Mots-clefs Valeurs propres, vecteurs propres, matrice, système linéaire, méthodes de projection, espace

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Mots-clefs Valeurs propres, vecteurs propres, matrice, système linéaire, méthodes de projection, espace"

Transcription

1 Résumé La méthode d Arnoldi est une méthode de projection de type Krylov qui permet, entre autres, de résoudre un problème important dans le calcul scientifique : déterminer le spectre d une matrice de très grande taille. Cette thèse est centrée sur l arrêt de l algorithme de cette méthode d Arnoldi dû à une division impossible par. Afin de mener cette étude de manière théorique et pratique, les principaux concepts d analyse inverse des erreurs sont rappelés en distinguant les perturbations normwise (aucune hypothèse sur les perturbations A admissibles de la matrice A, seule A est bornée) des perturbations homotopiques (structure de cette perturbation connue A te, E fixe et t lc). Pour le cas homotopique, le rang et la norme de E jouent un rôle important. L erreur inverse homotopique ainsi définie permet d introduire l erreur de méthode d Arnoldi, nulle lors de l arrêt heureux de l algorithme à l itération k. Un lien théorique entre le vecteur initial de l espace de Krylov et k est établi. A l aide de la détermination des pseudo-spectres, l approche homotopique permet, dans certains cas, de récuperer une information sur le spectre de la matrice plus fine que l approche normwise. Les valeurs propres approchées par la méthode d Arnoldi sont valeurs propres exactes d une matrice A te où le rang et la norme de E sont égaux à : elles appartiennent à un seul pseudo-spectre homotopique. Une étude plus large des perturbations homotopiques est menée, centrée sur les lignes et les courbes spectrales d une famille homotopique de matrices A te, t t e iθ lc, où le rang de E joue un rôle important. Des expérimentations numériques utilisant la méthode d Arnoldi en précision finie sont réalisées qui distinguent trois procédés d orthogonalisation pour réaliser la factorisation QR, identiques en arithmétique exacte mais de comportements différents en précision finie. Ces expérimentations permettent de mettre en évidence la difficulté de détecter un arrêt heureux théorique. Une approche heuristique pour le détecter est proposée ainsi que des comparaisons avec les expérimentations effectuées grâce au logiciel PRECISE. Mots-clefs Valeurs propres, vecteurs propres, matrice, système linéaire, méthodes de projection, espace de Krylov, méthode GMRES, méthode d Arnoldi, perturbation en norme, perturbation homotopique, lignes spectrales, courbe spectrale, erreur inverse, pseudo-spectre, précision finie.

2 2 Abstract The Arnoldi method is a Krylov based method which enables the solution of a major problem in Scientific Computing : the determination of the spectrum of a large matrix. This thesis focuses on when to stop the Arnoldi algorithm, and in particular, on the breakdown due to the forbidden division by. In order to perform both a theoretical and an experimental analyses, the main notions of backward error analysis are recalled, distinguishing between normwise perturbations (no hypothesis on the perturbation A, A is only bounded) and homotopic perturbations (prescribed structure A te, E fixed and t lc). For the homotopic case, the rank and the norm of the matrix E play an important role. The homotopic backward error allows us to define the backward error of the Arnoldi method, which is equal to at iteration k when the happy breakdown of the algorithm takes place. A theoretical link between the initial vector of the Krylov space and k is established. Thanks to the corresponding pseudo-spectrum, the homotopic analysis allows us in some cases to recover better information on the spectrum of the matrix than the normwise analysis. The eigenvalues approximated by the Arnoldi method are exact for the matrix A te where E is a rank one matrix of norm equal to : the approximated eigenvalues of A belong to only one homotopic pseudo-spectrum. The use of homotopic perturbations is studied in detail, using spectral lines and curves of a homotopic family of matrices A te, t t e iθ lc, where the rank of E plays an important role. Numerical experiments using the Arnoldi method in finite precision are given, with three orthogonalisation processes to perform the QR factorisation, which are identical in exact arithmetic but differ in finite precision. These experiments show the difficulty in detecting the theoretical happy breakdown in finite precision. A heuristic for detecting it is proposed together with a comparison with experiments performed using the PRECISE software. Discipline Mathématiques appliquées Intitulé et adresse du laboratoire de recherche C.E.R.F.A.C.S., 42, avenue Gustave Coriolis, 357 Toulouse Cedex.

3 Remerciements Je tiens à remercier Madame le Professeur Jacqueline Fleckinger d avoir accepté de présider ce jury. Qu elle veuille bien trouver ici le témoignage de mon profond respect. Je remercie Monsieur le Professeur Pierre Charrier et Madame le Professeur Filomena Dias d Almeida d avoir accepté de rapporter sur ce travail. Leurs critiques et leurs commentaires m ont permis d affiner la présentation de ce travail. Je tiens à leur exprimer ma plus profonde reconnaissance. Je remercie le Docteur Abderrazak Ilahi de me faire l honneur de faire parti de ce jury, pour son aide précieuse tout au long de cette thèse ainsi que pour son amitié. Je remercie Monsieur le Professeur Beresford N. Parlett d avoir accepté de faire parti du jury, de s être alors déplacé depuis San Francisco et d avoir apporté tant d attention à mon travail. C est un honneur pour moi de vous compter parmi les membres du jury. Je remercie Monsieur Iain Duff de m avoir accueillie dans son Projet, d avoir rendu cette thèse possible et de faire parti du jury. Merci pour l interḙt que vous portez à mon travail. Il y a maintenant 4 ans, alors que je m obstinais à chercher 25, j ai emprunté le livre bleu et je me laissais imaginer rencontrer son auteur... Madame le Professeur Françoise Chaitin-Chatelin, je tiens à vous remercier trés sincerement de m avoir accueillie dans votre Groupe, d avoir cru en moi et en mes capacités, de m avoir conduit tout au long de cette thèse... Merci encore très profondément. Je remercie Monsieur Jean-Claude André, Directeur du CERFACS, de m avoir permis d effectuer cette thèse dans de telles conditions. Je voudrais surtout ne pas oublier Mademoiselle le Docteur Valerie Frayssé, pour ses précieux conseils, sa disponibilité à tout moment, sa gentillesse. Tu vas bien me manquer... Durant cette thèse, j ai rarement été peu entourée. 3

4 4 Merci à Laurent, Vincent, Serge, Amina, Ahmed, Luc, Dominique, Simon, Ali, Brigitte, Michèle, l équipe CSG... Un grand Merci pour le grand réconfort constant de toute ma famille, Tanguy et Séverine. Le dernier remerciement mais qui n est pas le moindre revient à mon cher époux Mario qui a toujours été présent, patient, chaleureux et encourageant. A Tía, por muchos años.

