Présentation résumée et commentée des programmes de mathématiques français et libanais en vigueur dans les classes de lycée.

Transcription

1 Présentation résumée et commentée des programmes de mathématiques français et libanais en vigueur dans les classes de lycée. Francis CORTADO 17 juin 2011 Table des matières 1 Programme de la classe de seconde 3 2 Programme de la classe de première scientifique Programme de la classe de terminale scientifique 22 4 Présentation des notions spécifiques au programme libanais Classe de seconde Classe de première Classe de terminale Proposition de répartition des différentes notions du programme libanais Classes de seconde et première Classe de terminale

2 Résumé Dans ce fascicule, je me propose de présenter les programmes de mathématiques français et libanais en vigueur dans les classes de seconde, première S et terminale S. Ce qui correspond, pour le programme libanais, à la. Les références des programmes présentés sont les suivantes. Programme libanais : décret-loi N :10227 en date du 8 mai 1997, avec allégements de Le site Panorama du système éducatif libanais propose un panorama du système éducatif libanais (mise à jour 2006) Les allégements des programmes sont disponibles à l adresse Allègements des programmes libanais. Programme français de seconde (BO n 30 du 23 juillet 2009), consultable en détail à Programme de seconde de septembre 2009 Programme français de première S ( BO spécial n 9 du 30 septembre 2010) consultable à Nouveau programme de première S de septembre 2011 Une étude plus détaillée offrant également une comparaison avec l ancien programme de première S de septembre 2001 (BO Hors-Série n 7 du 31 aout 2000) sera proposée en complément de cette étude. Programme français de terminale S, c est le programme transitoire pour l année scolaire , qui correspond à l ancien programme de mathématiques de septembre 2001 ( BO n 4 du 30 aout 2001) avec les allègements précisé au BO n 18 du 6 mai 2010 J ai convenu d une certaine liberté dans la présentation des divers programmes par soucis de concision et d efficacité au niveau de la mise en page. Vous pourrez consulter les références ci-dessus pour obtenir l édition originale des programmes accompagnés des modalités de mise en œuvre et des commentaires officiels. Les remarques et commentaires personnels qui accompagnent les divers tableaux sont de deux natures : Précision simple de ce qui est ou n est pas au programme de l enseignement français. Remarques d ordre un peu plus général, concernant l exposition et l organisation des concepts relevant du programme considéré. Dans une dernière partie, je présente une proposition personnelle d organisation et de présentation du programme libanais dans l enseignement du programme français. Mon choix c est porté sur un découpage des notions non abordées, ou moins approfondies par le programme français en trois groupes : Le premier regroupe toutes les notions pour lesquelles quelques exercices plus techniques doivent suffirent. Le deuxième regroupe les notions que l on peut traiter en proposant un devoir en temps libre (D.M) suivi d une synthèse de cours. Il s agit essentiellement de prolongements de cours. Le troisième groupe correspond aux chapitres à part du programme nécessitant une étude séparée sous forme d un module complémentaire, par exemple. Cette partie ne demande qu a être débattue et enrichie. D autre part, ce document cherche une âme bien intentionnée pour effectuer une relecture, et ainsi gommer toutes coquilles et autres inévitables fautes d orthographe, syntaxe,etc. Une version flash, sous forme d un flip-book sera prochainement disponible sur le site du Francis CORTADO

3 1 Programme de la classe de seconde Généralités et calculs algébriques Programme libanais Programme français Fondements et théorie des ensembles Caractériser un ensemble, un sousensemble et son complémentaire. Ensemble vide, singleton, paire Intersection, réunion de deux ou plusieurs ensembles. Symboles usuels de la théorie des ensembles. Ce chapitre ne fait pas partie du programme de façon explicite. Il n y a pas lieu de faire une étude des ensembles de nombres. La notion d intersection et de réunion s utilisera de façon pratique avec les intervalles rencontrés lors de l étude des fonctions ou bien lors de la résolution d inéquations. Les systèmes de nombres N, Z, Q, R. Définir la notion de racine n-ème, cas où n = 2 Racines carrées. Puissances d un réel. Rendre rationnel le numérateur ou le dénominateur d une expression fractionnaire. Propriétés usuelles des racines n-ème pour n inférieur ou égal à 6. Les élèves ne connaisse que la notion de racine carrée La notion de racine n-ième n est pas au programme Les racines n-ièmes et les puissances d exposant fractionnaires seront introduites en terminale Propriétés usuelles des puissances d exposant rationnel définies sur ]0, + [.

4 Ordre sur R, intervalles, valeur absolue Programme libanais Programme français Ordre sur R Intervalles Maîtriser les propriétés de l ordre sur R. Différencier les différents types d intervalles. Compatibilité avec les opérations usuelles. Comparaison des carrés, des radicaux, et inverses de deux réels. Position de a 2, a et 1/a par rapport à 1. Il n y a pas de chapitre spécifique sur ces notions. On étudie la position relative des courbes représentatives des fonctions x x, carré et racine en première. Valeur absolue. Définition de la valeur absolue, lien avec la notion de distance. Propriétés de la valeur absolue liens avec les opérations. Valeur absolue et intervalles. Équations et inéquations avec valeurs absolues. La notion de valeur absolue est au programme de première, sans excés de technicité. Encadrements et approximations. Définition d un encadrement et de son amplitude. Définition d une approximation d un nombre réel. Notation scientifique, arrondi, précision issue d un calcul fait à la machine. N est plus au programme

