Analyse 1 Résumé succinct

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1 Anlse Résumé succinct Cours de première nnée de licence Université de Rennes Version du 4 novembre 008 Ce tete été rédigé entre 006 et 008 pr les équipes pédgogiques de "A0" et "AN". Progrmme Les résultts eposés dns ce cours sont dmis. En revnche on epliquer comment les utiliser. Étude de fonctions Définitions intuitives de l limite en un point d une fonction, de l continuité, de l dérivée (pente de l tngente, limite du tu d ccroissement, pproimtion ffine). Théorème des vleurs intermédiires, des ccroissements finis. Dérivtion d un produit, d un quotient, d une fonction composée. Fonctions clssiques : polnômes, frctions rtionnelles, eponentielle, ch, sh, sin, cos. Représenttions grphiques, vritions, comprison, ordres de grndeur. Formules de trigonométrie sphérique et hperbolique. Encdrement pr des polnômes u voisinge de zéro. Appliction u clcul de limites. Fonctions Arctn, Arcsin, Arccos. Primitives. Définition. Formulire (ep, sin, /( +) b, /(+ ), /( ) /,...). Intégrtion pr prties. Chngement de vrible. Ps de théorie de l décomposition en éléments simples (quelques eemples pr coefficients indéterminés). Nombres Complees Construction des nombres complees comme ensemble de couples de réels. Complee conjugué, module et inverse. Ecriture des complees en coordonnées polires, interpréttion géométrique de l multipliction pr un complee de module et du pssge u conjugué. Eponentielle complee et pplictions à l trigonométrie. Appliction des complees à des problèmes de géométrie plne, similitudes. Equtions différentielles à coefficients constnt du premier et du second ordre. Au second ordre, un ou deu eercices vec un second membre simple. Appliction : circuits RLC. Bibliogrphie de bse uvrges de terminle S Liret Mrtinis K. E. Hirst, Keith E. Hirst Clculus of ne Vrible Remrque Les résultts eposés dns ce cours sont tous dmis. En revnche on epliquer comment les utiliser. L objet du cours est de permettre à l étudint de confirmer et renforcer s prtique de l utilistion des premiers outils de l nlse réelle et complee. Il est ussi l occsion de découvrir des énoncés de théorèmes d nlse qui ont des pplictions immédites dns les sciences.

2 I Fonctions et grphes Introduction Remrque. Nous ferons un usge élémentire des notions d églité, d ensemble, de sous-ensemble, d ensemble vide, d élément, d pprtennce, d inclusion, d intersection, de réunion et de différence d ensembles insi que des smboles =,, /0,,,, /,,,\ qui leurs sont ssociés. Nous éviterons tnt que possible le recours u smboles et qui s ppellent respectivement quntificteur universel et quntificteur eistentiel et se lisent respectivement pour tout et il eiste. Définition. Soient A et B deu ensembles. Une fonction (ou ppliction) de A dns B est l donnée pour tout élément de A d un élément b = f () de B ppelé vleur de f en. n note : f : A B f () = b. et le sous- L ensemble A s ppelle domine de f, l ensemble B s ppelle l ensemble d rrivée ensemble f (A) = {b B A, f () = b} de toutes les vleurs f () obtenues lorsque décrit A s ppelle l imge de f. Si A et b B vérifient b = f () lors b est ppelé imge de pr f et est ppelé ntécédent de b pr f. Si b B, le sous-ensemble de A formé de tous ses ntécédents est noté f (b). Il est non vide si et seulement si b est un élément de f (A) Eemples. Soit f l fonction dont le domine est A =],[, l ensemble d rrivée B = R et définie pr l formule f () =. Alors f (],[) = [0,[ est différent de R. n f ( 9 ) = { 3, 3 } lors que f (3) = /0 est l ensemble vide. Définition. Soient f : A B et A A. L restriction f A de f à A est l fonction de A dns B définie pr f A () = f () si A. Si l restriction de f à A vérifie une propriété donnée on dit que f vérifie cette propriété sur A. Soit A et B des ensembles contennt respectivement A et B et g une ppliction de A dns B. Si pour tout élément A on f () = g() on dit que g prolonge f à A ou que g est un prolongement de f à A. Eemple. Soit A = {,b,c,d,e}, A = {,b,c,d}, B = {α,β,γ,δ,ε} et B = {α,β,γ,δ}. n considère l ppliction f : A B définie pr l ppliction i : A B définie pr f () = α f (b) = β f (c) = γ f (d) = δ, i() = α i(b) = β i(c) = γ i(d) = δ i(e) = ε

3 et l ppliction j : A B définie pr j() = α j(b) = β j(c) = γ j(d) = δ j(e) = δ. Les pplictions i et j sont deu prolongements différents de f à A. L ppliction f est l restriction de j à A : j A = f. Bien que i() = f () pour tout élément de A, f n est ps l restriction de i à A cr f et i n ont ps le même ensembe d rrivée. Dns l suite on s intéresser à des fonctions numériques d une vrible réelle. Ceci signifie que A est un sous-ensemble de l ensemble R des nombres réels (d une vrible réelle) insi que B (numérique). Remrque. Souvent une fonction numérique d une vrible réelle est donnée pr une formule sns précision de son domine. Le premier trvil à fire est lors de trouver le domine le plus grnd sur lquelle elle est définie. Pr eemple l fonction donnée pr f () = dmet pour domine R\{0} et l fonction donnée pr g() = dmet pour domine [0,+ ). Définition.3 L fonction vleur bsolue est l fonction : R R définie pr = si 0 et = si < 0. Pour visuliser une fonction et ses propriétés on utilise son grphe. Définition.4 Le grphe d une fonction numérique de l vrible réelle f : A B est le sousensemble de R R {(, f ()) A}. Eemples.3 Voici le grphe de l fonction f de [,] dns R et définie pr l formule f () =. FIG. Le grphe de l fonction Définition.5 Si f et g sont deu fonctions numériques définies sur A et si λ R on définit l somme f + g, le produit λ f et le produit f g pr : si A, ( f + g)() = f () + g(), (λ f )() = λ( f ()), ( f g)() = f ()g(). 3

