Merci! Evolution temporelle des systèmes électriques

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1 voluion emporelle des sysèmes élecriques Monage : reard à l'éablissemen du couran Une alim Deux ampoules + suppor Un inerrupeur Une bobine Des fils Monage éincelles! Une alim Une bobine Une lime Un ournevis Deux pinces crocos rois fils ude de l'influence de la résisance sur le régime de foncionnemen d'un circui RC Une pile plae de 4,5V Deux pinces crocos isolées Un inerupeur 3 poiions Un jeu de fils Un condensaeur de 4,7μF Une bobine à inducance variable (H) 2 boies de resisances variables x00ω) Une care d'aquisiion Jeulin Plaquee (grande) Merci!

2 voluion emporelle des sysèmes élecriques )e condensaeur.)un exemple d applicaion d un cricui RC : le pacemaker. xrai de l inroducion du suje bac Série S Réunion 2004 Nore cœur se conrace plus de fois par jour. Il ba 24 h sur 24 pendan oue nore vie, enre 60 e 80 fois par minue, grâce à un simulaeur naurel: le nœud sinusal. orsque celui-ci ne rempli plus correcemen son rôle, la chirurgie perme aujourd'hui d implaner dans la cage horacique un simulaeur cardiaque arificiel (appelé aussi pacemaker) qui va forcer le muscle cardiaque à bare régulièremen en lui envoyan de peies impulsions élecriques par l'inermédiaire de sondes. e boîier de celui- ci es de peie aille : 5 cm de large e 6 mm d'épaisseur. Sa masse es d'environ 30 g. e pacemaker es en fai un généraeur d impulsions ; il peu êre modélisé par le circui élecrique en dérivaion, ci-conre, qui comprend un condensaeur de capacié C, un conduceur ohmique de résisance R, une pile spéciale e un ransisor qui joue le rôle d inerrupeur, K. Quand l'inerrupeur es en posiion () le condensaeur se charge de façon quasiinsananée. Puis, quand l inerrupeur bascule en posiion (2), le condensaeur se décharge lenemen à ravers le conduceur ohmique de résisance R, élevée, jusqu'à une valeur limie ulimie. A ce insan, le circui de déclenchemen envoie une impulsion élecrique vers les sondes qui la ransmeen au cœur : on obien alors un baemen! Cee dernière opéraion erminée, l inerrupeur bascule à nouveau en posiion () e le condensaeur se charge, ec Inroducion à la leçon... Un circui RC es consiué d une résisance (conduceur ohmique) e d un condensaeur.e condensaeur peu se charger e ou se décharger Insananémen ou lenemen. Nous allons découvrir dans ce cours commen faire varier le emps de charge ou de décharge d un condensaeur..2)définiions : Un condensaeur es consiué de deux armaures don les surfaces en regard son séparées par un isolan élecrique. Représenaion symbolique : Orienaion d un circui en uilisan la convenion récepeur : Si qa es la charge de l armaure A e qb celle de l armaure B, on a : qa = -qb qa > 0 n convenion récepeur, la flèche ension es oriené vers l armaure où arrive le couran.

3 Relaion charge-inensié : a charge q du condensaeur évolue au cours du emps. ors de la charge du condensaeur, q augmene. Ce débi de charge correspond à l inensié i. Charge du condensaeur : i= dq i>0 Décharge du condensaeur : i= dq i<0 Quand q ne varie pas, dq =0 donc l inensié es nulle. e condensaeur se compore comme un isolan. q : charge de l armaure unié : Coulomb (C) i : inensié unié : Ampère (A) : emps unié : seconde (s).3)ude de la charge d'un condensaeur à couran consan Afin d éablir la relaion charge ension il fau s affranchir de l inensié qui doi reser consane. Pour cela, on uilise un généraeur idéal de couran. i = 5,0 μa On relève les valeurs de la ension à différenes daes. es résulas son indiqués dans le ableau ci-dessous : (s) 0 0,67,25,77 2,20 2,76 3,23 3,78 4,32 u (V) 0 2,04 3,79 5,44 6,73 8,4 9,82,5 3,.3.)Tracer le graphe u = f().3.2)que consaez-vous? On consae que la ension aux bornes du condensaeur es une foncion linéaire du emps..3.3)sachan que pour une valeur consane de l inensié i, on a q = i, compléer le ableau suivan : (s) 0 0,67,25,77 2,20 2,76 3,23 3,78 4,32 u (V) 0 2,04 3,79 5,44 6,73 8,4 9,82,5 3, q (C) 0 0,x0 8,8x0 26,6x0 33,0x0 4,4x0 48,5x0 56,7x0 64,8x )Tracer le graphe q = f(u) Que consaez-vous? Quelle relaion exise enre q e u? Quelle es la valeur du coefficien direceur?

