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1 - 1 - PCSI-MPSI 2ème Période Modélisation cinématique des mécanismes Statique du solide D.Feautrier

2 - 2 - Méthode d analyse d un mécanisme Partie 1 Méthode d analyse d un mécanisme 1.1 Modélisation des liaisons Introduction L objectif de ce chapitre est de donner une méthode qui permet de construire un schéma cinématique d un mécanisme. Pour cela il faut être capable de modéliser cinématiquement les liaisons entre les différents solides composant un mécanisme donné Classe d équivalence cinématique L ensemble des solides d un mécanisme sans mouvement relatif constitue une classe d équivalence cinématique. En général, pour plus de clarté, on numérote les classes d équivalence.

3 Analyse des zones de contact entre classes d équivalence Afin de déterminer le modèle cinématique associé à une liaison mécanique, il convient d analyser la géométrie des zones de contact entre les deux classes d équivalence. On distingue trois types de géométrie des zones de contact : Contact ponctuel Contact linéaire Contact surfacique Le tableau suivant regroupe les différentes possibilités d'associations de surfaces élémentaires : 1.2 Cinématique du contact ponctuel Soient deux solides 1 et 2 en contact ponctuel au point I. Soit Π le plan tangent à 1 et 2 en P.

4 - 4 - Méthode d analyse d un mécanisme Le torseur cinématique de 2 par rapport à 1 s écrit en P : { V( 2 1) } = Ω( 2 1) VP ( 2 1) P Par définition, on appelle vecteur vitesse de glissement au point P le vecteur V( P S 2 S 1 ) On pose Ω( 2 1) = Ωn( 2 1) + Ωt( 2 1) où : Ωn( 2 1) est appelé vecteur rotation de pivotement Ωt( 2 1) est appelé vecteur rotation de roulement Propriété : Le vecteur vitesse de glissement du point P du solide 2 par rapport au solide 1 appartient au plan tangent Π. Remarque : On dit qu il y a roulement sans glissement si VP2 (, 1) = 0, Ωn( 2 1) = 0 et Ωt( ( 2 1) 0) 1.3 Liaisons normalisées Repère local associé à une liaison Les liaisons les plus courantes rencontrées en mécaniques sont normalisées. Cette norme à uniquement pour but de définir des possibilités de mouvement autorisées par une liaisons entre deux classes d équivalence sans préjuger de la conception technologique de la liaison. Les mouvements relatifs autorisé dépendent de la nature des surfaces en contact. Les surfaces prises en comte par la désignation normalisée sont les surfaces simples : sphère, plan, cylindre. L association des surfaces donnent des contacts ponctuels, linéiques ou surfaciques de formes diverses. C est de l associations de ces surfaces que résultent les mouvements possibles.

5 - 5 - Pour décrire à un instant donné les translations et les rotations autorisées par une liaison, on place judicieusement sur cette liaison un repère ROxyz (,,, ) de façon à décomposer le mouvement relatif entre les deux solides en six mouvements élémentaires qui seront paramétrés par six paramètres (position et orientation) indépendants : trois translations d axe x, y ou z et trois rotations autour des axes ( O, x), ( O, y) et ( O, z). Le repère ROxyz (,,, ) est appelé repère local associé à une liaisons Degrés de liberté d une liaison Le nombre de degrés de liberté d une liaison entre deux solides est le nombre de mouvements élémentaires indépendants que la liaison autorise (nombre de rotations et de translations suivant les axes du repère local). Il est au maximum de six (voir chapitre «paramétrés de la position de deux solides dans l espace») Modèles cinématiques associés aux liaisons En fonction de la géométrie de la zone de contact on va autoriser ou supprimer des degrés de liberté. *

