Concours général 2014 pb 3 : chiffres et lettres

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1 Cocours gééral 014 pb 3 : chffres et lettres 1 Le sujet U mot de logueur est ue sute de lettres choses parm les l0 lettres A, B, C, D, E, F, G, H, I, J Par exemple, BEC, IJCD, AFFICHAGE, ABCDEFGHIJ sot des mots de logueurs respectves 3, 4,, 10 Ue attrbuto du mot ω est u ombre dot l'écrture décmale est obteue e remplaçat chaque lettre de ω par u des chffres 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8,, de sorte que des lettres detques sot remplacées par le même chffre et que deux lettres dstctes sot remplacées par des chffres dfférets Il est perms que le premer chffre de l'attrbuto sot égal à 0 Par exemple, 11 et 040 = 40 sot deux attrbutos pour le mot GAG, mas 333 et 45 e sot pas ; 555 et 000 = 0 sot des attrbutos de AAA, mas pas 11 ou 78 Sot d u eter strctemet postf O dt que le mot ω est u bloqueur de d s toute attrbuto de ω est u ombre o dvsble par d As le mot ω = AABCA 'est pas u bloqueur de d = 4, car est ue attrbuto de ω qu est dvsble par 4 11 Motrer que le mot AB est u bloqueur de d = Motrer que tout ombre d'au mos tros chffres admet u bloqueur Le ombre d > 0 est dt mauvas s'l admet au mos u bloqueur So, o dt que d est bo La questo précédete motre que tout ombre d'au mos tros chffres est mauvas 1 Motrer que 10 est bo Motrer que 8 est bo 3 Motrer que le mot AAB est u bloqueur de 7 4 Motrer que le mot ABBAB est u bloqueur de 3 5 U dvseur postf d'u ombre bo est-l forcémet bo? U dvseur postf d'u ombre mauvas estl forcémet mauvas? S est u eter strctemet postf et s X est ue lettre, o ote X le mot XXX formé de lettres X 31 Sot p u ombre premer supéreur ou égal à 7 et sot ω le mot déf par : ω = AAA BA CA DA EA FA GA HA IA JA Motrer que ω est u bloqueur de p O pourra utlser lbremet le pett théorème de Fermat : s x est u eter o dvsble par p, alors p p 1 dvse x 1 3 Motrer qu'l exste au plus 7 ombres bos 4 Sot ω u mot de logueur, et a ue attrbuto deω O ote a l'attrbuto de ω obteue à partr de a e permutat crcularemet, das cet ordre, les chffres 0,1,,3,4,5,6,7,8 sas toucher aux Autremet dt, das l'écrture décmale de a, les chffres 0,1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, sot respectvemet remplacés par 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, Par exemple, s = 5 et a = 0178 alors a '= 180 Sot le ombre d'appartos du chffre das l'écrture décmale de a 41 S a est cogru à r modulo, à quo est cogru a modulo? 4 E dédure que s est pas cogru à modulo 3, alors l exste ue attrbuto de a dvsble par 43 Motrer qu'l e est de même s est cogru à modulo 3, mas pas modulo 44 Motrer que est bo 5 Motrer que 18 est bo 6 Motrer que s u ombre est mauvas, l admet ue fté de bloqueurs Pour formato, o peut motrer qu'l exste exactemet ombres bos Ce sot les dvseurs postfs des ombres 18, 4, 45, 50, 60, 80 G Jula, 014 1