5 Table des matières Remerciements 3 Notations 9 Introduction Rappels et préliminaires 3. Définitions Valeurs propres et vecteurs propres d une matrice A Décomposition sous forme de Jordan d une matrice Polynôme minimal Degré du polynôme minimal et structure du vecteur Analyse inverse des erreurs : état de l art Classe de perturbations Norme Exemples Erreurs inverses pour des perturbations de type normwise Calcul asymptotique et calcul incertain Calcul asymptotique : structure de A connue Un exemple : le virus V IF Courbe Γ associée au couple A E Exemple fondamental Illustration Courbe Γ et systèmes linéaires A te zi y t b Perspective Calcul incertain : norme de A connue Conclusion : comparaison autorisée? Erreurs inverses et pseudo-spectres 5 3. Erreur inverse homotopique : cas du problème standard

6 6 TABLE DES MATIÈRES 3.. Définition de l erreur inverse homotopique pour le calcul de valeurs propres Comparaison entre l erreur inverse homotopique et l erreur inverse normwise Erreur inverse homotopique : cas du problème généralisé Différentes définitions des erreurs inverses homotopiques associées à une valeur propre Comparaisons autorisées entre les deux erreurs inverses homotopiques et l erreur inverse normwise Pseudo-spectre d une matrice pour des perturbations normwise Définitions Portraits spectraux normwise de matrices Pseudo-spectre d une matrice pour des perturbations homotopiques Définitions Portraits spectraux homotopiques de matrices Comparaison autorisée des pseudo-spectres normwise et homotopiques Conditions imposées Illustrations Conclusion Application aux méthodes de Krylov Décompositions de Hessenberg en arithmétique exacte Définition d une matrice de Hessenberg supérieure Présentation des décompositions de Hessenberg Méthode d Arnoldi pour la décomposition incomplète de Hessenberg Principe de l algorithme d Arnoldi : effectuer une factorisation QR Trois façons classiques de réaliser la factorisation QR Méthode GMRES de base Principe de la méthode GMRES (utilisation de H) Arrḙt heureux et solution du système linéaire par la méthode GMRES Remarques Erreur inverse associée à la solution x k du système linéaire donnée par la méthode GMRES Méthode d Arnoldi de base pour le calcul approché d éléments propres Présentation de la méthode d Arnoldi pour le calcul d éléments propres (utilisation de H) Erreur de méthode d Arnoldi Erreurs inverses associées aux solutions ν et z du problème d éléments propres fournie par la méthode d Arnoldi Comparaisons des deux erreurs inverses de méthode et de calcul. 88

7 TABLE DES MATIÈRES Calcul d éléments propres et arrḙt heureux Vecteur initial v et itération d arrêt k Conclusion et perspectives Lignes et courbes spectrales pour le champ de singularités de A E Perturbations homotopiques A te, t d argument fixe Perturbations homotopiques A te, t de module fixe Valeurs propres de A te et pseudo-spectre homotopique Un exemple : la méthode d Arnoldi Courbe Γ et valeurs propres de A et de A E Expérimentations numériques Protocole expérimental Matrice E de rang Matrice E de rang Courbe Γ et précision finie Conclusion : Lien avec PRECISE Illustrations par le calcul en précision finie Algorithme d Arnoldi en précision finie pour la décomposition incomplète de Hessenberg Comparaison algorithmique entre CGS et MGS Analyse de la fiabilité de H k et de V k Expérimentations numériques Méthode GMRES de base en précision finie Qualité des solutions calculées par l algorithme GMRES suivant l orthogonalisation de Householder, Gram Schmidt classique et Gram Schmidt modifiée Défaut d orthogonalité et erreur inverse Conclusion générale Méthode d Arnoldi pour le calcul d éléments propres implantée en précision finie Etude expérimentale de la méthode d Arnoldi à partir d un vecteur initial Valeurs propres de H k pour k k Commentaires et lien avec PRECISE Conclusion 5 Bibliographie 53

8 8 TABLE DES MATIÈRES

9 Notations x est la norme euclidienne de x lc n A est la norme induite par la norme euclidienne de A lc n n Sp A est le spectre de A Re A est le complémentaire de Sp A dans lc = ensemble résolvant de A ρ A est la valeur du plus grand module des valeurs propres de A P A est le polynôme minimal associé à A P A v est le polynôme minimal associé à A et à v d o P est le degré du polynôme P Si A lc n n, A H est la transposée conjuguée de A Si A IR n n, A T est la transposée de A Les lignes spectrales Λ associées à A E sont l ensemble des valeurs propres de A te, t IR La courbe spectrale Γ associée à A E est l ensemble z Re A ;ρ E A zi ã représente la quantité a calculée en précision finie ω Ṽ est le défaut d orthogonalité de Ṽ C n m, m n ω Ṽ min Ṽ Q, Q orthonormale dans C n m ) γ Ṽ Ṽ H Ṽ I m, Ṽ C n m, est une estimation de ω Ṽ 9