4 On consae que la charge es une foncion linéaire de la ension. q = consane x u e coefficien direceur es égal à 5,0 x )sur le condensaeur, on peu lire l indicaion capacié C = 5,0 x 0-6 Farad. Qu en concluezvous? e coefficien direceur de cee droie es appelée capacié du condensaeur C = 5,0 x0-6 F (unié : Farad) Conclusion : a relaion charge-ension es : q = Cu 2)ude du dipole RC 2.)Réponse d'un dipôle Rc à un échelon de ension Un échelon de ension correspond au passage rapide d une valeur de ension u = 0 à une valeur : u =. On réalise le monage suivan : R = 00 Ω C = 0,2 μ F Asuce afin de placer correcemen les bornes de l oscilloscope :Si on veu mesurer à la fois la ension aux bornes du GBF e du condensaeur : Placer dans un premier emps la masse enre ces deux composans. Placer ensuie les deux bornes de mesures YA e YB de l aure côé des composans. Ainsi oriené, la ension u es posiive. 2..)Oscillogrammes obenus. n bleu : la ension aux bornes du GBF n rose : la ension aux bornes du condensaeur a ension aux bornes du condensaeur subielle une variaion bruale? s-elle disconinue? Non, la ension ne subi pas de variaion bruale. lle n es pas disconinue. lle varie progressivemen conrairemen à la ension délivrée par le GBF qui prend une valeur déerminée insananémen.

5 2.2.2)Commen procéder pour visualiser l inensié circulan dans le circui à l aide de l oscilloscope? Aux bornes de la résisance, la loi d ohm s énonce ainsi ur = Ri. Il suffi de mesurer la ension ur afin de visualiser l inensié i. a valeur de i es i = ur R 2.2.3)Dans le monage suivan, la ension mesurée par un oscilloscope aux bornes de la résisance es-elle posiive ou négaive? a flèche ension es dirigée vers la masse. a ension ainsi mesurée aux bornes de la résisance es donc négaive. 2.2)ablissemen de l'équaion différenielle de charge du condensaeur a méhode d éablissemen de l équaion différenielle es la suivane : crire la loi d addiivié des ensions. xprimer i en foncion de u On applique la loi d addiivié des ensions : = ur + u = Ri + u (avec la loi d Ohm : ur = Ri) dq dq + u avec i = dcu =R + u avec q = Cu équaion différenielle peu donc s écrire : du = RC + u ou du = avec =RC + u =R a consane de emps donne l'ordre de grandeur de la durée de charge du condensaeur. Après une durée égale à chargé à 63% de sa valeur maximale. Après une durée égale à 5, le condensaeur es, il es chargé à plus de 99% Vérificaion de la dimension de : [U ] U R= [R]= [I ] I [I ].[T ] q i. C= = [C] = [U ] u u [U ] [I ].[T ] RC [RC]= =[T] [U ] [I ]

6 2.3)Soluion de l'équaion différenielle Déerminer la soluion de l'équaion différenielle sachan qu'elle se présene sous la forme : Uc()=A + Be Pour =0 on a Uc()=0V donc : 0 0=A + Be=A+B Donc A = -B Pour = on a Uc()= donc : =A + Be=A Donc =A a soluion de l'équaion différenielle es donc :Uc()=(-ea soluion de l'équaion différenielle es la suivane : - U()=(-e ) < 5 e régime es ransioire U()=(-e- U()=(-e- RC ) > 5 e régime es permanen ) Déerminaion graphique de la consane de emps ) U()= car e- 0 : 2.4)Influence de C e R sur l'éablissemen du couran. Traié en TP 2.5)ude de la décharge d'un condensaeur ablissez l'équaion diférenielle de la décharge du condensaeur en appliquan le même méhode que précédemen : 0 = ur + u 0 = Ri + u (avec la loi d Ohm : ur = Ri) dq dq + u avec i = dcu 0=R + u avec q = Cu équaion différenielle peu donc s écrire : 0 =R