5 Polynômes, équations et inéquations Programme libanais Programme français Expressions algébriques. Généralités sur les polynômes. Racines d un polynôme. Définition d un polynôme et de son degré. Caractérisation du polynôme nul et cas d égalité de deux polynômes. Valeur d un polynôme en un point. Réduire et ordonner un polynôme. Caractériser une racine d un polynôme. Division d un polynôme de racine a par x a. Diverses méthodes de factorisation d un polynôme P(x) en vue de résoudre l équation P(x) = 0. Transformations d expressions algébriques en vue d une résolution de problèmes. Associer à un problème une expression algébrique. Identifier la forme la plus adéquate (factorisée, développée) d une expression en vue de la résolution du problème donné. Développer, factoriser des expressions simples ; transformer des expressions rationnelles simples. La notion de polynômes figure déjà au programme libanais de troisième. La technique de la division par x a n est pas au programme des classes de lycée, ainsi que l utilisation de l algorithme de Horner. Équations et inéquations du premier degré. Résoudre une équation ou une inéquation du premier degré. Écriture des solutions d une inéquation en termes d intervalles et représentation sur un axe. Étude du signe d un produit ou d un quotient de facteurs du premier degré. Résoudre des équations ou des inéquations se ramenant à un produit ou un quotient de termes du premiers degré. Résolution graphique. Résoudre un système d inéquations du premier degré comportant deux ou trois inéquations. Mettre un problème en équation. Modéliser un problème par une inéquation. Résoudre algébriquement les équations ou inéquations nécessaires à la résolution d un problème. Résolution graphique. Résoudre des inéquations se ramenant à un produit ou un quotient de termes du premiers degré. Les systèmes d inéquations ne sont pas au programme

6 Systèmes d équations et d inéquations Programme libanais Programme français Résolution algébrique et graphique d un système 2 2. Système 2 2 d équations linéaires. Système paramétré. Interprétation graphique d un système paramétré ou non. Exemples de problèmes aboutissant à un système 2 2 et résolution de ces problèmes. Il n y a pas de chapitre prévu pour la résolution de systèmes. L intervention de paramètres, d une manière artificielle, dans les classes du lycée est hors programme. Résolution géométrique d un système d inéquations linéaires à deux inconnues. Résolution graphique d une inéquation du premier degré à deux inconnues et régionnement du plan. Résolution graphique d un système de deux inéquations du premier degré à deux inconnues. N est pas au programme

7 Géométrie dans l espace Programme libanais Programme français Représentation plane des objets de l espace. Parallélépipède rectangle, pyramides, cône et cylindre de révolution, sphère. Représenter des objets de l espace en utilisant la perspective cavalière. Concevoir un objet de l espace à partir d une figure représentée en perspective cavalière. Représenter et construire des objets de l espace en utilisant la perspective cavalière. Calculs de longueur, d aire et de volumes. On utilisera et on confortera les acquis du collège concernant la géométrie dans l espace. Dessiner et construire les intersections d une droite et d un plan avec un solide usuel. Intersection d une droite ou d un plan avec les solides usuels. Utiliser les acquis de la géométrie plane et les règles de la perspective cavalière pour tracer l intersection d une droite ou d un plan avec un solide usuel. On utilisera et on confortera les acquis du collège concernant la géométrie dans l espace. Justifier l alignement de trois points comme appartenant à deux plans sécants. Positions relatives de droites et de plans. Relation de parallélisme. Caractériser les positions relatives de deux plans, de deux droites, d un plan et d une droite. Caractériser le parallélisme de deux plans, de deux droites, d une droite et d un plan. Droites et plans, positions relatives. Droites et plans parallèles. On utilisera et on confortera les acquis du collège concernant la géométrie dans l espace.

8 Géométrie vectorielle plane Programme libanais Programme français Vecteurs du plan. Représentation géométrique des vecteurs et interprétation de l égalité de deux vecteurs. Définition et propriétés de la somme de deux vecteurs, relation de Chasles. Définition et propriétés du produit d un vecteur par un réel. Colinéarité de deux vecteurs et applications. Module d un vecteur : définition, notation et inégalité triangulaire. Caractérisation vectorielle du milieu d un segment et du centre de gravité d un triangle. Définition de la translation qui transforme un point A en un point B. Vecteur associé, égalité de deux vecteurs. Définition de la somme de deux vecteurs à partir de l enchaînement de deux translations. Définition du produit d un vecteur par un réel à l aide des coordonnées. Établir la colinéarité de deux vecteurs. Relation de Chasles. Une définition intuitive de la translation sera donnée, sans en faire d étude systèmatique. La notion de vecteur est au programme libanais de la classe de troisième. Le programme français préconise d avantage une introduction par l aspect analytique, le calcul vectoriel étant repoussé en première. Bases et repères du plan. Coordonnées d un point du plan rapporté à un repère orthonormé. Distance de deux points, milieu d un segment. Base et repère du plan, composantes d un vecteur, coordonnées d un point. Changement de repère. Caractérisation analytique de la colinéarité et applications. Coordonnées d un vecteur AB, coordonnées de la somme de deux vecteurs et du produit d un vecteur par un réel. Coordonnées du milieu d un segment et du centre de gravité d un triangle. Repère orthonormé du plan. Repérer un point donné du plan, placer un point connaissant ses coordonnées. Calculer la distance de deux points connaissant leurs coordonnées. Caractérisation analytique de la colinéarité et applications. Coordonnées d un vecteur AB, coordonnées de la somme de deux vecteurs et du produit d un vecteur par un réel. Coordonnées du milieu d un segment. La notion de base n est pas au programme. L aspect analytique à été abordé dans le programme de troisième libanais. Les coordonnées du centre de gravité ne sont pas au programme.

