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1 14 AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES 1996 Options 1/27 compos tion de mathématiques app iquées ANALYSE NUMl%WXJE Approximations d un système d équations différentielles aux limites Dans le problème nous allons étudier l existence et l approximation de la solution d un système d équations différentielles aux limites d ordre 2 dépendant d un paramètre, noté A. Comme le cas A >> 1 nous intéresse, il est important d obtenir des majorations des solutions exactes et approchées qui soient indépendantes de A. Nous nous intéressons au problème suivant, noté (PO): trouver 2 fonctions 0,w : [O, 1) + R satisfaisant au système où A, X 2 1, est un paramètre indépendant de t, (qui peut être grand) et où C est une fonction définie sur (O, 1) de carré intégrable. La premiêre partie du travail est consacrée à I étude des espaces fonctionnels utilisés dans la résolution du problème considéré. Certains résultats sont classiques mais lorsqu on en demande une démonstration, il faut utiliser la démarche proposée, aucune autre démonstration ne sera prise en considération. La deuxième partie étudie l approximation des fonctions introduites dans la partie 1. La partie III est consacrée à I étude théorique du problème tandis que les parties IV et V concernent des approximations du problème. Partie 1. Préambule L étude du problème fait intervenir des espaces fonctionnels construits sur Lz(Z), espace des classes de fonctions numériques de carré intégrable sur Z, Z c R intervalle ouvert. Si l intervalle I est d extrémité3 a et b on le note (a, b) et [a, b] ou f son adhérence. Selon l usage on représente un élément de L2(Z), donc une classe de fonctions, par un élément de cette classe. Deux représentants d une même classe different donc sur un ensemble de mesure nulle (au sens de Lebesgue) ou encore sont égaux presque partout (p.p.). On dit que u E Lz(Z) est Ck(Z) (respectivement C (f)) s il existe un élément de la classe de u qui est une fonction k fois continûment différentiable sur I (respectivement?) et dans ce cas on désigne par u ce représentant C (Z) (respectivement C (7)). Muni du produit scalaire (.,.),yqi) (Z = (a, b)), b (u, V)LP(f) = 1 u(.).(.> dz, et de la norme induite ll.ll~y~~, l espace L2(Z) est un espace de Hilbert. On dit que u E L2(I) admet une ddrivde gdndralisde s il existe u E Lz(Zj tel qqe I On montre facilement qu un tel u, s il existe, est unique p.p. Si ( 1) est réalisé, on peut alors parler de la dérivée généralisée u de u que l on note u. On désigne par H (I) I eapace des fonctiom de L (I) admettant une dérivée généralisée. 1I/ Montrer que si u est dans H1(Z) et que I est borné, alors u appartient h Co(f). 0 En condquence ri u appartient A H (Z) et I est borné, alors u(t) - u(y) = 1 u (t) dt pour tout t, y E 7..

2 AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES Options 2/27 21/ Montrer que si u est dans H'(a, 6) avec.(a) = u(b) = O, alors le prolongement sur R de u par.o est un Clément de H'(R). 0 31/ Montrer que pour u, u E H'(Z), 1' 1' uu'dt = u(z)u(z) - u(y)u(y) - u'u dt pour tout t, y E Z. 0 41/ On veut montrer que si les fonctions u, u E Lz(Z) sont telles que 1 up'di = - 1 updt pour tout p E C,""(Z), où C,oO(Z) désigne l'espace des fonctions indéfiniment différentiables à support compact dans Z, alors u appartient B H'(Z) et v est la dérivée généralisée de u. Pour cela on montrera la relation (EI) en approchant la fonction indicatrice de l'intervalle (z,y) c Z par une suite de fonctions Cp(Z) construites par convolution avec une suite {jn},,e~. où ~,,(z) = nj(nz) avec f E CF(-~, 11, f 3 O, f1 fdt = 1. 0 On vérifie facilement que H'(Z) est un espace vectoriel sur R et que l'application (.,.)HI(,) : H1(Z) x H'(Z) -+ R donnée par (UI V)Hl(I) = (UI u)ly(i) + (u', u')ly(i) est un produit scalaire qui induit sur H'(I) une structure d'espace de Hilbert. Dans la suite on considkre H'(Z) comme étant muni de cette structure topologique. 51/ Montrer que si la fonction u est dans H1(1)' alors 111 désignant la longueur de Z, avec 1/1Z1= O si Z est non borné. On définit l'espace de fonctions 0 Hi(a, a) = {u E H'(a, 6); 44) = u(b) = O}, muni de la topologie induite par celle de H'(a, b). On démontre que Hi(a, b) est l'adhérence de Cy(4, b), résultat que l'on admettra. 61/ Nous supposons que l'intervalle Z est borné. Vérifier qne l'application (., : Hi(Z) x HJ(Z) + R donnée par (U' U)Hi(I) = (14'1 U')L'(I) est un produit scalaire qui induit sur Hi(I) une norme (I.IIH;/j) équivalente à la norme 11.11~1(1). 0 Pour tout entier m 2 2, on définit alors par récurrence 1 espace On introduit la notation d' Hyl) = {u E Hm-'(z);u' E H-yz)}. pour la dérivée généralisée d'ordre L; pour u E H"(Z) nous avons d"u = u et d'u = (&'u)' pour f = 1,..., m. Nous munissons H"(Z) du produit scalaire (.,.)H..(,) donné par rn (u, u)h-(i) = C(d'u, dfu)ly(,). k 0 Le produit scalaire (.,.),p.(,) induit la norme (1) sur H"(Z). Par convention on notera aussi HO(Z) = t Z(Z).

