UNIVERSITE PARIS X - NANTERRE U.F.R. de Sciences Economiques, Gestion, Mathématiques et Informatique. Examen d introduction aux séries temporelles
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- Pierre-Louis Desmarais
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1 UNIVERSITE PARIS X - NANTERRE U.F.R. de Sciences Economiques, Gestion, Mathématiques et Informatique Deuxième année de Master : Mention Economie Appliquée Mention Monnaie, Banque, Finance, Assurance Année universitaire Février 2009 Cours de Valérie MIGNON Examen d introduction aux séries temporelles Durée : 2 heures L'usage des calculatrices est interdit Aucun document n'est autorisé Les tables de valeurs critiques des tests de racine unitaire figurent en annexe On considère la série hebdomadaire du taux de change Dollar/Euro sur la période allant du 12 mai 1989 au 7 mai Cette série, transformée en logarithme, est notée LEURO. La série en différence première est notée DLEURO. 1. Commenter de façon détaillée les quatre graphiques suivants..2 Figure 1. Représentation de LEURO LEURO 1
2 Figure 2. Représentation de DLEURO DLEURO Figure 3. Corrélogramme de LEURO 2
3 Figure 4. Corrélogramme de DLEURO 2. Commenter de façon détaillée la figure et les statistiques suivantes. Figure 5. Statistiques descriptives sur la série DLEURO Series: DLEURO Sample 5/19/1989 5/07/2004 Observations 782 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability On s intéresse à présent à l étude de la stationnarité de la série LEURO. Pour cela des tests de Dickey-Fuller Augmenté (ADF) et de KPSS ont été appliqués. Les résultats obtenus figurent dans les tableaux ci-après. 3
4 Tableau 1. Test ADF sur LEURO Null Hypothesis: LEURO has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Fixed) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LEURO) Date: 11/24/04 Time: 16:51 Sample(adjusted): 5/19/1989 5/07/2004 Included observations: 782 after adjusting endpoints LEURO(-1) C E E R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Tableau 2. Test ADF sur LEURO Null Hypothesis: LEURO has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Fixed) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LEURO) Date: 11/24/04 Time: 16:53 Sample(adjusted): 5/19/1989 5/07/2004 Included observations: 782 after adjusting endpoints LEURO(-1) C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)
5 Tableau 3. Test ADF sur LEURO Null Hypothesis: LEURO has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Fixed) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LEURO) Date: 11/24/04 Time: 16:53 Sample(adjusted): 5/19/1989 5/07/2004 Included observations: 782 after adjusting endpoints LEURO(-1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Durbin-Watson stat Tableau 4. Test KPSS sur LEURO Null Hypothesis: LEURO is stationary Exogenous: Constant, Linear Trend Bandwidth: 22 (Newey-West using Bartlett kernel) LM-Stat. Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test statistic Asymptotic critical values*: 1% level % level % level *Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (1992, Table 1) Residual variance (no correction) HAC corrected variance (Bartlett kernel) KPSS Test Equation Dependent Variable: LEURO Date: 11/24/04 Time: 09:53 Sample: 5/12/1989 5/07/2004 Included observations: 783 C E R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)
6 Tableau 5. Test KPSS sur LEURO Null Hypothesis: LEURO is stationary Exogenous: Constant Bandwidth: 22 (Newey-West using Bartlett kernel) LM-Stat. Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test statistic Asymptotic critical values*: 1% level % level % level *Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (1992, Table 1) Residual variance (no correction) HAC corrected variance (Bartlett kernel) KPSS Test Equation Dependent Variable: LEURO Date: 11/24/04 Time: 09:53 Sample: 5/12/1989 5/07/2004 Included observations: 783 C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Durbin-Watson stat Après avoir brièvement rappelé le principe des tests ADF et KPSS, commenter de façon détaillée les résultats figurant dans les tableaux 1 à Ces mêmes tests ont été appliqués à la série DLEURO. Les résultats provenant des modèles finalement retenus figurent dans les tableaux 6 et 7. 6
7 Tableau 6. Test ADF sur DLEURO Null Hypothesis: DLEURO has a unit root Exogenous: None Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=20) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level *MacKinnon (1996) one-sided p-values. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(DLEURO) Date: 11/24/04 Time: 09:53 Sample(adjusted): 5/26/1989 5/07/2004 Included observations: 781 after adjusting endpoints DLEURO(-1) R-squared Mean dependent var -3.08E-05 Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Durbin-Watson stat Tableau 7. Test KPSS sur DLEURO Null Hypothesis: DLEURO is stationary Exogenous: Constant Bandwidth: 8 (Newey-West using Bartlett kernel) LM-Stat. Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test statistic Asymptotic critical values*: 1% level % level % level *Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (1992, Table 1) Residual variance (no correction) HAC corrected variance (Bartlett kernel) KPSS Test Equation Dependent Variable: DLEURO Date: 11/24/04 Time: 09:54 Sample(adjusted): 5/19/1989 5/07/2004 Included observations: 782 after adjusting endpoints C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Durbin-Watson stat