9 Équations de droite Programme libanais Programme français Équations d une droite dans le plan. Trouver les équations paramétriques d une droite, une équation cartésienne d une droite et caractériser le parallélisme de deux droites dans différents cas. Déterminer les coordonnées de l intersection de deux droites sécantes. Définition d un vecteur directeur d une droite. Représenter une droite connaissant une de ses équations et en déterminer un vecteur directeur. Passage d une équation cartésienne d une droite à ses équations paramétriques et réciproquement. Coefficient directeur d une droite non verticale. Droite comme courbe représentative d une fonction affine. Coefficient directeur d une droite non verticale, interprétation graphique. Caractérisation analytique d une droite. Établir que trois points sont alignés ou non en liaison avec la colinéarité des vecteurs. Reconnaître que deux droites sont parallèles, sécantes. Déterminer les coordonnées de l intersection de deux droites sécantes, en liaison avec la résolution des systèmes d équations linéaires. La notion d équation paramétrique d une droite dans le plan est hors programme. On la retrouve dans l espace au programme de terminale. La notion de vecteur directeur et d équation cartésienne est au programme de première. C est à l occasion de ce chapitre que sera revue la résolution de systèmes d équations.

10 Configuration du plan et produit scalaire. Programme libanais Programme français Dans le cadre de la résolution de problèmes, on sera amené à utiliser : Configuration du plan. Les propriétés des triangles, des quadrilatères et des cercles. Les propriétés des symétries axiales ou centrales. Définition du produit scalaire de deux vecteurs, signe et interprétation géométrique. Propriétés de bilinéarité et utilisations. Produit scalaire dans le plan. Orthogonalité de deux vecteurs, carré scalaire et norme. Expression analytique du produit scalaire en repère orthonormé et utilisation. Hors programme. Le produit scalaire dans le plan est du programme de première S, puis de terminale S pour une étude dans l espace. Orthogonalité de deux droites et équation de la droite passant par un point et orthogonale à une direction donnée.

11 Analyse. Programme libanais Programme français Traduire le lien entre deux quantités par une formule. Définition et représentation d une fonction réelle d une variable réelle. Identifier la variable et éventuellement l ensemble de définition. Fonctions: Image, antécédent. Courbe représentative. Sens de variation et extrema. Reconnaître si une courbe donnée représente une fonction ou non. Reconnaître et interpréter graphiquement la parité d une fonction. Monotonie d une fonction sur un intervalle, interprétation graphique. Déterminer l image d un nombre et rechercher des antécédents éventuels. Fonction croissante et décroissante. Dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de variations Pas de différences sensibles. Identifier graphiquement un extremum relatif sur un intervalle et un extremum absolu d une fonction. Comparer les images de deux nombres d un intervalle. Déterminer tous les nombres dont l image est supérieure ou inférieure à une image donnée. Fonctions de référence et fonctions usuelles. Étudier et représenter une fonction usuelle Lire la courbe représentative dune fonction et reconstituer son tableau de variations. Étude des fonctions affines, carré, racine, inverse et valeur absolue. En déduire les courbes représentatives des fonctions associées Fonctions affines et linéaires, sens de variation. Connaître les variations des fonctions carré et inverse. Fonctions polynômes de degré deux. Fonctions homographiques. Les fonctions racine et valeur absolue sont du programme de première

12 Trigonométrie Programme libanais Programme français Cercle trigonométrique. Arc orienté. Orientation d un cercle, définition du cercle trigonométrique. Mesure et détermination principale d un arc en radians Longueur d un arc intercepté par un angle au centre sur un cercle de rayon R. Conversion des mesures en degrés et radians. La notion d arcs orientés n est pas au programme, les notions de radian et d angle orienté sont du programme de première Le programme libanais introduit la notion d arc orienté, qui ne sera plus utilisée par la suite. On pourra se contenter de donner des définitions. La notion de radian n est pas exigible pour le programme français. Dans le cadre du double programme, il parait naturel de s y intéresser. Ce sera d ailleurs le point de départ des compléments relatifs au programme libanais sur ce thème. On ne multipliera pas les exercices techniques. Lignes trigonométriques d un arc. Sinus et cosinus d un réel. Relations entre les lignes trigonométriques des arcs associés. Définition de la tangente et de la cotangente d un arc. Propriétés. «Enroulement de la droite numérique sur le cercle trigonométrique», et définition du sinus et du cosinus d un nombre réel. On fait le lien avec les valeurs des sinus et cosinus des angles de 0, 30, 45, 60 et 90 On fait le lien avec la trigonométrie du triangle rectangle vue au collège. La fonction tangente est au programme de terminale. Le programme libanais introduit la cotangente, qui ne sera plus utilisée par la suite, on pourra se contenter de donner la définition

13 Dénombrement, statistiques, probabilités et échantillonnage. Programme libanais Programme français Statistiques descriptives et analyse de données. Paramètres de position et de dispersion: médiane, quartiles et moyenne. Vocabulaire statistique usuel. Représentation graphique d une série statistique discrète à une variable. Calculer les effectifs cumulés et les représenter par un polygone. Paramètres de position et de dispersion et interprétation. Utilisation de l outil informatique. Effectifs et fréquences. Calculer les effectifs cumulés et les fréquences cumulées. Représentation graphique d une série statistique à une variable. Comparer deux séries statistiques. On insiste sur l utilisation de l outil informatique et sur l utilisation de situations concrètes ( données INSEE par exemple) Dénombrement p-listes d un ensemble fini. Principe de la somme et du produit. Utilisation d un arbre pour dénombrer des p-listes, des arrangements ou des permutations. Hors programme. La notion de dénombrement sera abordée en terminale, mais pas de façon systèmatique et indépendante. Probabilités sur un ensemble fini Déterminer la probabilité d événements dans des situations d équiprobabilité. Utiliser des modèles définis à partir de fréquences observées. Réunion et intersection de deux événements. Une première approche de la notion de probabilité a été effectuée en troisième. Il convient de poursuivre dans la même voie, c est à dire de privilégier une approche des probabilités en liaison avec la notion de fréquence, au lieu d une approche liée aux dénombrements. Échantillonnage. Notion d échantillon. Intervalle de fluctuation d une fréquence au seuil de 95%. Réalisation d une simulation. Simulations de situations concrètes à l aide d un outil informatique. Exploiter et faire une analyse critique d un résultat d échantillonnage.

