilisation des chiffres Soit le nombre n = x p x p 1 x 2 x 1 x 0(dix) Il s agit de l écriture avec les chiffres écrits les uns à côté des autres. Critère de divisibilité par 2, par 5 ou par 10 n = x p x p 1 x 2 x x modulo 2 ou modulo 5 ou modulo 10 car 10 = 2 5 donc n x 0 (mod 2) ou (mod 5) ou (mod 10) Il en résulte que n est divisible par 2, par 5 ou par 10 si c est le cas du nombre des unités. Critère de divisibilité par 4, par 25 ou par 100 n = x p x p 1 x x 1 x modulo 100 ou modulo 4 ou modulo 25 car 100 = 4 25 donc n x 1 x 0 (mod 100) ou (mod 4) ou (mod 25) Il en résulte que n est divisible par 4, par 25 ou par 100 si c est le cas du nombre formé par ses 2 derniers chiffres à droite. Critère de divisibilité par 8, par 125 ou par 1000 n = x p x p 1 x x 2 x 1 x modulo 1000 ou modulo 8 ou modulo 125 car 1000 = donc n = x 2 x 1 x 0 (mod 1000) ou (mod 8) ou (mod 125) Il en résulte que n est divisible par 8, par 125 ou par 1000 si c est le cas du nombre formé par ses 3 derniers chiffres à droite. Critère de divisibilité par 3 ou par 9 n = x p 10 p + x p 1 10 p x x 10 + x modulo 3 ou modulo 9 donc pour tout exposant k ı * : 10 k 1 k 1 (mod 3) ou (mod 9) D où n x p + x p x 2 + x 1 + x 0 (mod 3) ou (mod 9) c est-à-dire : dans une congruence modulo 3 ou modulo 9 un nombre n est congru à la somme de ses chiffres. Il en résulte que n est divisible par 3 ou par 9 si c est le cas de la somme de ses chiffres. 33

30 Exemples [3] ou [9] 0 [3] ou [9] [3] ou [9] [3] ou [9] [3] [9] Le reste de la division euclidienne de par 9 est 3. Critère de divisibilité par 11 n = x p 10 p + x p 1 10 p x x 10 + x On sait que 10 1 donc 10 k ( 1) k ( mod11). Si k est pair : 10 k 1 (mod 11) et si k est impair 10 k 1 (mod 11). Il en résulte que n x 0 x 1 + x 2 x 3 + x 4 x 5 (mod 11); on prend le chiffre des unités, on lui retranche le chiffre des dizaines, puis on ajoute le chiffre des centaines, puis on retranche le chiffre des «mille», puis on ajoute le chiffre des «dix-mille», etc ; on dit que l on fait «la somme alternée» des chiffres à partir du chiffre des unités. On vient de prouver que dans une congruence modulo 11, un nombre est congru à «la somme alternée» de ses chiffres à partir du chiffre des unités. Il en résulte que n est divisible par 11 si c est le cas pour la «somme alternée» de ses chiffres. B Quelques exemples Exemple Clément a fait à la main la multiplication suivante : = En utilisant les congruences modulo 9, prouver que le résultat est faux. Réponse (mod 9), c est à dire (mod 9) (mod 9), c est à dire (mod 9) Il en résulte que : (mod 9) 7 (mod 9) Examinons la valeur modulo 9 du résultat proposé par Clément : ( 3 + 6) + ( 7+ 8) + ( 7+ 7) + ( 7+ 6) (mod 9) (mod 9) (mod 9) donc (mod 9) Le premier nombre est congru à 7 et le deuxième est congru à 6 modulo 9; il en résulte que ces deux membres ne sont pas égaux, et donc le résultat de Clément est faux. Exemple Sans utiliser de calculatrice, peut-on affirmer que le nombre est divisible par 11? Réponse Ce nombre est divisible par 11 si et seulement si il est congru à zéro modulo 11. On va utiliser le résultat établi précédemment modulo 11, le nombre est congru à la somme «alternée» de ses chiffres à partir du chiffre des unités. 34