4 Les polnômes Définition. n ppelle polnôme une fonction P de R dns R pour lquelle il eiste des réels en nombre fini 0,..., d tels que si R lors P() = d d = d k k. k=0 Les i s ppellent les coefficients de P. Si tous les i sont nuls le polnôme P est le polnôme nul et son degré est. Si u moins l un des i est non nul, on ppelle degré de P le plus grnd indice i pour lequel i est non nul. Si seul d est non nul lors P est ppelé monôme de degré d. Proposition. Si P et Q sont deu polnômes et λ R lors P + Q, PQ et λp sont des polnômes. Nottion. Le polnôme dont les coefficients sont 0,..., d est noté d d ou d k=0 k k. Remrque. Si ( 0,..., d ) et (b 0,...,b f ) sont ssociés à un même polnôme vec d 0 et b f 0 lors d = f et pour tout i on i = b i : les coefficients sont égu. Eemples. Le polnôme P = 3 + est un polnôme de degré. Si c R l fonction f de R dns R définie pr f () = c est un polnôme de degré 0 ou ppelée fonction constnte c. Si, b R l fonction f : R R définie pr f () = + b est un polnôme de degré u plus ppelée fonction ffine. Si b = 0 on dit que f est linéire. Théorème. Soit A et B deu polnômes vec B non nul. Alors il eiste un unique couple de polnômes (Q,R) tels que A = BQ + R et le degré de R est strictement inférieur à celui de B. Définition. Soient A,B,Q,R des polnômes tels que B non nul, A = BQ + R et le degré de R est strictement inférieur à celui de B. n dit que Q est le quotient de l division euclidienne de A pr B et que R est le reste. Le polnôme A est ppelé le dividende et le polnôme B le diviseur. Eemple. 3 + et + sont respectivement le quotient et le reste de l division euclidienne de pr +. Proposition. Soient r R et P un polnôme. Alors r est rcine de P (i.e. P(r) = 0) si et seulement si le reste de l division euclidienne de P pr r est le polnôme nul. Eemple.3 n = ( )( + ) et est rcine de. Définition.3 Un nombre réel r est rcine (zéro) d une fonction f si f (r) = 0. Si f est un polnôme et si m N on dit que r est rcine (zéro) de multiplicité m s il eiste un polnôme g tel que f = ( r) m g et g(r) 0. Eemple.4 Soit f = Alors f = ( + ) g vec g = +. r g( ) =. Pr conséquent est rcine de multiplicité de f. 4

5 3 Frctions rtionnelles Définition 3. Soient f et g deu polnômes. Si g n est ps le polnôme nul lors l frction rtionnelle f g est l fonction de R \ g (0) dns R définie pr f f () g () = g(). Eemples 3. Le domine de l frction rtionnelle frction rtionnelle 3+ est R \ {,}. 4 est R lors que le domine de l 4 Prité Définition 4. Une fonction f : A B est dite pire (respectivement impire) si pour tout A lors A et f ( ) = f () (respectivement f ( ) = f ()). Proposition 4. Soit f : A B une fonction. n suppose que si A lors A. Alors il eiste un unique couple (P,I) tel que P : A R est une fonction pire, I : A R est une fonction impire et f ()+ f ( ) f () f ( ) f = P + I. Si A lors P() = et I() =. Eemple 4. L vleur bsolue est une fonction pire. Eemple 4. Un polnôme non nul est pir si et seulement s il est somme de monômes de degré pir. Il est impir si et seulement si il est somme de monômes de degré impir. Eemple 4.3 Si f et g sont deu polnômes non nuls lors l frction rtionnelle f g est pire si et seulement si f et g sont simultnément pirs ou simultnément impirs et elle est impire si et seulement si f est pir pendnt que g est impir ou que f est impir pendnt que g est pir. (,g( )) (,g()) (, f ( )) (, f ()) f pire : smetrie pr rpport g impire : smetrie pr rpport FIG. Smétrie du grphe en fonction de l prité 5 Composition de fonctions, injection, surjection, bijection, réciproque Définition 5. Si f : A B et g : B C sont deu fonctions on ppelle composée de f pr g l fonction g f (on lit g rond f) l fonction de A dns C définie pr (g f )() = g( f ()) pour tout A. 5

6 Eemple 5. n considère les ensembles A = {,b,c,d}, B = {α,β,γ,δ,ε} et C = {,,3,4} et les pplictions f : A B définie pr f () = α f (b) = β f (c) = f (d) = δ et g : B C définie pr g(α) = g(β) = g(γ) = g(δ) = g(ε) = 4. Alors l composée g f est l ppliction de A dns C définie pr (g f )() = (g f )(b) = (g f )(c) = (g f )(d) = 4. Définition 5. n dit que f : A B est injective si pour tous les et de A distincts ( ) les imges f () et f ( ) sont distinctes ( f () f ( )), c est à dire tout de B possède u plus un ntécédent. Eemples 5. L fonction f de R dns [0,+ ) définie pr f () = n est ps injective cr f () = f ( ) =. En revnche l fonction g : [0,+ ) R définie pr g() = est injective cr si et sont positifs ou nuls et = lors = = =. Suf si le domine est réduit u singleton {0}, une fonction pire n est jmis injective. Définition 5.3 n dit que f : A B est surjective si f (A) = B c est à dire si tout dns B possède u moins un ntécédent. Eemples 5.3 L fonction f de R dns [0,+ ) définie pr f () = est surjective cr pour tout réel positif ou nul il eiste un réel tel que =. En revnche l fonction g : [0,+ ) R définie pr g() = n est ps surjective cr un nombre strictement négtif n est ps une rcine crrée d un réel. Définition 5.4 n dit que f : A B est bijective si elle est injective et surjective. Remrque 5. L fonction f : A B est bijective si et seulement si tout élément de B dmet un et un seul ntécédent. Eemple 5.4 L fonction f de R dns R définie pr f () = + est bijective cr elle est injective et surjective (injective cr si lors + + et surjective cr si R lors = est un ntécédent de. Définition 5.5 Soit f : A B. n dit que g : B A est l réciproque de f (ou inverse de f pour l composition) si pour tous les de A et tous les de B on (g f )() = et ( f g)() =. Proposition 5. Soit f : A B. L fonction f possède une réciproque si et seulement si elle est bijective et lors cette réciproque est unique. 6

7 Nottion 5. n note f l réciproque de f si elle eiste. Remrque 5. Si g est l réciproque de f lors f est l réciproque de g. Eemple 5.5 L fonction f de R dns R définie pr f () = + et l fonction g de R dns R définie pr g() = sont réciproques l une de l utre. Eemples 5.6 Soit A = {,b,c,d,e}, A = {,b,c,d} et B = {α,β,γ,δ,ε}. n considère ussi les ensemble C = {α,β,γ} et D = {α,β,γ,δ}. L ppliction f : A B définie pr f () = α f (b) = β f (c) = γ f (d) = δ est injective mis elle n est ps surjective. L ppliction g : A C définie pr g() = g(b) = α g(c) = β g(d) = γ est surjective mis elle n est ps injective L ppliction h : A D définie pr h() = α h(b) = β h(c) = γ h(d) = δ est bijective. S réciproque est l ppliction h : D A définie pr Définition 5.6 n dit de fçon équivlente : f est injective et f est une injection, f est surjective et f est une surjection, f est bijective et f est une bijection. 6 Fonctions monotones h (α) = h (β) = b h (γ) = c h (δ) = d. Définition 6. Soit f : A B. n dit que f est croissnte si pour tous les, de A tels que on f () f ( ). n dit que f est strictement croissnte si pour tous les, de A tels que < on f () < f ( ). Définition 6. Soit f : A B. n dit que f est décroissnte si pour tous les, de A tels que on f () f ( ). n dit que f est strictement croissnte si pour tous les, de A tels que < on f () > f ( ). 7

