2 ) = 0 sin ( π 2 ) = 1. la fonction «tangente». a) Quel est l ensemble de définition de la fonction tangente?

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1 Transition 1 ère S Terminale S 1] Trigonométrie Dans toute la suite on admettra que : cos ( π { 2 ) = 0 sin ( π 2 ) = 1 1) Déterminez la valeur de cos ( π 4 ), sin (π 4 ), cos (π 8 ) et sin (π 8 ). 2) a) A l aide d un triangle équilatéral, déterminez la valeur de cos ( π 3 ) et sin (π 3 ) b) En déduire, la valeur de cos ( π 6 ), sin (π 6 ), cos ( π 12 ) et sin ( π 12 ) 3) On note tan sin() la fonction «tangente». cos() a) Quel est l ensemble de définition de la fonction tangente? b) Soient a et b deu réels appartenant au domaine de définition de la fonction tangente, eprimez tan(a + b) et tan(a b) en fonction uniquement de tan a et tan b. 4) On peut remplacer les coordonnées cartésiennes d un point par ses coordonnées polaires qui définissent également la position de ce point. Les coordonnées polaires sont un couple de nombre (ρ, θ) où ρ est la distance du point au centre du cercle trigonométrique et θ l angle fait avec le centre du cercle trigonométrique et le point en question. Prenons le cercle trigonométrique : v A(, y) ρ O θ u Dans le repère (O, u, v ) le point A a pour coordonnées cartésiennes le couple (, y) Déterminez les coordonnées polaires de A en fonction de ses coordonnées cartésiennes.

2 5) Equations trigonométriques : Résoudre dans R : a) cos ²() + sin() 1 = 0 b) sin() + cos() 1 = 0 c) sin() cos() = 1 2 d) cos 2 () sin ²() = 2 2] Dérivation 1) Dérivez la fonction f telle que : a) f() = 1 b) f() = c) f() = n k k=1 d) f() = + 1 e) f() = 1 f) f() = g) f() = 1 h) f() = i) f() = (u. v ) où les coordonnées de ces deu vecteurs dans un repère orthonormée du plan sont : u (²; 1 ) et v (1 ; ). 1 si ]0,1[ j) f() = { 2 si ], 0] [1, + [ 2) Soit φ la fonction définie par :

3 φ() = + 1 a) Dérivez φ deu fois. b) Etudiez le signe de sa dérivée seconde (dérivée de la dérivée). c) On dit qu une fonction f est convee si et seulement si sa dérivée première est croissante. f est-elle convee? Et si oui, sur quels intervalles? 3) Soit φ une fonction définie par : a) f() = 1 +1 b) f() = 1 (+1) 2 c) f() = ( 1) d) f() = e) f() = + 1 Dans chacun des cas, dérivez φ. Plus, généralement, soit φ une fonction telle que : φ() = f(g()) où f et g sont des fonctions quelconques. Quelle règle générale semble se dégager quant à la dérivée de φ? 4) Une primitive d une fonction f est une fonction F qui vérifie : Pour tout d une partie du domaine de définition de f() = F (). Pour chaque fonction f donnée, il eiste une infinité de primitives associées. Montrez que deu primitives ne diffèrent que par une constante. 5) Soit F une fonction telle que : a) F() = 1 b) F() = c) F() = +1 1 d) F() = e) F() = 1

4 f) F() = g) F() = 1 Pour chacun de ces cas, pour quelles fonctions F est-elle une primitive? 6) Soit f une fonction définie par : a) f() = 1 2 b) f() = a n où a est un réel quelconque et n un entier naturel non-nul quelconque. c) f() = 2 2 Dans chacun de ces cas, déterminez l ensemble des primitives de f. 3] Equations 1) Résoudre dans R : a) + 1 = 0 b) = 1 c) = 1 d) = 0 e) = 0 f) = 0 g) = 0 h) 2 1 = 0