14 2 Programme de la classe de première scientifique Algèbre Programme libanais Nouveau programme de première S Systèmes d équations linéaires Résoudre un système de trois équations linéaires à trois inconnues par diverses méthodes dont la méthode de Gauss. Systèmes 3 3 qui n ont pas de solutions ou une infinité. N est pas au programme En classe de terminale les systèmes 3 3 sont abordés lors de l étude de la position relative de trois plans. La présentation de la méthode du pivôt de Gauss n est plus au programme. Polynômes, équations et inéquations du second degré. Forme canonique d un trinôme du second degré et utilisation Discriminant, équations et inéquations du second degré. Somme et produit des racines, problème réciproque Factorisation d un polynôme de degré trois dans certains cas Simplifier une fraction rationnelle Forme canonique d une fonction polynôme du second degré, équation du second degré, discriminant, signe du trinôme. Transformation d écritures polynomiales. Lien avec les représentations graphiques étudiées en classe de seconde. L étude de la somme et du produit des racines et des applications correspondantes ne sont plus au programme. Forme algébrique, cas d égalité, parties réelles et imaginaires. Nombres complexes Opérations sur les nombres complexes et nombres complexes conjugués. Équation du second degré à coefficients réels et à discriminant négatif. N est pas au programme. Le programme libanais sépare sur deux ans l étude des nombres complexes alors qu elle n est proposée en série S qu au niveau de la terminale. Racines carrées d un nombre complexe. Représentation géométrique.

15 Fonctions usuelles, limites et suites numériques Programme libanais Nouveau programme de première S Études de fonctions, fonctions de référence Fonctions racine carrée et valeur absolue, variations, représentation graphique, comparaison. Sens de variation des fonctions : u + k, λu et 1 u. u étant une fonction dont les variations sont connues. Les fonctions carré et valeur absolue sont au programme libanais de la classe de seconde. La notion de composée n est plus au programme. Limites d une fonction. Asymptotes. Continuité. Limite d une fonction f en un point a et à l infini. Limites des fonctions usuelles et règles opératoires. Continuité en un point et sur un intervalle. Continuité des fonctions usuelles. Interprétation graphique : asymptote verticale, horizontale ou oblique. Forme indéterminées dans le cas des fonctions polynômes et fractions rationnelles. Théorème des gendarmes et de comparaison. Tout ce qui touche au comportement asymptotique (suite ou fonctions) n est plus au programme. La seule notion qui subsiste est celle de limite en zéro, de façon à pouvoir définir rapidement le nombre dérivée en un point. Aucune difficulté théorique ne sera soulevée à ce sujet. Tout ce chapitre relève du programme de terminale. Suites numériques Diverses définitions d une suite numérique. Énoncer le principe de récurrence et applications. Monotonie d une suite. Suites arithmétiques et géométriques, somme des n premiers termes. Suite et somme de ses n premiers termes. Divers principes de génération d une suite numérique. Suites arithmétiques et géométriques, somme des n premiers termes. Monotonie d une suite. Le raisonnement par récurrence relève du programme de terminale. En première on familiarise les élèves avec la notion de suite définie par récurrence.

16 Programme libanais Dérivation et intégration Nouveau programme de première S Dérivation Taux d accroissement de f en a et interprétation de son signe. Nombre dérivée de f en a. Lien entre nombre dérivée et coefficient directeur de la tangente et équation de la tangente en ce point. Vitesse instantanée et dérivée de la loi horaire. Cas où la limite du taux d accroissement de f en a est infinie, interprétation graphique. Fonction dérivable sur un intervalle, calcul des dérivées usuelles. Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable en un point. Fonctions dérivées des fonctions racine, inverse et puissances. Opérations sur les dérivées. Lien entre signe de la dérivée et sens de variation, extréma et applications. En première S, on aborde la dérivation sans étudier au préalable la notion de limite. Le passage à la limite en 0 dans la définition restera intuitif. Les calculs techniques seront réduits et on utilisera un logiciel de calcul formel si besoin est. Les applications seront riches et variées, permettant d apprécier l efficacité du calcul infinitésimal. Par exemple pour des problèmes liés aux encadrements, étude de signe, inégalités et optimisation. Primitives d une fonction continue sur un intervalle, intégrale indéfinie. Intégration Relation liant deux primitives d une même fonction sur un intervalle I. Primitives des fonctions usuelles. Linéarité dans le calcul des primitives. Primitive d une fonction vérifiant une condition donnée. Ne figure pas au programme de 1 S, mais à celui de terminale S La notation utilisant le symbole d intégrale indéfinie n est pas abordée au second cycle, ainsi que les primitives des polynômes trigonométriques. Linéariser un polynôme trigonométrique pour calculer ses primitives.

