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1 EXERCICES TERMINALE S LES NOMBRES COMPLEXES PREMIERS EXERCICES: 1 Calculs dans : Ecrre les nombres complexes suvant sous la forme a + b où a et b sont des réels : 1 = ; = ; = ( + )( + ) ; = 6 = 1 1+ ; 7 = 1 + ; 8 = x 6 ; 9 = 1 1 ; = (1 + ) ; ; 10 = Résoluton d équatons dans : Résoudre les équatons suvantes dans l ensemble des nombres complexes : a) ² = 0 ; b) ² + + = 0 ; c) 1 = 0 ; d) (² - )² - = 0 ; e) + ² - 6 = 0 ; f) = 1 ; g) 6 = 1 ; h) + 1 = 0 Module et argument : Détermner le module et un argument des nombres complexes suvants : 1 = 1 + ; = 1 + ; = ; = 1 + ; = + ; 6 = ; 7 = ( + )(1 ) ; 8 = x ; 9 = (1 + ) 8 6 ; 10 = 1 x ; 11 = ; 1 = Forme trgonométrque : Donner la forme trgonométrque des nombres complexes de la queston Forme exponentelle complexe : Donner la forme exponentelle des nombres complexes de la queston 6 Représentaton graphque : Dans le plan mun d un repère orthonormé (O ; ü, v ), placer les ponts M1, M,, M1 mages des nombres complexes de la queston Donner l'écrture exponentelle des nombres complexes suvants: = + ; = 1 ; = ; 6 = 1 1 = 1 + ; ; = ; 1 EXERCICE 1 : On consdère le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O ; ü, v ), et on consdère les ponts A, B et C dstncts stués sur le cercle de centre O et de rayon r Les ponts A, B et C sont les mages de A, B et C par la rotaton de centre O et d angle Les ponts U, V et W sont les mleux des segments [A B], [B C], [C A] ; montrer que le trangle UVW est équlatéral EXERCICE : Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; u, v ), et on consdère l applcaton + f du plan complexe dans lu-même qu au pont M d affxe assoce le pont M d affxe f ( ) = 1 Montrer que l ensemble (d) des ponts M dont l affxe vérfe f() = est une drote f ( ) Montrer que le nombre est réel 1 En dédure que M appartent à la drote passant par M et de vecteur drecteur ü - v Montrer que pour tout nombre complexe, f (f ()) = f () Dédure des questons précédentes que M est le pont d ntersecton des deux drotes (d) et 6 Caractérser géométrquement l applcaton f EXERCICE : On consdère le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O ; ü, v ) On désgne par A le pont d affxe 1 et par C le cercle de centre A et de rayon 1 PARTIE A : Sot F le pont d affxe, B le pont d affxe 1 B = + e et E le pont d affxe E = 1+ B Montrer que le pont B appartent au cercle C Détermner une mesure en radans de l angle ( AF ; AB ) Placer le pont B Détermner la forme exponentelle des nombres complexes B A et E A En dédure que les ponts A, B et E sont algnés Placer le pont E PARTIE B : Pour tout nombre complexe tel que 1, on consdère les ponts M et M d affxes respectves et où = 1 + ² Pour 0 et 1, donner, à l ade des ponts A, M et M une nterprétaton géométrque d un argument du

2 ' 1 nombre complexe 1 1 En dédure que les ponts A, M et M sont algnés s et seulement s est un réel EXERCICE : On consdère le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O ; ü, v ), et l applcaton f du plan complexe dans lu-même qu au pont M d affxe assoce le pont M d affxe ' = + On consdère les ponts B et C d affxe respectves et Calculer les affxes des ponts mages de O, B et C par f Placer les ponts B et C et leur mage B et C L applcaton f conserve-t-elle l algnement? Montrer qu un pont M d affxe est nvarant par f s et seulement s vérfe l équaton : + = 0 En dédure que f possède tros ponts nvarants dont on détermnera les affxes Montrer pour tout de l égalté : - 1 = ( - 1) Sot un nombre complexe dfférent de 1, on note r le module de 1 et α un argument de 1 Exprmer le module r et