Coïncidences des dates d anniversaires

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1 APMEP o 457 Das os classes 8 Coïcideces des dates d aiversaires Jea Fraçois Ketzel (*) L a derier, j ai fait le pari avec les élèves d ue classe que deux d etre eux fêtaiet leur aiversaire le même jour Il y avait trete quatre élèves das cette classe, mais ous avos costaté qu il y avait, cotrairemet à mo attete, aucue telle coïcidece de date Ue questio classique Le calcul effectif de la probabilité d ue coïcidece de dates d aiversaires das u groupe de persoes peut être effectué e classe de Première Désigat par A l évéemet «il y a au mois ue coïcidece» et par B l évéemet cotraire, o obtiet facilemet, e supposat otammet l équiprobabilité des dates d aiversaires et e laissat de côté le 9 février qui e chage pas grad chose (car la probabilité de so apparitio est, e première approximatio, ) : ! P(B ) = ( )! Pour obteir toutes ces probabilités, par exemple jusqu à = 50, sur ue feuille de tableur, il suffit d istaller ue coloe compteur (,, 3,, etc) et d utiliser la formule ( ) P(B ) = P(B ), formule utilisable aussi avec certaies calculatrices, qui est pas justifiable par u calcul de probabilité e Première (les probabilités coditioelles état pas coues () ) mais l est algébriquemet Cet exercice est vraimet itéressat car o obtiet des résultats étoats (o peut isister sur ce poit e demadat aux élèves, sas isister pour obteir ue répose! car ce est pas ue questio sérieuse, l idée qu ils ot de certais résultats avat d effectuer les calculs) Par exemple P(A ) dépasse 0,5 quad dépasse et vaut eviro 0,8 pour = 34 (l ituitio «avec 34 dates, o va utiliser, e gros, u dixième du caledrier, probablemet sas coïcidece» est tout à fait fausse) L assistat graphique doe le dessi ci-dessous (*) Lycée Pardailha à Auch (3) () Lorsqu'elles le sot, e désigat par M l'évéemet «la -ième persoe a ue date d aiversaire disticte des autres», o peut écrire P(B ) = P(B ) P B (M )

2 8 Das os classes APMEP o 457 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 P(B) P(A ) =- P( B) 0,4 0,3 0, 0, Ce calcul qu o trouve u peu partout suppose aussi que le modèle choisi pour l expériece cosistat à obteir dates est celui de la successio de expérieces idetiques et idépedates cosistat à choisir au hasard ue date parmi ; e d autres termes, o suppose qu o opère tirages avec remise et o costruit u arbre formé de fois braches Cet exercice est proposé das plusieurs livres de Première S, mais il est si itéressat qu il peut être traité, malgré sa relative difficulté, das d autres séries (par exemple, das ue classe de première STT, ue boe dizaie d élèves ot trouvé la formule de tableur qui doe le graphique ci-dessus) Il e est questio das u des articles de la rubrique «Statistiques E Lige» du CD ROM d accompagemet du programme de Termiale Simulatio J ai effectué e classe quelques simulatios sur ce thème Cette activité a beaucoup plu aux élèves qui avaiet été itrigués par ce pari que j avais perdu () Le mauel Terracher Hachette de Première S propose, page 78, ue procédure pour le faire : das la cellule A o tape «= ENT (*ALEA()+)», qui simule ue () J ai pu observer que les élèves sot égalemet très stimulés lorsqu o a gagé le «pari des aiversaires» Lorsqu o fait u pari e classe, ce à quoi les programmes actuels ous ivitet, o est doc gagat à tous les coups!