17 Programme libanais Géométrie plane Nouveau programme de première S Calcul vectoriel dans le plan et barycentres Barycentre et isobarycentre de n points pondérés. Coordonnées du barycentre dans un repère du plan ou de l espace. Construire le barycentre de deux ou trois points pondérés Barycentre partiel et applications Fonction vectorielle de Leibniz et transformations d écritures. Condition analytique de colinéarité de deux vecteurs. Applications aux équations cartésiennes d une droite. Décomposition comme combinaison linéaire de deux vecteurs non colinéaires. Vecteur directeur et coefficient directeur. La notion de barycentre n est plus au programme de 1S. Le calcul vectoriel analytique ou non est un objectif du programme Produit scalaire et applications. La notion de produit scalaire dans le plan est, dans le programme libanais, étudiée en seconde. Mais en première, il demeure l étude du cercle complétée par la notion de puissance d un point par rapport à un cercle. Définition et propriétés, expression analytique en repère orthonormé, interprétation physique. Projection orthogonale d un vecteur sur un axe, calculs de longueurs, vecteur normal et applications.relations métriques. Équation d un cercle défini par son centre et son rayon ou par son diamètre.réciproque. Le produit scalaire dans l espace est au programme de terminale S. Transformations planes Définition d une transformation plane et d une isométrie. Translation, rotation et réflexion : propriétés, composée de deux translations, de deux rotations de même centre, de deux réflexions. Propriétés de conservation et images des figures usuelles, isométrie réciproque. Les transformations étudiées au collège n ont pas à être revues. Même dans le programme de l enseignement de spécialité, l étude générale des transformations dont les isométries, ne sont plus étudiées.

18 Programme libanais Géométrie dans l espace Nouveau programme de première S Orthogonalité de deux droites, d une droite et d un plan Orthogonalité dans l espace. Repères de l espace et calcul vectoriel. Caractériser deux plans perpendiculaires. Lier parallélisme et orthogonalité. Plan médiateur d un segment, réflexion par un plan Vecteurs coplanaires, composantes vectorielles et scalaires d un vecteur, coordonnées d un point, changement de repère. Le calcul vectoriel dans l espace n est plus au programme. On retrouve dans le programme de terminale le calcul vectoriel dans l espace, mais l étude générale des réflexions par un plan ainsi que la pratique du changement de repère n est plus d actualité. Caractérisation analytique de la colinéarité et applications. Produit scalaire et produit vectoriel dans l espace. Produit vectoriel de deux vecteurs, définition et propriétés. Déterminer un vecteur normal à un plan grâce au produit vectoriel. Aire d un parallélogramme et distance d un point à un plan. Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé de l espace.applications : norme d un vecteur, distance entre deux points. Caractérisation de plans et de sphères par la nullité d un produit scalaire. Hors programme Seul le produit scalaire dans le plan est au programme de première, son extension à l espace relève du programme de terminale. Le programme libanais propose l étude des produits vectoriels et mixtes ainsi que de leur applications usuelles, le tout sur les classes de première et terminale. Ces notions ne sont pas abordées au second cycle de l enseignement français.

19 Programme libanais Angles orientés et trigonométrie Nouveau programme de première S Angle orienté de deux vecteurs unitaires, de deux vecteurs non nuls, mesure principale. Additionner deux angles et utiliser la relation de Chasles. Angle orienté de deux vecteurs. Trigonométrie. Fonctions circulaires. Coordonnées polaires d un point du plan. Formules de passage polaires-cartésiennes. Angles orientés et colinéarité de deux vecteurs. Rotation et angles orientés. Caractérisation des bases directes du plan. Formules usuelles de trigonométrie. formules d addition et de duplication pour les sinus, cosinus et tangente. Linéarisation de cos 2 a et sin 2 a, et expression de sin a, cos a et tan a en fonction de t = tan a 2 Transformation d une somme ou d une différence de deux sinus ou de deux cosinus en un produit de sinus ou de cosinus. Résoudre et discuter les équations trigonométriques usuelles : sin x = a, cos x = a, tan x = a Périodicité et parité des fonctions sinus, cosinus et tangente. Radian, mesure d un angle orienté et mesure principale. Relation de Chasles pour les angles orientés. Utilisation du cercle trigonométrique pour déterminer les cosinus et sinus des angles associés Formules d addition et de duplication des cosinus et sinus. Utilisation du cercle trigonométrique pour résoudre les équations trigonométriques simples du type sin x = sin a et cos x = cos a L introduction de la fonction tangente et l étude des fonctions trigonométriques n est pas au programme. Les élèves découvrent cette année, le radian, les angles orientés ainsi que toutes les formules de trigonométrie. Le programme libanais est beaucoup plus chargé dans ce domaine :introduction de la fonction cotangente, étude exhaustive des formules de transformation trigonométriques Continuité et dérivabilité de ces fonctions. Étudier et représenter graphiquement les fonctions sinus, cosinus et tangente.

20 Programme libanais Statistique, dénombrement et probabilités. Nouveau programme de première S Dénombrements Factorielles, permutations et arrangements avec ou sans répétition. Aucune notion théorique sur les dénombrements est au programme. Sont introduits cette année les coefficients binomiaux, mais en relation directe avec la loi binomiale et non comme issus d un problème de dénombrement. Statistiques descriptives et analyse de données. Série statistique continue, les classes étant choisies de même amplitude. Représentation graphique des effectifs et des fréquences par histogrammes et polygones. Calculer les effectifs et les fréquences cumulés et les représenter graphiquement. Variance et écart type. Comparaison de deux séries statistiques. Diagramme en boite. Utilisation de l outil informatique. Le programme libanais sépare l enseignement des statistiques sur deux ans. En seconde les séries discrètes. En première les séries continues.