10

11 Introduction Le problème de la détermination du spectre d une matrice A joue un rôle important dans différentes branches des Sciences en raison de l information qu il peut apporter sur la stabilité du problème considéré ou sur la convergence des méthodes numériques utilisées, entre autres. Souvent, la matrice A concernée est de très grande taille. On peut alors utiliser une des méthodes basées sur une projection sur un espace de Krylov. Dans cette thèse, nous nous intéressons plus principalement à la méthode d Arnoldi de base. L algorithme d Arnoldi consiste à calculer recursivement la mise de A sous la représen- tation unitairement semblable H, H de type Hessenberg, soit A VHV H. Il est mathématiquement équivalent à la factorisation QR de la matrice K m v Av Av m où V m v v m est la base de Krylov de taille n m, m n. Si aucune hypothèse restrictive n est faite sur A, la matrice H n est pas toujours irréductible. C est le cas en particulier si A est défective et dérogatoire. Loin de considérer ce cas comme une difficulté à éliminer par hypothèse (l algorithme exact s arrête), nous concentrons notre étude sur ce cas dit arrêt heureux (happy breakdown) puisque l information recueillie est exacte. Afin de mener notre étude de manière pratique et théorique, nous faisons une analyse inverse fondée sur les perturbations homotopiques te, t lc, de A, supposant ainsi que la structure E de la matrice de perturbation est connue. Ce document intitulé Sur le déploiement du champ spectral d une matrice est composé de 6 chapitres. Dans le chapitre, nous introduisons des notions de base afin de mieux comprendre l arrêt de l algorithme de la méthode d Arnoldi. Nous faisons également l état de l art de l analyse inverse des erreurs associées au calcul approché d éléments

12 2 propres en insistant sur le choix important du type et de la norme de la perturbation. Nous rappelons les erreurs inverses pour des perturbations de type normwise. Dans le chapitre 2, nous décrivons le calcul inexact pour lequel la perturbation est de structure connue. Un des deux exemples présentés de calcul inexact nous permettra de mieux comprendre la méthode d Arnoldi. Nous décrivons ensuite le calcul incertain pour lequel seule la norme de la perturbation est connue. Il est possible de comparer ces deux modes de calculs entre eux, en prenant certaines précautions. La valeur de la norme de la matrice de perturbation joue un rôle important. C est pour cela que nous introduirons les facteurs de normalisation. Dans le chapitre 3, nous introduisons les notions d erreur inverse homotopique et de pseudo-spectre homotopique liées au calcul inexact. Nous insisterons sur l importance de facteurs de normalisation afin de comparer des erreurs inverses et des pseudo-spectres entre eux ainsi qu avec ceux issus de perturbations normwise. Dans le chapitre 4, nous cherchons à analyser l algorithme d Arnoldi et à déterminer, grâce aux perturbations homotopiques, la qualité de l information spectrale fournie par la matrice H ainsi que ses limites. Nous établissons également un lien entre le vecteur initial choisi et le numéro de l itération d arrêt de l algorithme d Arnoldi. Dans le chapitre 5, nous nous intéressons à la localisation des valeurs propres d une famille de matrices A t A te, avec E la matrice de structure des perturbations homotopiques, et t lc. Nous distinguons le cas où t est de module fixe du cas où l argument de t est fixe. Nous insisterons sur le rôle du rang de la matrice E. Nous montrerons l apport supplémentaire d information lorsque le rang de E est égal à, ce qui est le cas lorsque l on utilise la méthode d Arnoldi. Dans le chapitre 6, nous étudions le comportement de la méthode d Arnoldi lors de calculs effectués en précision finie à l aide d une approche qualitative. Nous étudions à travers des expérimentations numériques l impact de la précision finie sur l arrêt heureux et sur l orthogonalité de la base construite. Cette étude expérimentale nous conduira à établir un lien avec le logiciel PRECISE.

13 Chapitre Rappels et préliminaires. Définitions.. Valeurs propres et vecteurs propres d une matrice A Soit le problème P : trouver λ lc, x lc n tels que Ax λx. Le scalaire λ est appelé valeur propre de la matrice A carrée d ordre n, à composantes réelles ou complexes, et x est un vecteur propre associé. Le nombre complexe λ est une valeur propre de A si et seulement si ce nombre est un zéro du polynôme caractéristique π x det xi A, où det désigne le déterminant. Ce polynôme admet n zéros dans lc, distincts ou non, qui forment le spectre de A : Sp A! λ lc : λ est valeur propre de A" L ensemble Re A des points z de lc où A zi # existe s appelle l ensemble résolvant de A : c est le complémentaire dans lc de Sp A. Le rayon spectral de A, noté ρ A, est la valeur du plus grand module des valeurs propres de A. La multiplicité géométrique de λ, notée g λ, est le nombre maximal de vecteurs propres indépendants qu on peut lui associer : g λ dim Ker A λi. La multiplicité algébrique de λ, notée m λ est égale à sa multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique π x. De manière générale, pour une valeur propre λ, g λ $ m λ. Une valeur propre λ de multiplicité algébrique m λ est dite simple, sinon elle est dite multiple. Une valeur propre multiple (de multiplicité m λ ) est dite semi simple si et seulement si elle admet m λ vecteurs propres indépendants, sinon elle est dite défective. La matrice A est donc diagonalisable si et seulement si ses valeurs propres sont simples ou semi-simples ou encore, si et seulement si ses vecteurs propres peuvent être choisis indépendants. Si A est non diagonalisable, elle est appelée défective. Si la matrice A n est pas diagonalisable, elle admet une décomposition bidiagonale sous forme de Jordan. 3