2 Ue cojecture pour la questo 31 O se propose de costrure u programme géérat ue attrbuto a du mot ω étudé das cette questo ameat à ue cojecture Le réglage du fcher est e mode «Exact» Ce programme sera ommé bloc et affecté d u argumet, l eter premer p S o cosdère ue attrbuto de ω, o remarque das so écrture des séqueces de chffres de la forme XA, où X est u chffre dstct ou o de A p 3 S b est ue attrbuto du mot XA : b = ( ) A + 10 X Esute, l attrbuto a de ω est ue somme d eters de la forme ( ) ( p 1 10 ) XA pour allat de zéro à p et X allat de J à B, complétée ecore par l eter : ( p 1 AAA 10 ) 1 U programme provsore La lste l est composée des dx chffres de l écrture décmale usuelle L structo radsamp(l, 10,1) géère ue ouvelle lste stocée das u où les chffres ot été permutés aléatoremet (le trosème argumet égal à 1 assure qu l y a pas de répétto de chffres das cette ouvelle lste) L eter u [ 10] est «réservé» e varable y pour ue utlsato ultéreure L structo codtoelle For EdFor est destée à géérer et stocer les attrbutos des mots XA où A est fxé (c est u [ 10] ) et où X parcourt tous les chffres de la lste u O fat affcher ces attrbutos Le programme complet O costrut mateat l attrbuto a de ω correspodate, que l o fat affcher O fat affcher égalemet le reste de la dvso de a par p O peut lacer le programme avec p = 7 Das l exemple c-cotre, ous avos obteu l attrbuto : Cet eter est cogru à 1 modulo 7 G Jula, 014

3 Cette fos, ous avos obteu l attrbuto : Cet eter est auss cogru à 1 modulo 7 Essayos avec 11 O obtet par exemple l attrbuto : Laquelle attrbuto est cogrue à 10 modulo 11 D autres lacemets du programme bloc chaget l attrbuto, mas o retrouve toujours la même cogruece Il semble que toute attrbuto sot cette fos cogrue à 10 modulo 11 Le lecteur pourra vérfer qu avec 13, o obtet des attrbutos qu semblet toutes cogrues à 1 modulo 13 et qu avec 17, o obtet des attrbutos qu semblet toutes cogrues à 3 modulo 17 G Jula, 014 3

4 3 Idcatos U covéet de proposer des «dcatos» est que ces «dcatos» oretet vers la pste de résoluto que mo j a suve, au détrmet certaemet d autres pstes qu pourraet être autat so plus prometteuses 3 Chercher les attrbutos de AAB qu sot multples de et motrer qu aucue d etre elles est multple de 7 4 Cosdérer ue attrbuto de ABBAB et la passer à la moulette d ue cogruece modulo 3 31 Predre e compte que : ( ) ( 10 1) = p 3 Cosdérer ue attrbuto d u mot de la forme XA où X désge l ue des lettres A, B,, J Motrer que cette attrbuto (abusvemet certes, otée auss XA ) vérfe : XA p ( X A) ( p) p 10 Motrer que s a est ue attrbuto du mot ω cosdéré das cette questo : a ( A + B + C + + J ) 10 ( p) Fare le le avec la «cojecture» trouvée à la parte et tester la cocluso Justfer que les facteurs premers d u ombre «bo» e peuvet être que, 3 ou 5 Majorer les exposats de ces facteurs e utlsat 3 et 4 Fare l vetare des ombres plus petts que 100 que l o peut fabrquer as p 1 41 Motrer que a' r + ( ) ( ) 4 Itérer pluseurs fos la permutato suggérée et cosdérer les résultats des cogrueces obteues Justfer que l u des résultats est ul 43 Justfer qu l y a au mos u chffre autre que dot le ombre d appartos das l écrture de a est pas cogru à modulo 3 Essayer de permuter das l écrture de a le chffre avec ce chffre 44 Il reste à motrer que l o peut obter ue attrbuto de ω qu est dvsble par même s est cogru à modulo O peut essayer de trouver ue permutato de chffres rameat à l u des cas précédets (S r = 0, la questo est réglée, so justfer qu l y a u chffre dot le ombre d appartos est pas cogru à modulo ) 5 Sot ω u mot Cosdérer ue attrbuto a de ω qu est dvsble par S le derer chffre est par, la questo est réglée So, o peut essayer das l écrture de a la permutato de chffres : c a c et vor ce qu l se passe pour cette ouvelle attrbuto 6 U lemme qu peut être utle Sot q u ombre eter strctemet postf Pour tout eter strctemet postf, o pose : s = 1+ q + q + + q 1 Lemme : De la sute de ombres eters ( s ) premers etre eux deux à deux, o peut extrare ue sute dot les termes sot des eters G Jula, 014 4