21 Programme libanais Nouveau programme de première S Probabilités Probabilité d un événement.. Description de quelques expériences aléatoires à l aide d arbres ou de tableaux. Vocabulaire général des probabilités. Propriétés des probabilités. Utilisation des arrangements et des permutations. Détermination et exploitation de la loi et de l espérance d une variable aléatoire, variance et écart type. Avec une simulation liens avec la moyenne et la variance d une série de données. Calculs d espérances, de variance, et d écarts types avec une calculatrice ou un logiciel. Transformation affine de l espérance et de la variance. Répétition d expériences identiques et indépendantes, arbre pondéré. Loi géométrique tronquée, simulation. Les élèves sont habitués à la notion de probabilité depuis la classe de troisième. C est toujours une approche fréquentielle qui sera proposée. L utilisation des arrangements est hors programme Loi binomiale : coefficients binomiaux, triangle de Pascal, formule générale, applications. Échantillonnage Exploitation de l intervalle de fluctuation à un seuil donné, déterminé à l aide de la loi binomiale, pour rejeter ou non une hypothèse sur une proportion. Expérimentation de la notion de différence significative par rapport à une valeur attendue. Détermination de l intervalle de fluctuation à l aide d un tableur ou d un algorithme. On prolonge l enseignement de seconde concernant cette prise de contact avec les statistiques inférentielles.

22 3 Programme de la classe de terminale scientifique Algèbre et généralités Programme libanais Programme de terminale S Éléments de calcul de propositions Identifier une proposition. Définir et utiliser les opérateurs logiques de base. Utiliser la table de vérité. N est pas au programme. Les notions de logique seront exposées sur des exemples concrets faisant intervenir différents types de raisonnement Nombres complexes Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique des opérations usuelles sur les nombres complexes. Forme trigonométrique et exponentielle d un nombre complexe. Formule de Moîvre et applications. Équation du second degré à coefficients complexes. Racines n-ème d un nombre complexe et de l unité, représentation géométrique. Interprétation géométrique du module et de l argument d un quotient Plan complexe, parties réelle et imaginaire, conjugaison Opérations sur les nombres complexes. Module et argument d un nombre complexe. Module et argument d un produit et d un quotient. Forme trigonométrique et exponentielle d un nombre complexe. Équation du second degré à coefficients réels. Écriture complexe des transformations usuelles. Le programme libanais propose une première approche des nombres complexes en première. On notera que les notions suivantes ne sont pas au programme : Formule de Moîvre et d Euler et applications, équation du second degré à coefficients complexes, racines n- ièmes.

23 Analyse :fonctions irrationnelles et réciproques Programme libanais Programme de terminale S Étudier et représenter graphiquement des fonctions irrationnelles. Fonctions irrationnelles Déterminer les asymptotes ou les directions asymptotiques d une courbe, lorsqu elles existent Étudier la position de la courbe par rapport à son asymptote. N est pas explicitement au programme. Étudier l allure de la courbe au point d abscisse annulant le radical et aux points d arrêts. Déterminer la fonction composée de deux fonctions données. Fonctions réciproques Caractériser les fonctions possédant une fonction réciproque. Comparer graphiquement les courbes représentatives d une fonction et de sa réciproque. Domaine de définition et sens de variation de la fonction réciproque. N est pas au programme. La notion de réciprocité est illustrée par les liens entre exponentielle et logarithme, mais il n y a pas d étude systématique à envisager dans la cadre du programme français. Calculer, si c est possible, la détermination explicite de la fonction réciproque.

24 Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances Programme libanais Programme de terminale S Fonctions logarithme népérien et de base a. Étudier et représenter graphiquement la fonction logarithme népérien ln Dériver les fonctions de la forme ln(u) et calculer les primitives des fonctions de la forme u u, limites usuelles. Propriétés algébriques de la fonction ln, caractérisation du nombre e. Fonction logarithme de base a. Résolution d équations ou d inéquations faisant intervenir la fonction logarithme. Fonction logarithme népérien, équation fonctionnelle caractéristique. Dérivée et comportement asymptotique. Approximation affine de h ln(1 + h) en 0. Logarithme décimal et applications. Comportement asymptotique et allure des courbes représentatives des fonctions x a x. Fonctions exponentielles et puissances d exposant réel. Étudier et représenter graphiquement la fonction exponentielle de base e. Dérivée de exp(u) et primitives de u exp(u). Propriétés algébriques de la fonction exp(u), et limites usuelles. Fonction exponentielle de base a et puissance d exposant réel. Domaine de définition, variations et représentation graphique des fonctions exponentielles de base a et puissances d exposant réel. Croissances comparées des fonctions logarithmes, exponentielle et puissance. Résolution d équations ou d inéquations faisant intervenir les fonctions logarithme et exponentielle. Existence et unicité de la fonction exponentielle comme unique solution de l équation f = f qui vérifie f(0) = 1 Relation fonctionnelle caractéristique. Introduction du nombre e, notation e x. Extension à l équation f = kf. Croissances comparées des fonctions logarithmes, exponentielle et puissance. Fonctions racine n-ième. Exemples de fonctions à décroissance rapide : x e kx et x e kx2 avec k > 0. Étude en exercice des fonctions : x x α, avec α réel. Le programme recommande de présenter en premier lieu, et tôt dans l année, la fonction exponentielle, puis la fonction logarithme népérien. Il n y a pas d études systématiques des fonctions logarithmes et exponentielles dans d autres bases. On présentera la fonction logarithme décimal en relation avec la physique.

25 Programme libanais Continuité et dérivabilité Programme de terminale S Langage de la continuité. Usage du tableau de variations. Caractériser l image d un intervalle fermé par une fonction continue. Localiser une racine pour une fonction continue sur un intervalle fermé et justifier l existence de cette racine. Nature de l image d un intervalle par une fonction continue et théorème des valeurs intermédiaires. Caractère bijectif d une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle. Limites à gauche et à droite, continuité à gauche et à droite et prolongement par continuité en un point. Définition de la continuité en un point a par f(x) = f(a). lim x a Continuité sur un intervalle, continuité des fonctions usuelles, contre-exemple de la fonction partie entière. Théorème des valeurs intermédiaires et corollaire lorsque la fonction est monotone : Existence et unicité de la solution d une équation du type f(x) = k, obtention d une valeur approchée de cette solution. Utilisation des tableaux de variations dans les problèmes. Il n y a pas de développements théoriques importants à fournir sur ce thème. Dans les exercices, des références au tableau de variations suffiront à justifier l existence, l unicité de solutions d équations ou le signe d une fonction. Dérivation Formule donnant la dérivée d une fonction composée en un point. Dérivée d une fonction réciproque en un point et sur un intervalle. Dérivées seconde et successives d une fonction en un point et sur un intervalle. Rappels sur les règles de dérivation. Lien entre signe de la dérivée et variations de la fonction. Application à l étude de la fonction tangente. Lien entre continuité et dérivabilité. Écriture différentielle et applications. Dérivation d une fonction composée. La dérivée d une fonction réciproque n est pas au programme, de même que la notion de dérivée successive.

