Université Pierre et Marie Curie-Paris 6 - Algèbre linéaire. Réduction M 1 =

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1 Université Pierre et Marie Curie-Paris 6 - Algèbre linéaire Réduction. Calculs pratiques (a On considère la matrice M = i. Déterminer les valeurs propres de M. ( 2 2 ii. Déterminer les sous-espaces propres de M. M est-elle diagonalisable? iii. Déterminer la matrice de passage P àunebasedediagonalisationb,ainsiqueson inverse P. iv. Montrer que M est semblable à une matrice diagonale D, que l on précisera. Que peut-on en déduire pour l inversibilité de M? v. Calculer, pour tout entier naturel non nul n, M n. (b On considère la matrice M 2 = i. Déterminer les valeurs propres de M 2. ( 3 ii. Déterminer les sous-espaces propres de M 2. M 2 est-elle diagonalisable? iii. Déterminer la matrice de passage P 2 àunebasedediagonalisationb 2,ainsiqueson inverse P 2. iv. Montrer que M 2 est semblable à une matrice diagonale D 2, que l on précisera. Que peut-on en déduire pour l inversibilité de M 2?

2 v. Calculer, pour tout entier naturel non nul n, M n 2. (c On considère la matrice i. Déterminer les valeurs propres de A ii. Déterminer les sous-espaces propres de A. A est-elle diagonalisable? iii. Déterminer la matrice de passage P A àunebasedediagonalisationb A,ainsiqueson inverse P A. iv. Montrer que A est semblable à une matrice diagonale D A, que l on précisera. v. Calculer, pour tout entier naturel non nul n, A n. (d On considère la matrice B = i. Déterminer les valeurs propres de B ii. Déterminer les sous-espaces propres de B. B est-elle diagonalisable? iii. Déterminer la matrice de passage P B àunebasedediagonalisationb B. iv. Montrer que B est semblable à une matrice diagonale D B, que l on précisera. v. Calculer, pour tout entier naturel non nul n, B n. (e Soit A M (C. On suppose que les valeurs propres de A sont,, i et i. i. Montrer que A est diagonalisable et inversible. ii. Exprimer A en fonction de A. 2. Soit a un réel. On considère la matrice carrée d ordre n (n 2 : a a. a A = a a a 2

3 i. Déterminer les valeurs propres de la matrice A. ii. A quelle condition sur a la matrice A est-elle inversible? Déterminer, dans ce cas, sa matrice inverse A (on utilisera à cet effet le résultat du i. iii. Que vaut det A? Retrouver ainsi la condition d inversibilité de A portant sur a. iv. a. On considère le polynôme P tel que : P (X =X 2 (n 2 ax (n a 2 Vérifier que P (A =, puis comparer le spectre de A et l ensemble des racines de P. b. Soit k un entier naturel non nul. Effectuer la division euclidienne de X k par P, en montrant qu elle conduit à un résultat de la forme : X k = P (X Q(X+α k X + β k où Q est un polynôme que l on cherchera pas à expliciter, et α k et β k deux réels. Comment peut-on calculer simplement α k et β k? c. En déduire, pour entier naturel non nul k, une méthode de calcul de A k. 3. Co-diagonalisation. On considère la matrice : A = ( i. A est-elle diagonalisable? Si oui, la diagonaliser, en précisant la matrice de passage P à la base de diagonalisation. ii. On cherche à résoudre l équation matricielle M 2 + M = A, oùm M 2 (IR. A cet effet, on pose : D = P AP, et M = P MP. Montrer que D et M commutent. Que peut-on en déduire?. Une méthode de trigonalisation. Soit α un réel non nul. On considère la matrice α α i. Déterminer les valeurs propres, puis les sous-espaces propres de la matrice A. Est-elle diagonalisable? ii. On cherche à montrer qu il existe trois vecteurs u, u 2, u 3 de IR 3, formant une famille libre, et tels que : Mu = u Mu 2 = u 2 + u Mu 3 = u 3 αu 2 3

4 a. Que peut-on choisir pour u? b. Montrer que : (M + I 3 2 u 2 = c. Montrer que : d. Montrer que u =, u 2 = (M + I 3 3 u 3 =, u 3 = convient. e. Soit P =(u,u 2,u 3 la matrice dont les vecteurs colonnes sont, respectivement, u, u 2, u 3 (on prendra les valeurs données précédemment. Montrer que P est inversible, et calculer son inverse P. Que remarque-t-on pour la matrice T = P MP? 5. Apartird unerelationmatricielle... Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2, et A une matrice carrée d ordre n telle que 2 A 2 = A + I n,oùi n est la matrice identité d ordre n. i. Quelle sont les valeurs possibles des valeurs propres de A? ii. Montrer que pour tout entier naturel k, il existe des réels a k et b k et un polynôme P k IR[X] tels que X k = P k (X(2X 2 X + a k X + b k. Déterminer a k et b k. iii. Montrer que A k converge vers une matrice B lorsque k tend vers +, et déterminer B. (a Montrer que B est la matrice d un projecteur, dont on donnera les éléments caractéristiques. 6. Spectre de la comatrice d une matrice carrée. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2, et A une matrice carrée d ordre n. Déterminer les valeurs propres de la comatrice de A. 7. Equation de Sylvester. Soit n un entier naturel strictement positif, et A et B dans M n (C. On considère l endomorphisme u de M n (C : T AT TB. Montrer que : λ Sp(u (α, β Sp(A Sp(B :λ = α β

5 8. Réduction d une matrice stochastique On considère la matrice carrée A d ordre 3 définie par (a La matrice A est-elle diagonalisable dans C? (b On note D = i i Calculer D n,puis lim n + Dn. (c Que vaut lim n + An? On demande ici une expression explicite de la limite.. 9. Réduction de matrices blocs (a n étant un entier strictement supérieur à 2, et A une matrice carrée d ordre n complexe, on considère la matrice par blocs : ( In B =. A i. Calculer det B. Que représentent les valeurs propres de B par rapport à celles de A? (On pourra considérer un vecteur propre Z de B associé à la valeur propre λ C ii. Montrer que B est diagonalisable si et seulement si A est diagonalisable et inversible. (b Soit α un nombre complexe, et n un entier naturel non nul supérieur ou égal à 2, et A une matrice carrée d ordre n complexe. Etudier la diagonalisabilité de la matrice par blocs ( A αa M = A A (on commencera par étudier le cas α =. Pour le cas α, on posera α = δ 2, δ C. 5