3 16 AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES 1996 Options 3/27 Partie II. Approximation polynomiale. Nous allons étudier l'approximation polynomiale de fonctions appartenant aux espaces précédemment introduits. Nous ferons usage de la notation pour la restriction de f sur l'intervalle (a, b). Pour n E No, soit h = 1/n et (20,...,z,} la partition régulière de (O, 1) donnée par z; = ih. Associés à ces partitions nous définissons les espaces pour r 2 1 wi = {wh E c'[o, l];whl(r,-l,r,) E 9'11 w;,~ i), = W; n ~i(o, où 9' désigne l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à r. III/ Démontrer que, Wi, W;,o sont des espaces vectoriels inclus dans H'(0,l). Donner en le justifiant la dimension de ces es$aces. 0 2II/ Pour u E H'(0, l), on considère le problème Montrer que ce problème admet au moins une solution et que q. E 9' est solution si et seulement si ll(u - q.)'q'dt = O Vg E Y. 3II/ Vérifier que pour toute fonction u E H'(O, 1), il existe un Clément et un seul &,hu E Wl tel que Vi=O,..., n, (u-&,hu)(t;)=o, Vi= 1,..., n, (u - &,hu)'q'dz = 0 vg E 9*. Démontrer que 4II/ En suivant les indications démontrer qu'il existe des constantes C; > O, i = 1,2,3 (ne dépendant ni de h ni de u) telles que pour tout u E Hr+'(O, 1)' 1. - &,hulila(o,l) 5 Clh'+'Ild+'ullL~(O,l), 1. - &,huiihl(o,l) 5 C2hrl[fl+'ullLa(0,l). Pour cela, on montrera d'abord que I. - &,hullia(o,i) 5 c3h211(u -. R,hU)'IIh(o,i) puis on choisira convenablement q dans l'inégalité démontrée h la question 3II/. 0 51I/ En déduire que pour toute fonction u E H'+'(O, l), il existe un dément gr,hu E w[ tel que où C, et Cs ne dépendent ni de h, ni de u. Démontrer que pour u E H'+'(O, 1) n Ht(0, l), on peut construire gr,hu E W,,, satisfaisant aux relations (RII): 0 Partie III. Étudé du problbme (Po) Nous présentons maintenant le cadre pour I'étude du problème (PO). L'espace V = Hi(0,l) x Hi(0, 1) est muni de la norme

4 AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES 1996 Options 4/27 17 Nous définissons la forme bilinéaire bx : V x V R par 1III/ Vérifier que bx(.;.) est un produit scalaire sur V et que pour (8,w) E V où 11.11~ est la norme associée au produit scalaire bx(.,.). 2III/ Si les fonctions B,w E C2(0, 0 1) n Co[O, 11 satisfont au problème (PO), vérifier que V ((P, 4) E V ba(o,w; p, $) = (G, $)~a(o,i). O que Il est dès lors naturel de s'intéresser au problème, noté ( ~II) : trouver des fonctions (O, w) E V telles (411) V(P, $1 E v bx(4w; (PI $1 = CG, $)LO(O,l). 3III/ Démontrer que le problème ( ~II) possède une solution unique (B,w) et qu'il existe C indépendant de X tel que IIBIIH~W) + IbllHl(0,l) + Xlle - w'lllaco,l) I ClIGll~.r(o,~). O 4III/ Si de plus la fonction G est continue sur (011), montrer que les fonctions 0, w sont dans c'(o, 1) n c'[o, 11 et satisfont au problème (PO). 0 5III/ Montrer que si la fonction G appartient à Hm-l(O, l), alors la fonction B est dans Hm+2(0, l), la fonction w est dans H"+'(O, 1) et il existe C ne dépendant que de m 2 1 tel que II%f-+a(0,1) + IIwIIH*+~(o.l) + 4lO - W'IIH"(0,l) 5 ~llgllh~-~(~,l). O Partie IV. Premihe approximation du problhe (PO) Nous allons étudier maintenant une première discrétisation du problème (411) (ou (PO)). Le problème tella que approché, noté (qv), consiste à trouver des fonctions (8h,wh) E V{ E W;,, (4V) V(Vo, $1 E VL ba(oh,wh; 9, $') = (G, $')L*(o,I), x W,,, où la fonction G appartient à H"'(0,l) et l'espace WL,, a été défini à la partie II. 1IV/ Démontrer que le problème (qv) possède une solution unique et vérifier l'estimation ruivante ~(8~6) E V; où (8,w) E V est la solution du problême (411) lie - eh, w - wh IIA I 110-8, w - GIIA, et E Vl la solution du problème (4~). Dans les questions 2IV/ et 31V/ ci-après, (8,w) E V est la solution de (411) solution de (6~). 2IV/ En utilisant la propriété de minimisation vérifiée en liv/ établir 1:estimation 0 et (8A,Wh) E Vl la où C ne dépend que de r (et pas de X ou h). 3IV/ De même établir l'estimation 0 où C ne dépend que de r (et pas de X ou h). 0 Les estimations ci-dessus ne donnent pas des taux optimaux de convergence uniforme en A. En particulier pour des approximations polynomiales de degré 1, nous n'avons PM la convergence uniforme en A. Nous verrons dans la partie suivante du travail comment une légère modification du rchéma d'approximation va donner des estimations optimales uniformes en A.

