Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre est un multiple de 22.

Transcription

1 Exercice n 1 Montrer que, pour tout entier naturel n, le nombre est un multiple de 3. Exercice n 2 Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre est un multiple de 22. Exercice n 3 Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre est un multiple de 11. Exercice n 4 Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre est un multiple de 225. Exercice n 5 Démontrer simplement que pour tout entier naturel n, le nombre est un multiple de 2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre est un multiple de 3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre est un multiple de 5. Déduire de tout ce qui précède que le nombre est un multiple de 30. Exercice n 6 Montrer que la proposition est vraie. Montrer que la proposition est vraie. est héréditaire et déterminer le rang à partir duquel elle est héréditaire et déterminer le rang à partir duquel elle

2 Exercice n 1 Montrons que, pour tout entier naturel n, le nombre est un multiple de 3. Soit p un entier quelconque tel que. Faisons l hypothèse que la propriété à démontrer est vraie au rang p. Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n entier naturel non nul Exercice n 2 Soit p un entier quelconque tel que. Faisons l hypothèse que la propriété à démontrer est vraie au rang p. Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n entier naturel non nul

3 Exercice n 3 Soit p un entier quelconque tel que.faisons l hypothèse que la propriété à démontrer est vraie au rang p. Il faut ici utiliser l égalité suivante: Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n entier naturel Exercice n 4 Soit p un entier quelconque tel que.faisons l hypothèse que la propriété à démontrer est vraie au rang p. Pour la suite de l exercice, il sera intéressant de noter les équivalences suivantes : Il ne faut surtout pas additionner mais déjà utiliser l hypothèse de récurrence au rang p. Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n entier naturel

4 Exercice n 5 Démontrons simplement que pour tout entier naturel n, le nombre est un multiple de 2. Il faut raisonner avec la parité des nombres concernés : en effet, un nombre pair est évidemment divisible par 2. Cas n 1 : n est pair. Alors forcément est pair et donc multiple de 2. Cas n 2 : n est impair. Alors forcément est pair et forcément est pair et donc multiple de 2. Montrons succinctement par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre est un multiple de 3. Le rang 0 est trivial. : : vrai pour tout n. Montrons succinctement par récurrence que pour tout entier naturel n, le nombre est un multiple de 5. Le rang 0 est trivial. : : vrai pour tout n. Déduisons de tout ce qui précède que le nombre est un multiple de 30. Nous avons montré précédemment que est un multiple de 2. Or,. Donc que est un multiple de 2. Nous avons également montré précédemment que est un multiple de 3. Donc est un multiple de 2 et de 3, donc un multiple de 6. est donc un multiple de 6 (puisque est entier), mais aussi de 5. est donc un multiple de 30.

5 Exercice n 6 Montrons que la proposition est héréditaire. Soit p un entier naturel. Faisons l hypothèse que. La proposition est donc héréditaire. Déterminons le rang à partir duquel elle est vraie. La proposition est vraie à partir du rang 0. Montrons que la proposition est héréditaire. Soit p un entier naturel. Faisons l hypothèse que. La proposition est donc héréditaire. Déterminons le rang à partir duquel elle est vraie. La somme des chiffres de tout nombre est égale à 2 : il n existe donc aucun rang à partir duquel la proposition est vraie.