14 4 CHAPITRE. RAPPELS ET PRÉLIMINAIRES..2 Décomposition sous forme de Jordan d une matrice Théorème.. [3, 4] Étant donné une matrice A lc n n, il existe une matrice régulière X telle que X AX diag J i j où J i j λ i I E i j, E i j est une matrice d ordre k i j avec I E i j ki j pour j 2 g i et où λ i est une valeur propre distincte de A, i d n. La forme de Jordan d une matrice A est unique à l ordre des blocs près. Le jème bloc de Jordan J i j associé à la valeur propre λ i est de la forme : J i j λ i λ i λ i I E i j La matrice J i j λ i I est identique à la matrice E i j, qui est une matrice de taille k i j et dont la sur-diagonale est formée de k i j uns consécutifs. L ensemble des blocs de Jordan J i j, j g i, associés à la même valeur propre λ i constitue la boîte de Jordan B i associée à λ i. Cette boîte de Jordan B i est de taille m i et contient g i blocs, chacun de taille k i j. Ainsi, on peut écrire que g i $ m i. La boîte B i associée à la valeur propre λ i est de la forme suivante : J i... B i J i j... On appelle indice de λ i, noté l i, la dimension du plus grand bloc de Jordan associé à la valeur propre λ i c est à dire l i max k j% '&(&(&( i j g i Dans le chapitre 4, nous sommes amenés à utiliser très souvent la notion de polynôme minimal. Nous développons donc à présent cette notion. J igi..3 Polynôme minimal Deux sortes de polynômes minimaux [7] sont utiles par la suite, celui associé à une matrice et celui associé à une matrice et un vecteur. Commençons d abord par étudier la notion de polynôme minimal associé à une matrice.

15 .. DÉFINITIONS 5 Polynôme minimal associé à une matrice Parmi tous les polynômes moniques (de coefficient de tête égal à ) P de la forme P x i β i x i, β max) i*, tels que P A β i A i i le polynôme minimal de A est le polynôme monique P de plus petit degré [29]. On le note P A x. Polynôme minimal associé à une matrice et un vecteur Parmi tous les polynômes moniques P de la forme P x β i x i i β max) i*, tels que P A c β i A i c i le polynôme minimal de A associé à c est le polynôme monique P de plus petit degré. On le note P A c x. Relation entre le polynôme minimal associé à une matrice et le polynôme minimal associé à une matrice et un vecteur Pour une matrice A et un vecteur c, le polynôme P A x appliqué à A est nul tandis que le polynôme P A c x appliqué à A et multiplié à droite par c est nul. Ainsi, le degré de P A c x est inférieur ou égal à celui de P A x. Cherchons à savoir si P A c x divise P A x. De manière générale, on peut trouver deux polynômes r et q tels que Si x P A x q x P A c x + r x et d o r, d o P A c. A et que l on multiplie à droite par c l égalité précédente, alors P A A c q A P A c A c r A c Or P A A - et P A c A c. Ainsi, r A c Comme P A c est le polynôme monique de plus petit degré parmi tous les polynômes moniques P x qui vérifient P A c, et que d o r. d o P A c, alors r. P A c x divise donc P A x. Si λ λ d sont les valeurs propres distinctes de A et l l d leur indice respectif alors, d après [7], P A x x λ l / x λd l d d l x λ i i i%

16 6 CHAPITRE. RAPPELS ET PRÉLIMINAIRES Comme P A c x divise P A x, P A c x d x λ i i% l i où, pour i d, l i $ l i. Lemme.. Si A est une matrice diagonalisable possédant d valeurs propres distinctes, alors le degré du polynˆome minimal associé à A et à tout vecteur c est inférieur ou égal à d. Preuve Si A est une matrice diagonalisable possédant d valeurs propres distinctes, alors les indices l i, pour i d, sont égaux à. Le polynôme P A de degré d est donc de la forme d i% x λ i. Le degré de P A c x est inférieur ou égal au degré de P A x, donc inférieur ou égal à d. Pour mieux aborder le chapitre 4, nous allons insister sur cette notion de polynôme minimal associé à une matrice et à un vecteur. Le but est, pour une matrice A donnée, de relier la structure du vecteur c et l expression du polynôme minimal associé à la matrice A et au vecteur c...4 Degré du polynôme minimal et structure du vecteur Le polynôme P A c x, d i% x λ i vérifie P A c A c. Ainsi, d A λ i I i% l i est le polynôme minimal associé à A et c qui La quantité d i% l i est égale au degré du polynôme minimal associé à A et à c. Sans perte d information pour la suite du développement et pour mieux comprendre le phénomène, nous allons supposer que la matrice A est réduite à une forme de Jordan. Supposons dans un premier temps que A est réduite à un bloc de Jordan noté J, de taille k, associé à la valeur propre λ. Deux questions peuvent être posées.. A quelle puissance doit-on élever A λi J λi pour obtenir une matrice nulle? Autrement dit, quel est le degré du polynôme minimal associé à la matrice A J? La matrice J λi est égale à une matrice formée d une sur-diagonale composée de k uns consécutifs. Il est donc nécessaire d élever à la puissance k la matrice J λi afin d obtenir une matrice nulle de taille k. Le polynôme minimal associé à la matrice A est donc de degré k, la taille du bloc de Jordan. Cette valeur k est l indice de la valeur propre λ. l i c

17 5.. DÉFINITIONS 7 2. Soit un vecteur colonne c de taille k. Sachant que A est un bloc de Jordan de taille k, le polynôme minimal associé à A J et c est de la forme x λ Quelle doit être la plus petite puissance l de la matrice A λi telle que A λi J λi qui soit l c? Il est clair que les composantes du vecteur c jouent ici un rôle très important. La matrice A λi est une matrice de taille k qui admet une sur-diagonale composée de k uns consécutifs. Le produit de A λi l par c peut être schématisé de la façon suivante : l. A λi l c l c.. c k l c l c, c est à l soit le polynôme minimal associé à A et c, il est nécessaire que Pour que l égalité A λi soit vérifiée et que A λi dire que x λ c l et pour tout k l, c k!. c est à dire que l max k2+3 ;k 4 k;c k " Pour un tel vecteur c et une telle matrice A, le polynôme minimal associé à A et à c est bien de degré l. Nous pouvons prendre un exemple pour illustrer ce propos. Soit λ λ A et c λ λ c c 2 c 3 c 4 Toutes les valeurs c k, k 4, sont importantes et impliquent la valeur du degré du polynôme minimal, qui ne peut excéder la valeur 4, car l indice de la valeur propre λ est égale à 4. C est ce qui est montré dans le tableau suivant : c c 2 c 3 c 4 deg P A c où le signe 5 indique une valeur quelconque complexe pour la composante c k, k 4, correspondante., alors le degré du polynôme minimal associé à A et à c est égal à 4 même, alors le degré de P A v égal à l vaut Si c 4 si c 4 tend vers sans l atteindre. Si c 4 6

