Terminale S Les ROC : complexe/géométrie à connaître.

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1 Termnale S Les ROC : complexe/géométre à connaître Vous trouvere c les démonstratons que vous ave offcellement dues fare en cours (dans le programme) Il est mportant de précser que cela ne sgnfe en aucun cas qu l ne falle pas connaître les autres D autres ROC classques seront auss tratées, mas sache que le jour du Bac, vous pouve très ben avor une ROC que vous n aure jamas traté ou une ROC à démontrer dfféremment C est pourquo votre ntérêt n est pas d apprendre les démonstratons par cœur, mas plutôt de comprendre comment elles fonctonnent, quelle est l dée drectrce des rasonnements, quels sont les prérequs Exemples de ROC sur les complexes : module et argument Défnton : Pour tout nombre complexe, l exste un unque couple (x,) de réels tels que = x + : cette écrture est appelée forme algébrque de On note alors = x le conjugué de et = x + son module Proprété : = = x + x = x + = Démo : ( ) ( ) Proprété : Soent deux complexes et et leur quotent, le conjugué de ' ' est ' ' ' ( x + )( x ' ') ( xx ' + ') + ( x ' + x ') Démo : = = = = donc, comme ² est un réel, ' ' ' ' ' ' ( xx ' + ') + ( x ' x ') ' ' ( x )( x ' + ') ( xx ' + ') + ( x ' x ') = D un autre coté, = = = = ' ' ' ' ' ' ' ' On a donc l égalté cherchée Proprété : ' = ' Démo : = = = ' ' ' ' ' ' L égalté des modules s en dédut pusque ces derners sont postfs 1 D PINEL, Ste athemtec :

2 Défnton : Sot ( O; u; v) un repère orthonormal du plan et un complexe non nul On note le pont d affxe, [ π ] On appelle argument de, noté arg(), une mesure de l angle orenté ( u O ) Rappel : = B B Proprété : arg ( ) = ( u, B ) B Démo : Sot C le pont du plan tel que B = OC : alors C = et ( u, B ) = ( u, OC ) = arg( C ) = arg ( ) B B Défnton : Sot ( O; u; v) un repère orthonormal du plan Tout nombre complexe admet une unque écrture de la forme r ( cos( θ ) sn( θ )) Cette écrture est appelée forme trgonométrque de = + où r = et θ = arg( ) [ π ] Tout part de là! Théorème : arg ( ' ) arg ( ) arg ( ' ) = + Démo : On a : ' = r ( cos( θ ) + sn( θ ) ) r '( cos( θ ') + sn( θ ') ) = rr ' ( cos( θ ) cos( θ ') sn( θ ) sn( θ ') ) + ( cos( θ ) sn( θ ') + cos( θ ') sn( θ ) ) l ade des formules trgonométrques, on en dédut que ' = rr '[ cos( θ + θ ') + sn( θ + θ ') ] Par uncté de l écrture trgonométrque, on en dédut ben que arg ( ' ) θ θ ' arg ( ) arg ( ' ) = + = + 1 = Corollare : arg arg ( ) Démo : Nous savons que arg(1) = 0 1 pplquons le théorème précédent à ' = : = 1 donc l vent 1 1 arg ( 1 ) = arg ( ) + arg 0 = arg ( ) + arg d où le résultat cherché = ' Corollare : arg arg ( ) arg ( ' ) 1 Démo : pplquons le théorème précédent à " ' " ' d après le corollare précédent ' 1 ' = : l vent arg = arg ( ) + arg = arg ( ) arg ( ' ) D PINEL, Ste athemtec :

3 Défnton : Sot ( O; u; v) un repère orthonormal du plan Posons e = cos( θ ) + sn( θ ) Tout nombre complexe admet une unque écrture de la forme Cette écrture est appelée forme exponentelle de θ = π = re θ où r = et arg( ) [ ] Proprété : e e e = e et e ' ( θ + θ ') ( θ θ ') = e ' Démo : l s agt d applquer les résultats précédent à et avec r = 1 et r = 1 Proprété : Pour tout enter n, on a ( e Démo : Sot P(n) la proposton «( e θ ) n θ ) n P(0) est vrae pusque ( e θ ) 0 = 1 et nθ = e nθ = e» e 0 = cos(0) + sn(0) = 1 Supposons P(n) vrae, cad que ( ) n nθ n+ n e = e : alors ( ) ( ) ( ) Et comme e e ' ( θ + θ ') n nθ e = e e = e e nθ ( n ) θ = e, l vent ( e ) = e e = e donc P(n+1) est vrae Proprété : ( B, CD) arg d c = avec les notatons usuelles, où et B, C et D sont deux à deux dstncts b a Démo : ( B, CD) ( B, u) ( u, CD) ( u, CD) ( u, B) arg ( d c) arg( b a) arg d c = + = = = b a ROC sur l écrture complexe des transformatons Proprété : Sot t la translaton de vecteur u d affxe u qu transforme () en ( ) L écrture complexe de t est = + u Démo : a pour mage dans la translaton de vecteur u s ' = u ' = u ' = + u égaux ss leurs affxes sont égales car deux vecteurs sont Proprété : Sot h l homothéte de centre Ω ( w) et de rapport k qu transforme () en ( ) L écrture complexe de h est - w = k( w) Démo : a pour mage par cette homothéte ss Ω ' = kω ' ω = k( ω) leurs affxes sont égales Proprété : Sot R la rotaton de centre Ω ( w) et d angle θ qu transforme () en ( ) L écrture complexe de R est ' ω = e ( ω) ( ) (, ', ' θ ) Démo : a pour mage par cette rotaton ss 3 D PINEL, Ste athemtec : car deux vecteurs sont égaux ss ' ω θ arg = θ Ω Ω = Ω Ω = ω Ω ' Ω = Ω ' = 1 ' ω Ω = 1 ω ' ω Posons alors Z = : Z est un complexe de module 1 et d argument θ donc Z ω ' ω = e ' ω = e ( ω ) ω = e θ ns on a