8 Définition 6.3 Soit f : A B. n dit que f est monotone si elle est croissnte ou si elle est décroissnte. n dit qu elle est strictement monotone si elle est strictement croissnte ou si elle est strictement décroissnte. Eemples 6. Les fonctions, 5 +, et l rcine crrée sont croissntes ( 5 +, et sont même strictement croissntes). Les fonctions, sont décroissntes (4 5 7 est même strictement décroissnte). Les fonctions, vleur bsolue, ne sont ni croissntes ni décroissntes. croissnte decroissnte non monotonne FIG. 3 Monotonie Proposition 6. Une fonction f : A B qui est strictement monotone est injective. 7 Trigonométrie Définition 7. Une fonction f : A R est dite périodique de période T si et seulement si pour tout A on + T A et f ( + T ) = f (). Définition 7. n considère un cercle de ron. Son périmètre vut lors π (dire deu pi). n peut repérer les points de ce cercle pr leurs coordonnées dns un repère orthonormé dont l origine est le centre du cercle. Les points du cercle sont les points dont les coordonnées (,) vérifient l éqution + =. Notons A le point de coordonnées (,0). Prcourir le cercle dns le sens positif ou trigonométrique c est le prcourir dns les sens nti-horire. Si on prt de A et qu on prcourt sur le cercle l longueur t en tournnt positivement on rrive u point M(t) de coordonnées = cos(t) (dire cosinus t) et = sin(t) (dire sinus t). Si on tourne négtivement en prcournt l longueur t on rrive u point M de coordonnées = cos( t) et = sin( t). 8

9 M(t) sint(t) cos(t) A FIG. 4 Le cercle trigonométrique Proposition 7. Les fonctions cosinus et sinus sont définies sur R, à vleurs dns [,] et vérifient cos +sin =. Proposition 7. L fonction cosinus est définie sur R, π-périodique, pire, son imge est le segment [,]. Elle est strictement décroissnte sur l intervlle [0,π]. Si t R cos(π t) = cos(t). n cos(0) =,cos( π 6 ) = 3,cos( π 4 ) =,cos( π 3 ) =,cos( π ) = 0,cos(π) =. L ensemble cos (0) est égl à { π + kπ k Z}. π FIG. 5 Le grphe de cos Proposition 7.3 L fonction sinus est définie sur R, π-périodique, impire, son imge est le segment [,]. Elle est strictement croissnte sur l intervlle [ π, π ]. Si t R sin(t) = cos(t π ). n sin(0) = 0,sin( π 6 ) =,sin( π 4 ) =,sin( π 3 ) = 3,sin( π ) =,sin(π) = 0. L ensemble sin (0) est égl à {kπ k Z}. 9

10 π FIG. 6 Le grphe de sin Proposition 7.4 Pour tous les réels t et s on cos(t + s) = sin(t + s) = cos(t)cos(s) sin(t)sin(s) sin(t)cos(s) + cos(t)sin(s). Définition 7.3 L fonction tngente est l fonction définie sur R \ { π + kπ k Z} pr tn(t) = sin(t) cos(t). sin() tn() sin() 0 cos() cos() tn() FIG. 7, cos(), sin(), tn(), cos(), sin() et tn() Proposition 7.5 L fonction tngente est π-périodique, impire, son imge est R. Elle est strictement croissnte sur ] π, π [. 0

11 π π FIG. 8 Le grphe de tn Proposition 7.6 Pour tous les réels t et s on tn(t + s) = tn(t) + tn(s) tn(t)tn(s). Définition 7.4 L fonction rccosinus est l fonction bijective et strictement décroissnte de [, ] dns [0,π] définie pr = rccos() si = cos(). π FIG. 9 Le grphe de rccos Définition 7.5 L fonction rcsinus est l fonction bijective et strictement croissnte de [, ] dns [ π, π ] définie pr = rcsin() si = sin(). π FIG. 0 Le grphe de rcsin

12 Proposition 7.7 rcsin+rccos = π. Définition 7.6 L fonction rctn est l fonction bijective et strictement croissnte de R dns ] π, π [ définie pr = rctn() si = tn(). π FIG. Le grphe de rctn 8 Logrithme, eponentielle, trigonométrie hperbolique Définition 8. Intuitivement le logrithme (ou logrithme neperien) est l fonction de ]0, + ) dns R définie de l fçon suivnte. Si > 0 lors ln() est l ire (comptée lgébriquement) de l zone délimitée pr l e des bscisses le grphe de l fonction t t, l droite verticle qui psse pr le point (,0) et l droite verticle qui psse pr le point (,0). ln() t FIG. Le grphe de t t et le logrithme Proposition 8. L fonction logrithme est une bijection strictement croissnte de ]0, + ) dns R qui vérifie l propriété d ddition suivnte. Si et pprtiennent à ]0,+ ) lors ln() = ln() + ln(). En prticulier ln( ) = ln().

13 FIG. 3 Le grphe de ln Définition 8. L eponentielle est l fonction réciproque du logrithme. C est une bijection strictement croissnte de R dns ]0,+ ) qui vérifie l propriété de multipliction suivnte. Si et pprtiennent à R lors ep( + ) = ep()ep(). En prticulier ep( ) = ep(). e FIG. 4 Le grphe de ep Définition 8.3 Si > 0 et R on définit puissnce pr = ep(ln()). Proposition 8. Soit, > 0 et, R. n ( ) = ( )( ), + = ( )( ) et ( ) =. Nottion 8. Si n N \ {0} on note n prfois n. 3

14 FIG. 5 Grphes de puissnces Définition 8.4 Le cosinus hperbolique, le sinus hperbolique et l tngente hperbolique sont les fonctions de R dns R définies de l fçon suivnte. Si R on pose cosh() = ep() + ep( ), sinh() = ep() ep( ) et tnh() = sinh() cosh(). Remrque 8. Puisque le cosinus hperbolique est, comme l eponentielle, strictement positif, le domine de l tngente hperbolique est R. Proposition 8.3 Le cosinus hperbolique est pir. Son imge est [, + ). Il est strictement croissnt sur [0,+ ). Proposition 8.4 Le sinus hperbolique est impir et c est une bijection strictement croissnte de R dns R. FIG. 6 Les grphes du cosinus hperbolique, du sinus hperbolique et de l eponentielle Proposition 8.5 L tngente hperbolique est impire et c est une bijection strictement croissnte de R dns ],[. 4

15 FIG. 7 Le grphe de tnh Proposition 8.6 Si, R lors ep() = cosh() + sinh() cosh () sinh () = cosh( + ) = cosh() cosh() + sinh() sinh() sinh( + ) = cosh() sinh() + sinh() cosh(). Remrque 8. L identité cosh () sinh () = permet de donner une interpréttion grphique du cosinus hperbolique et du sinus hperbolique. L courbe déqution u v =, u > 0 est une brnche d hperbole qui dmet comme prmétristion bijective l ppliction R (cosh(), sinh()). L ire délimitée pr le segment d etrémités (0,0) et (,0), pr le segment d etrémités (0,0) et (cosh(),sinh()) et pr l rc d hperbole relint (0,0) et (cosh(),sinh()) est. Pour le montrer on se plce dns le sstème de coordonnées orthogonles U = (u v), V = (u+v). Dns ces coordonnées l éqution de l hperbole est V = U, U > 0 et l ire considérée est l ire délimitée pr le segment d etrémités (0,0) et (, ), pr le segment d etrémités (0,0) et ( ep(t), ep(t) ) et pr l rc d hperbole relint (, ), et ( ep(t), ep(t) ). sinh() v V U cosh() u FIG. 8, cosh() et sinh() Proposition 8.7 Pour tous les réels t et s on tnh(t + s) = tnh(t) + tn(s) + tn(t)tn(s). 5