un argument α de 1 en foncton de r et de α Sot A le pont d affxe 1, dédure des résultats précédents une relaton entre la dstance AM et la dstance AM, et une relaton entre une mesure de l angle u ; AM' et une mesure de l angle u ; ÄM Montrer que s le pont M appartent au cercle Γ de centre A et de rayon, alors M appartent au cercle Γ de même centre dont on détermnera le rayon Montrer que s M appartent à la dem-drote ouverte (d) d orgne A passant par le pont B, alors le pont M appartent à une dem-drote (d ) que l on détermnera Justfer l appartenance du pont B à Γ et à (d ) Compléter la fgure avec les dfférents éléments Γ, Γ, (d) et (d ) EXERCICE : On consdère le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O ; ü, v ) On consdère le pont M d affxe, le pont M1 d affxe, le pont A d affxe et le pont B d affxe 1 Sot f l applcaton de + prvé de A dans, qu à tout pont M d affxe assoce le pont M d affxe tel que ' = Détermner les ponts nvarants par f Sot C le pont d affxe (1 + ) Montrer que C est le mleu du segment [OC] Calculer pour tout, le produt ( )( ' 1) En dédure : la valeur du produt AM1 BM ; une expresson de l angle ü ; BM' en foncton de u ; AM 1 Justfer les relatons : AM BM = 6 ; ü ; BM' = ü ; AM Applcaton : construre l mage D du pont D d affxe + e 6 EXERCICE 6 : On consdère le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O ; u, v ) ( unté graphque : cm) Sot A le pont d affxe A = - et B le pont d affxe B = - On consdère le pont M1 d affxe, le pont A d affxe et le pont B d affxe 1 Sot f l applcaton qu, à tout pont M d affxe, M dstnct de A, assoce le pont M d affxe défn par ' = + Démontrer que, s est magnare pur, -, alors est magnare pur Détermner les ponts nvarants par l applcaton f Calculer ' + Montrer que, quand le pont M décrt le cercle de centre A et de rayon, le pont M reste sur un cercle dont on détermnera le centre et le rayon Développer ( + )² pus factorser ² + Détermner et représenter l ensemble des ponts M tels que M sot le symétrque de M par rapport à O Détermner et représenter l ensemble E des ponts M tels que le module de sot égal à 1 ( B ) ( On pourra remarquer que ' = ) A EXERCICE 7 : Sot le nombre complexe u = 1 + Ecrre u et u sous forme exponentelle n n Sot n un enter naturel On pose S = u + u Donner une écrture de Sn à l ade d une exponentelle En dédure n que Sn = λ n cos( n ) où λn est un réel à précser en foncton de n Pour quelles valeurs de n a-t-on Sn = 0? Prouver que s n est par, Sn est un enter relatf

3 EXERCICE 8 : On consdère le pont A d affxe 1 et, pour tout θ appartenant à [0 ; [, le pont M d affxe = e θ On désgne par P le pont d affxe 1 + et par Q le pont d affxe ² 1 A partr du pont M, donner une constructon géométrque de P et Q Placer les ponts O, A, M, P et Q sur une même fgure Détermner l ensemble des ponts P pour θ appartenant à [0 ; [ Sot S le pont d affxe ², étant toujours l affxe du pont M a) Construre S en justfant la constructon b) Dans le cas où S est dfférent de O, tracer la drote (OS) Quelle conjecture apparaît sur le pont M? 1+ + c) Démontrer que le nombre est réel quel que sot θ appartenant à [0 ; [ d) Conclure sur la conjecture précédente EXERCICE 9 : Sot A le pont d affxe ; à tout pont M d affxe, dstnct de A, on assoce le pont M d affxe ' = Détermner l ensemble C des ponts M, dstncts de A, pour lesquels est réel On suppose que M appartent au cercle C de centre A et de rayon 1 Montrer que M appartent à C EXERCICE 10 :Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect O ; u,v ( unté graphque cm ) 1 Résoudre dans C l'équaton : ² + = 0 On pose a = + et b = Ecrre a et