5 18 AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES 1996 Options 5/27 V.1. Préliminaires Partie V. Seconde approximation du problème (Po) Relativement à la partition régulière de (O, l), donnée par ti = ih, h = I/n, i = O,..., n, on définit l espace UL da fonctions dont la restriction sur chaque intervalle (ti, ti+l) est polynomiale de degré r- 1. Pour f E Ui, 1 E N, on obtient une formule de quadrature pour le calcul approché de /O f(z) dt en écrivant l intégrale comme somme des jzx, +l f(t) dt, i = O,..., n - 1, et en remplaçant cette dernière intégrale par une formule de quadrature de type Gauss à r points. On obtient ainsi une expression de la forme Cyzt f(<i,k)wi,k, notée S(f, r) et dite formule de quadrature d ordre r. Les quantités Wi,k ne dépendent que de ti, ti+l et r ainsi que les <i,k. De plus pour k variant de 1 H r, les points <i,k, appelb points de Gauss, appartiennent à (ti, t;+l). Cette formule de quadrature est exacte pour les fonctions dans l espace Ul. 1V/ Pour f E L2(0, l), on désigne par IIkf la projection de f (au sens du produit scalaire usuel de L (0,l)) sur Ui. Montrer que si la fonction f est dans Ilit1, alors II,f est égale b la fonction de UL qui interpole f aux points de Gauss dans la formule de quadrature d ordre r. 0 2V/ En déduire que pour f et g dans Ui S(fg,.) = 1 (Kf)gdt. O Nous considérons le problème, noté (h) : trouver des fonctions (eh,wh) E v{ et rp, E telles que v(cpp,$) E v{ (pv) v K E UL ]:(eh - w ~ )K dt - A- /: 7hK dt = o. /deh lp dt+i, r)h(cp-$ )dz=~~cidz, 3V/ Vérifier que le problème (h) est équivalent au problème (4~) lorsque nous remplaçons l intégrale (Oh- ui, cp - $ )La(o,1) par la formule de quadrature S((eh - ui)(cp - $JI), r), introduite ci-dessus. 0 Dans la suite du travail nous allons étudier le problème (fi). On peut penser que ce dernier schéma est moins bon que le schéma initial (à cause de l intégration numérique). En fait on montrera qu au contraire le nouveau schéma est meilleur que le schéma initial. Pour l analyse du problème (h), il est commode d utiliser les résultats de calcul matriciel qui font l objet de la section VI. V.11. R6sultats de calcul matriciel Nous introduisons d abord quelques notations. B étant une matrice à coefficients réels, on désigne par B la transposée de B. (a, 6) désigne le produit scalaire euclidien des deux vecteurs a et b de RN, llall la norme associée. On utilise l écriture matricielle par blocs. Dans cette écriture, le bloc O désigne la matrice nulle. h ous partons du système linéaire, noté (SV), dépendant du paramètre X où les données sont d E M,vA~NA(R), B E MND~,vA(R), D E M,vD.,vD(R), fl E RNA et fi E RND. Le paramètre réel X est supérieur ou Cgal à 1. Nous supposons que les données satisfont aux propriétés suivantes : (0) A est symétrique, semi-définie positive et définie positive sur le noyau de B, c est-à-dire (Au, u) 2 O (et > O) pour tout u E RdVA (et u E KerB\{O}), (b) le noyau de B est réduit à {O}, ( c) D est symétrique définie positive. On veut montrer que le système (SV) admet une solution unique dont la norme euclidienne peut être majorée indépendamment de X par des quantités ne faisant intervenir que les données. 4V/ En utilisant une base orthonormée de RA A qui complète une base de KerB, montrer que le système (Sv) est équivalent a un système, noté (SVI), du type A1 A2 O

6 AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES Options 6/27 avec Al E MNA~~NA~(R) symétrique, définie positive, A3 E M.VD~N~(R), BI E M.vgx~~(R) inversible, D la matrice apparaissant dans (Sv) et (A3- AzAF"A2) symétrique semi-définie positive. Montrer que le système (SVI) admet une solution unique dont la norme euclidienne se majore indépendamment de X par les normes des données. 0 SV/ Nous supposons maintenant que la matrice B satisfait à la propriété suivante : il existe /3 > O tel Vérifier qu'alors 'B est injective et que si B1 est une sousmatrice inversible de B, alors la norme O subordonnée a la norme euclidienne de IBF1 est majorée par P". V.III. Ctude du problème (pv) 6V/ On se fixe h. On rkud le problème approché (pv) en prenant une base dans les appaces Wh,o et Ui. Montrer que résoudre le problème approché (h) revient h résoudre un système matriciel (SV) étudié précédemment. Vérifier les hypothisea (a), (b) et (c) introduites pour étudier (SV). Pour étudier le noyau de B, on montrera en particulier que pour un éliment de ce noyau on peut construire un élément (0,u) E Vl tel que w' soit la projection de 8 sur Ui au sens du produit scalaire de L2(0, 1). En déduire alors que (Au, u) > O pour tout u E KerB\{O}. 0 7V/ Vérifier que le problème (4) pdde une solution (8h,Wh) E VL, I)h f unique et qu'il existe C ne dépendant ni de h, ni de X tel que SV/ Soit (8,w) E V la solution de (411), (I = A(8 - w') E L '( O, 1) et (8htWh) E v{, I)h E du problème (%). Vérifier qu'il existe C > O ne dépendant ni de h, ni de X tel que la dution Dans tout le problpme, designera indiffgremment un espace vectoriel ou affine, muni de sa structure euclidienne canonique et orient6 par sa base canonique (e,,e21...,en). En pratique dans le probleme n vaudra 2 ou 3. Rappel Dans rd, on appelle - eysteme de coordonnees cvlindriuues d'un point M relativement au repere orthonormg direct (C,u,,uz,u3) tout triplet (r,8,z) tel que : r 2 O, O S e S2rr et CM = rcose u, + rsid uz + z u,. Si r # O, la base locale au point M est (u,., 91 uz) où u,. = cos0 u, + sini9 u2, uz = u3 et u6 = Uz A.Ur.