16 Définition 8.5 L fonction rgsh est l fonction bijective et strictement croissnte de R dns R définie pr = rgsh() si = sinh(). FIG. 9 Le grphe de rgsh Définition 8.6 L fonction rgch est l fonction bijective et strictement croissnte de [, + ) dns [0,+ ) définie pr = rgch() si = cosh(). FIG. 0 Le grphe de rgch Définition 8.7 L fonction rgth est l fonction bijective et strictement croissnte de ], [ dns R définie pr = rgth() si = tnh(). FIG. Le grphe de rgth 6

17 Proposition 8.8 rgsh() = ln( + + ) rgch() = ln( + ) rgth() = ln( ) + 7

18 II Limites de fonctions, fonctions continues Limite d une suite Définition. Soit n 0 N. n ppelle suite numérique débutnt u rng n 0 une ppliction u définie sur {n N;n n 0 } et à vleurs dns R. Remrque. Si n 0 = 0 on prle simplement de suite numérique. Nottion. n note u = (u n ) n n0 et si n est un entier nturel supérieur ou égl à n 0 lors u n désigne l imge u(n) de n pr u et s ppelle le n-ème terme de l suite u ou le terme d indice n. Définition. Soit u = (u n ) n n0 une suite numérique débutnt u rng n 0. Soit l R. n dit que u dmet l comme limite si u n est rbitrirement proche de l lorsque n est rbitrirement grnd. Nottion. L écriture lim n + u n = l signifie que u dmet l comme limite. Remrque. (culturelle) L phrse u n est rbitrirement proche de l lorsque n est rbitrirement grnd est équivlente à l formultion Pour tout intervlle ouvert I contennt l il eiste un rng N N tel que pour tout entier nturel n supérieur ou égl à n le terme u n pprtient à I : ε > 0, N N, n N,[(n n 0 et n N) ( u n l < ε)]. Eemples. L suite (u n ) n définie pr l reltion u n = n dmet 0 comme limite. En effet si ε > 0 lors pour tout entier n supérieur ou égl à "+l prtie entière de ε " on u n 0 < ε. L suite (v n ) n 0 définie pr l reltion v n = n dmet 0 comme limite. En effet si ε > 0 lors pour tout entier n supérieur ou égl à "+l prtie entière de ε " on v n 0 < ε. Pour s en convincre il suffit d observer que pour tout entier nturel n on n n. Proposition. Si u dmet une limite cette limite est unique. Définition.3 Soit λ R, u suite numérique débutnt u rng n 0 et v une suite numérique débutnt u rng n 0. n définit les suites u + v, uv et λu en posnt (u + v)(n) = u(n) + v(n), (uv)(n) = u(n)v(n) et (λu)(n) = λu(n) si n est supérieur ou égl à n 0 et à n 0. Si les termes de u sont tous non nuls lors on définit l suite u en posnt ( u )(n) = u(n) si n n 0. Proposition. Si u et v dmettent comme limites l et l et si λ R lors les suites u + v, uv et λu dmettent respectivement l + l, ll et λl comme limites. Si les termes de u sont tous non nuls et l 0 lors u dmet l comme limite. 8

19 Limite finie, continuité Définition. Soit f : A R, soient et l dns R. n suppose qu il eiste h > 0 tel que ], + h[ ou ] h,[ soit inclus dns A. n dit que f possède une limite en égle à l si les vleurs f () sont rbitrirement proches de l lorsque est rbitrirement proche de en étnt dns A ] h, + h[. Nottion. L écriture lim f () = l signifie que f possède une limite à égle à l en. Remrque. (culturelle) L phrse Les vleurs f () sont rbitrirement proches de l lorsque est rbitrirement proche de en étnt dns A ] h, + h[ est équivlente à l formultion Pour tout intervlle ouvert I contennt l il eiste un intervlle ouvert non vide J contennt et tel que l imge f (J) soit incluse dns I : ε > 0, δ > 0, A,[( < δ) ( f () l < ε)]. Remrque. Dns certins cours on prend une définition différente de l limite en. En prticulier u lieu de prendre A ] h, + h[ comme ici, certins uteurs préfèrent prendre (A (] h,[ ],+h[)) qui correspond dns notre tete à l définition ci-dessous de possèder une limite en qund tend vers en étnt différent de. Le choi fit dns ce document permet d voir un énoncé simple du théorème de composition des limites. Définition. Soit f : A R, soient et l dns R. n suppose qu il eiste h > 0 tel que l intervlle ], + h[ est inclus dns A. n dit que f possède une limite à droite en égle à l si les vleurs f () sont rbitrirement proches de l lorsque est rbitrirement proche de en étnt dns ], + h[. Nottion. L écriture lim f () = l signifie que f possède une limite à droite égle à l en. + Remrque.3 (culturelle) L phrse Les vleurs f () sont rbitrirement proches de l lorsque est rbitrirement proche de en étnt dns ],+h[ est équivlente à l formultion Pour tout intervlle ouvert I contennt l il eiste un intervlle ouvert non vide J dont l etrémité guche est et tel que l imge f (J) soit incluse dns I. Remrque.4 L condition Il eiste h > 0 tel que l intervlle ],+h[ est inclus dns A est toujours vérifiée si est dns A et A est un intervlle ouvert ou une réunion d intervlles ouverts. Remrque.5 n définit de fçon nlogue à l limite à droite l limite à guche et l écriture lim f () = l signifie que f possède une limite à guche égle à l en. Définition.3 Soit f : A R, soient et l dns R. n suppose qu il eiste h > 0 tel que ], + h[ ou ] h,[ soit inclus dns A. n dit que f possède une limite en qund tend vers en étnt différent de égle à l si les vleurs f () sont rbitrirement proches de l lorsque est rbitrirement proche de en étnt dns A (] h,[ ], + h[). Nottion.3 L écriture lim f () = l signifie que f possède une limite à égle à l qund tend vers en étnt différent de. 9

20 Proposition. Si f possède une limite en (respectivement une limite à guche ou à droite) cette limite est unique. Remrque.6 Soit f : A R, R et h > 0 tel que ],+h[ A (respectivement ] h,[ A). Si f possède une limite en lors f possède une limite à droite (respectivement à guche) et ces limites sont égles. Remrque.7 Soit f : A R et soit A. Si f possède une limite en lors cette limite vut f (). Définition.4 Soient f : A R et A. n dit que f est continue en si f possède une limite en. Dns ce cs nécessirement cette limite vut f (). Remrque.8 Ici, il est importnt que pprtienne à A. Définition.5 n dit que f : A R est continue si pour tout dns A f est continue en. Remrque.9 L fonction f est continue en si lim f () eiste et vut f (). FIG. grphe d une fonction continue sur ]0[ Remrque.0 (culturelle) L notion de continuité trduit (imprfitement) le trcé du grphe de l fonction sns lever le stlo. En revnche l continuité en un point est une notion plus fible. Eemple. Soit λ R et soient f et g les fonctions définies sur R pr f () = et pr g() = λ si R. n vérifie fcilement en utilisnt l formultion Pour tout intervlle ouvert I contennt l il eiste un intervlle ouvert non vide J dont l etrémité guche est et tel que l imge f (J) soit incluse dns I que si R lors lim f () = (prendre J = I ],+ )) et lim g() = λ + + (prendre J =], + )). n obtient de fçon nlogue le même résultt pour les limites à guche. n en déduit que f et g sont continues. Soit f l fonction de R dns R définie pr f (0) = et f () = 0 si 0. Alors f est continue en si 0 mis elle n est ps continue en 0 cr lim f () = 0 = lim f () = f (0) : les limites à guche et à droite de f en 0 eistent, sont égles mis diffèrent de f (0). Soit f l fonction de R dns R définie pr f (0) =, f () = 0 si < 0 et f () = si > 0. Alors lim f () = lim f () = 0 : les limites à guche et à droite de f en 0 eistent mis sont différentes. 0