7 0 = RC du + u ou 0 = du + u avec =RC Déerminer la soluion de l'équaion différenielle sachan qu'elle se présene sous la forme : Uc()=A + Be Pour =0 on a Uc()= donc : 0 =A + Be=A+B Donc A + B= Pour = on a Uc()=0 donc : 0=A + Be=A Donc 0=A On en dédui que B= à parir de la première relaion. a soluion de l'équaion différenielle es donc :Uc()=(e- U()=e- U()=e- < 5 e régime es ransioire Déerminaion graphique de la consane de emps ) RC > 5 e régime es permanen : 2.6)ude de la coninuié de la ension aux bornes d'un condensaeur e graphique ci-dessous représene une charge suivie d'une d'écharge d'un condensaeur. 2.7)ude de l'énergie emmagasinnée par un condensaeur

8 Au cours de la charge, un condensaeur emmagasine de l'énergie qu'il resiue lors de la décharge. = C U² 2 = 2 Q² C avec Q = Cu 3)ude des bobines 3.)xemple d'uilisaion d'une bobine asociée à une résisance Un exemple d applicaion d un circui R : un composan du sysème d alimenaion en gazole d une ogan a Dacia ogan, conçue par le consruceur français Renaul es produie au dépar en Roumanie. lle a fai la une de l'acualié lors de son lancemen commercial : elle éai en effe présenée comme «la voiure à 5000 euros». Même si son prix fu finalemen plus élevé que prévu, les journalises auomobiles éaien impaiens d'évaluer cee voiure d'un nouveau genre. 'exercice propose d'éudier un composan du sysème d'alimenaion en gazole du moeur Diesel qui peu équiper la ogan. Malgré les arifs modérés de la ogan, son moeur Diesel bénéficie d'une echnologie de poine : le sysème d'injecion direce de gazole par rampe commune. 'élémen esseniel es l'injeceur qui pulvérise en quelques fracions de seconde une rès faible quanié de gazole direcemen dans la chambre de combusion où se produi l'explosion du mélange air-gazole. On peu schémaiser ce injeceur par un long ube creux, percé à son exrémié inférieure d'un rès pei rou bouché par une aiguille. C'es par ce rou que pourra sorir le gazole lorsque l'aiguille sera déplacée vers le hau. Pour déplacer cee aiguille méallique vers le hau, on uilise une bobine qui, lorsqu'elle es raversée par un couran élecrique, se compore comme un aiman e aire alors l'aiguille à elle. Dès que le couran es coupé, l'aiguille reprend sa posiion iniiale e bouche à nouveau le rou. 3..)Idenifier la bobine dans le circui. a bobine es représenée par le symbole 3..2)il y-a--il pere d énergie dans cee bobine? Pourquoi? Il y a pere d énergie hermique par effe Joule dans la résisance inerne à la bobine. 3..3)Commen se compore une bobine lorsqu elle raversée par un couran élecrique? a bobine se compore comme un aiman lorsqu elle es raversée par un couran élecrique. 3.2)ffes d'une bobine sur un couran On a réalisé le monage suivan : 3.2.)Observez les deux lampes de chaque branche lorsqu on éabli le couran. Que remarquez-vous? On remarque que la lampe siuée dans la branche comprenan la bobine s allume en reard par rappor à celle de l aure branche )Quelle hypohèse pouvez-vous sur l influence de la bobine sur l éablissemen du couran? On peu formuler l hypohèse suivane : a bobine rearde l éablissemen du couran.