7 20 AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES 1996 Optioiis 7/27 Prbliminaires On note O3 le groupe orthogonal et 3 l'espace des endomorphismes de Ces preliminaires Qtudient les applications lineaires de 3 dans lui-meme possedant certaines propribtos d'invariance. Les rbsultats seront utilises en partie III. Pour tout f de 3, on notera 'f E 3, l'unique endomorphisme vbrifiant: t wx wy E IF?, f(x)*y = X' f(y) Une application linbaire K de 3 dans lui-meme sera dite indifferente si pour tout element f de % et pour tout p de O3 on a : t K('P f P ) = P K(f) P (en notant la composition des applications comme un produit). On pourra dans les queetions qui suivent utiliser les symetriee ortho- gonales en adoptant les notations euivantee : pour tout vecteur non nul x sr sera la eymetrie orthogonale par rapport & l'orthogonal {x}' de x ; si x et y oont deux vecteurs formant un oyot6me libre sfy oera la oymbtrie orthogonale par rapport au plan de baee (x+yr x~y). * f:.. Dans cette partie K designera une application linbaire indiffbrente. 1. On t pose 3 = { f E Y; / W p E o3, p f p = f }. Montrer droite vectorielle engendrbe par l'endomorphisme identit6 1. que 9est la 2. Montrer que 1 eet un vecteur propre de K. On appelle an la valeur propre correspondante. 3. Soit 3 une baee orthonormbe de U? on note b = (y,,y2,y3). Soit + l'espace des endomorphiemee de IF? admettant b comme base de vecteurs propres Montrer que +est un espace de dimension 3, etable par K. 3.b. En deduire que l'espace Y des endomorphismee eymetriques de l? est Bgalement stable par K. 4. Soit JB, l'espace des endomorphismes appartenant & +dont la trace est nulle. On note f et g les Bl6ments de JB admettant respectivement (O,l,-1) et (1,0,-1) comme valeurs propres relativement aux vecteurs.propres (y,,yz,y3). 4.a. Montrer que (f,g) est une base de Jset que %est somme directe de JB et 8. 4.b. Montrer que f et g sont des vecteurs propres pour K associbs a la même valeur propre, que l'on notera Q. 5. soit Yb l'espace des endomorphismes symetriques de trace nulle. Montrer que Y est la somme directe de Yb et 3, et que Y. est le sous-espace propre de la restriction de K a y, associe B la valeur propre a.( bl d # da

8 AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES Options 8/27 6. Montrer qu'il existe un unique couple de reels (a,b) tel que, pour tout endomorphisme symgtrique f : K(f) = a f + b trf 1 06 trf designe la trace de f. Si de plus a et &]I sont strictement positifs, montrer qu'il existe un unique couple de reels (E,v), E > O, v > -1, tel que : - 9 = 9 el (9 ' O). l + V V a=-, b = - -. E E Prcmike partit est le repère fixe (0,el,e2,e3). Le champ de pesanteur est defini par On considère un solide s admettant un plan de symbtrie (n). Le solide s est constitue d'un reservoir epherique Y1 et d'une portion de cylindre cli6s rigidement par une tige T.. Le reservoir yl est l'ensemble des points dont la distance a un point fixe C1 de (n) est comprise entre Ri et Re (Ri< Re).. La portion de cylindre Cest definie en coordonnees cylindriques dans un repere orthornonne direct R (C,Xl,Xz,X3) lie h S et tel que (C,Xl,X2) soit un repère de (II), par a 4 r 4 b, , et - - < t 4 - (a,b,e 6tant des constantes delles positives, et 8, E ]O,n[). e e 2 2. La tige T est schematisee par un segment de droite [PlPl de longueur L, le point P1 etant sur le bord exterieur de yl et P sur le bord interieur de C, tel que 9 soit normale en P1 h Yl. Les coordonnees cylindriques dans %du point P sont notees (a,op,o). L'angle (ubp,g) est note 6 (ue etant le 2eme vecteur de la base locale en P). L'angle 6 appartient B ]O,n[. P =.\ \ figure : vue en coupe (dans le plan (n)) d'un exemple de rhlisation de S.

9 22 AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES 1996 Options 9/27 Les solides Yl et '&sont suppos6e rigides, homogenee, de masses volumiques respectives p, et p, la tige Test mpposee sans masse. Le solide s est danc defini par le jeu de parametres (rg,o,,o) les coordonnees : (Ri,R,,a,b,80,e,L,Bp,B,p,Ip). On note cylindriques dans s du centre de gravite G de S, J le moment d'inertie de s par rapport a l'axe GX3, et m la masse de S. On dtudie dans cette partie le mouvement de S, pose sur le plan horizontal defini par (0,e2,e3) de telle manière que le contact *se fasse eut la face inferieure de la portion de cylindre 'i$. On appelle J le point de contact appartenant a (n), ses coordonnees cylindriques dans R sont notees (biojio). On supposera de plus que, au cours du mouvement, le reservoir Y, n'entre pas en contact avec le plan horizontal Calculer les coordonnees des centres de gravit6 de '&et de s dane le rep&re R en fonction du jeu de parametree d6finieeant S On suppose que S roule sans glisser et sans pivoter sur le plan horizontal. A tout instant, au cours du mouvement, (n) coïncide avec le plan defini par (O,e,,e2). Donner une Bquation differentielle du second ordre B laquelle doit aatiefaire 8 = 8,- 8,. Determiner une hquation integrale premiere du mouvement de la forme : 8 = f(ë) , Montres que pour un jeu de parametree donne, il y a au plua un hquilibre possible ; on note 8, la valeur de a correspondant a cet Oquilibre eventuel. Donner les valeurs que peut prendre sa. Etudier la etabilit4, au sens de Liapounov, de l'equilibre eventuel. 1.4:Montrer qu'il existe un quilibre stable pour SI si et seulement ei le jeu de parametres definiesant s verifie : 4 avec m,=?,y x (R: - R:) et L*= L + R, On introduit dans Y,une masse rnt de liquide euppos4 parfait, c'est h dite qui n'exerce pas de frottement sur la paroi interieute de Y,. La surface du fluide est constamment horizontale, le fluide 6tant anime d'un mouvement de solide en translation par rapport h $$. On notera G' le centre de gravite du eysteme constitue de s et du liquide.