6 - 6 - Méthode d analyse d un mécanisme *

7 Graphe des liaisons Le graphe des liaisons d un mécanisme est une représentation plane qui sert à décrire les liaisons entre les classes d équivalence d un mécanisme. Dans ce graphe, les classes d équivalence sont schématisés par des cercles et les liaisons par des arcs joignant ces cercles (voir exemple p10) Schéma cinématique minimal Le schéma cinématique minimal d un mécanisme est une représentation géométrique plane ou spatiale du graphe minimal des liaisons. Pour construire ce schéma, on dessine les symboles normalisés des liaisons en respectant les caractéristiques géométriques relatives des différentes liaisons (parallélisme, orthogonalité, perpendicularité, coaxialité,...). Par contre, il est inutile d avoir un positionnement dimensionnel précis. Les solides sont représentés par des traits continus qui relient les symboles normalisés des liaisons. 1.4 Torseurs cinématiques des liaisons normalisées Le tableau ci-après définit les torseurs cinématiques des liaisons normalisées introduites précédemment. Le torseur cinématique du mouvement du solide 2 par rapport au solide 1 s écrit en O, origine du repère local associé à la liaison, { V( 2 1) } = Ω( 2 1) VO ( 2 1) O Posons dans la base du repère local : Ω( 2 1) = ω x x + ω y y + ω z z et VO ( 2 1) = v x x + v y y + v z z On peut alors écrire le torseur cinématique des deux façons suivantes, { V( 2 1) } ω x v x = = ω y v y ω z v z O, xyz,, ( ) ω x x + ω y y + ω z z v x x + v y y + v z z O Suivant la nature de la liaison, une ou plusieurs composantes du torseur cinématique sont nulles et le torseur prend une forme particulière, avec le maximum de composantes nulles en correspondance directe avec les degrés de liberté de la liaison, appelé forme canonique du torseur.

8 Tableau des liaisons normalisées Méthode d analyse d un mécanisme

9 - 9 -

10 Méthode d analyse d un mécanisme 1.5 Exemple : Pompe Oscillante Dessin technique : Schéma cinématique : Graphe de liaisons :

11 Remplir le tableau ci-dessous pour chacune des liaisons : Degrés de liberté T x = R x = Torseurs cinématiques associés Symboles de schématisation 2D 3D L 2/1 T y = R y = T z = R z = T x = R x = L 2/3 T y = R y = T z = R z = T x = R x = L 3/4 T y = R y = T z = R z = 1.6 Liaisons cinématiquement équivalentes Définition Deux solides S 1 et S 2 étant liés entre eux par des liaisons parfaites, on appelle liaison équivalente la liaison fictive qui caractérise globalement la liaison entre S 1 et S 2 du point de vue cinématique. Attention : La liaison équivalente n a aucune valeur technologique mais elle permet de globaliser mathématiquement l étude des degrés de liberté Association de liaisons en parallèle Soient deux solides S 1 et S 2 liés entre eux directement par des liaisons usuelles L 1, L 2, L 3,. L 1 L 2 S 1 S 2 L 3 L 1, L 2, L 3 sont des liaisons dites en parallèle.

12 Méthode d analyse d un mécanisme Si l on remplace les liaisons usuelles par leur liaison équivalente L eq L S eq 1 S 2 le graphe est le suivant, Associations de liaison en série Soient deux solides S 1 et S 2 liés entre eux par une chaîne cinématique ouverte constituée de solides et de liaisons usuelles : S 1 L L 1 2 L 3 S3 S 4 S 2 Si l on remplace les liaisons usuelles par leur liaison équivalente L eq le graphe équivalent est le suivant, L S eq 1 S Etude des liaisons en parallèle Lorsque deux solides sont liés entre eux par un groupement de m liaisons mises en parallèle, les mouvements relatifs existant entre les deux solides sont ceux appartenant simultanément aux liaisons composantes, { V eq } V 1 = = { V 2 } = = { V m } (1) Etude des liaisons en série Lorsque deux solides S 1 et S 2 sont liés entre eux par un groupement de liaisons mises en série par l intermédiaire d autres solides, les mouvements relatifs existant entre S 1 et S 2 sont représentés par tous les mouvements que peuvent transmettre les liaisons composantes, m Structure des mécanismes { V eq } = V j j = 1 On distingue trois principale structure de mécanisme suivant que le graphe de liaison est ouvert ou bouclé. (2)

13 Chaîne ouverte (type robot) Schéma cinématique Graphe de liaison associé L 01 L 12 L L Chaîne simple fermée : exemple d un engrenage Schéma cinématique Graphe de liaison associé L 01 L 12 0 L Chaîne complexe fermée : exemple d un train d engrenage Schéma cinématique Graphe de liaison associé L L 03 L 13 3 L 04 4 L 34 En seconde année, on définira la notion de mobilité d une chaîne cinématique qui permet de définir le nombre de paramètres cinématiques réellement indépendants en fonction du nombre de degrés de liberté total caractérisant les liaisons entre les classes d équivalence.

