Exercices. Programmes linéaires modélisation et géométrie

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1 Exercices Programmes linéaires modélisation et géométrie Exercice 1. Vous avez décidé ouvrir une fabrique de bonbons. Vous envisagez de produire deux types de bonbons : Slugger et Cool Breeze, les deux composés uniquement de sucre, de noix et de chocolat. À l heure actuelle, vous avez en stock 100 kg de sucre, 20 kg de noix, et 30 kg de chocolat. Le mélange utilisé pour faire Cool Breeze doit contenir au moins 20% de noix. Le mélange utilisé pour préparer Slugger doit contenir au moins 10% de noix et 10% de chocolat. Chaque kilo de Cool Breeze peut être vendu pour 25EUR, et chaque kilo de Slugger pour 20EUR. Formuler un PL qui vous permettra de maximiser vos revenus de vente. Rédigez-le en forme standard ou canonique. Exercice 2. La compagnie Chandler Oil possède barils de pétrole de type 1 et barils de pétrole type 2. La société vend deux produits : l essence et le fioul. Les deux produits sont fabriqués en combinant le pétrole 1 et le pétrole 2. Les niveaux de qualité des pétroles 1 et 2 sont respectivement 10 et 5. L essence doit avoir un niveau de qualité moyen d au moins 8 et le mazout au moins 6. La demande pour chaque produit doit être créée par publicité. Chaque dollar dépensé en publicité pour l essence crée une demande de 5 barils, et chaque dollar dépensé pour le fioul de chauffage crée une demande de 10 barils. L essence est vendue pour 25$ le baril, le mazout pour 20$. Formuler un PL pour aider Chandler Oil à maximiser ses profits. On admet qu aucun pétrole de l un ou l autre type ne peut être acheté. Exercice 3. Quand est-ce qu un demi-espace contient un autre? Sous quelles conditions {x R n : a T x b} {x R n : (a ) T x b } (on suppose que a 0 et a 0). Sous quelles conditions les 2 demi-espaces coincident? Calculez la distance entre les 2 hyperplans parallèles {x R n : a T x = b 1 } et {x R n : a T x = b 2 }. Exercice 4. Meuble&Co fabrique des bureaux et des fauteuils. Le profit de vente d un bureau est 40EUR, et d un fauteuil 25EUR. Chaque bureau utilise 4 unités de bois, et chaque fauteuil en utilise 3. Seulement 20 unités de bois sont disponibles. Les contraintes de commercialisation exigent que le nombre de fauteuils soit au moins deux fois supérieur au nombre de bureaux produits. La demande de fauteuils est limitée à 6. En outre, en raison de ses engagements précédents, Meuble&Co doit fabriquer au moins 2 fauteuils. Formulez le problème de maximisation du profit de Meuble&Co comme PL par rapport aux variables x 1 et x 2, les quantités de tables et de fauteuils réalisés. 1. Indiquez la région réalisable du PL de Meuble&Co en montrant les lignes définies par chaque inégalité (y compris les contraintes de signe). 2. Dénombrez tous les points extrêmes et calculer leur valeur objective. 1

2 3. Dessinez la ligne d iso-profit qui passe par la solution optimale et indiquez la direction de la valeur objective croissante. 4. Identifiez la solution optimale et calculer les valeurs des variables à la solution optimale. 5. Indiquer toutes les contraintes actives à la solution optimale. 6. Supposons que la contribution d un fauteuil augmente de 25 à 30EUR, trouver deux solutions optimales points extrêmes pour la nouvelle fonction objective. 7. Convertir le problème de depart en forme standard. Exercice 5. Dans les problèmes suivantes dessinez l ensemble réalisable, les lignes de niveau de la fonction-objective, en indiquant la direction de la valeur objective croissante et la solution optimale. (a) c 1x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 : x 1 + x 2 1 x 1 + 2x 2 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 pour les valeurs d objectif c = [ 1; 0; 1], c = [0; 1; 0], c = [0; 0; 1]. 3x 1 + 2x 2 36 (b) z = 3x 1 + 4x 2 : 3x 1 + 5x 2 45 x 1 0, x 2 0 Exercice 6. Gestion de production avec demande incertaine. Vous devez commander des quantités (non négatives) r 1,..., r m des matières premières, qui sont nécessaires à la fabrication des quantités (non négatives) q 1,..., q n de n produits différents. La fabrication d une unité du produit j exige au moins A ij d unités de matières premières i(nous supposons que A ij sont non négatifs.) Le coût unitaire des matières premières est donnée par c R m +, de sorte que le le coût total des matières premières est c T r. La demande (non négative) pour le produit i est notée d i, le nombre d unités du produit i vendu est s i = {q i, d i } (quand q i > d i, d i q i est la quantité de produit i produite, mais non vendue, quand d i > q i, d i q i est la demande non satisfaite). Le chiffre d affaires de la vente des produits est p T s, où p R n + est le vecteur des prix des produits. Le profit réalisé est donc p T s c T r. (d et q sont des vecteurs réels, leurs éléments ne sont pas des nombres entiers). On suppose donnés A, c, et p connues, mais la demande en produits n est pas connue a priori. Au lieu de cela, un ensemble de K vecteurs d (1),..., d (K) de demandes possibles, avec des probabilités associées π 1,..., π K, est donné (ceux-ci satisfont m i=1 π i = 1, π 0). L objectif est de maximiser l espérance du profit. On explorera deux problèmes d optimisation différents qui se posent dans le choix de r et q (les variables du problème). 1. On choisit r et q à l avance vous devez choisir r et q, sachant seulement les données énumérées ci-dessus. En d autres termes, vous devez commander les matières premières, et de s engager à produire les quantités de produits choisis, avant de connaitre la demande en produits. 2

