Texte Urnes et particules

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1 Unverstés Rennes I Épreuve de modélsaton - Agrégaton Externe de Mathématques Page n 1. Texte Urnes et partcules À la fn du 19 ème sècle et au début du suvant, la tempête fat rage autour de la théore cnétque des gaz proposée par Boltzmann. La thermodynamque de l époque postule (second prncpe de la thermodynamque) qu un système évolue de manère rréversble vers un état d état d équlbre. Boltzmann, convancu de l exstence des atomes, souhate explquer l évoluton des grandeurs macrospques d un gaz (température, presson,... ) par la dynamque des partcules qu le compose. Le problème vent du fat que cette dynamque est par nature réversble : les équatons de la physque sont nchangées s l on renverse le temps. Boltzmann est face à un paradoxe : comment une évoluton mcroscopque réversble peut-elle produre une évoluton macroscopque rréversble? Consdérons deux peces A et B hermétquement closes et de même volume. On fat le vde dans la pèce B pus on pratque un mnuscule trou dans la closon séparant ces deux pèces et l on mesure l évoluton de la presson dans chacune des pèces. Il paraît rasonnable de penser que la presson va s équlbrer. Les physcens P. et T. Ehrenfest (mar et femme qu ont travallé ensemble) ont ntrodut un modèle smple (qu porte leur nom) qu permet de décrre l évoluton de la presson que l on observe à partr d une évoluton mcroscopque réversble. 1 Le modèle mcroscopque Consdérons deux urnes A et B dans lesquelles sont répartes a boules numérotées de 1 à a. On assoce à une confguraton, c est-à-dre à une répartton des a boules un a-uplet x = (x 1,..., x a ) où x = 1 s la partcule est dans l urne A et x = 0 snon. Notons F l ensemble F = {x = (x 1,..., x a ), pour tout = 1,..., a, x {0, 1}}. On dt que deux confguratons x et y de F sont vosnes, et on note x y, s elles ne dffèrent que d une coordonnée. On consdère (Y n ) n 0 la chaîne de Markov sur F défne par la dynamque suvante : lorsque la chaîne est en un pont x de F, elle chost au temps suvant en un des vosns de x avec la probablté unforme. Par exemple, s a est égal à 3 et que l on range les éléments de F dans l ordre suvant : (0, 0, 0) (0, 0, 1) (0, 1, 0) (1, 0, 0) (0, 1, 1) (1, 0, 1) (1, 1, 0) (1, 1, 1), Janver Copyrght c F. Malreu. GNU FDL Copyleft. Page n 1.

2 Unverstés Rennes I Épreuve de modélsaton - Agrégaton Externe de Mathématques Page n 2. la matrce de transton Q est donnée par 0 1/3 1/3 1/ / /3 1/ / /3 0 1/3 0 Q = 1/ /3 1/ /3 1/ /3 0 1/3 0 1/ / /3 1/ / /3 1/3 1/3 0 Lemme 1.1. La chaîne Y est rréductble, récurrente et pérodque de pérode 2. La matrce Q est bstochastque. La mesure nvarante de la chaîne est la mesure unforme sur F. Le temps moyen de retour en x F est 2 a. Cette chaîne s nterprète géométrquement comme la marche aléatore aux plus proches vosns sur le cube unté de dmenson a. Défnssons la dstance d entre deux ponts x et y de F par le nombre de coordonnées dont ls dffèrent : a d(x, y) = x y. =1 Le temps moyen pour la chaîne d aller de x en y ne dépend que de la dstance d(x, y). Fxons a et notons m d = m a d le temps d attente moyen de y partant de x lorsque d(x, y) = d. La sute (m d ) 0 d a+1 vérfe les équatons suvantes : m d = 1 + d a m d 1 + a d a m d+1 pour 0 < d a, et m 0 = m a+1 = 0. Ces équatons admettent une unque soluton, qu s écrt sous la forme suvante. Proposton 1.2. Sot Q a = k=0 ( a k) ) pour = 0, 1,..., a 1, alors m d = d Q a a pour 0 < d a. =1 Janver Copyrght c F. Malreu. GNU FDL Copyleft. Page n 2.

3 Unverstés Rennes I Épreuve de modélsaton - Agrégaton Externe de Mathématques Page n 3. 2 L urne d Ehrenfest Observer l évoluton de la chaîne Y demanderat de pouvor détermner la poston de chaque partcule ce qu est ben sûr mpossble. Il est par contre possble de mesurer la presson qu est proportonnelle au nombre de partcules présentes dans l urne A. Pour smplfer certanes expressons dans la sute, on sera amené à se placer parfos dans le cas où a est par. La lettre b désgnera alors toujours dans la sute l enter a/ Défnton de la matrce de transton À la chaîne de Markov Y on assoce le processus (X n ) n à valeurs dans E = {0, 1,..., a} où X n est la somme des coordonnées de Y n. Proposton 2.1. Le processus (X n ) n est une chaîne de Markov sur E de matrce de transton /a 0 (a 1)/a /a 0 (a 2)/a P = (a 1)/a 0 1/a La chaîne est rréductble, récurrente et pérodque de pérode 2. Sa mesure nvarante est la lo bnomale B(a, 1/2). 2.2 Espérance et varance La presson au temps n dans l urne A est de l ordre de P n = X n /a. On s nteresse c aux deux premers moments de cette varable aléatore. On a donc démontré le résultat suvant. Proposton 2.2. Posons α = 1 2/a et β = 1 4/a. Pour n N, on a E(P n ) = 1 ( 2 + E(P 0 ) 1 2 ) α n, (1) V(P n ) = 1 ( 4a + V(X 0 ) 1 ) ( β n + E(P 0 ) 1 2 (β 4a 2) n α 2n ). (2) Démonstraton. On rasonne par condtonnement : E(X n+1 X n ) = (X n + 1)(1 X n /a) + (X n 1)X n /a = αx n + 1. On en dédut, en prenant l espérance, une relaton de récurrence pour la sute (EP n ) n qu donne mmédatement (1). Janver Copyrght c F. Malreu. GNU FDL Copyleft. Page n 3.