5 2) Soient R et y R, résoudre : a) { 2 y 2 = 0 + y = 1 m + y b) { 2 = 0 en fonction de l entier m m( y) + 1 = 0 c) { 2 y + y 2 = 0 + y = 1 y = 0 d) { 2 + y 2 = 1 1 e) { + y = 0 y 2 + = 0 3) a) Soit la fonction P la fonction suivante : Pour tout R, P() = a 2 + b + c. On sait que ce polynôme admet deu racines 1 et 2, réécrire P() en fonction de 1, 2 et uniquement. b) Soit f une fonction de la forme : Pour tout réel, f() = 3 + b 2 + c + d avec a, b, c, d des réels. On sait que f admet un maimum local sur l intervalle ] 2,2[ qui le point d abscisse et un minimum local sur ] 2,2[ qui est le point d abscisse 1 2. On sait aussi que la courbe de f passe par le point de coordonnées (3,14). Déterminer l epression de f(). 4] Suites 1) Démontrez que = sachant que ce nombre est bien un réel ) On dit qu une suite (u n ) tend vers + si et seulement si, pour tout réel A il eiste un réel n 0 tel que pour tout entier naturel n, n > n 0 u n > A. Soit (v n ) la suite définie par : pour tout entier naturel n non nul, v n = 1 1, montrez que n (v n ) tend vers +. On notera : lim n + v n = + 3) Le raisonnement par récurrence est un raisonnement mathématique qui permet de démontrez des propriétés vraies pour tout entier naturel. Il se base sur le principe suivant :

6 Si une propriété est vraie au rang p (c est-à-dire pour l entier naturel p) et que si cette propriété est vraie au rang p alors elle est aussi vraie au rang p + 1, alors par récurrence on peut conclure que cette propriété est vraie pour tout entier n à partir de p. Eemple : Soit (u n ) la suite définie par : pour tout entier naturel n, u n+1 = u n et u 0 = 1. On cherche à montrer que (u n ) est positive. C est-à-dire, on cherche à montrer que pour tout entier naturel n, u n 0, c est la propriété p(n) qu on veut démontrer. On procède par récurrence : Initialisation : pour n = 0, on a : u 0 = 1 donc u 0 1 la propriété p est vraie au rang 0, on note : p(0) est vraie. Hérédité : Dans la partie «hérédité», on montre que pour tout entier naturel n, p(n) p(n + 1). C est-à-dire que si p(n) est vraie alors p(n + 1) est vraie aussi : Si p(n) est vraie, alors : u n 0. sur [0, + [) u n 0 u n 2 0 (car la fonction carrée est croissante u n 2 0 u n u n u n+1 0 On vient donc de démontrer que si u n 0 alors u n+1 0. Conclusion : On vient de montrer que u 0 0 (initialisation), mais si u n 0 alors u n+1 0 donc u 1 0, comme u 1 0 alors u 2 0 l est également (d après l hérédité), etc. Finalement, pour tout entier naturel n, u n 0. a) Maintenant, essayez de démontrer par récurrence que (u n ) est croissante, c est-à-dire que : pour tout entier naturel n, u n+1 u n.* b) Démontrez l inégalité de Bernoulli : pour tout entier naturel n non nul et pour tout réel ] 1,0[ ]0, + [, on a : (1 + ) n > 1 + n. 4) On trace le cercle trigonométrique qu on note (C 1 ). On forme avec deu rayons à ce cercle, perpendiculaires entre eu, un triangle rectangle d hypoténuse h 1. Avec cette

7 hypoténuse h 1 on trace le cercle de diamètre h 1, c est le cercle (C 2 ) et on trace également avec deu rayons de ce cercle, perpendiculaires entre eu, un triangle rectangle d hypoténuse h 2. Etc. On forme ainsi la suite des hypoténuses (h n ). Schéma de la situation : (C 2 ) (C 1 ) h 1 h 2 Etc. a) Vers quelle valeur (finie) tend h n? n b) Vers quelle valeur (finie) tend k=1 h k?

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