14 Méthode d analyse d un mécanisme Exemple 1 : Presse de modélisme Etudes possible : Déterminer les classes d équivalence, Faire le graphe des liaisons Déterminer la liaison équivalente entre les classes d équivalence {1}={10,13,12,11} et {0}={00,01,02,03,04,05} Déterminer la mobilité cinématique du mécanisme

15 Exemple 2 : Pompe Oscillante Etudes Possible : On pose AB = λ()x t 2 Effectuer le graphe des liaisons, L entrée étant la rotation de S1 et la sortie la translation de S2 par rapport à S3, déterminer la loi entrée sortie λ = f( α). Pour cela écrire la relation de fermeture géométrique, OB = OA + AB. Déterminer la vitesse de translation du piston S2 par rapport à S3 en fonction de α, α et des paramètres géométriques. Pour cela écrire la relation de fermeture cinématique, { VS2 ( S3) } = { VS2 ( S1) } + { VS1 ( S0) } + { VS0 ( S3) }

16 Statique du solide Partie 2 Statique du solide 2.1 Actions mécanique Définition On appelle action mécanique toute cause susceptible de maintenir un système matériel au repos, de créer ou de modifier un mouvement, de déformer un solide Classification Actions mécaniques à distance : D origine gravitationnelle ou électrique. Ces actions mécaniques, dites également volumiques, s exercent en chaque point du système matériel. Actions mécaniques de contact (liaison entre deux solides) : Ces actions mécaniques, dites également surfaciques, s exercent en tout d une surface de contact commune à deux solides Modélisation des actions mécaniques La modélisation des actions mécaniques peut se faire soit d un point de vue local ou d un point de vue global suivant l objectif de l étude envisagée : la modélisation locale a pour but d étudier l action mécanique dans la zone où elle s exerce (champ de pesanteur, champ de pressions de contact,...). la modélisation globale, par un torseur, caractérise globalement l action mécanique dans le but d appliquer, par exemple, le principe fondamental de la statique.

17 Modélisation locale des actions mécaniques Représentation par un champ de forces Les actions mécaniques à distance, ou de contact, qu exerce un système matériel 1 sur un système matériel 2 sont représentées en tout point P de 2, ou d une partie de 2, par un champ de glisseur (vecteurs libre) défini relativement à un élément de mesure dμ (longueur dl, surface ds ou volume dv élémentaires). Par définition une force élémentaire est une action mécanique modélisable par un glisseur : df P ( ) = f( P) dμ une force élémentaire de contact en un point P de l action mécanique de 1 sur 2 a un vecteur associé df( P) = f( P) ds (ou df( P) = f( P) dl si la surface de contact peut être assimilée à une ligne). un force élémentaire à distance en un point P du volume de 1 a un vecteur associé df( P) = f( P) dv. On appelle f( P) densité du champ de force relativement à l élément de surface ds (ou dl) ou à l élément de volume dv. La modélisation locale est donc réalisée par des champs de force. 2.3 Modélisation globale des actions mécaniques Moment d une force en un point Soit une force s exerçant en un point P et un point A de l espace à trois dimension distinct de P. df P ( ) = f( P) ds On appelle alors moment en A de la force df( P), le vecteur «moment», M A = AM df( P)

18 Statique du solide Représentation par un torseur Les actions mécaniques qu exerce un système matériel 1 sur un système matériel 2 étant représentées localement par un champ de glisseur défini relativement à un élément de mesure dμ, on peut leur associer en un point A quelconque, le torseur à la structure suivante : { T( 1 2) } = R( 1 2) = MA1 (, 2) A P 2 P 2 f P ( 1 2) dμ AP fp( 1 2) dμ (3) Ce torseur appelé torseur des actions mécaniques de 1 sur 2 au point A caractérise globalement l action mécanique de 1 sur 2. Remarque : Deux actions mécaniques seront dites équivalentes si elles ont le même torseurs en un même point Action mécanique de contact surfacique : modélisation locale Soient deux solides 1 et 2 en contact suivant une surface S. L action mécanique de 1 sur 2 est représentée en chaque point P de S par la densité surfacique de force f P ( 1 2). On admet que P Π plan tangent aux deux solides 1 et 2. Alors la densité surfacique de force se décompose suivant un vecteur normal au plan Π, n P ( 1 2) et un vecteur contenu dans Π, t P ( 1 2). On appelle, _ n P ( 1 2) la densité surfacique normale des forces de contact ou pression de contact de l action mécanique de 1 sur 2. _ t P ( 1 2) la densité surfacique tangentielle des forces de contact, au point P, de l action mécanique de 1 sur 2.