18 7 8 8 CHAPITRE. RAPPELS ET PRÉLIMINAIRES ~ >? 9 : ; < = FIG.. Valeur de l en fonction de c 4 3 si c 3 et est strictement inférieur à 3 si c 3. C est ce que montre la figure. suivante en supposant que c Cette situation peut être comparée à un cas particulier [9] de l étude géométrique d une équation de degré 4 du type x 4 ax 3 bx 2 cx d Nous avons utilisé le fait que les valeurs de x solutions de l équation de degré 4 sont les abscisses des points d intersection entre la parabole d équation y x 2 et l hyperbole d équation y 2 A ax b y cx d. Nous avons étudié l hyperbole suivant les paramètres a, b, c et d, et nous avons remarqué que les paramètres a et c jouaient un rôle important car ils étaient les coefficients de la variable x dans l équation de l hyperbole. C est ainsi que nous avons étudié l allure de l hyperbole lorsque a c! et lorsque a et c tendent tous les deux vers. Dans le cas où on considère que le rapport a c est différent de 2 b, on remarque que si a c! B, alors l hyperbole est réduite à une demi-droite définie sur IR ou sur IR si a et c tendent tous les deux vers, l hyperbole est réduite à une droite. Il y a discontinuité du domaine de définition de l hyperbole suivant les valeurs de a c. Nous avons établi le lien entre la structure du vecteur c et l expression du polynôme minimal associé à A et à c pour cette matrice A donnée. Cette matrice étudiée était simple, semblable à un bloc de Jordan. A présent, supposons que la matrice A est une boîte de Jordan associée à une valeur propre λ. On suppose que cette boîte est de taille m et comporte g blocs de Jordan notés J j, j g et chacun de taille k j. Schématiquement,

19 .. DÉFINITIONS 9 la matrice A est de la forme suivante : A B J... avec J j λ λ J j... de taille k j, pour j les mêmes questions que précédemment. J g g. Lorsque la matrice A est de cette forme, on peut alors poser. A quelle puissance doit-on élever A λi B λi pour obtenir une matrice nulle? Autrement dit, quel est le degré du polynôme minimal associé à la matrice A B? La matrice B λi est égale à une matrice formée d une sur-diagonale composée de g blocs de uns consécutifs. Le nombre de uns consécutifs dépend du bloc de Jordan J j, j g, associé. On rappelle que l est l indice de la valeur propre λ c est à dire que l max k j% (&(&'&( j g Comme le nombre consécutif de uns sur la sur-diagonale de A est au plus égal à l, il est donc nécessaire d élever à la puissance l la matrice A λi afin d obtenir une matrice nulle de taille m. Le polynôme minimal associé à la matrice A est donc de degré égal à l indice l de la valeur propre λ. 2. Soit un vecteur colonne c de taille m que l on note c c H c H 2 c H g H avec c j un vecteur colonne de taille k j, j g. Sachant que A est supposée être une boîte de Jordan de taille m, le polynôme minimal associé à A et à c est de la forme x λ l. Quelle doit être la plus petite puissance l de la matrice A λi B λi qui soit telle que A λi l c et A λi l c? Il est clair que toutes les composantes du vecteur c jouent ici un rôle très important. La matrice A λi est une matrice de taille m qui admet une sur-diagonale composée d au plus l uns consécutifs. Le produit de A λi l par c peut être schématisé de la façon suivante : A λi l c E... l c E j.... c j. E g c g

20 5 2 CHAPITRE. RAPPELS ET PRÉLIMINAIRES avec E j pour j g Ainsi, l c l c, c est à l soit le polynôme minimal associé à A et à c, il est nécessaire que Pour que l égalité A λi soit vérifiée et que A λi dire que x λ (a) pour tout k l, c j k, j g, (b) il existe une valeur j C ;g telle que c j l D c est à dire que l max j2+3 g 4 ξ j avec ξ j max k2+3 ;k j4 k;c j k D sous la convention : si c j, alors ξ j. Nous prenons un exemple pour illustrer ce propos. On choisit pour la matrice A une boîte de Jordan de taille 8 composée de 4 blocs de Jordan associés à la valeur propre λ. La matrice A et le vecteur c sont les suivants : A λ λ λ λ λ λ λ λ et c c c 2 c 2 2 c 3 c 3 2 c 3 3 c 4 c 4 2 Toutes les composantes du vecteur c sont importantes et impliquent la valeur du degré du polynôme minimal, qui ne peut excéder la valeur 3, car l indice de la valeur propre λ est égal à 3. C est ce qui est montré dans le tableau suivant : 4 i% E c i E 4 i% 2 E c i 2 E c 3 3 deg P A c où le signe 5 indique une valeur quelconque complexe de la somme correspondante. pour une telle matrice A et quelque soit v, d o P A v $ 3.

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Thomas Rey classe de première ES ii Table des matières 1 Les pourcentages 1 1.1 Variation en pourcentage............................... 1 1.1.1 Calcul d une variation............................