3 APMEP o 457 Coïcideces des dates d aiversaires 83 date d aiversaire et o le recopie (33 fois das mo cas) sur ue coloe Les évetuelles coïcideces e sautet pas aux yeux et le livre propose pour les redre plus visibles d ordoer (tri croissat) ces ombres, ce qui écessite de les «bloquer» avat le tri e cochat l optio Sur ordre das le meu Outil-Optios- Calcul Ce blocage doit être effectué avat chaque ouvelle simulatio La procédure qui suit est plus rapidemet exécutable, ce qui peut être utile car les résultats obteus heurtet l ituitio de la plupart des élèves et u assez grad ombre de simulatios peut doc être écessaire si o veut être covaicat Elle cosiste, après l istallatio de la coloe A, à mettre 0 e B, puis e B la formule =NBSI(A$:A;A) et à la recopier das les cellules B3 à B O a aisi das la coloe B des zéros, sauf si la date a déjà été recotrée, auquel cas o a u (voire u ou u 3 ) O peut même raffier, e mettat u format d affichage coditioel das la coloe B : par exemple si le coteu est 0 le mettre e couleur blache, et si le coteu est pas 0 le mettre e rouge Par ailleurs, o peut mettre la coloe A au format «date», ce qui red l affichage plus parlat Cette feuille de tableur est dispoible, aisi que celle doat le graphique ci-dessus, sur les pages Classes virtuelles du site Cas gééral (sas équiprobabilité des dates d aiversaires) O peut se demader si l équiprobabilité des dates d aiversaire est u modèle plausible Je ai pas su trouver cette iformatio sur le site de l INSEE mais quelques petits sodages m ot covaicu que ce est pas tout à fait le cas Il me semble qu il y a, das mo départemet, u peu plus de aissaces au pritemps (exercice cocret de termiale sur le paragraphe «adéquatio de doées statistiques à ue loi équirépartie» : traiter les doées relatives aux mois de aissace obteues das ue materité doée (3) ), ce phéomèe état mois marqué qu il e l a été Je me suis alors demadé si c était ue des causes de ma mésaveture Ce qui suit prouve que o Notatios Soit u etier fixé ( < < ) Soit L l esemble des -uplets de réels positifs dot la somme vaut L est e bijectio avec l esemble de toutes les lois de probabilités possibles d ue variable aléatoire pouvat predre valeurs qu o désige lui aussi par L Das L, il y a (/,,/), oté E, qui est l équirépartitio (3) O imagie la taille N de l échatillo dot il faudrait disposer pour traiter sérieusemet la questio de l équirépartitio suivat les jours de aissace! La coditio N > 00, parfois recotrée, est évidemmet abusivemet simplificatrice Lorsqu o cosidère le vrai test du khi-deux, gééralisat le test d équirépartitio de la classe de termiale et permettat de tester la loi de probabilité défiie par (p, p,, p k ) d ue variable aléatoire (avec les p i e valat pas écessairemet /k), o recotre das la littérature la coditio : les ombres Np i, qui sot les effectifs «attedus» ou «théoriques», dépasset 5, ce qui doe avec p i = /, N 85

4 84 Das os classes APMEP o 457 Soit P = (p, p,, p ) u élémet de L, p i désigat la probabilité (quelcoque) pour qu ue aissace ait lieu le i-ème jour de l aée (pour tout i etre et ) O rappelle que P(B ) est la probabilité de o-coïcidece des dates d aiversaires pour persoes quad o a la distributio P des dates pour la populatio cosidérée Expressio de P(B ) e foctio des p i : Pour tout k etre et et tout i etre et, désigos par E k,i l évéemet : la k-ème persoe choisie est ée le i-ème jour de so aée de aissace P(E k,i ) e déped pas de k et vaut p i où les réuios successives sot disjoites B s écrit de la même faço avec la coditio supplémetaire que les i k sot tous disticts Les évéemets sot idépedats (4) doc P E E E est le E k, ik ( ) Ω= E E E i = i = i = produit des P E k, ik pour k variat de à, c est-à-dire le produit des p ik et la probabilité de o-coïcidece P(B ) vaut doc ( pi pi pi ) i i i i3 i, i (, i, i, i ) i i, i,, i (les sommes successives état prises a priori de à ) Cette expressio de P(B ) motre que si s et t sot deux des ombres p, p,, p, P(B ) = (s + t) F + st G + H () où F, G et H sot des sommes de produits des probabilités p, p,, p autres que s et t (ces produits état formés de, et facteurs respectivemet pour F, G et H) O va motrer que ce ombre P(B ) est écessairemet iférieur ou égal à E(B ),! c est à dire ( )! L iégalité qu o obtiedra est ue gééralisatio de l iégalité arithméticogéométrique (5) Elle sera surtout la preuve que : c est das le cas de l équiprobabilité qu il y a le mois de coïcideces (, i, i, i ) (4) C est le choix fait das tout ce texte : o suppose qu o obtiet les dates de aissace au terme de épreuves idetiques et idépedates (5) Cette iégalité dit que si x, x,, x sot des réels positifs de somme S fixée, le produit S x x x est maximum si x = x = = x = À u facteur! près, c est le cas particulier = de l iégalité proposée ici car poser S = e restreit pas la gééralité