10 AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES Options 10/ a. Montrer qu'il y a au plus un Oquilibre possible et que la position d'gquilibre est la mqme que celle obtenue pour un solide s' cortespondant au jeu de paramètres : (Ri,R,,a,b,80,e,L,8p,(3,G,p), oiî 4 est choisie pour que la masse rn; de yl soit m,+ mz. I.5.b. Dire comment doit Qtre modifiee la condition (*) de façon a obtenir une condition necessaire et suffisante d'existence d'un Qquilibre pour lequel G' est situ6 au-dessous de C. - I On supposera maintenant que le reservoir Y, est rempli par le liquide, montrer que la.fonction : u (b,, e,) = e: (3 + rn JCZ + rn2 ~ 4 ) (rn + mc) g. OG' constitue une integrale premiere du mouvement. Etudier la stabilit6 de l'equilibre (au sens de Liapounov). Dans la suite du probleme on adoptera les notations Suivantes : Soit l'espace des applications lineaires de Rn et A un ouvert de Rn. On appelle forme differentielle a sur A a valeurs toute application de A dans &,p. On appelle fonctions coefficients de a relativement aux bases et aij(m) de Rn et les fonctions qui 2L tout W de A associent lee coefficients de la matrice de a(m) dans les bases & et %. On dit que la forme differentielle a est exacte s'il existe une application f diffhrentiable de A dont la differentielle coïncide avec a sur A. On dira que le lemme de Poincare s'applique sur A lorsque, pour toute forme differentielle a de classe C1 sur A B valeurs a est exacte si, et seulement si, s'es coefficients (aij)lgi+,,<j<n verifient les relations : On note :. T,(A) l'espace des applications de classe d"de l<k<p) A dans &,. Tn,.(A) (respectivement Tn,=(A)) l'espace des applications de classe d" de A dans l'espace des endomorphismes symetriques (resp. antisym8triques) de IRn. vn(a) l'espace des champs de vecteurs (c'est a dire des applications de A dans IR") de classe d" sur A. Soit u un Qiement de Vn(A). Sa differentielle du est (516ment de T,(A). Notation : on note Eu (resp. 4)u ) 1'616ment de Tn,s(A) (resp. Tn,=(A)) gui a tout X de A associe la partie aym6trique (reep. antisym6trique) de la differentielle de u au point X.

11 24 AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES 1996 Optioiis 11/27 Formule d'ostroaradski : Soit V une fonction vectorielle de classe C' sur un ouvert U Soit K un compact inclus dans U dont la frontière ak est compoebe d'un nombre fini de morceaux de surfaces de classe C'. I, on a : (h est le vecteur unitaire de la normale au point courant M de ak dirige vers l'exterieur de KI da est 1'616ment d'aire et dx la mesure de Lebesgue sur p). Deuxibme partie Cette partie a pour objectif d'btablir certaines consbquences du lemme de Poincar0 et de la formule d'ostrogradski qui seront utilisees dans les parties Suivantes. Dans cette partie A designe un lequel s'applique le lemme de Poincare Soit u E Vn(A), fi,.et Qij ( i et j allant de 1 & n) eont les fonctions coefficients de Eu et Qu dane la base canonique a. Montrer que les relations suivantes eont vbrifieee mur A : 1I.l.b. En deduire que a2ej, (**) axi ax, = O Soit E un Blement de Tn,s(A). On pose : 'U= { u E vn(a) / Eu = E } a. Montrer que 91 est non vide, ei et seulement si les fonctions coefficients E i j de E verifient le8 relations,(**) sur A. II.2.b. On suppose que les fonctions coefficients de E verifient les relations (**). Soit uo un 0lement de fl Montrer que l'on obtient tous les elements de 'Uen ajoutant & uo les champs affines dont la partie lineaire est antisymetrique Dans cette question n vaut 3. Soit u un element de T3,s(A)l tel que pour toute partie D de A dont le bord ad est une surface de classe C',on ait : SaD o(m) (h) da = O, OÙ h designe le vecteur unitaire de la normale ad en M dirige vers l'ext6rieur de D et da 1'016ment d'aire. II.3.a. Montrer que pour toute boule ferm6e 3 incluse dans A et pour i E {1,2,3} on a : s dx = O J j=1

12 AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES 1996 Options 12/ b. En deduire que les fonctions coefficientes: de u verifient le systthe differentiel suivant 0ur A : t/ i E (1,2,3} - 0 axj j=l Troiribne partie Dans cette Dartie on ne sumose dus crue test riaide. On considère le eysteme S de la premisre partie dans son 6tat d'6quilibre stable et on s'interesse B la partie sdde %pour laquelle 8 E [8,,8,).. La partie d est elle-même en Bquilibre sous l'action de son propre poids et sous l'action de forces aurfaciques, reparties sur ses faces terminales 0 = 8, et 8 = 8,, correspondant aux efforts exerces par la tige 7, par les parties de K situees de part et d'autre de adet par le plan horizontal. En l'absence de forces, d est une portion de cylindre, on notera 4 l'interieur de sd. Lorsque les forces s'appliquent sur ad, 4 se deforme en un ensemble 4' (configura- tion a l'equilibre). Tout point H de 4 sera deplace pour occuper la position M' dans 4'. Le vecteur : u(h) = OH' - OH sera appel6 le déplacement de M. On supposera que le champ de vecteurs u appartient a y3 (4), Eu appartient donc a T3,s(4) et est appelé champ de déformations. Lorsque des forces sont appliquqes sur 04, il apparait dans 4 des efforts int6rieurs. On ddmontre qu'il existe une application u E T3,=(?4), oh est un ouvert contenant 4, appelbe champ de contraintes, telle que, pour toute partie 3 de 4 dont le bord 8 3 est une surface orientee de classe C ', et pour tout point M de a3, u(h)(h) reprbsente les actions de contact au point Ml h 6tant la normale en H orientee vers l'exterieur de 9. L'ensemble des actions de contact sur B a donc pour resultante $,,u(n)(h) d'aire. L da, où da est l'elhment On dit que le champ de contraintes u est un ChamD de contraintes planes s i ses fonctions coefficients uij ne dgpendent pas de x3 et si u13 = uz3 = a, = O sur 4. On appelle 4 la coupe de 4 par le plan (n) (4 = 4 n (n)). Le plan (n) sera muni du repère (Clel,e2 ) et assimile a 6, 4 sera un domaine de 6. Nous admettrons que le lemme de Poincare s'applique sur 4 et sur 4. Comme dans tout le problème, n peut valoir 2 ou 3. Le repsre de travail dans IR" est : (C,e,,..,en). La notation 4 designe 4 ou 4 suivant la valeur 1 de n. Les constantes & > O et - > Y > -1 seront des réels fixes. 2 Soit pn un champ de vecteurs sur 8 4, continu sur chacune des faces (respectivement des arêtes) constituant 84. Rdsoudre sur 4 le Problème elastostatimue (En) associe B p,,, c'est trouver - (u,u) E Yn(s&) x Tn,s(?.&), où 'lc, est un ouvert 'contenant 4, satisfaisant aux conditions suivantes en tout point M de 94, :