5 E effet : L1 Motrer que s =1+ q et L Motrer que s 3 = 1+ q + q sot des eters premers etre eux s 7 = 1 + q + q + q + q + q + q est premer avec s et avec s 3 L4 E gééral, o cosdère la sute ( ) 4 6 L3 Motrer que s 43 = 1 + q + + q est premer avec s, avec s 3 et avec s 7 u j as défe : j et pour tout : = 1 j = 1 + de sorte 1 = j u u = 1 4 = 1 + j1 j j3 = = par exemple que : j = + j 3 ; j = + j j = ; j = O pose pour tout eter 1 : Motrer que = w = s j de sorte par exemple que : w 1 s ; w = s3 ; w3 = s7 ; w4 = s43 w est premer avec chacu des eters w 1 ; w ; ; w 1 Coclure = Ue pste de résoluto de la questo 6 est, s ω est u mot bloqueur d u «mauvas» ombre m, de cosdérer mots obteus e accolat les us aux autres des «ω» S a est ue attrbuto de ω, explcter l attrbuto correspodate de ces mots O obtet des attrbutos du type a F où F est u certa facteur à explcter Motrer e utlsat le lemme qu l y a ue fté de mots accolés tels que m et F sot premers etre eux G Jula, 014 5

6 G Jula, 014 6

7 4 Elémets de correcto 1 Les attrbutos de AB sot tous les eters qu s écrvet avec deux chffres dstcts de {1,,10, 1,, 1, 3, 8} c'est-à-dre tous les eters comprs etre 0 et à l excepto de 00, 11,, 33,, L uque dvseur d u eter s écrvat avec au mos tros chffres qu sot comprs etre 0 et est l eter zéro lequel est pas ue attrbuto de AB Doc AB est u bloqueur de tout eter 100 Tous les eters supéreurs ou égaux à 100 sot mauvas 1 Quel que sot le mot ω, de derère lettre x, ses attrbutos telles que x = 0 sot dvsbles par 10 L eter 10 admet aucu bloqueur, l est bo Les eters dvsbles par 8 sot ceux dot l eter représeté par ses tros derers chffres est lu même dvsble par 8 Pour savor s 8 est bo ou o, l sufft de tester les mots ω s écrvat avec tros lettres au plus Il y a cq mots à tros lettres qu sot AAA, AAB, ABA, BAA, ABC Or par exemple, les eters 000, 008, 080, 800, 016 sot tous dvsbles par 8 et sot, respectvemet, des attrbutos de ces mots Quat aux mots de mos de tros lettres, A, AA ou AB, 8, 08, 88 par exemple e sot respectvemet des attrbutos dvsbles par 8 Il e résulte que 8 admet pas de bloqueur Il est bo 3 U eter dvsble par 7 est a fortor dvsble par Les attrbutos de AAB qu sot dvsbles par sot : 00, 117 = 13, 5 = 5, 441 = 4, 558 = 63, 774 = 86, 88 = 8, 0 = 110 Aucue d etre elles est dvsble par 7 Il e résulte que AAB est u bloqueur de 7 4 Soet a, b deux chffres dstcts et abbab l attrbuto de ABBAB assocée Cet eter est dvsble par 3 s et seulemet s abbab 0 (3) Or : abbab = a b a + 13b (3) Mas pusque 13 et 3 sot deux eters premers etre eux, 6a + 13b = 13( a + b) 0 (3) a + b 0 ( 3) c'est-à-dre s et seulemet s a + b s et seulemet s est lu-même u eter dvsble par 3 Or, l exste aucu couple de chffres dstcts tels que a + b sot dvsble par 3 (e effet l eter a + b est écessaremet comprs etre 1 et 6) Doc, aucue attrbuto de ABBAB est dvsble par 3, ce mot est u bloqueur de est mauvas alors que l u de ses dvseurs, e l occurrece 8, est bo U dvseur postf d u ombre mauvas est pas écessaremet mauvas Sot b u ombre bo et u u dvseur postf de b L eter b admet u bloqueur dot aucue des attrbutos est dvsble par b Aucue de ces attrbutos est a fortor dvsble par u Doc tout dvseur postf d u ombre bo est bo S u mot ω bloque u eter x, l bloque auss tous les multples de x : pusque ses attrbutos e sot pas dvsbles par x elles e le sot pas o plus par u quelcoque multple de x Doc tous les multples d u ombre mauvas sot mauvas 31 S o cosdère ue attrbuto a de ω, les chffres J, I,, B sot ceux de rags p 1 ; p 1 ; ; p 1 respectfs ( ) ( ) Il s esut que le premer chffre de chacu des 10 blocs «0 p 1 de dx : ( p 1 10 ; 10 ;;10 ) ( ) ( p 1) 8 ( ) ( p 1) p 1 AAA 10 + BA ( IA ) 10 + ( JA ) A» est assocé à des pussaces remarquables a = D après le pett théorème de Fermat, chacue de ces pussaces est cogrue à 1 modulo p E coséquece : a ( AAA ) + ( BA ) + ( CA ) + + ( JA ) ( p) Nous sommes ameés à étuder les eters dot l écrture décmale est XA G Jula, 014 7

