CHAPITRE 3 INTRODUCTION A LA PERFORMANCE D'UN SYSTÈME REPRÉSENTATIONS

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1 Universié de Savoie DEUG STPI Unié U32 Sysèmes linéaires - Auomaique CHAPITRE 3 INTRODUCTION A LA PERFORMANCE D'UN SYSTÈME REPRÉSENTATIONS Le sysème es mainenan mis en équaion, il es donc beaucoup plus facile d'évaluer ses performances Suivan le conexe, l'auomaicien doi connaîre deux aspecs du sysème : régime ransioire e régime permanen Régime ransioire Ce régime de foncionnemen doi êre bien connu pour les sysèmes lens ou qui doiven réagir à une consigne Les performances du sysème son obenues en mesuran la rapidié de prise en compe de la commande e la précision aeine en sorie Exemple: T consigne four T aeine erreur T finale T iniiale emps de monée Les régimes ransioires (régime de ransiion enre T iniiale e T finale sur l exemple précéden) peuven êre de naures rès différenes suivan le signal que l'on présene en enrée Pour effecuer des comparaisons rapides enre ous les sysèmes, on s'inéresse au régime ransioire obenu par l'applicaion de deux signaux pariculiers: Réponse impulsionnelle Réponse impulsionnelle Rappel: C'es la réponse du sysème lorsque le signal d'enrée es une impulsion de Dirac δ ( ) réponse h ( ) On a vu précédemmen que la ransformée de Laplace de ( ) sysème: H ( p) = LP[ h( ) ] On noe cee h es égale à la foncion de ransfer du La réponse impulsionnelle conien donc oue l informaion nécessaire sur le sysème Cependan, l'uilisaion de cee réponse s'accompagne de quelques difficulés praiques car on ne sai pas oujours réaliser une impulsion de durée rès brève vis à vis des consanes de emps mises en jeu dans le sysème éudié - 7 -

2 Universié de Savoie DEUG STPI Unié U32 Sysèmes linéaires - Auomaique La réponse impulsionnelle ne perme pas d'évaluer les performances d'un sysème, mais elle perme d'inroduire la noion de sabilié : Sabilié Un sysème es di sable, si sa réponse impulsionnelle es le siège d'un régime amori : lim h = Exemples: + ( ) Sysème sable: iniial h( ) final Sysème oscillan: insable iniial h ( ) oscillaions Sysème insable: iniial h ( ) desrucion? Cee noion de sabilié, rès imporane dans l'éude des sysèmes, sera largemen reprise e approfondie dans le cours d auomaique On ne doi pas oublier, en effe, que commander correcemen un sysème, c'es avan ou évier qu'il ne devienne insable 2 Réponse indicielle Réponse indicielle C'es la réponse du sysème lorsque le signal d'enrée es un échelon u ( ) w ( ) Les performances du sysème son définies à parir des caracérisiques de cee réponse : On noe cee réponse Régime de foncionnemen Le sysème es di apériodique s'il aein sa valeur limie sans oscillaion Dans le cas conraire, il es di pseudo-périodique Le régime criique sépare ces deux régimes Temps de réponse à e% - 8 -

3 Universié de Savoie DEUG STPI Unié U32 Sysèmes linéaires - Auomaique On appelle emps de réponse à e%, le emps que me le sysème pour s'éablir à e% de la valeur finale Le emps de réponse le plus uilisé es le emps de réponse à 5% On le noe en général r Exemple: Régime apériodique : u( ) w( ) r Régime pseudo-périodique : X p p r Pour les sysèmes pseudo-périodiques, on défini aussi: p : insan de premier dépassemen X p : ampliude de premier dépassemen Remarques: On a LP[ u( ) ] p E d'après la définiion de la foncion de ransfer, la réponse indicielle d'un sysème es caracérisée par: W ( p) = H ( p) U ( p) pw p = H p Soi: ( ) ( ) D'après les propriéés de la ransformée de Laplace, on a donc: w ' ( ) LP [ H ( p) ] Soi: w ' ( ) = h( ) où h ( ) es la réponse impulsionnelle du sysème + = ( ( ) w es nul) 2 Pour compléer l'éude d'un sysème, on s'inéresse parfois à la réponse à un échelon de viesse ou réponse à une rampe : - 9 -