26 Théorèmes généraux d analyse et intégration Programme libanais Programme de terminale S Théorème de Rolle et interprétation géométrique. Théorème de Rolle et applications. Égalité et inégalité des accroissements finis. Développement limité d ordre un d une fonction au voisinage d un point. N est pas au programme. Tous les points développés dans ce thème ne sont pas au programme. Utilisation de la règle de l Hôpital pour la détermination de limites dans le cas de formes indéterminées du type 0 0 et. Intégration et Applications. Définir l intégrale d une fonction f continue sur un intervalle [a, b] comme la différence F(a) F(b), F étant une primitive de f sur [a, b]. Théorème fondamental de l intégration pour une fonction continue f sur un intervalle I contenant a : x x a f(t) dt est l unique primitive de f nulle en a. Propriétés usuelles de l intégrale. Interprétation graphique de l intégrale. Différentes méthodes d intégration. Utilisation du calcul intégral pour le calcul d aires. Introduction de l intégrale comme une aire. Intégrale comme limite de sommes dans le cas d une fonction en escaliers et de la fonction carré, extension de la définition. Inégalité de la moyenne et valeur moyenne d une fonction. Linéarité, positivité, ordre et relation de Chasles. Applications aux calculs d aires, de volumes et de grandeurs physiques. Notion de primitive : si f est continue sur un intervalle I contenant a x x a f(t) dt est l unique primitive de f nulle en a Il est demandé d approcher la notion d intégrale comme une aire, cette démarche n est pas celle du programme libanais. Dans les méthodes d intégration le programme libanais propose l intégration par changement de variable. Cette technique n est pas dans au programme français. Exemples d encadrements d intégrales par la formule des rectangles. Calculs de volumes de solides usuels de révolution. Calcul d intégrale à l aide de primitive, primitives usuelles, utilisation de la formule de dérivation d une fonction composée. Intégration par parties.

27 Suites numériques et équations différentielles Programme libanais Programme de terminale S Rappel de la définition de la limite d une suite. Convergence des suites numériques Suites majorées, minorées, bornées. Définition intuitive de la limite d une suite, en relation avec les limites d une fonction en + Théorème de la convergence monotone. Règles opératoires et limites de la composée de deux fonctions ou d une suite et d une fonction. Toute suite croissante et non majorée tend vers +. Raisonnement par récurrence. Règle opératoires sur les limites. Théorèmes de comparaison. Suites monotones, majorées, minorées, bornées. Suites adjacentes et théorème des suites adjacentes. Théorème de la convergence monotone. Généralités et vocabulaire usuel concernant les équations différentielles. Équations à variables séparables. Équations différentielles d ordre un et deux. Équations du type y + a(x)y = 0 où x a(x) est une fonction simple à intégrer. Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants de la forme : y = f(x), y +ay = b et y +ay = f(x). Existence et unicité de la solution de l équation y = ay + b passant par un point donné. On étudiera quelques problèmes où interviennent des équations différentielles se ramenant à y = ay + b L exemple de l équation du second ordre y + ω 2 y = 0 sera introduite en cours de physique. Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants de la forme : y = f(x), ay + by + cy = 0 et y + ω 2 y = k.

28 Homothéties, écriture complexe d une transformation et similitudes Programme libanais Programme de terminale S Caractériser une homothétie. Homothétie. Étudier l effet d une homothétie sur des figures. Propriétés de conservation et de transformation d une homothétie. Homothétie réciproque et composée de deux homothéties quelconques. N est pas au programme de l enseignement obligatoire. Ne figure plus au programme de première S. Les homothéties sont abordées dans la cadre de l étude des similitudes en enseignement de spécialité. Composée d une homothétie et d une translation. Écriture complexe d une transformation plane. Caractérisation d une transformation par la relation entre les affixes de M et de M. Bijectivité de l écriture complexe, et traduction analytique. Étude de quelques transformations et de l inversion de centre O et de puissance 1 Écriture complexe des translations, homothéties et rotations. L étude de l inversion n est pas au programme, cependant de nombreux sujets de BAC ont proposés d étudier, sous forme d exercices, certaaines propriétés de ces transformations. Caractérisation géométrique des similitude directes et forme réduite associée. Similitudes planes directes. Caractérisation d une similitudes directe par son écriture complexe associée. Propriétés de conservation et de transformation, similitude réciproque, composée de deux similitudes directes. N est pas au programme de l enseignement obligatoire. l étude des similitudes directes est au programme de l enseignement de spécialité. Détermination des similitudes directes transformant (M, N) en (M, N ). Caractérisation des similitudes d écriture complexe z az + b.