21 Soit f l fonction de R dns R définie pr f () = sin( ) si 0 et f (0) = 0. Alors f n ps de limite à droite (ni à guche) en 0. FIG. 3 Le grphe de sin( ) 3 Limites infinies vs limites à l infini n peut être intéressé u comportement d une fonction lorsque l vrible devient rbitrirement grnde positivement ou négtivement. Pour cette rison on introduit les notions de limite en + et en. Définition 3. Soit f : A R. n suppose qu il eiste A 0 A tel que ]A 0,+ ) A. n dit que f possède une limite en + égle à l si les vleurs f () sont rbitrirement proches de l lorsque est rbitrirement grnd positivement. Remrque 3. (culturelle) L phrse Les vleurs f () sont rbitrirement proches de l lorsque est rbitrirement grnd positivement est équivlente à l formultion Pour tout intervlle ouvert I contennt l il eiste un intervlle ouvert J du tpe J =]λ,+ ) vec λ > 0 dont l imge f (J) est incluse dns I. Définition 3. Soit f : A R. n suppose qu il eiste A 0 A tel que (,A 0 [ A. n dit que f possède une limite en égle à l si les vleurs f () sont rbitrirement proches de l lorsque est négtif et s vleur bsolue est rbitrirement grnde. Nottions 3. L écriture lim lim + f () = l signifie que f possède une limite égle à l en +. L écriture f () = l signifie que f possède une limite égle à l en. Eemple 3. L fonction définie pr f () = vérifie lim f () = 0 = lim f (). + n souhite ussi crctériser le comportement d une fonction qui prend des vleurs f () rbitrirement grndes à proimité d un réel. Définition 3.3 Soit f : A R et soit dns R. n dit que + (respectivement ) est l limite à droite de f en si les deu conditions suivntes sont vérifiées. Il eiste h > 0 tel que l intervlle ], + h[ est inclus dns A. Les vleurs f () sont positives et rbitrirement grndes (respectivement négtives et de vleurs bsolues rbitrirement grndes) lorsque est rbitrirement proche de en étnt dns ], +h[.

22 Remrque 3. (culturelle) L phrse Les vleurs f () sont positives et rbitrirement grndes lorsque est rbitrirement proche de en étnt dns ], + h[ est équivlente à l formultion Pour tout intervlle ouvert I de tpe ]λ,+ ) vec λ > 0 il eiste un intervlle ouvert non vide J dont l etrémité guche est et dont l imge f (J) est incluse dns I. n des définitions nlogues pour des limites à guche égles à + ou. Définition 3.4 n dit que + (respectivement ) est l limite de f en si c est à l fois l limite à droite et l limite à guche de f en. Eemple 3. L fonction définie pr f () = vérifie lim f () = + et lim f () =. Cette fonction n donc ps de limite en 0 cr elle des limites à droite et à guche en 0 qui sont différentes. Nottion 3. n utilise suivnt les cs les nottions suivntes : lim f () = +, lim f () = +, + lim f () = +, lim f () =, lim f () = et lim f () =. + Enfin on crctérise le comportement d une fonction qui prend des vleurs f () rbitrirement grndes pour des rbitrirement grnds. Définition 3.5 Soit f : A R. n suppose qu il eiste A 0 A tel que ]A 0,+ ) A. n dit que + (respectivement ) est limite de f en + si les vleurs f () sont positives et rbitrirement grndes (respectivement négtives et de vleurs bsolues rbitrirement grndes) lorsque est positif et rbitrirement grnd. n des définitions nlogues pour des limites infinies en. Nottion 3.3 n utilise suivnt les cs les nottions suivntes : lim lim f () = + et lim f () =. Eemple 3.3 L fonction définie pr f () = 3 vérifie que l fonction définie pr g() = vérifie lim + + lim f () = + et lim + f () = + = lim f (). f () = +, lim f () =, + f () = lors Remrque 3.3 Qu elle soit finie ou infinie, l limite en R ou en + ou est toujours unique. 4 Règles lgébriques Proposition 4. Soit f et g deu fonctions numériques de l vrible réelle, R {,+ } et l,l R. n suppose que lim f () = l et lim f () = l. Alors lim f () + g() = l + l lim f ()g() = ll si l f () 0, lim g() = l l

23 Proposition 4. Soit f une fonction numériques, R {, + }. Si lim f () = + ou si lim f () = lors lim f () = 0. Si lim f () = 0 et si f est strictement positive lors lim f () = +. Si lim f () = 0 et si f est strictement négtive lors lim f () =. Proposition 4.3 Soit f et g deu fonctions numériques, R {,+ } et l R. n suppose que lim f () = l et lim g() = +. Alors lim lim f () + g() = + f () lim g() = 0 g() si l > 0, lim f ()g() = lim f () = + g() si l < 0, lim f ()g() = lim f () = Proposition 4.4 Soit f et g deu fonctions numériques, R {,+ } et l R. n suppose que lim f () = l et lim f () =. Alors lim lim g() = + f () + g() = f () lim g() = 0 g() si l > 0, lim f ()g() = lim f () = g() si l < 0, lim f ()g() = lim f () = + Proposition 4.5 Soit f et g deu fonctions numériques et R {,+ }. n suppose que lim f () = + et que lim g() = +. Alors lim f () + g() = + lim f ()g() = +. 3

24 Proposition 4.6 Soit f et g deu fonctions numériques et R {,+ }. n suppose que lim f () = et que lim g() =. Alors lim f () + g() = lim f ()g() = +. Proposition 4.7 Soit f et g deu fonctions numériques et R {,+ }. n suppose que lim f () = et que lim g() = +. Alors lim f ()g() =. Remrques 4. Ces propositions donnent l liste ehustive de toutes les situtions où on déduit les limites de f + g, f g ou f g en de l seule connissnce des limites de f et g en. Les situtions non envisgées s ppellent les formes indéterminées. Dns tous ces utres cs f + g, f g ou f g n ont ps nécessirement de limites en et l preuve de l eistence éventuelle de limites nécessite de développer une rgumenttion. 5 Composition Proposition 5. Soient f : A R g : B R deu fonctions telles que f (A) soit inclus dns B. Soient,b,l R {,+ }. Si lim f () = b et lim g() = l lors lim g( f ()) = l. b Remrque 5. L simplicité de cet énoncé résulte du choi qu on fit de l définition de limite. Proposition 5. Si f : A B et g : B R sont continues lors g f : A R est continue. 6 Comprison Proposition 6. Soient f,g et h trois fonctions numériques définies sur un sous ensemble A de R et soient dns R {,+ } et l dns R. n suppose que si A lors f () g() h(). n suppose ussi que lim f () = lim h() = l. Alors lim g() = l. Proposition 6. Soient f et g deu fonctions numériques définies sur un sous ensemble A de R et soit dns R {,+ }. n suppose que si A lors f () g(). n suppose ussi que lim f () = +. Alors lim g() = +. Eemple 6. n dmet que si > 0 lors sin() <. De plus si ]0, π [, l inéglité tringulire ppliquée à un tringle rectngle d hpothénuse et dont les longueurs des deu utres côtés sont sin() et cos() implique que cos() < sin() et donc cos() <. n déduit de ces inéglités, de l continuité de, du théorème de comprison et de l prité que les fonctions sinus et cosinus sont continues en 0. 4