19 Un densité surfacique s exprime en mégapascals (MPa) avec 1MPa = 1N mm 2. Lorsqu il y a contact, le vecteur n P ( 1 2) est toujours orienté du solide 1 vers le solide Loi de Coulomb Définitions : Soit la vitesse de glissement au point P, V( P 2 1) du mouvement du solide 2 par rapport au solide 1. On dit qu il y a adhérence au point P entre les solides 1 et 2 si : V( P 2 1) = 0. On dit qu il y a glissement au point P entre les solides 1 et 2 si : VP ( 2 1) 0 Les lois de Coulomb sont des lois expérimentales qui donnent des informations sur les densités surfaciques normales et tangentielles des forces de contact lorsqu il y a adhérence et lorsqu il y a frottement au point P. 1er cas : il y a frottement et glissement relatif au point P

20 Statique du solide Dans ce cas VP ( 1) 0. La densité surfacique des forces de contact au point P est alors telle que, t P ( 1 2) VP ( 2 1) = 0 t P ( 1 2) VP ( 2 1) < 0 t P ( 1 2) = f n P ( 1 2) Les deux premières relations indiquent que la densité surfacique tangentielle des forces de contact est opposée au vecteur vitesse de glissement au point P dans le mouvement de 1 sur 2. L interprétation géométrique que l on peut en faire est qu il existe un angle ϕ tel que f = tanϕ appelé angle de frottement et qui est le demi angle au somment d un zone appelé cône de frottement d axe perpendiculaire Π sur lequel se situe f P ( 1 2). La position de f P ( 1 2) sur le cône de frottement est fixée par la vitesse de glissement. 2ème cas : il y a frottement et adhérence au point P Dans ce cas VP ( 2 1) = 0. La densité surfacique des forces de contact au point P est alors telle que, t P ( 1 2) < f 0 n P ( 1 2) où f 0 est appelé coefficient d adhérence des matériaux 1 et 2. L interprétation géométrique que l on peut en faire est qu il existe un angle ϕ 0 tel que f 0 = tanϕ 0 appelé angle d adhérence et qui est le demi angle au somment d un zone appelé cône d adhérence d axe perpendiculaire Π à l intérieur duquel se situe f P ( 1 2). La position du vecteur f P ( 1 2) est donc a priori totalement inconnue à l intérieur du cône d adhérence.

21 Adhérence et frottement La détermination des coefficients de frottement et d adhérence est délicate à cause de leur dépendance vis à vis de nombreux paramètres : nature du couple de matériaux, état de surface, pression de contact, température de contact, vitesse de glissement, lubrification, etc Par exemple, on a pour un couple acier/acier un coefficient de frottement compris entre 0,1 et 0,2, et un coefficient d adhérence compris entre 0,15 et 0,25. En général f 0 > f, mais reste toujours très proche. Par mesure de simplification, on considère souvent que ces deux coefficients sont égaux. Pour résoudre les problèmes de statique, on considérera très souvent les deux cas particulier suivant : On est à la limite du glissement : Le glissement est nul au point considéré mais sur le point de se produire dans une direction et un sens prévisibles à l avance, Il y a contact sans adhérence et sans frottement : Les deux coefficients sont très faibles, on simplifie l étude en disant que f = f 0 = 0. Alors f P ( 1 2) est perpendiculaire à Π Action mécanique de contact surfacique : modélisation globale L action mécanique de contact qu exerce un système matériel 1 sur une surface S d un système matériel 2, définie localement par une densité surfacique de forces point A quelconque par le torseur, { T( 1 2) } = R( 1 2) = MA1 (, 2) A f P ( 1 2), est caractérisée globalement en un P S A Ce torseur est à priori quelconque, mais dans le cas des liaisons normalisées entre deux solides réalisées par contact surfacique sans frottement, le torseur d action mécanique transmissible par chaque liaison se simplifie et possède des propriétés que l on mettra en évidence. P S f P ( 1 2) ds AP f P ( 1 2) ds (4)