3 2. On choisit r en avance, mais on choisit q après que d soit connue. Vous devez choisir r, connaissant seules les données énumérées ci-dessus. Après que vous avez choisi r, la demande devient connus. Une fois que vous savez laquelle des K possibles demandes s est réalisée, vous devez choisir les quantités à fabriquer. Autrement dit, vous devez commander les matières premières avant que la demande en produits soit connue ; mais vous pouvez choisir la combinaison des produits à fabriquer, après que vous avez appris la vrai demande. Expliquez comment formuler chacun des ces problèmes comme un problème d optimisation linaire. Indiquez clairement quels sont les variables du problème, quelles sont les contraintes, et décrivez les rôles de toutes les variables auxiliaires dont vous avez besoin. Bonus. Le fichier data.r définit les données m, n, A, D, K, c, p et Pi, les K colonnes de D étant les K vecteurs de demande possibles. A partir de ces données, assemblez les deux PL ci-dessus pour les résoudre en utilisant RMosek. Pour les deux problèmes décrits ci-dessus précisez la valeur optimale de r et le profit attendu. Exercice 7. Pour chaque PL suivant exprimer la solution optimale en fonction des données du problème (paramètres c, n, d, etc). Si la solution optimale n est pas unique, il suffit de donner une solution optimale. 1. x R n{c T x : 0 x 1} 2. x R n{c T x : 1 x 1} 3. x R n{c T x : 1 1 T x 1} 4. x R n{c T x : 1 T x = 1, x 0} 5. x R n{c T x : 0 x 1 x 2... x n 1} 6. u,v R n{1 T u + 1 T v : u v = c, u 0, v 0} 7. u,v R n{d T 1 u + dt 2 v : u v = c, u 0, v 0} pour d 1 > d 2 Exercice 8. Formulez les problèmes suivantes comme programmes linéaires. Pour chaque programme donner une forme canonique ou standard du problème (assemblez avec soin la matrice A du problème). Dans tous les problèmes C R m n et d R m. 1. z R n{ Cz d 1 : z 1} 2. z R n{ z 1 : Cz d 1} 3. z R n Cz d 1 + r z, avec r > 0 4. z R n m i=1 max{0, ct i z + d i}, où c T i sont les lignes de C 5. z R n { z 1 : Cz d r}, r > 0 6. z R n r Cz d + z 1, r > 0. 3

4 Polyèdres, dualité linéaire Exercice 9. Expliquez comment vous allez utiliser l OL pour résoudre le problème suivant : vous êtes donnés deux ensemble de points dans R n : S 1 = {z 1,..., z N } et S 2 = {y 1,..., y M }. Vous devez chercher un polyèdre P = {x R n : a T i x b i, 1 i m} qui contient tous les points de S 1 et ne contient aucun point de S 2 : S 1 {x R n : a T i x b i, 1 i m} = P, S 2 {x R n : a T i x > b i, au moins pour un i} = R n /P. (on suppose que les deux ensembles de points sont séparables de cette façon). Votre solution doit rendre les données a i, b i, i = 1,...m du polyèdre. Exercice 10. Expliquez comment vous allez résoudre le problème suivant en utilisant l OL : étant donné deux polyèdres P 1 = {x R n : Ax b}, P 2 = {x R n : Cx d}, vous devez soit montrer que P 1 P 2, soit trouver un point dans P 1 qui n est pas dans P 2. On suppose données les matrices A, C R m n et les vecteurs b, d R m. Exercice 11. Utiliser le théorème sur l alternative linéaire pour montrer le résultat suivant : [Lemme de Farkas non-homogène] L inégalité linéaire c T x d est une consequence du système linéaire réalisable Ax b (autrement dit, c T x b pour tout x : Ax b) si et seulement il existe λ R m tel que λ 0, A T λ = c, b T λ d. Exercice 12. Soit PL 47x x x 3 93x 4 : x 1 x 2 x 3 x