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique

Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Projet CLANU en 3GE: Compléments d algèbre linéaire numérique Année 2008/2009 1 Décomposition QR On rappelle que la multiplication avec une matrice unitaire Q C n n (c est-à-dire Q 1 = Q = Q T ) ne change

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

6.11 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques

6.11 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques Chapitre 6 Méthodes de Krylov 611 Bases de Lanczos bi-orthogonales pour des matrices non symétriques Dans le cas où la matrice A n est pas symétrique, comment peut-on retrouver une matrice de corrélation

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 1 On considère l'ensemble E des matrices carrées d'ordre 3 défini par,,, 1) Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices

Plus en détail

Programme de Première

Programme de Première BAC TECHNO STAV 66 I. Algèbre Programme de Première Objectif 1 - Effectuer de manière autonome des calculs numériques ou algébriques, résoudre des équations ou inéquations en vue de résoudre des problèmes

Plus en détail

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls. Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/mc2/node2.html Sous-sections Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels.

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l année 28-29 1 Partiel Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. On suppose a + c = b + d = 1 et a b 1. ( ) a b c d 1. Soient (x 1,x

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Systèmes linéaires. 1. Introduction aux systèmes d équations linéaires. Exo7. 1.1. Exemple : deux droites dans le plan

Systèmes linéaires. 1. Introduction aux systèmes d équations linéaires. Exo7. 1.1. Exemple : deux droites dans le plan Exo7 Systèmes linéaires Vidéo partie 1. Introduction aux systèmes d'équations linéaires Vidéo partie 2. Théorie des systèmes linéaires Vidéo partie 3. Résolution par la méthode du pivot de Gauss 1. Introduction

Plus en détail

CALCUL SCIENTIFIQUE. 1 Erreur absolue et erreur relative 2. 2 Représentation des nombres sur ordinateur 3

CALCUL SCIENTIFIQUE. 1 Erreur absolue et erreur relative 2. 2 Représentation des nombres sur ordinateur 3 MTH1504 2011-2012 CALCUL SCIENTIFIQUE Table des matières 1 Erreur absolue et erreur relative 2 2 Représentation des nombres sur ordinateur 3 3 Arithmétique flottante 4 3.1 Absorption........................................

Plus en détail

L essentiel du cours 2014/2015 Terminale S Spécialité Maths, Lycée Français de Valence

L essentiel du cours 2014/2015 Terminale S Spécialité Maths, Lycée Français de Valence L essentiel du cours 2014/2015 Terminale S Spécialité Maths, Lycée Français de Valence Sommaire 1. Arithmétique 2 1.1. Division euclidienne......................... 2 1.2. Congruences.............................

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP

Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP 1 POLYNÔMES Résumé du cours d algèbre de Maths Spé MP 1 Polynômes 1) Formule de Taylor pour les polynômes. Soit P un polynôme non nul de degré n N. a K, P(X) = k=0 P (k) (a) (X a) k et en particulier P(X)

Plus en détail

Master de mathématiques Analyse numérique matricielle

Master de mathématiques Analyse numérique matricielle Master de mathématiques Analyse numérique matricielle 2009 2010 CHAPITRE 1 Méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires On veut résoudre un système linéaire Ax = b, où A est une matrice inversible

Plus en détail

Cahier de vacances - Préparation à la Première S

Cahier de vacances - Préparation à la Première S Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0

Plus en détail

Les polynômes du second degré

Les polynômes du second degré Les polynômes du second degré exercices corrigés 12 septembre 2013 Les polynômes du second degré Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Les polynômes du second degré Exercice 1 Les polynômes du second degré

Plus en détail

Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES

Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES O. Lader 2014/2015 Lycée Jean Vilar Spé math terminale ES 2014/2015 1 / 51 Systèmes linéaires Deux exemples de systèmes linéaires à deux équations et deux

Plus en détail

Equations différentielles

Equations différentielles Maths PCSI Cours Table des matières Equations différentielles 1 Généralités 2 1.1 Solution d une équation différentielle................................ 2 1.2 Problème de Cauchy.........................................

Plus en détail

Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité).

Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité). Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité). Lycée Jacques Monod février 05 Exercice : Voici les graphiques des questions. et.. A 4 A Graphique Question. Graphique Question..

Plus en détail

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires

Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Séance de soutien PCSI2 numéro 10 : Espaces vectoriels et applications linéaires Tatiana Labopin-Richard Mercredi 18 mars 2015 L algèbre linéaire est une très grosse partie du programme de Maths. Il est

Plus en détail

- Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d un problème.

- Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d un problème. Mathématiques - classe de 1ère des séries STI2D et STL. 1. Analyse On dote les élèves d outils mathématiques permettant de traiter des problèmes relevant de la modélisation de phénomènes continus ou discrets.

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé X-ENS PSI - 009 Un corrigé Première partie.. Des calculs élémentaires donnent χ A(α) = χ B(α) = X X + et χ A(α)+B(α) = X X + 4α + 4 On en déduit que Sp(A(α)) = Sp(B(α)) = {j, j } où j = e iπ 3 Sp(A(α)

Plus en détail

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q

1 Codes linéaires. G = [I k A]. Dans ce cas on constate que la matrice. H = [ t A I n k ] est une matrice de contrôle de C. Le syndrome de x F n q 1 Codes linéaires Un code de longueur n est une partie de F n q. Un code linéaire C de longueur n sur le corps ni F q est un sous-espace vectoriel de F n q. Par défaut, un code sera supposé linéaire. La

Plus en détail

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : Accès à l'université chez DUNOD Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD Les supports de cours ne sont pas complets, ils ne contiennent ni les démonstrations,

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire

Plus en détail

INTRODUCTION A L OPTIMISATION

INTRODUCTION A L OPTIMISATION INTRODUCTION A L OPTIMISATION Les domaines d application L optimisation est essentiellement un outil d aide à la décision au sein de l entreprise, mais aussi pour des individus. Le terme optimal est souvent