5 APMEP o 457 Coïcideces des dates d aiversaires 85 Pricipe de la preuve Soit f l applicatio défiie sur R par f est cotiue sur R doc si o restreit f à L qui est u compact (6) de R, f atteit so maximum sur L O va motrer que pour toute loi P das L autre que l équirépartitio E, il existe P das L telle que P (B ) > P(B ) O pourra e déduire que E(B ) est le maximum de f sur L Soit P das L défiie par P = (p, p,, p ) Comme aocé, o suppose que P E Il existe alors deux etiers s et t compris etre et tels que p s p t L égalité () s écrit : P(B ) = (p s + p t ) F + p s p t G + H Soit alors P das L défiie par les mêmes probabilités p i que P à ceci près qu o ps + pt remplace p t et p t par qui est doc pour cette loi P la probabilité de aissace le s-ème jour de l aée de aissace et aussi celle relative au t-ème jour O a alors et doc qui est strictemet positif car o a supposé p s p t Doc P (B ) > P(B ) Notes (( ))= ( ) f x, x,, x x x x i i i i i i i3 i, i i i, i,, i ps + pt P ( B) = ( ps + pt) F+ G+ H p + s pt ps P( B) P( B) = pp s t G= ) Cette iégalité est ituitivemet «évidete» ou tout au mois compréhesible si o pese à des cas extrêmes das L du type «toutes les aissaces ot eu lieu e deux mois ou même sur ue durée ecore plus courte» et il me semble qu o peut doc e parler aux élèves s ils poset des questios à ce sujet ) Ce problème des coïcideces est dû, semble-t-il, à Richard vo Mises ( ), das «Uber Aufleitugs- ud Besetzugs- Wahrscheilichkeite», i Revue de la faculté des scieces d Istambul NS, volume 4, p La page cotiet ue biographie de ce mathématicie (6) Cet argumet de compacité de L évite la costructio, pour ue loi P quelcoque das L, d ue suite (P k ) k N de L vérifiat P = P, P N = E et (P k (B )) (k) est ue suite croissate p t G

6 86 Das os classes APMEP o 457 3) La page cotiet des iformatios sur le problème de k (k ) coïcideces Coclusio Ce qui précède motre que ous pouvos cotiuer à poser sereiemet «l exercice des aiversaires» e l agrémetat de sodages ; quelle que soit la classe cosidérée, la probabilité d au mois ue coïcidece est au mois celle «espérée», c est-à-dire calculée das le cas de l équiprobabilité, même si ça empêche pas que, quasi-fatalemet, u d etre ous, ou u de os successeurs, passera u jour ue heure etière à se ridiculiser e doat des prédictios toutes fausses, évetuellemet pimetées de simulatios toutes aberrates (7)! Il y a des mauvais jours, peu ombreux (7) Il est même pas écessaire de peser que les géérateurs de «ombres aléatoires» egedret e fait que des ombres pseudo-aléatoires pour imagier que cette situatio est possible