31 (mod 11) 6 (mod 11) Ce nombre n est pas congru à zéro modulo 11, donc n est pas divisible par 11. Exemple Trouver les deux chiffres x et y du nombre N soit divisible par 72. = 28x75y (écriture décimale), pour que ce nombre N Réponse On sait que 72 = 8 9 et que 8 et 9 sont premiers entre eux. Pour que le nombre N proposé soit divisible par 72, il suffit donc qu il soit divisible par 8 et par 9. N divisible par 8 75y divisible par 8 (1) N divisible par x y 0 (mod 9) (2) Exploitons la ligne (1) en faisant différents essais avec la calculatrice (y est un entier compris entre 0 et 9). Seul 752 est divisible par 8 ( 752 = 8 94), donc si y existe, il vaut nécessairement 2. Reportons cette valeur de y dans l information (2) : x y = 10+ x = 24 + x 6 + x (mod 9) On cherche x entier naturel entre 0 et 9 tel que : 6+ x 0 (mod 9) ; nécessairement x = 3. Si N satisfait aux conditions alors N = On contrôle que = Conclusion : Le nombre N cherché est C Principe de la preuve par 9 Exemple d une multiplication Peut-on savoir sans poser l opération et sans utiliser sa calculatrice si le résultat de la multiplication : peut donner : ? Utilisons les congruences modulo = 5 et ( 1+ 8) 7 On a : [9] et [9] donc [9] 35 8 [9] [9] et [9] 0 [9] On est certain que : car ces deux membres ne sont pas congrus au même nombre modulo 9. 35

32 Remarque Si on prend une calculatrice, pour l exemple précédent on trouve le bon résultat suivant : = Mais si par exemple on permute deux chiffres, les congruences ne permettront pas de constater une erreur. Le principe général est le suivant : si x y = z et si x x [9], y y [9] et z z [9] alors on doit nécessairement avoir : x y z [9] il s agit bien d une condition nécessaire, mais elle n est pas suffisante. Cela permet tout de même de pouvoir affirmer qu un résultat est faux. Disposition pratique x y = z x x [9] x' y y [9] z' x'y' y' z z [9] Pour que l opération soit bonne il est nécessaire d avoir z x y [9].? = x5 7 5 = 35 0 [9] donc n est sûrement pas la bonne réponse. Cas d une division euclidienne Divisons a par b : Supposons a a [9] b b [9] q q [9] r r [9] a = bq+ r et 0 r< b. Alors nécessairement on doit avoir : a b q + r [9]? Peut-on avoir = x8+0 6 La réponse est non car [9] Peut-on avoir = ? x8+0 Cette fois-ci on a bien : 6 8 = [9] 36

33 donc [9] donc [9] donc [9] MAIS on ne peut PAS quand même conclure à l exactitude du résultat (et d ailleurs il est faux). Disposition pratique : b' a' b'q'+r' q' si a b q + r [9] alors le calcul est faux. Principe général d une preuve par 9 xy =? z z' x' y' x'y' Si x y z [9] alors la multiplication est FAUSSE Si x y z [9] la multiplication peut être bonne, mais sans certitude.? a = bq+ r b' a' b'q'+r' q' Si a b q + r [9] alors la division est FAUSSE Si a b q + r [9] la division peut être bonne, mais sans certitude. La simplicité de ces preuves réside dans le fait que les nombres x, y, z, a, b, q et r qui interviennent sont très petits et les calculs se font très aisément «de tête». Exemple On peut aussi faire des preuves par 11 Sans faire l opération, peut-on savoir si on a : = Preuve par 9 3 On a bien 6 = 6, mais cette preuve ne permet pas de conclure Preuve par 11 C est le même principe : on veut tester xy =? z Soit x x [11] ; y y [11] ; z z [11] Si x y z [11] la multiplication est fausse Si x y z [11] la multiplication peut être bonne, mais sans certitude. Disposition : x' ici x [11] z' x'y' y [11] y' z [11]? x = 3 ; y = 1 ; z = 4 On a : 3 4 [11] donc la multiplication est sûrement fausse