b sous forme exponentelle et placer les ponts A et B d'affxes respectves a et b a Sot r la rotaton de centre O d'angle Calculer l'affxe a' du pont A' mage du pont A par r Ecrre a' sous forme algébrque et placer A' sur la fgure précédente b Sot h l'homothéte de centre O et de rapport sur la fgure précédente Calculer l'affxe b' du pont B' mage du pont B par h Placer B' Sot C le centre du cercle crconscrt au trangle OA'B' et R le rayon de ce cercle On désgne par c l'affxe du pont C a Justfer les égaltés suvantes : c c R ; c c R ; c b En dédure que c c pus que c c c En dédure l'affxe du pont C et la valeur de R c R EXERCICE 11 : On donne dans le plan P mun d'un repère orthonormal, les tros ponts A, B, C de coordonnées : A(1;0) B(;6) C( ; + ) 1 Soent a, b, c les affxes respectves de A, B, C Exprmer sous forme algébrque le nombre complexe : c a b a Interpréter géométrquement ce nombre complexe En dédure la mesure prncpale en degrés de l'angle orenté (AB, AC) et la nature du trangle ABC A tout nombre complexe, 1b, on assoce le nombre complexe Z défn par Z= c b Détermner géométrquement l'ensemble des ponts M d'affxe tels que 1Z1 =1 EXERCICE 1 : Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O; u, v ) on assoce à tout nombre complexe dstnct de -, le nombre complexe Z = 1 Calculer le nombre complexe Z 0 obtenu pour = ; détermner le module de Z 0 Dans cette queston on pourra poser Z=U+V et =x+y où U,V,x,y sont des réels Sot A le pont d'affxe - et B le pont d'affxe - a) Détermner et représenter l'ensemble (C) des ponts M d'affxe tel que Z sot réel b) Détermner et représenter l'ensemble (D) des ponts M d'affxe tel que Z sot magnare pur Donner une nterprétaton géométrque du module de Z Détermner et construre l'ensemble (E) des ponts M d'affxe tels que 1 Z1 =1

4 EXERCICE 1 : 1 Résoudre les équatons du second degré à l'nconnue complexe x : x² 8x + 7 = 0 de racnes x 1 et x ; x² 8x + = 0 de racnes 1 et Dans le plan complexe on appelle A 1 et A les ponts d'affxes x 1 et x ; B 1 et B les ponts d'affxes 1 et a) Placer ces quatre ponts b) Montrer que le quadrlatère A 1 A B 1 B est un carré EXERCICE 1 : Sot un nombre complexe; on lu assoce les nombres complexes Z et Z' défns par: Z = et Z' = - 1 On appelle respectvement m, M et M' les mages de, Z et Z' dans le plan complexe mun d'un repère orthonormé (O; u, v ) (unté graphque : cm) 1 Dans cette queston: = a) Calculer Z et Z' b) Calculer les modules 1Z' - 1 et 1Z' - Z1 c) Représenter les ponts m, M et M' Montrer que le trangle mmm' est socèle On pose = x + y où xet y sont des nombres réels a) Calculer la parte réelle et la parte magnare du produt ZZ' b) Détermner et représenter l'ensemble E des ponts m du plan complexe tels que ZZ' sot un nombre réel EXERCICE 1 :Le plan complexe P est mun d'un repère orthonormal drect (O; u, v ) (unté graphque 1 cm) On consdère la sute de ponts M n du plan P d'affxes respectves non nulles n défnes par: 0 = 8 et pour tout enter naturel n, n 1 n 1 Calculer le module et un argument du nombre complexe L'écrre sous forme trgonométrque Calculer 1,, et vérfer que est magnare pur Placer dans le plan P les ponts M, M, M, M Pour n tout enter naturel n, calculer le rapport 1 n 1 que n 1 n n 1 n 0 1, en dédure que le trangle OM n M n+1 est rectangle et EXERCICE 16 : A On consdère le polynôme P de la varable complexe défn par P() = + ( )² + (6 ) + 1 Vérfer que P( 1) = 0 Résoudre l'équaton P() = 0 Ecrre les solutons sous forme algébrque et trgonométrque B Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O; u, v ); on consdère les tros ponts A, B et C d'affxes respectves