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES VINCENT GUEDJ 1. Notions fondamentales 1.1. Noyau, Image. On se donne E un K-espace vectoriel de dimension finie (K = R, C principalement) et f L(E) un

Plus en détail

Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge

Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : Rappels collège/seconde Partie STAV 1/3 Partie STAV 2/3 Partie STAV

Plus en détail

Chapitre 3 RÉGRESSION ET CORRÉLATION

Chapitre 3 RÉGRESSION ET CORRÉLATION Statistique appliquée à la gestion et au marketing http://foucart.thierry.free.fr/statpc Chapitre 3 RÉGRESSION ET CORRÉLATION La corrélation est une notion couramment utilisée dans toutes les applications

Plus en détail

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal 19 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal Dans un premier temps, E est un espace vectoriel réel de dimension n 1. 19.1 Espaces vectoriels euclidiens Dénition 19.1 On dit qu'une forme bilinéaire

Plus en détail

Division de Polynômes

Division de Polynômes LGL Cours de Mathématiques 00 Division de Polynômes A INTRODUCTION Motivations: * Résoudre des équations d un degré supérieur à * Représenter des fonctions algébriques en se basant et sur des fonctions

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures) CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

Fonctions affines. Table des matières

Fonctions affines. Table des matières Fonctions affines Table des matières 1 fonction linéaire, fonction constante, fonction affine 3 1.1 activités.............................................. 3 1.1.1 activité 1 : fonction linéaire et variation

Plus en détail

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique Fonction polynôme du second degré : Forme canonique I) Introduction. Soit g(x) = a(x - s)²+h. Toute fonction polynôme du second degré peut s écrire sous cette forme. Le passage de la forme développée à

Plus en détail

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 mat231-exo-03.tex (29 septembre 2008) Feuille d exercices n o 3 Exercice 3.1 Soit K un corps commutatif et soit {P 0, P 1,... P n } une famille de polynômes de

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

Fonctions de référence Variation des fonctions associées

Fonctions de référence Variation des fonctions associées DERNIÈRE IMPRESSION LE 9 juin 05 à 8:33 Fonctions de référence Variation des fonctions associées Table des matières Fonction numérique. Définition.................................. Ensemble de définition...........................3

Plus en détail

Polynômes. Motivation. 1. Définitions. Exo7. 1.1. Définitions

Polynômes. Motivation. 1. Définitions. Exo7. 1.1. Définitions Exo7 Polynômes Vidéo partie 1. Définitions Vidéo partie 2. Arithmétique des polynômes Vidéo partie 3. Racine d'un polynôme, factorisation Vidéo partie 4. Fractions rationnelles Exercices Polynômes Exercices

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire

Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire Nom Formule Espaces vectoriels Famille libre On dit que la famille est libre si Famille liée On dit que la famille est liée si Théorème de la base

Plus en détail

Mathématiques appliquées à l informatique

Mathématiques appliquées à l informatique Mathématiques appliquées à l informatique Jean-Etienne Poirrier 15 décembre 2005 Table des matières 1 Matrices 3 1.1 Définition......................................... 3 1.2 Les différents types de matrices.............................

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Restauration d images

Restauration d images Restauration d images Plan Présentation du problème. Premières solutions naïves (moindre carrés, inverse généralisée). Méthodes de régularisation. Panorama des méthodes récentes. Problème général Un système

Plus en détail

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005

MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 MPSI 3 - Cahier de vacances... MPSI 3-2004/2005 Voici une fiche contenant 100 exercices de difficulté raisonable, plutôt techniques, qui recouvrent l ensemble du programme étudié cette année. A raison

Plus en détail

0.2.3 Polynômes... 4. 0.2.1 Monômes... 4 0.2.2 Opérations entre monômes... 4

0.2.3 Polynômes... 4. 0.2.1 Monômes... 4 0.2.2 Opérations entre monômes... 4 Table des matières 0 Rappels sur les polynômes et fractions algébriques 1 0.1 Puissances............................................... 1 0.1.1 Puissance d un nombre réel.................................

Plus en détail

Cours Diagonalisation

Cours Diagonalisation Cours Diagonalisation par Pierre Veuillez 1 Objectif Pour une matrice A donnée, déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telle que A = P D P 1. Interprètation : Quelle relation reconnaît-on?

Plus en détail

Examen de l UE LM125 Janvier 2007 Corrigé

Examen de l UE LM125 Janvier 2007 Corrigé Université Pierre et Marie Curie Licence Sciences et Technologies MIME L énoncé est repris sur fond mauve. En prune : des commentaires. Examen de l UE LM15 Janvier 007 Corrigé Commentaires généraux barème

Plus en détail

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009.

Correction de l épreuve intermédiaire de mai 2009. Licence de Gestion. 3ème Année Année universitaire 8-9 Optimisation Appliquée C. Léonard Correction de l épreuve intermédiaire de mai 9. Exercice 1 Avec les notations du cours démontrer que la solution

Plus en détail

Rappels sur les applications linéaires

Rappels sur les applications linéaires Rappels sur les applications linéaires 1 Définition d une application linéaire Définition 1 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K et f une application de E dans F Dire que f est linéaire

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme?

Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? Exercices Alternatifs Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? c 2004 Frédéric Le Roux, François Béguin (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: polynome-lagrange/. Version

Plus en détail

Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme?

Exercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? Exercices Alternatifs Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? c 2004 Frédéric Le Roux, François Béguin (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: polynome-lagrange/. Version

Plus en détail

Lycée Alexis de Tocqueville. BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE Blanc Corrigé. Série S.T.M.G. Février 2015 Épreuve de mathématiques.

Lycée Alexis de Tocqueville. BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE Blanc Corrigé. Série S.T.M.G. Février 2015 Épreuve de mathématiques. Lycée Alexis de Tocqueville BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE Blanc Corrigé Série S.T.M.G. Février 2015 Épreuve de mathématiques Durée 3 heures Le candidat traitera obligatoirement les quatre exercices ******

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Mathématiques assistées par ordinateur

Mathématiques assistées par ordinateur Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynômes réels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Année 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/ eiserm/cours # mao Document

Plus en détail

Cours de mathématiques.