25 sin() 0 cos() FIG. 4 sin() < et cos() < sin() < 7 Continuité des fonctions clssiques Proposition 7. Les polnômes, les fonctions rtionnelles, l vleur bsolue, les fonctions cos, sin, tn, rccos, rcsin, rctn, ln, ep, cosh, sinh, tnh, rgch, rgsh et rgth sont continues sur leurs domines respectifs. 8 Quelques limites clssiques Proposition 8. Si n N lors lim + n = + lim + lim 0 + n = + lim 0 n lim 0 n n = 0 = si n impir = + si n pir. Cette proposition permet de clculer des limites des fonctions rtionnelles. sin() 0 0 ire= ire= sin()cos() +sin()( cos()) FIG. 5 sin() < < sin()cos() + sin()( cos()) sin() Proposition 8. lim =. 0 Proposition 8.3 lim π tn() = + lim tn() = π + lim rctn() = π + lim rctn() = π Proposition 8.4 Si > 0 lors ln( + ) <. 5

26 n déduit de cette proposition et des résultts de composition et de comprison précédents quelques limites clssiques reltives u fonctions de l trigonométrie hperboliques. Proposition 8.5 lim ep() = + lim + lim + ep() = 0 ln() = + lim ln() 0 + = Proposition 8.6 Si λ > 0, ep() lim + lim + λ = + lim λ ep() = 0 ln() λ = 0 lim 0 λ ln() = 0. + Proposition 8.7 Proposition 8.8 lim cosh() + = + lim cosh() = + lim sinh() + = + lim = lim + tnh() = lim tnh() lim rgch() = + lim + lim + = rgch() + = 0 rgsh() = + lim lim rgth() = + lim + = = 9 Asmptotes f () f () Définition 9. Si lim = α (respectivement lim = α) on dit que f dmet comme direction smptotique en + (respectivement en ) l direction = α (ou = 0 si α + {,+ }). Définition 9. Si lim f () = + et si lim f () = + on dit que l droite verticle d éqution + = est smptote u grphe de f. Définition 9.3 Si lim + u grphe de f en +. Si lim f () (α + β) = 0 on dit que l droite d éqution = α+β est smptote smptote u grphe de f en. f () (α + β) = 0 on dit que l droite d éqution = α + β est Proposition 9. Si l droite d éqution = α + β est smptote u grphe de f en + (respectivement ) lors f dmet comme direction smptotique en + (respectivement ) l direction = α. Eemple 9. L fonction donnée pr f () = ln() dmet l direction smptotique l droite d éqution = 0 en + mis n dmet ps d smptote en +. 6

27 Remrque 9. Si l droite d éqution = α + β est smptote u grphe de f en + et si f () (α + β) est positif (respectivement négtif) pour rbitrirement grnd lors le grphe de f est u dessus (respectivement u dessous) de cette droite en +. Eemple 9. Soit f définie pr f () = +. Alors l droite d éqution = 0 est smptote + verticle u grphe de f en 0, l droite d éqution = est smptote u grphe de f en + lors que l droite d éqution = + est smptote u grphe de f en. FIG. 6 Le grphe de + + et ses smptotes 0 Théorème des vleurs intermédiires Théorème 0. (Théorème des vleurs intermédiires) Soit f une fonction continue définie sur un intervlle I et soit et b dns I. Alors pour tout réel λ compris entre f () et f (b) il eiste u moins un c compris entre et b tel que f (c) = λ. f () λ entre f () et f (b) f (b) c f (λ) b FIG. 7 Les vleurs intermédiires 7

28 Eemple 0. Soit f : R R continue. Si lim f () = + et lim f () = lors il eiste et + b tels que f () < 0 < f (b). Pr conséquent, d près le théorème des vleurs intermédiires, il eiste c tel que f (c) = 0. Prolongement pr continuité Définition. Soit f : A R et R \ A. n suppose qu il eiste h > 0 tel que ] h,[ et ], + h[ soient inclus dns A. S il eiste l R tel que lim f () = l lors on ppelle prolongement pr continuité de f en l fonction g définie sur A {} pr g() = l et si A, g() = f (). L fonction g est continue en. Eemple. L fonction définie pr g(0) = et g() = sin() continuité en 0 de sin(). si 0 est le prolongement pr FIG. 8 Les grphes de sin( ), et Eemple. L fonction définie pr g(0) = 0 et g() = sin( ) si 0 est le prolongement pr continuité en 0 de sin( ). Monotonie et continuité, eistence de réciproque n déduit du théorème des vleurs intermédiires l proposition suivnte. Proposition. Soit f une fonction définie sur un intervlle I et continue. L fonction f est une bijection de I sur f (I) si et seulement si f est strictement monotone. Si c est une bijection, lors s réciproque f : f (I) I est ussi continue. Remrque. Les hpothèses f continue et I intervlle sont indispensbles pour conclure. Le théoèrme des vleurs intermédiires permet ussi de crctériser, prmi les fonctions strictement monotones, les fonctions continues. Proposition. Soit f une fonction définie sur un intervlle I et strictement monotone. L fonction f est continue si et seulement si f (I) est un intervlle. 8

29 3 Imge d un segment pr une fonction continue Proposition 3. Soit f : A R continue et [,b] un segment inclus dns A. Alors f ([,b]) est un segment. Plus précisément, il eiste α, β [, b] tels que f ([, b]) = [ f (α), f (β)]. Remrque 3. Les nombres α et β sont en générl différents de et b. Pr eemple si f est définie pr f () = ( ) lors f ([,]) = [ 3 3, 3 3 ] = [ f ( 3 ), f ( 3) )] lors que f ( ) = f () = 0. 9