4 Universié de Savoie DEUG STPI Unié U32 Sysèmes linéaires - Auomaique posiion y() 2 Régime harmonique Ce régime de foncionnemen doi êre connu pour ous les sysèmes rapides ou de ype filre En effe, on s'inéresse ici au comporemen fréqueniel du sysème: affaiblissemen e déphasage du signal pour une fréquence donnée Régime harmonique Soi un sysème scalaire, linéaire e invarian On di que le sysème es en régime harmonique lorsque le signal d'enrée es sinusoï dal e que le sysème es en régime permanen On suppose que le sysème es régi par l'équaion différenielle suivane, avec des condiions iniiales nulles : a d n x a dx a x b d m y b dy n n = m m b y d d d d Pour simplifier les calculs qui von suivre, on uilise le principe de superposiion e on éudie la réponse au jω jφx jω x = X e = X cos ω + jsin ω = X e e avec j 2 = - signal complexe : ( ) [ ( ) ( )] On revien au signal réel x( ) = Re[ x( ) ] = X cos ( ω + Φ x ) X : ampliude de x ( ) Φ : phase de x ( ) x X : ampliude complexe de x ( ) jω En régime permanen, la soluion de l'équaion différenielle es de la forme : y( ) = Ye : la sorie du sysème oscille avec la même fréquence que l'enrée, mais avec une ampliude différene e un déphasage On a : n jω jω jω m jω jω jω a X jω e + + a X jω e + a X e = b Y jω e + + b Y jω e b Y e n ( ) ( ) ( ) ( ) m + Y a ( jω) b ( jω) + + a + + b n d'où : = = H ( jω) X m n m Finalemen, le signal de sorie es caracérisé par : [ ω ] Y = X H( jω) e Φ = Arg H( j ) - 2 -

5 Universié de Savoie DEUG STPI Unié U32 Sysèmes linéaires - Auomaique On passe donc de H(p) à H( jω ) en remplaçan p par jω H( jω) es appelée ransmiance isochrone ou foncion de ransfer du sysème H( jω ) donne le gain du sysème pour la pulsaion ω [ ( )] Arg H jω donne la phase du sysème pour ω Les paramères caracérisan le foncionnemen du sysème en régime harmonique son le gain e le déphasage Le sysème es donc bien connu lorsqu'on a une représenaion du gain e du déphasage en foncion de la fréquence de foncionnemen Plusieurs ypes de représenaion son uilisés : 2 Représenaion de Bode Cee représenaion es consiuée de deux courbes: 2log H( jω ) (unié: décibel, db) en foncion de ω [ ] 2 ( ) Arg H jω (unié: ou radian) en foncion de ω Pour ces deux racés, l'axe des ω es gradué avec une échelle logarihmique Exemples : voir Unié U22-Sysèmes linéaires e TD 22 Représenaion dans le plan de Nyquis Cee représenaion es consiuée d'une seule courbe: Pour ω= ω + à on race ( ) parie réelle en abscisses La courbe obenue es graduée en ω Exemples : voir TD H jω dans le plan complexe : la parie imaginaire en ordonnées e la 23 Représenaion dans le plan de Black De même que pour la représenaion dans le plan de Nyquis, cee représenaion es égalemen consiuée d une seule courbe Pour ω = à ω +, ( ) L axe verical représene le module de H( jω ) en décibels ( ( j ) db phase de H( jω ) en radians ou en degrés ( φ[ H ( jω) ]) H jω es racé dans le sysème de coordonnées de Black H ω ) e l axe horizonal représene la Exemple : ( ω ) H j db -8-9 φ [ H ( j ω) ] Définiions - 2 -

6 Universié de Savoie DEUG STPI Unié U32 Sysèmes linéaires - Auomaique Pour comparer les régimes harmoniques des différens sysèmes renconrés, on défini les paramères suivans : Pulsaions de coupure On appelle pulsaions de coupure du sysème, les pulsaions pour lesquelles le gain a diminué de 3 db par rappor au maximum local On noe ces pulsaions ω ck Bande passane On appelle bande passane, la zone de fréquence dans laquelle le gain n'es pas inférieur à -3 db du maximum Gain saique On appelle gain saique du sysème, la valeur de H( ) Cee valeur correspond au gain du sysème en réponse à un échelon : (c'es à dire lorsque ω, voir héorème de la valeur finale) ampliude sorie enrée gain saique

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