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Gilles Lévesque
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1 Décomposition de Beveridge-Nelson One Pager Avril 2013 Vol. 6 Num. 006 Copyright Laréq Décomposition de Beveridge Nelson Jean Paul Kimbambu, Tsasa Vangu «Les bonnes questions ne se satisfont pas de réponses faciles.» Paul A. Samuelson ( ), Prix Nobel d économie en 1970 Résumé Ce papier présente la méthode de Beveridge Nelson qui est une des techniques statistiques de décomposition des chroniques macroéconomiques en une somme d une composante permanente et d une composante transitoire. Une des spécificités de cette méthode est qu elle considère la composante permanente comme un processus stochastique. Mots clé : Tendance, cycle, racine unitaire. Abstract This paper focuses on the Beveridge Nelson decomposition, which is a model-based method for decomposing time series into permanent and transitory components. Note that this method, unlike traditional methods, considers the trend as a stochastic process. Introduction L analyse des chroniques macroéconomiques repose généralement sur une décomposition en tendance et en cycle. Une telle analyse, pour le cas de l économie congolaise, a constitué l objet principal d étude dans Kabuya Tsasa (2012) et Matata Tsasa (2012). S inscrivant dans la suite de ces essais, ce papier se propose de présenter une des techniques statistiques qui autorise ce genre de décomposition dans le cas des processus univariés (linéaires). Rappelons à cet effet que, initialement, la démarche suivie par les économistes pour procéder à la décomposition d une série temporelle, reposait essentiellement soit sur des techniques de lissage, soit sur l estimation d une tendance déterministe, dont les développements ont permis de dériver, plus tard, les techniques de filtrage telles que l approche de décomposition basée sur le filtre de Hodrick Prescott (1997). Parallèlement à cette démarche et suite à la mise en évidence de la problématique des racines unitaires dans les chroniques macroéconomiques, cette vision traditionnelle et simpliste de décomposition des chroniques sera remise en cause, d abord par Beveridge et Nelson (1981), puis par Nelson et Plosser (1982), au profit notamment d une approche basée sur une définition stochastique de la composante permanente de la chronique. Ainsi, à la suite de ces travaux, les économistes se sont rendu compte que la prise en compte de la composante stochastique dans l extraction de la tendance permettait de capter convenablement les effets de la persistance des chocs aléatoires sur les chroniques pouvant être approchées par une 44

2 représentation autorégressive avec racine unitaire 1. Et, nous verrons plus loin que la méthode développée par Beveridge et Nelson est fondée essentiellement sur ces considérations. Nous organisons ce papier comme suit. Dans la section première, nous dérivons la méthode de décomposition de Beveridge Nelson, en considérant le cas où la composante transitoire est stationnaire. Et dans la section deuxième, nous procédons à la même opération, mais cette fois ci, nous considérons le cas où la composante cyclique admet une racine unitaire. Pour un rappel des techniques traditionnelles de décomposition d une série en tendance et cycle, nous recommandons Kamiantako (2010) et Doz Rabault Sobczak (1995, section première). Et pour une présentation de la méthode de filtrage de Hodrick Prescott, cf. Kabuya Tsasa (2012) et Matata Tsasa (2012). Présentation du modèle de Beveridge Nelson L approche de décomposition d une série en une composante permanente (tendance) et une composante transitoire (cycle) proposée par Beveridge et Nelson porte essentiellement sur les chroniques intégrées d ordre 1, admettant une représentation Soit un processus intégré d ordre 1 et admettant une représentation tel que : où désigne un opérateur de retard ; un bruit blanc. Et par ailleurs, les racines des polynômes et sont de module strictement supérieur à 1. Le terme étant l innovation de la composante il vient que, par décomposition de Wold (cf. Tsasa, 2013), l expression peut s écrire comme : où désigne le taux de croissance de et la composante est définie par : avec Et en conséquence, on a : tel que pour : l expression devient : 1 La distinction entre processus admettant une racine unitaire et celui ne l admettant pas est très importante dans l analyse économique de série temporelle, car conduisant à des propriétés différentes dans le long terme en termes, notamment, de l effet de permanence des chocs (persistance des chocs dans le cas d une racine unitaire versus amortissement des chocs dans le cas alternatif). 45