30 III Dérivtion d une fonction Dérivée en un point, dérivée Définition. Soient f : A R et A. n dit que f est dérivble en si le tu d ccroissement entre et f () f () A \ {} dmet une limite finie qund tend vers. Si f est dérivble en on ppelle dérivée de f en et on note f () l limite du tu d ccroissement : f f () f () () = lim. Si f est dérivble en tout point de A on dit que f est dérivble et l fonction f insi définie sur A s ppelle l dérivée de f. L dérivée d une fonction f en un point permet de donner une pproimtion ffine de l fonction f qund est proche de. Proposition. Si f est dérivble en lors f () ( f () + f ()( )) lim = 0. ( ) Définition. Si f est dérivble en l fonction ffine f ()+ f ()( ) s ppelle l pproimtion ffine de f en. Proposition. Si f est dérivble en et si (α,β) ( f (), f ()) lors f () ( f () + f ()( )) lim = 0. f () (α + β( )) Remrque. Cette proposition eplique pourquoi l fonction ffine f () + f ()( ) s ppelle pproimtion ffine de f en. L dérivée et le tu d ccroissement dmettent l interpréttion cinémtique suivnte. Si f () représente une position en fonction du temps lors le tu d ccroissement entre et est l vitesse moenne entre les temps et lors que l dérivée f () est l vitesse instntnnée u temps. Eemples. Les fonctions constntes sont dérivbles de dérivée l fonction nulle. L fonction est dérivble de dérivée l fonction constnte. L fonction est dérivble de dérivée l fonction. L vleur bsolue n est ps dérivble en 0. sin() L églité lim = signifie que le sinus est dérivble en 0 et sin (0) =. 0 Proposition.3 Si f est dérivble en lors f est continue en. 30

31 Définition.3 Si f est dérivble et si f est dérivble en lors ( f ) () est notée f () et s ppelle dérivée seconde de f en. Soit n N \ {0}. Si on peut dériver n fois l fonction f on dit que f est n fois dérivble et on note f = f (), f = f (), f = f (3),..., f (n) les dérivées successives. L fonction f (n) s ppelle dérivée n-ème de f. Remrque. En cinémtique, l dérivée seconde s ppelle ccélértion. Nottion. Les dérivées f = f (), f = f (), f = f (3),..., f (n) sont ussi notées d f d, d f d, d3 f d 3,..., dn f d n. En ppliqunt l proposition précédente u dérivées successives de f on obtient Proposition.4 Si f est n fois dérivble lors f, f,..., f (n ) sont continues. Droite tngente u grphe d une fonction en un point Définition. Si f est une fonction définie sur un intervlle qui contient les deu points et b on ppelle sécnte u grphe de f qui psse pr (, f ()) et (b, f (b)) l droite qui psse pr ces deu points. C est l droite d éqution = f () + f (b) f () ( ). b Définition. Si f est une fonction dérivble en on ppelle droite tngente u grphe de f en (, f ()) l droite d éqution = f () + f ()( ). f () f (b) b FIG. 9 Tngente en (, f ()) et sécnte u grphe de f entre les points (, f ()) et (b, f (b)) L droite tngente est en un certin sens l limite des sécntes qui pssent pr (, f ()) et (b, f (b)) lorsque b tend vers. C est ussi, prmi les droites qui pssent pr (, f ()) celle qui s pproche le plus du grphe de f. 3

32 3 Règles lgébriques Proposition 3. Soient f et g deu fonctions définies sur A et A. n suppose que f et g sont dérivbles en de dérivées f () et g (). Alors l fonction f + g est dérivble en et l fonction f g est dérivble en et ( f + g) () = f () + g (), ( f g) () = f ()g() + f ()g () (Règle de Leibniz), si g ne s nnule ps l fonction f g est dérivble en et ( ) f () = f ()g() f ()g () g g(). n déduit de ces règles le clcul de l dérivée d un polnôme ou d une frction rtionnelle. Proposition 3. Soit n N \ {0}. L dérivée du polnôme P = n n est le polnôme P = n n n Proposition 3.3 L dérivée de l frction rtionnelle R = P Q est l frction rtionnelle R = P Q PQ Q. Eemple 3. Soit n N \ {0}. L dérivée de l fonction est l fonction n n n+. 4 Dérivée d une composée et dérivbilité de l réciproque Proposition 4. Soient f : A B et g : B R deu fonctions et R. Si f est dérivble en et g en f () lors l composée g f est dérivble en et (g f ) () = g ( f ()) f (). Eemple 4. Si n N, l dérivée de l fonction ( + ) n est l fonction n( + ) n. Remrque 4. n déduit de cette proposition que l réciproque d une fonction dérivble dont l dérivée s nnule n est ps dérivble. L proposition suivnte indique que c est l seule obstruction. 3

33 Proposition 4. Soit f : A B une fonction dérivble et bijective. n suppose que f () 0 en tout point A. Alors l fonction réciproque de f, f : B A, est dérivble et ( f ) () = f ( f, si B. ()) Eemples 4. Si n N \ {0} lors l fonction définie de ]0,+ ) dns ]0,+ ) pr f () = n est une bijection dérivble et s dérivée ne s nnule ps. Pr conséquent, s réciproque, l fonction n = n est dérivble et si ]0,+ ) lors ( n ) = n( n ) n = n n. Pr le résultt de dérivtion des composées on déduit lors que si r Q \ {0} lors l fonction définie de ]0,+ ) dns ]0,+ ) pr f () = r est dérivble et si ]0,+ ) lors 5 Quelques eemples clssiques ( r ) = r r. Proposition 5. Les fonctions sin, cos, tn, rcsin, rccos, et rctn sont dérivbles et sin = cos cos = sin tn = = + tn cos rcsin () = rccos () = rctn () = Proposition 5. Les fonctions ln et ep sont dérivbles et ln () =,ep = ep. +. Proposition 5.3 Si λ R lors l fonction définie de ]0,+ ) dns ]0,+ ) pr f () = λ est dérivble et ( λ ) = λ λ. Proposition 5.4 Les fonctions sinh, cosh, tnh, rgsh, rgch, rgth sont dérivbles et sinh = cosh cosh = sinh tnh = = tnh cosh rgsh () = rgch () = rgth () = + 6 Théorème des ccroissements finis. Théorème 6. (Théorème des ccroissements finis) Soit f une fonction définie et dérivble sur un intervlle I et soient < b deu points de I. Alors il eiste c ],b[ tel que f (c) = f (b) f (). b Remrque 6. L conclusion reste vrie en supposnt seulement f continue sur I et dérivble sur ],b[. 33

34 Ce théorème dmet l interpréttion géométrique suivnte. L sécnte u grphe d une fonction dérivble f entre deu points (, f ()) et (b, f (b)) est prllèle à une tngente en un point intermédiire (c, f (c)). f (b) f (c) f () f (c) = f (b) f () b c b FIG. 30 Sécnte entre (, f ()) et (b, f (b)) et tngente en (c, f (c)) prllèles Eemple 6. L fonction définie sur ]0, + ) pr f () = (ep( ) ) ln() est dérivble et s nnule en et en. Pr conséquent, il eiste c entre et tel que f (c) = 0. Ce théorème dmet l interpréttion cinémtique suivnte. Lors d un mouvement l vitesse moenne entre les temps et b coïncide u moins une fois vec l vitesse instntnée entre et b. Proposition 6. Soit f dérivble. Si f est croissnte (respectivement décroissnte) lors f est positive (respectivement négtive). Proposition 6. Soit f définie sur un intervlle I et dérivble. Si f est strictement positive (respectivement strictement négtive) lors f est strictement croissnte (respectivement strictement décroissnte). Remrque 6. Ces deu propositions ne sont ps réciproques l une de l utre. Pr eemple l fonction 3 est dérivble, strictement croissnte et s dérivée s nnule en 0. Dns le second cs il est importnt de supposer que le domine est un intervlle. Pr eemple l fonction qui est définie sur R \ {0} n est ps décroissnte lors que s dérivée est strictement négtive. Remrque 6.3 Il découle de ces propositions que les vritions d une fonction dérivble se déduisent du signe de s dérivée. Proposition 6.3 Soit I un intervlle, I et f continue sur I et dérivble sur I \ {}. Si lim f () eiste et est finie lors f est dérivble en et f () = lim f (). 34