13 26 AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES 1996 Optioiis 13/27 i) ii) (H) = O t/ i E {l,..,n) j=1 l + u,(if) = - U(H) - - tra(h) 1 E U E OQ 1 est l'identit6 de IRn, ainsi qu'aux conditions aux limites :en tout point H du bord a 4 de 4 OÙ la normale h (euppoehe unitaire et dirigee vere l'exte- rieur de A) est definie, O(H)(h) = co,(h) Le champ pn represente lee efforts exterieurs eurfaciquea (reapectivement lineiques) exerces sur le bord de 4. Les Qquatione d'equilibre i) ont 6tQ etablies dans la partie II (on suppose que la masse volumique p de dest nulle). La relation ii) traduit le fait que le materiau constituant ad, est lineaire-isotrope : en tout point H de 4,,(H) et.a(h) sont lie8 par une relation independante de la base orthonormee choisie pour l'exprimer, c'est B dire une relation indifferente au sens des pr6liminaires1 et homogene : lee reels u et E qui interviennent dans la relation ne dependent pae du point M.4, où la relation est exprimee. de Soit (u,a) solution du problqme (E3) aseocie a (4, on note ui les fonctions coordonnées de u. 1II.l.a. Montrer que : i,j= En deduire que : 3 1II.l.b. Montrer que, pour tout H de 4, l'expression : aijeij est i, j=1 une forme quadratique definie positive des composantes aij(h). 1II.l.c. En déduire que si le problème (E3) associe a (4 admet une solution, celle-ci est unique2 u,+ dip.bht o.#;& pmti &&...tvgt.ipd & On admettra que si ' le probleme (EZ) associe '4 admet une solution celle-ci est unique (démonstration analogue). - +: Soit (4 un champ de vecteurs sur 8 4, B valeurs dans le plan vecto- riel de base (el, ez ). On suppose de plus que (4 ne dépend pas de x3 et que (4 e eet nul (pae d'efforts exerces) sur lee faces laterales : x3 = -,. x3 = - -. On considete (Ut 0) E y3 (4) X T3 (y champ de contraintes planes sur 4. ), 'If etant un ouvert contenant 4 et Q un e 2-2

14 AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES 1996 Optioiis 14/ a. Montrer que si (u,u) vthifie les conditions i), ii) de (Es) associe B e, alors le plan vectoriel de base (elle2) est stable par U(H) et E,(M) pour tout M de 4 et la condition aux limites de (E3) sur les faceta 4 e x3 = - - et x3 = - est trivialement verifiee. 2 2 III.2.b. On note a, et (4 les applicationta (sur 4) naturellement deduites de u et '4. Montrer que si (u,u) est solution de (E3) associ6 h ei il existe u2 tel que (u2,u2) soit solution de (E,) aasoci6 a ( Montrer, en utilisant (**), +e si (u,u) E %',(4) X T ~, ~ ( 4 ) les conditions i) et ii) de (E,) verifient sur 4 les relations : alors les fonctions coefficients U ~ de J u O avec w = Montrer que si a E T2 s ( ~ verifie ) les relations i) de (E2) et, iii) sur 4 alors il existe u E V2 (4) tel que les conditions ii) de (E,) soient v0rifi6es Une fonction V de classe & aur un ouvert sera dite biharmonicrue si le laplacien de son laplacien est nul : A(AV) = O. Hontrer que E T, s(4) est solution de i) de (E,) et iii) si et seulement si, il existe une fonction biharmonique V de classe d" sur 4 telle que : a2v a2 v a2 v a,, = - ' I - a,, = - ax$ ax, ax2 a*: On travaille maintenant dans le ayst3me de coordonnees polaires associe a (C,e, e2 ) on appelle (e,,ee) la base locale au point W de 4. est solution de i) de (E,) et iii) si et seulement, ei il existe une fonction biharmonique W(r16) de classe psqr 4 telle que : Montrer que a E T2 s(4) 1 aw 1 a2w urr=--+-- rai 2 ~2 où urr,ure,a~~ sont les fonctions coefficients de u dans la base (er,eg).

15 28 AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES 1996 Optioiis 15/27 Quatriame partis Pour rqsoudre le probleme plan (E2) associe B un champ (4 on est donc amen6 B chercher des fonctions W, biharmoniques sur st$ - '24 contenant 4, et de classe P" sur un ouvert telles que si u a pour fonctions coefficients dans la base loc.ale les fonctions definies par les relations (***)' alors u vgrifie les conditions aux limites de (E2). Le repere de travail est toujours (C,e,,eZ), r et 8 designent les coordonnees polaires associees B ce repere. 1v.1. On pose : W(r,8) = g(r) sin6 + f(r) où g et f sont des fonctions de classe c" sur IR+*. Montrer que la condition "W biharmonique" se traduit par deux Qquations differentielles : l'une du quatrieme ordre sur.g et l'autre d'ordre 3 sur la derivée f' de f. IV.2. A l'aide du changement de variable r = et, rqsoudre les deux Qquations differentielles obtenues h la question précqdente. Montrer que : B w(r,8) = (d D rlnr + Er sin6 + (A'r' + B'lnr + C'glnr + D') r OÙ A,B,D,E,A',B',C',D' sont des constantes reelles. 1 IV.3. Soit CT 1'616rnent de T dont les fonctions coefficients sont definiee, en fonction de W calculee au IV.2, par lee relations (***). On note le champ de vecteurs sur a 4 tel qu'en tout point M de a 4, -(M) = u(m)(h) rq OP h est la normale unitaire en M dirigqe vers l'extbrieur de 4. Determiner A,B,D,A',B',C',a,b (4 sur les faces r = a et r = b. Donner des conditions portant sur pour que (4 soit nul sur ces faces. IV.4. On sumosera dans toute la satisfaites - I suite que les conditions du IV.3. sont IV.4.a. Calculer les 6lQments de r6duction en C du torseur associe h (4 sur les faces 8 = O et 8 = 8,. Expliquer en quoi les rbsultats obtenus corree- pondent bien a partie, sur ad. l'action des efforts extkrieurs, BvoquBs dans la troisieme 1V.B.b. Calculer les valeurs des constante6 : A,B,D,A',B',C' en fonction de a,b,l et des normes de la resultante et du moment en C du torseur associe (4 sur la face 8 = ep. IV.5. Soient u E Y2 (4) tel que (u,a) soit solution de (E2) associé a (4. On note ur et ue les composantes de u dans la base locale. IV.5.a. Montrer qu'en tout point M de 4, O.