8 Commenter de façon détaillée ces résultats et conclure sur la nature des séries LEURO et DLEURO. 5. On s intéresse à présent à la modélisation de la série DLEURO par un processus de type ARMA Quels sont les différents types de processus ARMA candidats à la modélisation de la série DLEURO? 5.2. Divers processus ont été estimés. Les résultats obtenus figurent dans les tableaux ciaprès. Tableau 8. Estimation du processus ARMA(4,4) Dependent Variable: DLEURO Date: 11/24/04 Time: 09:57 Sample(adjusted): 6/16/1989 5/07/2004 Included observations: 778 after adjusting endpoints Convergence achieved after 71 iterations Backcast: 5/19/1989 6/09/1989 C AR(1) AR(2) AR(3) AR(4) MA(1) MA(2) MA(3) MA(4) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Tableau 9. Estimation du processus ARMA(1,1) Dependent Variable: DLEURO Date: 11/24/04 Time: 09:58 Sample(adjusted): 5/26/1989 5/07/2004 Included observations: 781 after adjusting endpoints Convergence achieved after 16 iterations Backcast: 5/19/1989 C AR(1) MA(1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)
9 Tableau 10. Estimation du processus ARMA(4,4) «troué» Dependent Variable: DLEURO Date: 11/24/04 Time: 09:58 Sample(adjusted): 6/16/1989 5/07/2004 Included observations: 778 after adjusting endpoints Convergence achieved after 12 iterations Backcast: 5/19/1989 6/09/1989 C AR(4) MA(4) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Tableau 11. Estimation du processus AR(4) Dependent Variable: DLEURO Date: 11/24/04 Time: 16:54 Sample(adjusted): 6/16/1989 5/07/2004 Included observations: 778 after adjusting endpoints Convergence achieved after 3 iterations C AR(1) AR(2) AR(3) AR(4) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Tableau 12. Estimation du processus MA(4) Dependent Variable: DLEURO Date: 11/24/04 Time: 16:55 Sample(adjusted): 5/19/1989 5/07/2004 Included observations: 782 after adjusting endpoints Convergence achieved after 6 iterations Backcast: 4/21/1989 5/12/1989 C MA(1) MA(2) MA(3) MA(4) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)
10 Commenter ces résultats d estimation. Pour tous les tests de significativité des coefficients, on retiendra un seuil statistique de 10% (valeur critique de la loi de Student : 1,645) Une étude des résidus de chacun des modèles estimés a ensuite été effectuée. Les résultats obtenus figurent ci-après pour chacun des modèles estimés. Figure 6. Corrélogramme des résidus du modèle ARMA(4,4) Tableau 13. Test ARCH. Modèle ARMA(4,4) ARCH Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Date: 11/24/04 Time: 10:23 Sample(adjusted): 7/07/1989 5/07/2004 Included observations: 775 after adjusting endpoints C E RESID^2(-1) RESID^2(-2) RESID^2(-3) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 7.73E-05 Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)
11 Figure 7. Corrélogramme des résidus du modèle ARMA(1,1) Tableau 14. Test ARCH. Modèle ARMA(1,1) ARCH Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Date: 11/24/04 Time: 10:25 Sample(adjusted): 6/16/1989 5/07/2004 Included observations: 778 after adjusting endpoints C E RESID^2(-1) RESID^2(-2) RESID^2(-3) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 8.68E-05 Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)
12 Figure 8. Corrélogramme des résidus du modèle ARMA(4,4) «troué» Tableau 15. Test ARCH. Modèle ARMA(4,4) «troué» ARCH Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Date: 11/24/04 Time: 10:26 Sample(adjusted): 7/07/1989 5/07/2004 Included observations: 775 after adjusting endpoints C E RESID^2(-1) RESID^2(-2) RESID^2(-3) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 8.68E-05 Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)
13 Figure 9. Corrélogramme des résidus du modèle AR(4) Tableau 16. Test ARCH. Modèle AR(4) ARCH Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Date: 11/24/04 Time: 16:58 Sample(adjusted): 7/07/1989 5/07/2004 Included observations: 775 after adjusting endpoints C E RESID^2(-1) RESID^2(-2) RESID^2(-3) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 8.73E-05 Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)
14 Figure 10. Corrélogramme des résidus du modèle MA(4) Tableau 17. Test ARCH. Modèle MA(4) ARCH Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Date: 11/24/04 Time: 16:57 Sample(adjusted): 6/09/1989 5/07/2004 Included observations: 779 after adjusting endpoints C E RESID^2(-1) RESID^2(-2) RESID^2(-3) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 8.76E-05 Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Rappeler brièvement le principe des tests effectués ici. Comment peut-on choisir le nombre de retards à retenir pour mener à bien le test ARCH? Commenter de façon très détaillée tous ces résultats Quel modèle retiendra-t-on finalement pour décrire l évolution de la série DLEURO? 14
15 Annexe : tables de valeurs critiques Valeurs critiques du test de Dickey-Fuller Valeurs critiques des t de Student pour ρ = 1 Nombre Seuil de probabilité d'observations 1 % 5 % 10 % Modèle sans constante ni tendance 100-2,60-1,95-1, ,58-1,95-1, ,58-1,95-1,62-2,58-1,95-1,62 Modèle avec constante sans tendance 100-3,51-2,89-2, ,46-2,88-2, ,44-2,87-2,57-3,43-2,86-2,57 Modèle avec constante et tendance 100-4,04-3,45-3, ,99-3,43-3, ,98-3,42-3,13-3,96-3,41-3,12 Valeurs critiques de la constante et de la tendance Modèle avec constante Modèle avec constante et tendance sans tendance t constante = 0 t constante = 0 t trend = 0 N obs. 1 % 5 % 10 % 1 % 5 % 10 % 1 % 5 % 10 % 100 3,22 2,54 2,17 3,78 3,11 2,73 3,53 2,79 2, ,19 2,53 2,16 3,74 3,09 2,73 3,49 2,79 2, ,18 2,52 2,16 3,72 3,08 2,72 3,48 2,78 2,38 3,18 2,52 2,16 3,71 3,08 2,72 3,46 2,78 2,38 Valeurs critiques du test KPSS 1% 5% 10% Sans dérive 0,739 0,463 0,347 Avec dérive 0,216 0,146 0,119 15
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