3 Dès lors, partant de la définition du taux de croissance tel qu exprimée dans calculer la valeur de la série en niveau pour la date Ainsi, on a : il devient possible de La prévision optimale à l horizon étant donné les observations disponibles à la date est donnée par : où est l innovation à la date et que : Il ressort donc que la suite des prévisions d horizon se trouve localisée sur la droite de pente passant par le point défini par : où correspondant à la valeur de la tendance de la chronique à l instant décrit le sentier de croissance de long terme (composante permanente). Par ailleurs, la composante apparaît comme une marche aléatoire. En effet, elle correspond à un processus non stationnaire dont les différences premières ne sont pas autocorrélées : L écart entre la chronique et sa tendance noté et désigné est obtenu par : où est un bruit blanc par construction. Et la composante est stationnaire et autocorrélée. Dès lors, la chronique stationnaire autocorrélée : peut s écrire comme une somme d une marche aléatoire et d une série avec défini dans et dans Extension du modèle de Beveridge Nelson Considérons à présent un modèle tel que la composante transitoire admet une racine unitaire. Par conséquent, la chronique peut s écrire comme une somme de deux composantes non stationnaires telle que la première composante est intégrée d ordre 2 et caractérisée par des différences secondes non autocorrélées et la deuxième intégrée d ordre 1, avec des différences premières autocorrélées. 46

4 Appliquons la décomposition de Beveridge Nelson à la composante cyclique Il vient : où est un bruit blanc et avec et Et donc : où De ce qui précède, il suit : D où la décomposition du processus en somme d une composante tendancielle et d une composante stationnaire telles que : et où : avec défini par : Par conséquent, le processus peut être décomposée comme suit : avec où la définition de a été fournie précédemment, et : Au bout de cette analyse, il vient que, d une part, nous pouvons nous proposer dès lors d étendre, dans une publication ultérieure, l étude de la méthode en cause dans le cas multivarié et/ou non linéaire et d autre part, il serait intéressant d envisager une application empirique de cette la méthode aux différentes chroniques macroéconomiques congolaises, notamment au produit intérieur. Ainsi, une telle étude complètera utilement, celle entamée dans Kabuya Tsasa (2012) et Matata Tsasa (2012). 47

5 Bibliographie BEVERIDGE Stephen et Charles R. NELSON, 1981, "A New Approach to Decomposition of Economic Time Series into Permanent and Transitory Components with Particular Attention to Measurement of the Business Cycle ", Journal of Monetary Economics, Vol. 2, Num. 7, DOZ Catherine, Guillaume RABAULT et Nicolas SOBCZAK, 1995, «Décomposition tendance-cycle : estimations par des methods statistiques univariées», in: Économie & prévision, Num. 120, , HODRICK Robert et Edward C. PRESCOTT, 1997, "Postwar U.S. Business Cycles: An Empirical Investigation", Journal of Money, Credit and Banking, Vol. 29, Num. 1, KABUYA François et Jean Paul TSASA, 2012, «Essai d estimation du PIB potentiel de la R.D. Congo par le filtrage univarié de Hodrick Prescott», Discussion Paper Laréq (juin), S1, DPN 004, KAMIANTAKO Antoine, 2010, Théorie et Pratique des Prévisions, Licence Economie Mathématique, polycopié Cours UPC, Kinshasa, 82p. MATATA Dandy et Jean Paul TSASA, 2012, «Désagrégation et Décomposition du PIB de la RD. Congo Applications du Filtre de Hodrick Prescott et de la Méthode Quadratic Much Sum», One Pager Laréq (octobre), vol. 4, num. 001, NELSON Charles R. et Charles I. PLOSSER, 1982, "Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series : Some Evidence and Implications", Journal of Monetary Economics, Num. 10, TSASA Jean Paul, 2013, «Théorème de Décomposition de Wold», One Pager Laréq (avril), vol. 6, num. 004,

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