16 AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES Optioiis 16/27 1V.S.b. Montrer que : uy = f, + K sin6 + G COS6 ub = f2 + K cos0 - G sin9 + Hr oh f, et f2 sont de0 fonctions de A,B,D,A',B',C',v,E,r16 que l'on prgcisera et K,G,H sont des constantes r6elles. A quoi correspondent les termes en K,G,H? PROBABILIT& ET STATISTIQUES Notations et Définitions Ou se donne un espace probabilisé (a, A, IP), c'est à dire un ensemble R muni d'une tribu A et d'une loi de probabilité IP. Pour abréger, on appellera v.a.r. sur (Q, A) toute variable aléatoire réelle sur (0, A), et v.a. sur (0, A) à valeurs dans (X, B) toute application mesurable de (0, A) dans (X, B), lorsque X est un ensemble muni d'une tribu O. 0 Pour une v.a.r. 2 sur (52,A), on pose IE(2) = Jn Z(w)IP(dw), si 2 est positive ou intégrable, et l1211r = (IE(lZl'))'/' pour tout nombre réel r On appelle variable de Bernoulli symétrique toute v.a.r. Y sur (Q,A) telle que IP(Y = 1) = P(Y = -1) = 1/2. O Soient V, T c X et 5 un point de X. On pose alors: V \ T = {s E 1 T} et V A T = (V \ T) u (T\ V), IIv(z) = 1 si I E V, et IIv(r) = O sinon, #(V) = cardinal(v) si V est fini, et #(V) = +m sinon. - O Pour chaque 5 = ( XI,---,zn) E X", on considère sur (X,B) la loi de probabilité v,' : A E B (IIA(z~) + + I[A(Zn)) (loi empiriquesur ( ~ 1, a. a,zn)). 0 On rappelle le résultat suivant sur les v.a. indépendantes (c'est simplement une forme du théorème de Fubini): soient Y et 2 des v.a. indépendantes - sur (Q,A) à valeurs respectivement dans (B, B) et (C,C); soit f une application mesurable de (B x C, B 8 C) dans [O, +m]; alors l'application g : y IE(f(y, 2)) est mesurable et on a IE(f(Y, 2)) = IE(g(Y)). 0 On appellera par abus de language distance sur un ensemble U toute application d : U2 --t [O, +CO[ vérifiant d(u,u) = O, d(u,v) = d(u,u) et d(u,w) 5 d(u,v) + d(u, w) pour tous U, u, w E U (d(u, u) = O n'implique pas nécessairement u = v). Si U est un ensemble muni d'une distance d, on pose diam(u) = supu,vfu d(u, v); on dit qu'une partie T de U est E-discernable si on a d(5,t) > e pour tous 5,t distincts dans T; on dit que 2" est -dense dans U si, pour chaque u E U, il existe UT E T avec d(u,u~) 5 E; on dit que T est un e-réseau de U si T est à la fois c-discernable et -dense dans U. Lorsque U est fini, on admettra l'existence d' -réseaux pour chaque E ~)O,+oo[ quelle que soit d (un -réseau s'obtient en choisissant successivement des points de U de distances mutuelles > E; au bout d'un nombre fini de choix, on doit s'arrêter).

17 30 AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES 1996 Options 17/27 Si Q est. une loi de probabilité sur (X,O), on pose ~Q(V, T) = &(V A T) pour tous V7T E t3. Les parties 1 et II sont indépendantes. La partie III dépend des parties 1 et II. La partie IV fournit des exemples d'application de la partie III. Question préliminaire. Soit Q une loi de probabilité sur (X,B); montrer que dg : (V, 2') w &(V A T) est une distance sur 23. On fixe un entier n > O. Première Partie Soient Y Y, des variables de Bernoulli symétriques indépendantes sur (Cl, A). Pour chaque a = (al * *. Pour tous pl - - *,pn entiers 2 O de somme p, on pose an) E IR", on considère la v.a.r. Z(a) : w H 1 Cy=l aix(w)la On rappelle la formule multinomide: où la somme est prise sur tous les pl, --.,pn entiers 2 O de somme p. On se propose de montrer que IIZ(a)llr et IIZ(a)ll2 sont comparables pour tqut r E [l, +CO[ indépendamment de a et de n. 1. (a) Soient pl -. l'un des pi est impair. (b) Montrer que IE(Z(U)~) vaut C&l a?. (c) Soit p un entier 2 O. Montrer que IE(Z(u)*P) vaut *,pn des entiers 2 O. Montrer que IE(nZ1 ypi) est nul dès que où la somme est prise.sur tous les p1,- +., Pn entiers 2 O de somme p. (2P)! 2. Montrer que c(2p; 2p1,. - -,2pn) est majoré par Tc(p; entier p 2 O et tous p ,pn entiers 2 O de somme p. En déduire l'inégalité suivante, pour tout entier p 2 O: pl, -, pn) pour tout 3. Montrer que IIZ(a)llr est majoré par Jf IIZ(a)ll2 pour tout a E IR" et tout entier pair r 2 2. En déduire l'encadrement suivant: IIZ(4ll2 5 IIZ(a)llt 5 m Il~(4112 pour tout a E IR," et tout nombre réel t 2 2.