9 3.2.3) inensié subi-elle une disconinuié dans la branche de la lampe? Oui, il y a disconinuié dans la branche de la lampe. e ransfer d énergie du généraeur à la lampe es insanané ) inensié subi-elle une disconinuié dans la branche de la bobine? Non, il n y a pas disconinuié dans la branche de la bobine. e ransfer d énergie du généraeur à la bobine n es pas insanané. Observaions : Conclusion : Une bobine s'oppose ransioiremen à l'éablissemen du couran dans un circui 3.3)Définiions Une bobine es consiuée d un enroulemen d un fil conduceur gainé par un maériau isolan. Représenaion symbolique : Bobine non résisive (cas héorique) a bobine es caracérisée par deux grandeurs physiques : - sa résisance r =0 (Ω) - son inducance Henry (H) Bobine résisive (la réalié...) a bobine es caracérisée par deux grandeurs physiques : - sa résisance r 0 (Ω) - son inducance Henry (H) xpression de la ension aux bornes d'une xpression de la ension aux bornes d'une bobine : bobine : di di U= U= +r i

10 3.4)ude de l'éablissemen du couran dans un dipôle R (réponse à un échelon de ension) On applique la loi d addiivié des ensions : = ur + u di =Ri + +r i di = (R+r) i + di =i+ R r R r 'équaion différenielle peu s'écrire : di =i+ R r R r R r = i + di avec = R r Noe dans le cas ou la bobine es non resisive r=0 e donc l'éqaion différenielle devien : di = i + avec = R R 3.5)Soluion de l'équaion différenielle Sachan que la soluion à cee équaion différenielle es du ype : i()=a+be - Déerminer les consanes A e B. On considére R=R+r A =0 i(0)=0 donc : i(0)=a+b On en dédui A=-B Pour = on a i( )= R on peu donc en déduire que A= R Par conséquen i()=.e= (-e) R R R a soluion de l'équaion différenielle es la suivane : - - R R R 3.5.)Déerminer la ension U() aux bornes de la bobine en uilisan la relaion : di U()= +ri() di R r - R r - R r U()= +ri = x. +r( R r R r R r R r - - U()=. + r R r - r R r r. - R r - R r U()=. + R r ( ) 3.5.2)n déduire la ension U() aux bornes d'une bobine non résisive : - R r=0 U()= )Quelle es la dimension de R i()= (- e ) i()= e e e e e e U I di U= R= [U ] [I ] [U ].[T ] []= [I ] [R]= (- e (- e ) ))

11 [U ].[T ] [] [I ] = =[T] [I ] [ R] [U ] R a dimension de la consane de emps es un emps en S 3.5.4)Déerminer la valeur de l'inensié raversan une bobine soumise à un échelon de ension lorsque le régime permanen es aein. i()= car - e 0 R r 3.6)Influence de e R sur l'éablissemen du couran. Traié en TP 3.7)ude de l'énergie emmagasinnée par une bobine Une bobine d inducance raversée par un couran d inensié i emmagasine de l énergie magnéique don l expression es : = i² s exprime en Joules (J) (H) e i (A) 2 3.8)xercice d'enraînemen Une bobine idéale d'inducance =00mH e une résisance R=0Ω son en série avec un généraeur de couran. Un oscilloscope perme de relever la ension aux bornes de la bobine e aux bornes de la résisance. e généraeur de couran a une masse élecrique non reliée à la erre. es réglages de l'oscilloscope son les suivans: Balayage horizonal: ms.cm Sensibilié vericale voie A: 0V.cm ;voieb: 2V.cm. e généraeur de couran débie un couran don l'inensié i en foncion du emps es donnée ci-dessous. )Nommer les différenes ensions relevées à l'oscilloscope. es ensions mesurées par l'oscilloscope son les ensions UAB e UCB (voir schéma ci-conre). On remarquera que U=UAB e que UR= -UCB. 2)ablir l'expression de la ension uab() en foncion de e de i(). di UAB()= 3)Déerminer la valeur de la ension enre =0 e =4ms di Pour déerminer la valeur de UAB il fau déerminer enre =0 e =4ms i =4ms i =0ms 0,7 0 di = =75 0-4ms = 3 3 4, ,0.0 0 A.s- di UAB()= = x 75=7,5V

