Une bien jolie curiosité

Transcription

1 o 09 Ue bie jolie curiosité 40 Ue bie jolie curiosité Rolad Dassoval et Catherie Combelles Tracez u polygoe régulier à sommets iscrit das u cercle de rayo, puis les cordes qui joiget u sommet doé aux - autres O obtiet u évetail de - cordes Saviez-vous que : Le produit des logueurs de ces - segmets est égal à Le cas = 0, qu o trouvera à l adresse : Examios d abord quelques cas particuliers simples qui fourisset des exercices pour les débutats : Le triagle équilatéral : (*)

2 406 Das os classes APMEP o 0 Le calcul peut ici être fait dès la classe de quatrième, avec pour seul outil le théorème de Pythagore : le triagle ABA est rectagle, et le triagle 0A B est équilatéral Doc A B =, AA = et AB AC = AB = 4 - = Le carré : Ici ecore, le théorème de Pythagore suffit : AB = AD = AB AC AD est bie égal à 4 L hexagoe :, et AC = Le produit Le triagle ACE est équilatéral, et ous avos déjà calculé le produit AC AE, égal à Or AB = AF =, et le diamètre AD est de logueur O obtiet doc très vite : AB AC AD AE AF = 6 Le dodécagoe

3 o 0 Ue bie jolie curiosité 407 Le calcul paraît impressioat, mais o coaît déjà : A A 6 A 8 0 = 6, et A 9 = Ne reste à évaluer que le produit A Or ici ecore, le théorème de Pythagore suffit à coclure : Le triagle OA est u triagle équilatéral de côté Doc, et doc H A = OH = A0H = + U peu de calcul, et l o obtiet : A = = + Pour calculer, o utilisera le triagle rectagle A A 6 H, puisque : = A A et H A = H A6 = Il viet : = A A 6 = Et le produit des 4 cordes A vaut doc : Et otre exercice de géométrie s est soudai trasformé e u exercice de calcul sur les idetités remarquables! Voilà qui sera itéressat e troisième ou e secode Fialemet le produit des logueurs des cordes est bie égal à Le petagoe Le calcul direct sur le petagoe est plus savat Il demade de coaître cos π Il se calcule classiquemet e Termiale e utilisat les ombres complexes Mais o va voir que l outil complexe red iutile à ce iveau le calcul direct A ( )( + ) = 4 =

4 408 Das os classes APMEP o 0 π Faire ce calcul dès la classe de première S e maque pas d itérêt : l agle t = vérifie : cos t = cos t Voilà ue belle occasio d utiliser les formules d additio et de duplicatio E otat x = cos t, o obtiet ue équatio de degré, mais de solutio évidete, et ue factorisatio coduit à ue équatio de degré : 4x + x - = 0 qui a qu ue solutio positive Cette activité, mêlat algèbre et trigoométrie est typiquemet das l esprit du programme de Première S O e déduit : cos π valeur que l o peut aussi fourir aux élèves si = +, 4 le temps est compté Ici, o peut, coaissat OH, e déduire H, H, puis = Le théorème de Pythagore doe u calcul assez simple Mais o peut faire u peu plus élégat : = si π, et doc : = = = = si π si π cos π = Le calcul le plus simple de A semble être aussi : = A = = = si π π 4 si = + π 4 cos A Fialemet, le produit des logueurs des 4 cordes vaut : + =

5 o 0 Ue bie jolie curiosité 409 Le cas gééral : L outil privilégié est ici l utilisatio des ombres complexes Plaços-ous das le pla complexe et otos A le poit d affixe Traços le polygoe régulier à sommets iscrit das le cercle de cetre O et de rayo et admettat A pour sommet Ses sommets admettet pour affixe, et le produit cherché s écrit : Or les ombres e k iπ iπ e k iπ iπ ( ) iπ P = e e e iπ = e e e iπ ( ) iπ pour k = 0 à - sot les racies du polyôme z -, qui s écrit d ue part L efficacité des ombres complexes est admirable! Mais cette merveille est-elle compatible avec le programme actuel de la Termiale S? O trouvera à l adresse ue aimatio réalisée par Rolad Dassoval avec le logiciel FLASH pour préseter cette situatio Les trois premières pages apportet des rappels de trigoométrie, aisi que le calcul de la logueur d ue corde Les pages suivates motret les cas :, 4, 6, 8,, puis, efi la derière page permet de faire varier etre et 0, mais, comme das u jeu vidéo, vous y accéderez que si vous réussissez chacue des étapes précédetes! C est l étape ultime ( = 0) qui illustre l itroductio de cet article ( )( ) z = z z + z + + z +, et d autre part : iπ = ( ) iπ ( ) iπ z z z e z e z e Il e résulte : iπ iπ ( ) iπ = + z e z e z e z z + + z + La valeur e de ce polyôme est doc, et so module égalemet Aisi : iπ iπ ( ) iπ e e e =