29 Coniques Programme libanais Programme de terminale S Foyer, directrice et excentricité. Axe focal, paramètre et sommets d une conique. Équation d une conique dans un repère adéquat. Différencier la parabole et les coniques à centre. Coniques Déterminer les éléments d une conique connaissant son équation réduite. Déterminer l aire du domaine limité par une ellipse. Pour la parabole définition de la normale, de la sous normale en un point et lieux géométriques associés. Axes de symétrie d une conique, cercle principal et secondaire d une ellipse, asymptotes d une hyperbole. N est pas au programme. Absoluement pas abordé en terminale. Le chapitre de spécialité concernant les sections planes de surfaces ( qui permettait de visualiser d autres paraboles ou hyperboles) sera supprimé à la prochaine rentrée scolaire. Définition bifocale de l ellipse et de l hyperbole. Paramétrisation d une ellipse et applications. Nature et équations réduite des courbes dont une équation cartésienne est du second degré sans terme rectangle.

30 Géométrie affine et vectorielle dans l espace. Programme libanais Programme de terminale S Barycentres. Droites et plans de l espace. Caractériser vectoriellement une droite et un plan de l espace. Déterminer un vecteur directeur d une droite et un vecteur normal à un plan. Caractérisation de la droite passant par A et dirigée par u à l aide d un produit vectoriel. Caractérisation du plan passant par A et de vecteur normal v à l aide d un produit scalaire. Caractérisation barycentrique d une droite, d un plan, d un segment, d un triangle. Problèmes d alignement et de concours. Position relative de droites et plan dans l espace, parallélisme et orthogonalité. Caractérisations analytiques de l orthogonalité dans l espace. Détermination des positions relatives de deux plans, de deux droites, d une droite et d un plan. Liens entre les aspects vectoriels et analytiques et avec la résolution de systèmes d équations. Détermination d un système d équations paramétriques de la droite intersection de deux plans sécants Détermination de l intersection de deux droites sécantes, ainsi que d une droite et d un plan. Représentation paramétrique d une droite de l espace. Intersection de deux plans, d une droite et d un plan, de trois plans. Interprétation algébrique :étude de systèmes d équations linéaires

31 Produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte dans l espace et trigonométrie. Programme libanais Programme de terminale S Détermination de la distance d un point à un plan et d un point à une droite dans l espace. Produit scalaire. Produit vectoriel. Produit mixte. Aspect analytique et applications. Déterminer les composantes du produit vectoriel de deux vecteurs dans un repère orthonormé direct. Application à la détermination d équations cartésiennes de plans. Déterminer le produit mixte de trois vecteurs et son expression analytique. Utilisation du produit vectoriel pour la détermination d aires et comme une caractérisation de la colinéarité de deux vecteurs dans l espace. Utilisation du produit mixte pour la détermination de volumes et comme une caractérisation de la coplanéarité de trois vecteurs dans l espace. Rappels sur le produit scalaire dans le plan. Définition du produit scalaire de deux vecteurs dans l espace. Propriétés du produit scalaire et expression analytique. Vecteur normal à un plan, équations cartésiennes d un plan. Distance d un point à une droite dans le plan et d un point à un plan dans l espace. Produit vectoriel et produit mixte ne sont pas au programme. Le programme libanais propose l étude du produit vectoriel, sans l aspect analytique, à partir de la classe de première. La détermination d une équation cartésienne d un plan se fait en relation avec la notion de vecteur normal. Trigonométrie et fonctions circulaires. Relations métriques dans un triangle quelconque Étude des fonctions circulaires de la forme a cos(bx + c) et a sin(bx + c) Variations de la fonction tangente. Fonctions trigonométriques réciproques.

32 Dénombrement, statistiques et probabilités. Programme libanais Programme de terminale S Dénombrements Identifier et calculer le nombre des combinaisons de p éléments d un ensemble à n éléments. Construire le triangle de Pascal. Étude de situations élémentaires résolubles à l aide d arbres, de diagrammes ou de combinaisons. La notion d arrangements et l utilisation du symbole A p n ne sont pas au programme. Connaître et utiliser la formule du binôme. Statistiques et probabilités. Caractéristiques de position et de dispersion d une série statistique à variable continue ou discrète. Probabilité conditionnelle et indépendance. Formule des probabilités totales. Variable aléatoire réelle discrète et loi de probabilité associée. Conditionnement et indépendance de deux événements, indépendance de deux variables aléatoires. Formule des probabilités totales, applications simples. Variable aléatoire discrète, introduction des combinaisons, formule du triangle de Pascal et du binôme de Newton. Loi binomiale, espérance et variance. Exemple d une loi continue :loi uniforme sur [0, 1] On peut remarquer que le programme libanais, dans la, ne propose ni l étude de la loi binomiale, ni l étude d exemples de variables aléatoires continues.

33 4 Présentation des notions spécifiques au programme libanais 4.1 Classe de seconde Classe de seconde Non abordé à ce niveau dans le programme français Abordé à un niveau suivant du programme français Ne fait pas parti du programme français des classes de lycée Racines n-ièmes et exposant fractionnaires Étude théorique et générale des polynôme. Division par x a d un polynôme dont a est racine. Algorithme de Hoerner. Systèmes paramétrés. Systèmes d inéquations linéaires. Équations paramétriques de droites dans le plan. Produit scalaire dans le plan. Fonctions racine carrée et valeur absolue Arcs orientés. Mesures en radians. Fonctions tangentes et cotangente. Dénombrement. Les racines n-ièmes et les exposants fractionnaires sont étudiés en terminale. On approche les polynômes sans étude théorique complète ( égalité de deux polynômes etc.) en première. Produit scalaire dans le plan en première. Fonctions racine carrée et valeur absolue. Mesures en radians en première Fonction tangente en terminale Certains points du programme concernant les dénombrements sont abordés en première et terminale. Division par x a d un polynôme dont a est racine. Algorithme de Hoerner. Systèmes paramétrés. Systèmes d inéquations linéaires. Équations paramétriques de droites dans le plan. Arcs orientés Fonction cotangente. La notion d arrangement et la notation correspondante.