22 Statique du solide 2.4 Torseurs d actions mécanique des liaisons sans frottement Pour chaque liaison normalisée définie en cinématique, nous allons déterminer les caractéristiques du torseur d action mécanique susceptible d être transmis par la liaison, lorsque celle-ci est réalisée par contact direct surfacique, linéique ou ponctuel, entre deux solide 1 et 2. La forme du torseur d action transmissible par une liaison réalisée par contact direct entre deux solides, sera généralisée au torseur d action mécanique transmissible par une liaison équivalente entre deux solides. Le torseur d action mécanique transmissible du solide 1 au solide 2 s écrit au point O, origine du repère local associé à une liaison, { T( 1 2) } = R( 1 2) MO1 (, 2) O Posons dans la base du repère local : R( 1 2) = Xx + Yy + Zz et MO1 (, 2) = Lx + My + Nz Le torseur s écrit alors dans sa forme générale, { T( 1 2) } = X Y L M (5) Z N O Suivant la nature de la liaison, une ou plusieurs composantes du torseur d action mécanique transmissible sont nulles et le torseur prend une forme particulière, avec le maximum de composantes nulles en correspondance directe avec les degrés de liberté de la liaison, appelé forme canonique du torseur. Pour les liaisons normalisées étudiées, nous définirons, la nature de la surface de contact compatible avec le mouvement relatif des solides, la forme du torseur d action mécanique transmissible par la liaison, dans le cas d un contact sans frottement, les points de l espace où le torseur conserve sa forme canonique.

23 Tableau des liaisons normalisées

24 Statique du solide 2.5 Principe fondamental de la statique Equilibre d un ensemble matériel Un système matériel peut-être un solide ou un ensemble de solides liés entre eux par des liaisons parfaites ou non. E On dira que E est en équilibre par rapport à un repère R si au cours du temps, chaque point de E conserve une position fixe par rapport à R.

25 Enoncé Il existe au moins un repère galiléen R tel que pour tout système matériel E en équilibre par rapport à ce repère galiléen R, le torseur d actions mécaniques extérieures à E soit nul, c est à dire : { TE ( E) } = { 0} Résolution d un problème de statique Notion d isostatisme et d hyperstatisme Pb Isostatique Pb Hyperstatique E est un solide { T( 1 E) } { Tn ( E) } E { T( 2 E) } { Ti ( E) } E est en équilibre et on veut déterminer des relations entre les actions extérieures ou bien en déterminer

26 Statique du solide certaines à partir d autres supposées connues (poids,..) Isoler l ensemble matériel et faire le bilan des actions mécaniques extérieures. Appliquer le PFS et projeter les deux relations vectorielles (résultante et moment) obtenues dans une base orthonormée. Résolution du système de 6 équations pour déterminer les inconnues du problème (si le problème est isostatique) E est un ensemble de solides liés par des liaisons avec graphe à chaîne ouverte Schéma cinématique Graphe de liaison associé T ( ext 2) T ( ext 1) T ( 0 1) 1 T ( 1 2) 2 T ( 2 3) 3 T ( 3 4) T ( ext 3) T ( ext 4) 0 4 E est en équilibre, soumis à des actions extérieures { T } ( ext i) supposées connues, et on veut déterminer les torseurs d actions mécaniques transmises par les liaisons entre les différents solides. Isoler n-1 solides ou ensembles de solides, puis faire le bilan des actions mécaniques extérieures à chaque isolement. Pour chaque isolement appliquer le PFS et écrire les 2(n-1) relations vectorielles (résultante et moment) obtenues dans une base orthonormée. Résolution du système de 6(n-1) équations au plus pour déterminer les inconnues du problème. Remarque : Un tel problème est toujours isostatique.

27 E est ensemble de solides liés par des liaisons avec graphe à chaîne fermée A O B C 1 2 T ( 1 2) T ( 1 3) T ( 2 4) 3 T ( 3 4) 4 T ( ext 2) T ( ext 4) T ( ext 3) E est en équilibre, soumis à des actions extérieures { T } ( ext i) supposées connues, et on veut déterminer les torseurs d actions mécaniques transmises par les liaisons entre les différents solides. Isoler n-1 solides ou ensembles de solides, puis faire le bilan des actions mécaniques extérieures à chaque isolement. Pour chaque isolement appliquer le PFS et écrire les 6(n-1) relations scalaires (résultante et moment) obtenues dans une base orthonormée. Résolution du système de 6(n-1) équations au plus pour déterminer les inconnues du problème. Remarque : Un tel problème peut être hypertsatique.

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