8 p 3 S b est ue attrbuto d u tel eter : b = ( ) A + 10 X p 1 O cosdère la relato : 10 1 = ( 10 1)( ) = ( ) p 1 D après le pett théorème de Fermat, 10 1 = ( ) est dvsble par p Pusque p est par hypothèse u ombre premer supéreur ou égal à 7, l est premer avec, doc l dvse p 3 O e coclue que : ( p) c'est-à-dre p ( p) p O e dédut : b ( X A) 10 ( p) pus : a (( 10A) + ( B A) + ( C A) + + ( J A) ) 10 ( p) falemet a ( A + B + C + + J ) 10 ( p) La somme des dx chffres état 45 : a ( p) égal à 7, l eter ω est u bloqueur de p que et, et lorsque p est u ombre premer supéreur ou est premer avec p Aucue attrbuto de ω e peut être dvsble par p Le mot 3 Das la décomposto e produt de facteurs premers d u ombre bo, l e peut y avor aucu ombre premer autre que, 3 ou 5 Sa décomposto est de la forme 3 5 avec x < 5 ; y < 3 ; z < 3 pusqu o a vu que 3, 7 et 15 pour dverses rasos sot mauvas De plus, ce ombre est < 100 Les ombres susceptbles d être bos sot : 1,, 4, 8, 16 as que 3, 6, 1, 4, 48, ou 5, 10, 0, 40, 80 ou, 18, 36, 7 ou 15, 30, 60 ou 45, 0 ou 5, 50 ou 75 Ce qu fat 7 ombres 41 E règle géérale, modulo, u eter est cogru à la somme de ses chffres autres que le chffre La règle de remplacemet revet à remplacer tout chffre c autre que par le reste de la cogruece modulo de c + 1 (pusque 8 est remplacé par zéro qu est cogru à modulo ) S est le ombre d appartos du das l écrture de a, l y a autres chffres das cette écrture, et a' r + ( ) ( ) 4 O va motrer que l o peut obter ue attrbuto qu est cogrue à 0 modulo E pratquat de 1 à 8 fos la permutato crculare aocée o obtet des attrbutos qu sot cogrues à r + ; ; r + 8 S l eter est pas cogru à modulo 3, l eter est premer avec et ( ) ( ) ses multples ( ) ; 8( ) Das ce cas, quel que sot l eter r, u et u seul des eters r r + ( ) ;; r + 8( ) ; sot cogrus (das u certa ordre) aux eters 1 ; ; ; 8 modulo ; est cogru à 0 modulo O obtet par coséquet ue attrbuto qu est dvsble par 43 S est cogru à modulo 3, mas pas modulo, les eters r r + ( ) ;; r + 8( ) ; sot cogrus à l u ou l autre des eters r ; r + 3 ; r + 6 (o les obtet tros fos chacu) S r est cogru à 0 modulo 3, alors l u des tros eters r ; r + 3 ; r + 6 est cogru à 0 modulo, et o obtet ue attrbuto qu est dvsble par (et même o e obtet tros) S ce est pas le cas, l exste au mos u chffre autre que dot le ombre d appartos das l écrture de a est pas cogru à modulo 3 (so, r serat multple de 3) Sot a 1 l attrbuto de ω obteue e remplaçat das l écrture ce chffre par le chffre et le par ce chffre Cette fos, le ombre d appartos du chffre est plus cogru à 0 modulo 3 O obtet ue attrbuto qu ramèe au cas étudé das 4 44 Il reste à motrer que l o peut obter ue attrbuto de ω qu est dvsble par même s est cogru à modulo Das ce cas, tous les eters r ; r + ( ) ;; r + 8( ) sot cogrus à r modulo S r est cogru à 0 modulo, alors toutes les attrbutos obteues sot dvsbles par So, l exste au mos u chffre autre que dot le ombre d appartos das l écrture est pas cogru à modulo (so r serat x y z G Jula, 014 8