12 4)Déerminer la valeur de la ension enre =4ms e =6ms di Pour déerminer la valeur de UAB il fau déerminer enre =0 e =4ms i =6ms i =4ms 0 0,7 di = =-350 A.s- 4-6ms = ,0.0 6,0.0 6,0.0 4,0.0 di UAB()= = x (-350)= - 35,0V 5)Représener l'allure des oscillogrammes obenus. Pour la bobine: Sachan que la ension UAB es visualisée sur la voie A e que la sensibilié vericale de cee voie es de 0V.cm-, l'oscillogramme UAB=f() a l'allure suivane (balayage horizonal: ms.cm-): Pour la resisance: a ension visualisée sur la voie B de l'oscilloscope es UCB=-UR. Calculons UCB au poin d'abcisse =4,0.0-3s. UCB=-UR= - Rxi(=4,0.0-3)= -0x0,7= -7V Sachan que la sensibilié vericale de la voie B es 2V.cm-, nous pouvons ajouer la courbe UCB=f() sur l'oscillogramme précéden (balayage horizonal: ms.cm-): Tension crêe à crêe 2V 4V 2V Fréquence 400hz 400Hz 800Hz Image Video

13 4)ude des circuis RC ; Oscillaions élecriques 4.)ude de la décharge d'un condensaeur dans une bobine. quaion différenielle. On considère le monage ci-conre pour l'éude des circuis RC. On charge le condensaeur en ferman l'inerrupeur K sur la posiion. On considère comme origine des emps l'insan =0 ou l'on place linerrupeur en posiion 2. On nomme U, UR e UC respecivemen les ensions aux bornes de la bobine de la résisance e du condensaeur. Soi la valeur de l'inducance de la bobine en Henry, R la valeur de la résisance en Ohm, r la valeur de la résisance inerne de la bobine en Ohm e C la capacié du condensaeur en Farad. Pour facilier l'écriure des calculs on pose : R=R+r 4..)ablir l'équaion différenielle de la charge aux bornes du condensaeur q(). U+UR+UC=0 di dq d²q U()= or i()= on en dédui donc : U()= ² dq Ur()=R x i() = R x q UC= C U+UR+UC=0 d²q dq q +R x + =0 ² C d²q dq q R + x + =0 ² C 4..2)Déerminer l'équaion différenielle de la ension Uc() U+UR+UC=0 Dans la suie du raiemen de l'équaion différenielle, on considère R=R+r dq duc Ur()=R x i() = R x = R x C di dq or i()= d²q d²uc U()= =C ² ² U()= on en dédui donc : U()= 'équaion différenielle devien donc : UR+UC+U=0 C d²uc + ² d²q ² d²uc duc + R x C ² R duc + + Uc() = 0 Uc() = 0 C

14 4.2)ude des oscillaions du circui RC en foncion de la valeur de la résisance. On conserve le même monage avec les valeurs suivanes: Condensaeur de capacié 900nF Une bobine d'inducance 600mH Une résisance variable On observe l'allure de la ension Uc() en foncion de la valeur de la résisance choisie. On disingue 4 cas : R=0 Cas idéal car les fils e R=50Ω R=632Ω R=3000Ω la bobine possèden une résisance propre. xcel xcel xcel xcel e circui RC es le siège d'oscillaions élecriques amories. e régime de foncionnemen es di pseudo-périodique Il n'y a pas d'oscillaions. a valeur de la résisance es elle que la ension s'annule rapidemen. e régime de foncionnemen es di criique Il n'y a pas d'oscillaion. a ension s'annule plus lenemen que dans le cas du régime criique. e régime de foncionnemen es di apériodique Conclusion : Un circui RC série réalisé avec un condensaeur chargé (réservoir iniial d'énergie) es le siège d'oscillaions élecriques libres amories. 'amorissemen es dû aux peres d'énergie par effe Joule à ravers les résisances du circui. a valeur de la résisance R déermine le régime de foncionnemen de celui-ci: R<2 e régime es pseudo périodique C R=2 e régime es criique (amorissemen maximal) C R>2 e régime es apériodique. C xrai du p : R=0Ω R=500Ω R=900Ω R=500Ω R=2000Ω