Cours de mathématiques. Orsay 008-009 IFIPS S Mathématiques (M160). Cours de mathématiques. 1. Equations différentielles linéaires du second ordre. La fonction C : x cos x est indéfiniment dérivable sur R, et C (x) = S(x), avec

Plus en détail

Factorisation des matrices creuses

Factorisation des matrices creuses Chapitre 5 Factorisation des matrices creuses 5.1 Matrices creuses La plupart des codes de simulation numérique en mécanique des fluides ou des structures et en électromagnétisme utilisent des discrétisations

Plus en détail

Algorithmique et Programmation TD n 9 : Fast Fourier Transform

Algorithmique et Programmation TD n 9 : Fast Fourier Transform Algorithmique et Programmation TD n 9 : Fast Fourier Transform Ecole normale supérieure Département d informatique td-algo@di.ens.fr 2011-2012 1 Petits Rappels Convolution La convolution de deux vecteurs

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

PROGRAMMES DE MATHÉMATIQUES EN VIGUEUR DE L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE GÉNÉRAL TECHNIQUE ET PROFESSIONNEL

PROGRAMMES DE MATHÉMATIQUES EN VIGUEUR DE L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE GÉNÉRAL TECHNIQUE ET PROFESSIONNEL MINISTÈRE DE L ÉDUCATION DE L ALPHABÉTISATION ET DES LANGUES NATIONALES RÉPUBLIQUE DU MALI Un Peuple Un But Une Foi PROGRAMMES DE MATHÉMATIQUES EN VIGUEUR DE L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE GÉNÉRAL TECHNIQUE

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 18 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R (x + y, x

Plus en détail

La maison Ecole d ' Baccalauréat blanc Classe de terminale ES. Exercice 1 - sur 4 points

La maison Ecole d ' Baccalauréat blanc Classe de terminale ES. Exercice 1 - sur 4 points La maison Ecole d ' Baccalauréat blanc Classe de terminale ES Année scolaire 00-004 Copyright c 004 J.- M. Boucart GNU Free Documentation Licence On veillera à détailler et à rédiger clairement les raisonnements,

Plus en détail

Première partie. Deuxième partie

Première partie. Deuxième partie PC 96-97 correction épreuve X97 Première partie. f étant convexe sur l intervalle [t, t 2 ], sa courbe représentative est en dessous la corde joignant les points (t, f(t )) et (t 2, f(t 2 )). Comme f(t

Plus en détail

LA PROGRAMMATION LINEAIRE : UN OUTIL DE MODELISATION

LA PROGRAMMATION LINEAIRE : UN OUTIL DE MODELISATION LA PROGRAMMATION LINEAIRE : UN OUTIL DE MODELISATION Dans les leçons précédentes, nous avons modélisé des problèmes en utilisant des graphes. Nous abordons dans cette leçon un autre type de modélisation.

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires :

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : Exo7 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R R f 1 x,y = x + y,x y f : R R f x,y,z = xy,x,y f : R R f x,y,z = x + y + z,y z,x

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option (Public2014-B1) Résumé : On présente un exemple de système de deux espèces en compétition dans un environnement périodique.

Plus en détail

Faisceau gaussien. A = a 0 e ikr e i k. 2R (x2 +y 2 )

Faisceau gaussien. A = a 0 e ikr e i k. 2R (x2 +y 2 ) Faisceau gaussien 1 Introduction La forme du faisceau lumineux émis par un laser est particulière, et correspond à un faisceau gaussien, ainsi nommé car l intensité décroît suivant une loi gaussienne lorsqu

Plus en détail

Rappels sur les suites - Algorithme

Rappels sur les suites - Algorithme DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................

Plus en détail

Arithmétique modulaire et applications à la cryptographie

Arithmétique modulaire et applications à la cryptographie Arithmétique modulaire et applications à la cryptographie Etant donné un entier n, l arithmétique modulo n consiste à faire des calculs sur les restes dans la division euclidienne des entiers par n. Exemples

Plus en détail

Exo7. Formes quadratiques. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr

Exo7. Formes quadratiques. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr Exo Formes quadratiques Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

Plus en détail

Les indices à surplus constant

Les indices à surplus constant Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté

Plus en détail

Quadrature n 74 (2009) 10 22. Online Material

Quadrature n 74 (2009) 10 22. Online Material Quadrature n 74 (009) 10 Online Material E. Brugallé, Online Material Un peu de géométrie tropicale Solutions des exercices Erwan Brugallé Université Pierre et Marie Curie, Paris 6, 175 rue du Chevaleret,

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y )

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y ) COR TD 2 Année 21 Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R 2 R 2 f 1 x, y = 2x + y, x y f 2 : R R f 2 x, y, z = xy, x, y f : R R f x, y, z = 2x + y + z, y z, x

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

Cours de Mathématiques

Cours de Mathématiques Cours de Mathématiques Lycee Gustave Eiffel PTSI 02/03 Chapitre 3 Fonctions usuelles 3.1 Théorème de la bijection Une fonction dérivable sur un intervalle I, strictement monotone déþnit une bijection.

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé.

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. TES Spé Maths Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. Vous apporterez un grand soin à la présentation et à la

Plus en détail

Exercices - Réduction des endomorphismes : énoncé. Réduction pratique de matrices

Exercices - Réduction des endomorphismes : énoncé. Réduction pratique de matrices Réduction pratique de matrices Exercice 1 - Diagonalisation - 1 - L1/L2/Math Spé - Diagonaliser les matrices suivantes : 0 2 1 A = 3 2 0 B = 2 2 1 0 3 2 2 5 2 2 3 0 On donnera aussi la matrice de passage

Plus en détail