9 multple de ) O permute ce chffre avec le pour obter ue attrbuto qu ramèe au cas 43 ou au cas 4 Das tous les cas, o peut costrure ue attrbuto de ω qu est dvsble par, ce qu prouve qu aucu mot est bloqueur de Par coséquet, est bo 5 O peut essayer de compléter le rasoemet de la questo 4 e motrat que pour tout mot ω, o peut costrure ue attrbuto de ω qu est o seulemet dvsble par mas auss pare Sot doc ω u mot et a ue attrbuto de ω qu est dvsble par (la questo précédete motre qu l y e a au mos ue) Sot sa logueur, r la somme de ses chffres et x le ombre d appartos du chffre ( = 0,1,, ) das l écrture de a (Par coséquet : 0 ( ) = r ) S le derer chffre de a est par, cette attrbuto est multple de 18, la questo est réglée S ce est pas le cas, o remplace les chffres 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, par respectvemet les chffres, 8, 7, 6, 5, 4, 3,, 1, 0 Cette permutato revet à remplacer le chffre par le chffre et a pour effet de remplacer u chffre par par u mpar et versemet Cette ouvelle attrbuto a pour somme de chffres : = 0 ( ) x = x x = r = 0 = 0 = 0 x S r est dvsble par, l e est de même de r O obtet ue ouvelle attrbuto multple de et dot le derer chffre est par, elle est multple de 18 Aucu mot e bloque 18, 18 est bo 6 Démostrato du lemme : L1 s = + q + q = q s 1 La relato : s q s 1 est ue relato de Bézout, prouvat que s =1+ q et 3 = s 3 = 1+ q + q sot des eters premers etre eux L s 7 = 1 + q + q + q + q + q + q = 1 + ( q + q + q ) s = 1 + ( q + q ) s = Les relatos : s ( q + q + q ) s 1 et ( q + q ) s 1 s7 est premer avec s et avec s = 4 s sot deux relatos de Bézout prouvat que L3 s 43 = 1 + q + q Il y a das cette somme 4 pussaces de q (autres que la «pussace zéro-ème» 1) que l o peut regrouper de dverses faços : Par paquets de termes : s = 1 + q + q = 1+ q( 1 + q) + q ( 1 + q) + + q ( 1 + q) 3 43 ce qu amèe à la 35 relato : s 43 = 1 + ( q + q q ) s 4 40 Par paquets de 3 termes : s 1 + q( 1 + q + q ) + q ( 1+ q + q ) + + q ( + q + q ) relato : s 43 = 1 + ( q + q + + q ) s 3 4 = ce qu amèe à la Par paquets de 7 termes : ( ) s 43 = 1 + q + q + q + q + q + q s 36 Chacue des relatos obteues est ue relato de Bézout prouvat que avec s, avec s 3 et avec s 7 4 s 43 = 1 + q + + q est premer L4 u w Il y a das cette somme = 1 j 1 = pussaces de q (autres que la j 1 = s j = 1+ q + + q j u u = 1 «pussace zéro-ème» 1) que l o peut regrouper de dverses faços pusque ce ombre est u multple de tous les précédets eters j G Jula, 014