15 4.3)Déerminaion des soluions de l'équaion différenielle dans le cas d'un circui C (resisance nulle) 4.3.)n supposan que la valeur de la résisance soi nulle (cas des oscillaions non amories) donner exprimer à nouveau cee équaion différenielle. Si R=0 on a : d²uc + Uc() = 0 ² C 4.3.2)n supposan que la valeur de la résisance oale du circui es nulle la soluion de l'équaion différenielle a la forme : Uc()=A cos( + φ) Avec A ampliude To : Période propre des oscillaions de la ension Uc. φ : phase à l'insan =0 Rerouvez par le calcul l'expression de To en foncion de e C. d²uc + Uc() = 0 ² C φ + ² d²a cos -A A cos( + φ) = 0 C ² x cos( + φ) + -A A cos( + φ) =0 C ² x cos( + φ) = - ² = A cos( + φ) C C To²=()²C To= C A reenir : a valeur de la période propre des oscillaions dans un circui C es : To= xercice : On réalise le monage ci-conre. On prend C=2,0µF. e condensaeur es préalablemen chargé (K en posiion ). On bascule K en posiion 2 e on enregisre les variaions de la ension Uc aux bornes du condensaeur.on observe l'oscillogramme ci-dessous. )Pourquoi parle--on d'oscillaions libres? es oscillaions son dies libres car, lorsque l'inerrupeur es en posiion 2, le circui ne conien pas de généraeur. es oscillaions s'effecuen donc sans exciaion à la fréquence propre du circui. 2)Préciser la naure du régime d'oscillaion C

16 observé. On observe des oscillaions pseudo-périodiques don l'ampliude diminue au cours du emps.e régime d'oscillaion observé es un régime pseudo-périodique. 3)Quelle es la pseudo-période des oscillaions observées? Sur la courbe, 3 pseudo-périodes corresponden à une durée de 2ms. On en dédui: To = 4ms = 4,0.0-3s 4)n admean que l'on peu assimiler cee pseudo-période à la période des oscillaions non amories du circui C correspondan, calculer la valeur de l'inducance de la bobine. To= C 3 4,0.0 ( )² = C 3 4,0.0 = ( )² C 3 4,0.0 = ( )²=0,20H = 200mH 6 2, )n sachan que l'inensié dans le circui éai nulle à =0 (juse avan la fermeure de l'inerrupeur e que la ension aux bornes du condensaeur vau Uo déerminer la valeur des consanes A e φ. Déerminaion de φ: da cos φ dq duc T0 i() = =C =C = -AC x sin( + φ) i(0)= -AC x sin(φ) On en dédui que φ=0 Déerminaion de A : Uc(o)=Uo=A cos(0) Donc A = Uo On en dédui que la ension Uc()=Uo cos( ) 4.4)Déeminaion de l'équaion horaire de l'inensié A l'aide du résula que vous venez de rouver déerminer q() q()=cuc()=cuo cos( ) n déduire l'expréssion de i() dq i()= = - CUo sin( ) 5)ude énergéique des circuis RC 5.)Cas d'un circui C (Résisance considérée comme nulle) Rappeler l'expression de l'énergie emmagasinée dans le condensaeur :

17 C U² c = 2 2 Rappeler l'expression de l'énergie emmagasinée dans une bobine : B= i² 2 'énergie oale connue dans le circui élecrique es T=c+B T=c+B= C Uc()² + i()² 2 2 ude emporelle des échanges énergéiques dans un circui C : c = Q² C avec Q = Cu Remarques : 'énergie oale rese consane. n effe il n'y a pas de dissipaion sous forme hermique (effe Joule). orsque l'énergie élecrique sockée dans le condensaeur es maximale, l'énergie élecromagnéique conenue dans la bobine es nulle. Inversemen lorsque l'énergie élecromagnéique conenue dans la bobine es maximale, l'énergie élecrique sockée dans le condensaeur es nulle. es échanges énergéiques se fon sans peres! 5.2)Cas d'un circui RC Rappeler l'expression de l'énergie dissipée par effe Joule lorsqu'une résisance R es raversée par un couran i. J=Ri²

18 Remarques : 'énergie oale diminue. n effe il y a dissipaion sous forme hermique (effe Joule) à ravers la résisance. orsque l'énergie élecrique sockée dans le condensaeur es maximale, l'énergie élecromagnéique conenue dans la bobine es nulle. Inversemen lorsque l'énergie élecromagnéique conenue dans la bobine es maximale, l'énergie élecrique sockée dans le condensaeur es nulle. xrai du p : 5.3)Oscillaions élecriques enreenues Pour évier le phénomène d'amorissemen des oscillaions, il fau fournir de l'énergie au sysème. Dans ce cas le disposiif d'enreien des oscillaions perme de compenser les peres par effe Joule.