4 ROC sur l espace : équaton cartésenne d un plan La défnton qu sut n est pas la premère défnton du plan que l on vot en Termnale S Intalement, un plan est défn par : P est un plan s l exste : Un pont de l espace Deux vecteurs u et v non colnéares tels que pour tout pont de P, = xu + v où x et sont deux réels (les coordonnées de dans le repère, u, v ( ) Cette défnton peut auss s obtenr en utlsant les barcentres Cependant la caractérsaton suvante est souvent prse comme pont de départ pour tous les rasonnements Défnton : Le plan P qu passe par et de vecteur normal n (non nul) est l ensemble des ponts de l espace tel que n = 0 Théorème : Sot (P) le plan passant par (x,, ) et de vecteur normal n (a,b,c) lors une équaton cartésenne de (P) a la forme ax + b + c + d = 0 où d est un réel Récproquement, sot (P) l ensemble des ponts (x ; ;) tel que ax + b + c + d = 0 lors (P) est un plan de vecteur normal n (a,b,c) Démo : x Premère mplcaton : (P) le plan passant par et de vecteur normal Par défnton alors d = ax b c On obtent 4 a n b c x x a = = 0 : posons c appartent au plan ss ax + b + c + d = 0 appartent au plan ss n b a ( x x ) b ( ) c ( ) Récproquement : sot (P) l ensemble des ponts (x ; ;) tel que ax + b + c + d = 0 a Comme n b est non nul, l une de ses coordonnées est non nulle, par exemple a c Par conséquent, le pont ( d ; 0; 0) appartent à (P) a Par une méthode mantenue devenue classque (équa-dff, équaton dophantenne pour les spé ), on a alors ax + b + c + d = 0 ( ) ( ) ( ) ax + b + c + d = ax + b + c + d a x-x + b - + c - = 0 On reconnaît ben la relaton n = 0 : d après la défnton d un plan, on a donc est dans (P) ss est dans le plan passant par et de vecteur normal n P est donc ce plan D PINEL, Ste athemtec :

5 ROC sur l espace : représentaton paramétrque d une drote Que ferons nous sans les défntons Défnton : La drote (D), qu passe par et de vecteur drecteur u est l ensemble des ponts tel que les vecteurs et u soent colnéares La récproque au résultat suvant étant très smple, nous nous contenterons d établr une seule mplcaton : Théorème : Sot (D) la drote (D) passant par (x,, ) et de vecteur drecteur u (a,b,c) x = at + x Un pont est sur (D) ss l exste un réel t tel que = bt + = ct + Démo : Par défnton, un pont est sur (D) ss et u soent colnéares donc ss l exste un réel t tel que = tu Comme deux vecteurs sont égaux ss leurs coordonnées sont égales, x x = at x = at + x réel t tel que = bt = bt + ct = = ct + est sur (D) ss l exste un ROC sur l espace : dstance d un pont à un plan Défnton : Sot un pont de l espace et (P) un plan H est le projeté orthogonal de sur (P) s H appartent à (P) (H) est orthogonal à (P) Théorème : Sot ( x,, ) un pont de l espace, P le plan d équaton ax + b + c + d = 0 lors la dstance de à P est d (, P ) = axd + bd + cd + d a + b + c Démo : Sot ( x,, ) un pont de l espace, P le plan d équaton ax + b + c + d = 0 : notons H le projeté orthogonal de sur P Il faut donc calculer la dstance H Calculons le produt scalare H n de manères dfférentes (1) H n = a( xh x ) + b( H ) + c( H ) = axh + bh + ch ax b c as H est par défnton dans le plan (P) donc on a axh + bh + ch = d et fnalement H n = ax b c d () Le vecteur n est normal à P donc par défnton de H, H est colnéare à n lors H n = ± H n = ± H a + b + c Par dentfcaton de ces expressons, que H est postf) H = ax + b + c + d a + b + c 5 D PINEL, Ste athemtec : (les valeurs absolues apparassent pour assurer

6 antenant que vous ave travallé et essaé de comprendre tous ces ROC, la melleure manère de vous entraîner reste d en fare vous-même! (vor les sujets de Bac du ste) Blan : s vous deve retenr quelque chose : «Tout part des défntons!!», donc en ce qu vous concerne des prérequs du ROC Il vous suggéreront la méthode à emploer et les outls à utlser Bon Courage, et pose vos questons ou sgnale les erreurs sur le Forum 6 D PINEL, Ste athemtec :

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Solution : 1. Soit y = α + βt, l équation de la droite considérée. Le problème de régression linéaire s écrit. i=1 2(α + βt i b i )t i Exercces avec corrgé succnct du chaptre 3 (Remarque : les références ne sont pas gérées dans ce document, par contre les quelques?? qu apparassent dans ce texte sont ben défns dans la verson écran complète

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