A = 1, B = 1 + et C = 1 1 Placer les tros ponts A, B, C Calculer les longueurs AB, AC et l'angle (BAC) et en dédure la nature du trangle ABC Calculer B A B pus arg A En dédure les valeurs exactes de B B cos et 1 sn 1 EXERCICE 17 : On consdère le trangle ABC rectangle socèle en C tel que ; M est un pont quelconque du plan, M 1 et M sont les mleux respectfs de [AM] et [BM] Le but de l exercce est de trouver l ensemble des ponts M du plan tels que le trangle CM 1 M est équlatéral Pour cela, on chosra un repère orthonormé à précser 1 Détermner l ensemble des ponts M du plan tel que CM 1 = CM Détermner l ensemble des ponts M du plan tel que CM 1 = M 1 M En dédure l ensemble des ponts M du plan tels que le trangle CM 1 M est équlatéral EXERCICE 18 : PARTIE A : Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; u, v ) On consdère un trangle MNP équlatéral et R son centre Les ponts M, N, P et R ont pour affxe M, N, P, R Détermner R en foncton de M, N, P Détermner l are du trangle équlatéral en foncton de M et N PARTIE B : Le trangle ABC est un trangle équlatéral drect de côté 1 Le pont D est sur le segment [BC] On construt les trangles équlatéraux BDE et CDF extéreurs à ABC Les ponts I, J, K sont les centres de gravté respectvement des trangles ABC, BDE et CDF Le but de l exercce est de montrer que le trangle IJK est équlatéral Pour cela, on chosra un repère orthonormé à précser

5 Dans ce repère, détermner l affxe des ponts A, B, C, E, F, I, J, K Montrer que K I = e ( J I ) En dédure que le trangle IJK est équlatéral Détermner l are du trangle IJK en foncton de x ( Ecrre l expresson le plus smplement possble) Précser l are maxmale et l are mnmale et pour quelle valeur elles sont attentes EXERCICE 19 : Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; u, v ) On consdère les trangles ABC et ADE rectangles socèles en A et tel que AB ; AC = AD ; AE = [ ] Démontrer que les drotes (BD) et (CE) sont perpendculares et que BD = CE par deux méthodes : 1) Grâce à une méthode géométrque ; ) A l ade des nombres complexes EXERCICE 0 : ABC est un trangle, O le centre du cercle crconscrt, et H le pont défn par OH OA OB OC Le but de l exercce est de démontrer que H est l orthocentre du trangle ABC par deux méthodes : Grâce à une méthode géométrque : on pourra utlser les ponts D, E et F défns par OD OB OC, OE OA OC, OF OB OA A l ade des nombres complexes : soent a, b, c, h les affxes des ponts A, B, C, H ; montrer que w = bc bc est magnare pur ; montrer que ( b + c)( b c) et b + c sont magnares purs b c Exprmer en foncton de a, b, c, h les affxes des vecteurs AH et CB Conclure Sot G le centre de gravté du trangle ABC, d affxe g Montrer que les ponts O, H et G sont algnés EXERCICE 1 : Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; u, v ) On consdère la sute de ponts M n du plan d affxes respectves non nulles n défnes par 0 = 8 et pour tout enter naturel n, n+1 = 1 1 n Ecrre sous forme exponentelle complexe Calculer 1,, et vérfer que est réel Placer les ponts M 0, M 1, M, M n Pour tout enter naturel n, calculer le rapport 1 n n 1 En dédure que le trangle OM n M n+1 est rectangle et que M n M n+1 = OM n+1 On pose r n = n Montrer que la sute (r n ) est une sute géométrque dont on détermnera la rason et le premer terme Ecrre r n en foncton de n En dédure la longueur M n M n+1 en foncton de n On consdère la longueur L n de la lgne brsée formée par les ponts M 0, M 1, M, M,, M n k n On a alors L n = M k M k 0 k 1 Calculer L n en foncton de n Détermner la lmte de L n lorsque n tend vers +

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