34 Le petit théorème de Fermat A Le petit théorème de Fermat Le but de ce paragraphe est de démontrer le théorème suivant : Si p est un nombre premier et a un entier naturel non divisible par p, alors par p, c est à dire a p 1 1 (mod p). a p 1 1 est divisible Etape 1 Commentaire Ce théorème est souvent appelé «petit théorème de Fermat», par opposition au «grand théorème de Fermat» dont l énoncé est : Lorsque n est un entier supérieur ou égal à trois, l équation x n + y n = z n, n a pas de solutions en nombres entiers, hormis la solution x = y =z = 0». Fermat a énoncé ce théorème sans en laisser de démonstration. La preuve en a été faite finalement en 1997, plus de trois cents après, et après que des générations de mathématiciens aient tenté, sans succès, de le démontrer. Mais parmi ceux qui n ont pas réussi, certains ont «apporté une pierre», et contribué à l édifice de la solution présentée par le mathématicien anglais Andrew Wiles (1997). Une démonstration du petit théorème consiste à écrire la liste des multiples de a jusqu à ( p 1)a : a, 2a, 3a, ( p 1)a Montrons que deux quelconques de ces p nombres ont des restes distincts et non nuls dans la division par p. Pour cela on fait un raisonnement par l absurde. Supposons que l un de ces nombres, par exemple ka pour 1 k p 1 soit divisible par p. p étant premier, non diviseur de a, diviserait k ; mais cela est impossible car k est plus petit que p. Il en résulte qu aucun des nombres de la liste admet 0 comme reste dans la division par p. Supposons que deux de ces nombres, par exemple ka et ka pour 1 k p 1 et 1 k p 1 ait le même reste dans la division par p. Cela veut dire que ka k a (mod p) donc ( k k )a 0 mod p) donc p divise ( k k )a. Mais p est premier et ne divise pas a, donc p doit diviser k k c est-à-dire k k (mod p) ; ceci est impossible car ces deux nombres k et k sont distincts et compris entre 1 et p 1. Conclusion : ces p nombres a, 2a, 3a,, (p 1)a admettent p restes distincts non nuls dans la division par p. A l ordre près, ces restes sont donc 1, 2, 3,, p 1. Etape 2 Montrons que le produit de ces p nombres est congru à ( p 1)! dans la congruence modulo p. Le produit de ces p nombres est congru modulo p, au produit des restes de chacun d eux dans la division euclidienne par p ; c est à dire : a 2a 3a ( p 1)a ( p 1) (mod p), c est-à-dire : a p 1 ( p 1)! ( p 1)! (mod p). Les deux membres de la congruence sont divisibles par ( p 1)!. On pourra diviser les deux membres par ( p 1)! et obtenir une congruence vraie modulo p si on prouve que p et ( p 1)! sont premiers entre-eux. 38

35 On sait que p est premier, et que p ne divise aucun des nombres 1, 2, 3,, (p 1) qui lui sont inférieurs; cela prouve que p et ( p 1)! sont premiers entre eux; et ainsi on a bien : a p 1 1 (mod p) c est à dire a p 1 1 divisible par p. B Prolongement du petit théorème de Fermat Déduisez du petit théorème de Fermat le résultat suivant : Si p est un nombre premier et a un entier quelconque, alors a p a (mod p), c est-à-dire a p a divisible par p. (On ne suppose plus ici a non divisible par p, seulement a > 0). En effet : Si a divisible par p on a aussi a p divisible par p donc on a bien la différence a p a divisible par p. Si a non divisible par p, d après le petit théorème de Fermat, on a : a p 1 1 (mod p) et en multipliant les deux membres de la congruence par a, on obtient a p a (mod p), c est à dire a p a divisible par p. C Exemples Exemple Sachant que 101 est un nombre premier, a) Trouver le reste de dans la division par 101. b) Trouver le reste de dans la division par 101. Réponse a) Puisque 101 est premier et ne divise pas 2, le petit théorème de Fermat permet d affirmer que (mod 101), donc le reste de la division de par 101 est 1. b) Puisque 101 est premier et ne divise pas 3, le petit théorème de Fermat permet d affirmer que (mod 101); en multipliant les deux membres de la congruence par 3 2 on obtient : (mod 101), donc le reste de la division de par 101 est 9. Exemple Trouver le reste de dans la division par 29. Réponse Le nombre 29 est premier et ne divise pas 8; d après le petit théorème de Fermat, on peut affirmer que : (mod 29). La division euclidienne de 900 par 28 donne : 900 = Donc = 8 ( ) + 4 = ( 828 ) Or ( mod 29) donc ( 8 28 ) (mod 29) D où : (mod 29) ; 8 2 = 64 6 (mod 29) On a : 8 2 = 64 6 (mod 29) donc (mod 29) Il en résulte : (mod 29), donc le reste de la division de par 29 est 7. 39