35 7 Etrem, points sttionnires, points d infleion, conveité et concvité Définition 7. Soit f : A R dérivble en. n dit que est un point sttionnire si f () = 0. Définition 7. Soit f : A R. n dit que f dmet un mimum globl en (respectivement minimum globl) si f () f () (respectivement f () f ()) pour tout A. mimum minimum FIG. 3 Mimum et minimun globu Définition 7.3 Soit f : A R. n dit que f dmet un mimum locl en (respectivement minimum locl) s il eiste un intervlle I ouvert qui contient tel que f () f () (respectivement f () f ()) pour tout I A. Définition 7.4 n dit que f dmet un etremum globl (respectivement locl) en si elle dmet un mimum ou un mininum globl (respectivement locl) en ce point. Eemple 7. Soit f l fonction définie sur [,+ ) pr f () = 3 3. Alors f dmet un minimum globl en et et elle dmet en un mimum locl qui n est ps un mimum globl. L fonction f ne possède ps de mimum globl. FIG. 3 Etrem Proposition 7. Soit f : A R et A. n suppose qu il eiste un intervlle ouvert inclus dns A et qui contient et que f est dérivble en. Si f dmet un etremum locl en lors ce point est sttionnire : f () = 0. Eemples 7. L fonction dérivble définie pr f () = dmet un etremum locl en 0. Pr conséquent f (0) = 0 : c est un point sttionnire. En revnche 0 est un point sttionnire de l fonction dérivble 3 qui ne possède ucun etrum locl. 35

36 Proposition 7. Si f est deu fois dérivble en un point sttionnire et si f () < 0 (respectivement f () > 0) lors f dmet un mimum locl en (respectivement minimum locl). f () = 0, f () < 0 f (b) = 0, f (b) > 0 FIG. 33 Nture de l etremum locl en fonction de l dérivée seconde Définition 7.5 n dit que (, f ()) est un point d infleion du grphe de f si le grphe de f coupe s tngente en ce point : l fonction f () f () f ()( ) s nnule et chnge de signe en. Proposition 7.3 Supposons que f soit trois fois dérivble en et que f () = 0 et f (3) () 0. Alors (, f ()) est un point d infleion du grphe de f : le grphe de f coupe s tngente en ce point et l fonction f () f () f ()( ) s nnule et chnge de signe en. Si f (3) () > 0 elle est négtive pour < et proche de puis positive pour > et proche de. Si f (3) () < 0 elle est positive pour < et proche de puis négtive pour > et proche de. Eemple 7.3 Le point (0,0) est un point d infleion du grphe du sinus cr sin (0) = 0 qund sin (0) =. FIG. 34 L infleion du grphe du sinus en (0,0) Proposition 7.4 Soit f une fonction définie et de clsse C sur un intervlle I. Si l dérivée seconde f ne s nnule ps lors elle est de signe constnt sur I et pour tout I l tngente u grphe de f en (, f ()) ne coupe le grphe qu en (, f ()). Si f > 0 lors le grphe de f est u dessus de ses tngentes et on dit que f est convee. Si f < 0 lors le grphe de f est u dessous de ses tngentes et on dit que f est concve. 36

37 8 Règle de L hospitl Proposition 8. Soient f et g deu fonctions dérivbles définies sur un intervlle ouvert I et R {,+ } une des etrémités de l intervlle. n suppose que lim f () = lim g() = 0 ou que f () f () lim f () = lim g() = +. Si de plus lim g eiste lors lim eiste et () g() f () lim g() = lim f () g (). f () f Remrque 8. Puisque lim g est supposée eister c est que le quotient est défini sur I et donc () g que g ne s nnule ps sur I. f () Remrque 8. Deu fonctions sont dites de même ordre de grndeur en si lim g() R \ {0}. D près l règle de L hospitl, si f,g, f et g sont définies et continues en et vérifie f () = g() = 0 lors f et g sont de même ordre de grndeur en dès que f et g le sont. Remrque 8.3 Supposons que f,g, f et g soient définies et continues en, que que f () = g() = 0 et que g () 0. n donc lim f () = lim g() = 0, f f () () = lim et g(),g () = lim 0. De plus, puisque f et g sont supposées continues en, on lim f () = f () et lim g () = g (). Ainsi, pr l règle de l limite d un quotient on retrouve les conclusions de L hospitl : f () lim g() = lim f () g (). Eemple 8. En ppliqunt l règle de L hospitl on montre que ln( + ) lim =. 0 sin() Eemple 8. Soit f une fonction fonction n fois dérivble telle que f (n) est continue en 0. Si f (0) =... = f (n ) (0) = 0 lors en ppliqunt n fois l règle de L hospitl on montre que 9 Pln d étude d une fonction numérique f () lim 0 n = f (n) (0). n! Voici les étpes essentielles dns l étude d une fonction numérique d une vrible réelle. Recherche du domine de f Réduction du domine en fonction de l périodicite, de l prité ou d utres smétries Continuité, dérivbilité de f Signe de l dérivée Limites de f u bords du domine de f Résumé sous forme d un tbleu de vrition Recherche des smptotes éventuelles Étude des points sttionnires et des points d infleion Représenttion grphique de f 37

38 IV Intégrtion et primitives Primitive Définition. Une primitive d une fonction f est une fonction dérivble F dont l dérivée est f. D un point de vue cinémtique, l fonction f représente une vitesse en fonction du temps et l différence F(b) F() représente l distnce comptée lgébriquement entre les positions u temps et b. Eemples. L fonction est une primitive de + 4. L fonction ln est une primitive de sur ]0,+ ). L fonction + rcsin() est une primitive de sur [,]. L fonction est une primitive de. Proposition. Soit F une primitive de f sur un intervlle I, si G est une primitive de f sur I il eiste c R tel que G = c + F. Quelques primitives clssiques l fonction f une primitive F λ, λ λ+ λ+ = ln( ) ep(λ), λ 0 λ ep(λ) cos sin sin cos tn ln( cos ) cosh sinh sinh cosh tnh ln(cosh) rcsin ou rccos rctn + rgch() ou ln + suivnt le domine rgsh() ou ln( + + ) + rgth() ou ln + suivnt le domine L eistence d une formule ecte à l ide de fonctions usuelles et qui fournit une primitive d une fonction donnée n est ps possible en générl. Cependnt, qund l fonction de déprt est ssez simple on essie pr des mnipultions lgébriques de se rmener à des primitives de fonctions pprtennt à l liste précédente. Eemple. Considérons l fonction f donnée pr f () = ( )(+). Pour trouver une primitive de f il suffit d observer que f () = + +. Sous cette forme on obtient que ( ) ( ( )( + ) F() = ln( ) + ln( + ) ln( ) = ln = ln ) est une primitive de f. 38