18 AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES Options 18/27 4. Soient s, t des nombres réels positifs (15 s t < +m); on définit X par 12 = A; + (1- A)+. Montrer que, pour toute v.a.r. X sur (0, A), llxll~ est majoré par l ~X~~~~~Xl~~-A. En déduire l'encadrement suivant: pour tout a E IR" et tout nombre réel s E [1,2]. 5. Montrer que (2p)! est majoré par ~P(P!)~. En déduire l'inégalité suivante: pour tout a E IR" et tout nombre réel X de module < 1/4. 6. Soit r un nombre réel > 2. Si (O, A, IP) est le segment [O, 11 muni de la tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue, indiquer quel est l'ensemble des valeurs que peut prendre IIXJ(r/IIX112 quand X décrit l'ensemble des v.a:r. de carré intégrable sur (S2;d). Seconde Partie Soit U un ensemble et soit (Z,),EU une famille de v.8.r. sur (n,a). On fixe r E [l,+m[ et on munit U de la distance d,,, :(u,w) H 112, - Zvllr. On suppose que diam(u) est fini et +ut 6. On pose E; = 62-' pour tout i entier 2 O. Dans les questions 1, 2 et 3, on suppose que U est fini et on note t? le plus petit entier i tel que l'on ait d(u, w) > Ci pour tous u, w E U distincts. Dans les questions 4 et 5, on suppose que U est dénombrable. Soient c 2 O et /3 3 O. On suppose que toute partie E-discernable de U (lorsque U est muni de la distance est de cardinal inférieur ou égal à ce-8, quel que soit E E)O,~]. / On se propose d'évaluer II supueu [Z,IIl, sous cette hypothèse. 1. Etablir l'encadrement suivant: 2. Fixons s E U; on se donne TO = {s}, Tt = U et, pour chaque i = l,...,1-1, un,-réseau T, de I;. Montrer que TO est un eo-réseau et que Tt est un Et-réseau et que chaque Ti (pour i = O, - - -,4) est de cardinal inférieur ou dgal à c&fb. Montrer que, pour chaque i = O,...,l- 1, on peut trouver une application ni : Ti+1 + Ta avec d(r)(s,ri(s)) 5 CPOW tout s E Ti Pour chaque i = O, - - -, t?, on pose Wi = sups,=ti i = O,...,l-~, IlWi+lIlr est majoré par llwiilr+&i la question 11.1). En déduire l'inégalité suivante: lz91; montrer que, pour chaque (on pourrautiliser f-1

19 ~ 32 AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES 1996 Options 19/27 4. On suppose désormais que U est dénombrable, et non plus fini, et on fixe s E U. Etablir l'inégalité suivante: 5. Montrer que, dès que r > 2p, Troisième Partie Soit X un ensemble muni de la tribu B et soient XI, -, X,, Xi,. - -, Xk,es v.a. a), indépendantes et de loi P; soient YI,.- -, Y, des sur (0, A) à valeurs dans (X, variables de Bernoulli symétriques sur (Q, A) indépendantes entre elles et indépendantes de la suite (XI,., Xn, Xi, * - -, XA). Soit z = ( ~ 1,.. *, zn) E X"; on pose alors pour tout B E B: vw) = : CE:=,b(z1)) et Par ailleurs, on pose pour tout B E B: et pn(b) = vn(b) = + (C:=1 IB(x~)) G3(x:>>* 4(B) = : <c:=, On fixe un entier pair r 2 2. = : <c;=, Kb(zJ). CE:='=, K~B(X~)), Soit Y c B une famille dénombrable de parties de X contenant 0. Soient c 2 1 et p 2 1. On suppose que Y possède la propriété VC(c,p), c'est à dire que, pour chaque loi de probabilité Q sur (X, B), toute partie E-discernable de Y (lorsque Y est muni de la distance dg : (V, 2') H &(V A 2')) est de cardinal inférieur ou égal à CE-^, quel que soit E CIO, 11. On en verra des exemples dans la partie IV On se propose de démontrer que la quantité II supvev fi Iv,,(V) - P(V)lllr reste bornée indépendamment de n et de P. 1. Soit q tel que f + $ = 1. Montrer que, pour tout y E IR, PIq sup(ty - -) vaut -. IY Ir t IR 9 r 2. Déduire de la question précédente que, pour tout z E X", sup Ivi(V) - P(V)I' est majoré par IE(sup Iv,"(V) - vk(v)l'). VEV V V On pose D, = II supvev Ivn(V) - P(V)lllr; montrer l'inégalité suivante:

20 AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES Optioiis 20/27 3. Posons 2; = Iv(X,) - lv(xi) pour i = Il--. même loi que (Y, 21, *.., Y,,Zn). En déduire l'inégalité suivante:,n; montrer que (ZI,...,Z,) a et donc que D, est majoré par 211 SUPV~V Ipn(V)lllr. Montrer que toute partie 6-discernable de Y (lorsque V est muni de la distance d(,)) est de cardinal inférieur ou égai à COE-PO (avec cg = crp et Po = 2P), quel que soit E E]O,J;l. 6. Fixons 5 E X"; on pose Montrer que, dès que r > 42, 7. Montrer que la quantité II supvev fi Ivn(V)-P(V)lllr est majorée par 10c'l'J;; dès que T > On se place sur X = IR; trouver un ensemble dénombrable 7 de parties de IR tel que la quantité 1) suptc7 J;;jvn(T) - P(T)II13 soit égale à J;; (pour tout nombre réel s 2 1) dès que P est une loi de probabilité diffuse sur IR, c'est à dire dès que P(A) est nul pour tout A fini. Quatrième Partie Soit X un ensemble muni de la tribu 23. Si V C 23 est une famille de parties de X, et si A est une partie finie de X, on note V n A l'ensemble des parties de A de la forme V n A avec V E V; on dit que A est pulvérisée par V si U n A est l'ensemble de toutes les parties de A; on note Dim(V) la borne supérieure de #(A), pour les A C X pulvérisés par V. On se propose de montrer que, si Dim(V) = D, alors, pour tout P > D, il existe c 10, +w[ tel que Y ait la propriété VC(c, p). Cela permettrait d'appliquer à Y les résultats de la partie III. 1. Soit A une partie finie de X avec #(A) = n.

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