36 Exemple Prouver que quelque soit l entier naturel a non nul, a 13 a est divisible par 26. Réponse D après le prolongement du petit théorème de Fermat on peut affirmer que a 13 a (mod 13) car 13 est premier ; cela veut dire a 13 a divisible par 13. Si a est pair, a 13 est pair, donc a 13 a est pair d où a 13 a est divisible par 2. Si a est impair, a 13 est impair, donc a 13 a est pair d où a 13 a est divisible par 2. Dans tous les cas on a : a 13 a divisible par 13 et 2, nombres qui sont premiers entre eux, donc a 13 a est divisible par leur produit 26. Exemple Montrer que est divisible par Réponse La décomposition de 1001 en produit de facteurs premiers est : 1001 = , donc si un nombre est divisible par 7, par 11 et par 13, il est divisible par leur produit Montrons que est divisible par 7, par 11 et par 13. Les nombres 7, 11 et 13 sont premiers et ne divisent pas 300. Par ailleurs = ( ) 500 et = ( ) 300 et = ( ) 250. D après le petit théorème de Fermat, on déduit : = ( ) (mod 7), donc divisible par = ( ) (mod 11), donc divisible par = ( ) (mod 13), donc divisible par 13. Conclusion Le nombre étant divisible par les facteurs premiers 7, 11 et 13 est divisible par leur produit

37 ésumé Définition de la relation de congruence modulo n (n dans *) Soit n un entier naturel non nul donné ; soient x et y deux entiers relatifs quelconques. On dit que x est congru à y modulo n si la différence x y est un multiple de n et on note : x y (mod n) ou encore x y [n] ou encore x y (n) x y (mod n) x y multiple de n. Propriété des congruences compatibilité avec l addition et la soustraction dans Å : si x y [n] et x y [n] alors x + x y+ y [n] et x x y y [n] compatibilité avec la multiplication et l élévation à une même puissance dans Å : si x y [n] et x y [n] alors xx yy [n] et x p y p [n] (p dans ) simplification d une congruence : soient x et y deux entiers divisibles par un même entier naturel k ; x y n si ( x y [n] et n divisible par k) alors (on divise aussi le module) k k k x y si ( x y [n] et n et k premiers entre eux ) alors - - [ n] k k un entier relatif a est congru modulo n au reste obtenu dans la division euclidienne de a par n x y [n] x et y ont le même reste dans la division euclidienne par n Le petit théorème de Fermat Si p est un nombre premier et a un entier naturel non divisible par p, alors a p 1 1 (mod p). 41

38 xercices d entraînement Congruences modulo 10. Trouver le chiffre des unités de Congruences modulo 11. Paul a écrit son numéro de téléphone sur un papier pour Annie; mais il a plu sur le papier et un chiffre que l on note «a» est illisible : a Annie se souvient que Paul lui a dit : «Mon nombre fétiche est 11 et, justement, mon numéro est divisible par 11». Pouvez-vous aider Annie à retrouver le chiffre manquant? Les carrés dans les congruences modulo 3. Démontrer que pour tout entier n non multiple de 3 on a : n 2 1( mod 3). En déduire que quels que soient les entiers relatifs a et b, le nombre ab( a 2 b 2 ) est divisible par 3. Utilisation des compatibilités de l addition et de la multiplication avec les congruences. Les entiers seront écrits ici en base dix. En remarquant que : 999 = 27 37, démontrer que pour tout entier positif n on a : 10 3n 1 (mod 37) En déduire le reste de la division par 37 du nombre A = Observation de phénomènes périodiques dans la recherche des restes. Déterminer, en utilisant les congruences, les restes de la division par 7 des nombres suivants : 3 ; ; ; ; ; ;. Si p est un entier positif, démontrer que 3 p et 3 p 6 ont le même reste dans la division par 7. Quel que soit l entier naturel n, démontrer que 2005 n et 3 n ont le même reste dans la division par 7. Déterminer n pour que ce reste soit 5. Situation assez complexe où on peut procéder par élimination des cas. Démontrer que si trois nombres entiers relatifs x, y et z sont tels que la somme x 3 + y 3 + z 3 est divisible par 3, alors la somme x+ y+ z est aussi divisible par 3. Démontrer que si x 3 + y 3 + z 3 est divisible par 9 alors l un au moins des trois nombres x, y ou z est divisible par 3. 42