10 S l o pred e partculer l u de ces eters j, l est possble de regrouper par paquets de j termes et o forme as w u = 1 ju u = 1 paquets j j 1 j + 1 j 1 j j j 1 ( q ) + q ( q ) + + q ( q ) = 1 + q u = 1 j u u u = 1 = 1 Le derer exposat est e effet : j = 1+ j j u = 1 j 1 j j 1 O obtet la relato : w 1 + ( q + q 1 + q + q ) w w et La sute ( ) w sot des eters premers etre eux w est extrate de la sute ( ) extracto e déped pas de l eter q j u j = j = qu est ue relato de Bézout prouvat que j s et chaque terme est premer avec ses précédets O ote que cette Pusque ces eters w sot premers etre eux, les esembles de leurs dvseurs autres que 1 sot des esembles dsjots U eter o ul quelcoque aura de dvseurs commus autres que 1 qu avec u ombre f d etre eux Retour à la questo 6 Sot m u ombre «mauvas» Il admet au mos u bloqueur ω dot toute attrbuto est u eter o dvsble par m Sot la logueur de ω O peut s téresser aux mots obteus e accolat les us aux autres des «ω» S o cosdère par exemple le mot ωω, à toute attrbuto a de ω correspod ue attrbuto aa = a de ce mot Das le cas où m est premer avec 1+ 10, l eter m e peut dvser ( ) ( 1+ ) a 10, so d après le théorème de Gauss, pusqu l est premer avec est exclu Le mot ωω est das ce cas lu auss u bloqueur de m 1+ 10, l dvserat a, ce qu S plus gééralemet o cosdère le mot ωω ω où ω est répété fos ( > 1), à toute attrbuto a de ω ( 1) correspod ue attrbuto aa a a ( ) O recoaît ue expresso de la forme : = de ce mot aa a = a s vue das le lemme avec q = 10 E partculer, s o effectue j répéttos (avec les otatos du lemme) : aa a = a w L eter m e possède qu u ombre f de dvseurs Il admet doc de dvseurs commus autres que 1 qu avec u ombre f d eters w et l est premer avec tous les autres Pour tous ceux-là (l y e a ue fté), m e peut dvser a w so, d après le théorème de Gauss l dvserat a ce qu est exclu Les mots as formés sot tous des bloqueurs de m G Jula,

11 Le programme suprm géère les premers eters j Les tros eters suvat, 3, 7 et 43 dqués das l éocé sot 1807, , Le programme somprm affecté de l argumet q géère les quatre premers termes w Il affche deux termes cosécutfs et le PGCD de ces deux termes (o costate que le PGCD de deux termes cosécutfs est be 1 à chaque fos mas l faudrat vérfer tous les PGCD deux à deux) Les capactés de test que ce programme fourt sot évdemmet assez lmtées O a exécuté ce programme pour les valeurs, 3, 4 de q Les termes w obteus dépasset rapdemet les capactés d affchage pus celles de calcul Exécuté avec q = 10 o vot s affcher, comme o pouvat s y attedre, quatre gurlades de «1», de logueurs respectves, 3 ; 7 pus 43 La cquème «gurlade» aurat 1807 chffres Le derer «1» solé représete le PGCD de deux termes cosécutfs et dque que ces eters sot premers etre eux (mas l faudrat les tester deux à deux) 1 La sute as costrute porte le om de «sute de Sylvester» du om du mathématce aglas James Joseph Sylvester ( ) G Jula,

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