5 Montrez que x = [1; 1; 1; 1] est une solution optimale. Exercice 13. On considère le problème d optimisation en x R : {c T x : Ax + b 1 1}, où A R m n, b R m et c br n. 1. Formuler le problème comme un PL avec des contraintes d inégalité. 2. Dérivez le problème linéaire dual, et montrez qu il est équivalent au problème max{b T z z : A T z + c = 0}. Quel est le lien de z optimal et de la solution optimale du problème linéaire dual. Exercice 14. On considère le problème PM suivant en x R n : { x 1 : Ax b γ}. 1. Formuler le problème comme un PL avec des contraintes d inégalité. 2. Dérivez le problème linéaire dual, vérifiez qu il est équivalent au problème max{b T z γ z 1 : A T z 1}. Exercice 15. Proposez une méthode de construction d un hyperplan qui sépare deux polyèdres P 1 = {x R n : Ax b}, P 2 = {x R n : Cx d}. (on suppose que l intersection de P 1 et P 2 soit vide.) a a T x = γ Votre méthode doit rendre un vecteur a R n tel que a T x < γ x P 1, et a T x < γ x P 2. 5

6 Fonctions et ensembles convexes Exercice 16. On définit la dimension d ensemble X comme la dimension du plus petit ensemble affine (plan dans l espace) qui contient X. Dans la liste ci-dessous donnez la dimension de chaque ensemble et indiquez si l ensemble est convexe. 1. R n 2. {0} 3. {x R n : n i=1 ix i = 0} 4. {x R n : n i=1 ix i 0} 5. {x R n : n i=1 ix i 0} 6. {x R n : n i=1 ix2 i = 1} 7. {x R n : n i=1 ix2 i 1} 8. {x R n : n i=1 ix2 i 1} 9. {x R 2 : x 1 + x 2 1} 10. {x R 2 : x 1 x 2 1} 11. {x R 2 : x 1 x 2 1} Exercice 17. Cochez les fonctions convexes dans la liste ci-dessous : f(x) 1 sur R f(x) = x sur R f(x) = x sur R f(x) = x sur R f(x) = x sur R + = {x : x 0} exp{x} sur R exp{x 2 } sur R exp{ x 2 } sur R exp{ x 2 } sur {x : x 100} Exercice 18. Vérifiez que les fonctions suivantes sont convexes sur les domaines indiqués : x2 y on {(x, y) R2 : y > 0} ln(exp{x} + exp{y}) sur R 2 Dualité de Lagrange Exercice 19. Trouver l expression analytique des fonctions [ 1. f(z) = x R n 1 2 xt x z T x ] [ 2. f(z) = x R n 1 2 xt B T Bx z T x ], avec B tel que B T B est inversible. 6

7 Exercice 20. Soit a R n et G R n convexe et fermé. On appelle x = π G (a) projection (Euclidienne) de y sur G si x est la solution optimale de problème { a x 2 : x G}. x Calculez les projections dans les cas suivants : G = {x R n : x 2 1} G = {x R n : 1 x i 1, i = 1,..., n} G = {x R n : x 0, n i=1 x i = 1} G = {x R n : n i=1 x i 1} Exercice 21. Soit le problème d optimization lineaire x {c T x Ax b} avec la matrice A m n et soit x une solution optimale. Cela implique que x est un imiseur de la fonction convexe et différentiable f(x) = c T x sous les contraintes convexe et différentiables Ax b. Ainsi, les conditions nécessaires et suffisantes de Karush-Kuhn-Tucker sont satisfaites en x. Que signifient ces conditions en termes de A, b, c? Exercice 22. Trouver le imum de la fonction linéaire f(x) = c T x sur l ensemble n B p = {x R n x i p 1}; où p, 1 < p <, est le paramètre. Qu arrive-t-il quand le paramètre devient 0.5? i=1 Exercice 23. Soit a 1,..., a n > 0. Résoudre le problème d optimisation { n a i x x 2 : x > 0, } x i 1 i=1 i i Exercice On considère le problème de moindres carrés sous contrainte de norme l 1 : x { 1 2 (Ax b)t (Ax b) : x 1 r } (LS C ) où r > 0 est un paramètre. Écrire le problème dual de (LS C) (pour simplifier, on supposera que A T A est inversible). 7

8 2. Soit x [ 1 2 (Ax b)t (Ax b) + κ x 1 ] (LS P ) On écrira (LS P ) sous la forme équivalente, en introduisant une variable supplémentaire : { 1 (Ax x,v 2 b)t (Ax b) + κv : x 1 v 0 } (LS P ) Écrivez le problème dual de (LS P ), comparez-le au dual de (LS C). 8