39 Dans la division euclidienne par 7, il y a 7 restes possibles. Un tableau peut aider à voir tous les cas. Déterminer les entiers relatifs n tels que n (mod 7). Déterminer les entiers relatifs n tels que n (mod 7). En déduire que pour tout entier relatif n, le nombre nn ( 3 + 1) ( n 3 1) est divisible par 42. Il s agit de résoudre un problème de calendrier en utilisant l arithmétique. Trois bateaux partent en croisière du même port. L un part tous les jours, un autre part tous les 9 jours et le dernier part tous les 15 jours. Ils partent ensemble le lundi 27 avril. À quelle date repartiront-ils à nouveau ensemble un lundi? (On tiendra compte des mois de 30 jours, de 31 jours, et du mois de février qui comporte 28 jours les années non bissextiles, c est-à-dire non multiples de 4, et 29 jours sinon). 43

40 ides aux exercices Utiliser le fait qu un nombre est congru modulo 10 à son chiffre des unités, et savoir utiliser la compatibilité des congruences avec l élévation à une même puissance. Connaître et savoir utiliser le critère de divisibilité par 11. Penser à décomposer en plusieurs cas. Bien connaître la définition de congruence et les propriétés de compatibilité avec les opérations. Quand on trouve [7], on est assuré de retrouver ensuite les valeurs trouvées avant car [7] ; [7] ; [7] ; On peut observer que : x 3 x = xx ( 2 1) = xx ( 1) ( x+ 1) pour prouver que x 3 est congru à x modulo 3 Un examen de tous les cas peut être à faire. On peut penser remplir un tableau du genre n congru à n 3 n n 3 1 congru à congru à congru à 42 = 7 6 avec 7 et 6 premiers entre eux. Voir que l exercice se ramène à une recherche de p.p.c.m. 44

41 Utilisation d un tableur A Recherche des diviseurs d un nombre Problème Construire un outil logiciel qui permette de trouver tous les diviseurs d un entier. Cet outil pourra être ensuite réutilisé pour résoudre des problèmes. Principe de résolution Exercice Il s agit de diviser N qu on étudie par chaque entier inférieur à l entier N et de vérifier si le quotient est entier. Si il l est on note le diviseur dans une colonne et le quotient dans une autre. Fabriquer une feuille qui permette de trouver tous les diviseurs de 455. Une cellule, par exemple F1, contient le nombre N à étudier. La colonne A contient la liste des entiers. Cette liste est obtenue en mettant 1 dans A2, puis la formule «=A2 + 1» dans A3 et en recopiant A3 vers le bas. Remarque : on peut limiter ces entiers aux entiers inférieurs ou égaux à la racine carrée de 455 ; pour cela, dans la cellule A3 on utilise la commande SI(A2<=rac(455) ; A2+1 ;»») et on recopie A3 vers le bas. La colonne B la liste des quotients. Cette liste est obtenue en écrivant la formule «=$F$1/A2» dans B2 et en recopiant vers le bas. Les troisième et quatrième colonnes contiennent les diviseurs de N. Comme savoir si un nombre est un diviseur de N, il suffit de vérifier que son quotient est entier, pour cela on utilise la fonction «partie entière» notée «ent» dans le langage d Excel. ent(n) donne le plus grand entier inférieur ou égal à n ainsi que la commande SI. Donc danc C2 on écrira «=SI(ent(B2) = B2 ; B2 ; "")». Dans la cellule D2 on pourra écrire «=SI(ent(B2) = B2 ; A2 ; "")». Recopier ces formules vers le bas. On lit les diviseurs de 455, ce sont les nombres : 1, 5, 7, 13, 35, 65, 91 et

42 B Détermination du reste dans une division euclidienne Déterminer le reste de la division euclidienne de 3^2 002 par 97. (3^2002 veut dire ) La fonction mod(nombre ; diviseur) donne le reste dans la division euclidienne du nombre par le diviseur. On a : 3^48 congru 1 (modulo 97) (voir utilisation du tableur ci-dessous) 2002 = 48* d où 3^2002 = (3^48)^41*3^34. Ce nombre est congru à 3^34 (mod 97) puisque 3^48 congru 1 (mod 97) Or 3^48 est congru à 24 (modulo 97) On a : 0<=24<97, donc 24 est le reste de la division euclidienne de 3^2002 par