4 Unverstés Rennes I Épreuve de modélsaton - Agrégaton Externe de Mathématques Page n 4. De même, E(X 2 n+1 X n ) = (X n + 1) 2 (1 X n /a) + (X n 1) 2 X n /a = (1 4/a)X 2 n + 2X n + 1. Cec mplque V(P n+1 ) = βv(x n ) + (4/a 2 )E(P n )(1 E(P n )). Reste à remplacer E(P n ) par sa valeur pour obtenr le résultat annoncé. Remarque 2.3. Le résultat (1) peut s obtenr également en vérfant que le vecteur transposé de ( b b + 1 b 1 b) (avec b = a/2) est vecteur propre de P assocé à la valeur propre 1 2/a. Remarque 2.4. Notons τ la fréquence de transtons par secondes. Il y a donc eu τt transtons au temps t. En notant ν = τ log(1 1/b), la relaton (1) établt la lo de refrodssement de Newton (Newton s law of coolng) : E(X n ) b = (E(X 0 ) b)e νt. La relaton (2) montre que la sute X n a un comportement quasment détermnste du même type. 3 Réconclaton des théores ennemes Il est temps de confronter, ou plutôt d unfer, les ponts de vue thermodynamque et cnétque. Pour cela, pluseurs estmatons peuvent être proposées, des plus naïves aux plus fnes. 3.1 Fluctuatons autour de la moyenne sous la mesure nvarante Supposons que le temps auquel on observe la chaîne sot assez grand. Au problème de pérodcté près, la lo de X «ressemble» à la lo bnomale B(a, 1/2). On peut donc en dédure, va le théorème lmte central ou des négaltés de concentraton de la mesure pour la lo B(a, 1/2) autour de sa moyenne, des contrôles de la quantté P( X n b r). Pour fxer les dées, on pourra chosr a = Le théorème lmte central montre que l on est pratquement sûr de trouver envron la moté des partcules dans l urne A. Même s pour les physcens, a = 10 6 est un pett nombre, la probablté de trouver plus de partcules dans une urne (c est-à-dre une fluctuaton d au mons 1%) est nféreure à Pour m = 10 8, une fluctuaton d un pour mlle est auss néglgeable. Janver Copyrght c F. Malreu. GNU FDL Copyleft. Page n 4.

5 Unverstés Rennes I Épreuve de modélsaton - Agrégaton Externe de Mathématques Page n Temps de retour On souhate raffner ce résultat en obtenant des estmatons en foncton du pont de départ de la chaîne, par exemple 0 et b. On défnt le temps T de premer retour en de la manère suvante : T = nf {n 1, X n = X 0 = }. Proposton 3.1. S b = alors E(T 00 ) = et E(T bb ) 100 π. Cette proposton assure qu l faudra attendre un temps mmense avant qu une pèce, ntalement vde, ne le redevenne!!! 3.3 Estmaton du temps de regonflage de la roue On souhate enfn être plus précs et obtenr des estmatons des temps d attente de 0 et b partant de 0 ou b. Sot m j le temps moyen d attente de j par X partant de. Partant de + 1, la chaîne dot passer par pour aller en 0, donc Par symétre, m +1,0 = m +1, + m,0 pour 0 < a. (3) m,+1 = m a,a 1 = m a,0 m a 1,0 pour 0 0 < a. Il sufft donc de connaître les réels (m 0 ) pour détermner les réels (m j ) j. Remarquons à présent que X n = 0 s et seulement s Y n = (0,..., 0). Donc le temps moyen que met X à se rendre de à 0 est le temps moyen que met Y d aller de n mporte quel élément de F stué à une dstance de (0,..., 0) à (0,..., 0), autrement dt m a. La proposton 1.2 assure alors que a m,+1 = m a,0 m a 1,0 = Q a a k Corollare 3.2. On a k=1 a 1 k=1 ( ) a 2 a / s = j, j 1 m j = Q a k s < j, k=1 a j 1 Q a k s > j. k=a On suppose à présent que a est par et on note b = a/2. Q a a k = Q a pour 0 0 < a 1. Janver Copyrght c F. Malreu. GNU FDL Copyleft. Page n 5.

6 Unverstés Rennes I Épreuve de modélsaton - Agrégaton Externe de Mathématques Page n 6. Proposton 3.3. Pour tout a, et a(2 log 2 1/2) 2 m 0,b a(1/4 + (1/2) log a), (4) ( 2 a ) ( m 0,a 2 a ). (5) a 1 a 1 Démonstraton. Montrons l estmaton (5). Pour tout, m,+1 + m +1, = b 1 m 0,b + m b,0 = 2 a =0 1 b 1 De plus, pusque m b,0 = m b,a, on a m 0,a = m 0,b + m b,a = 2 a ). =0 1 ). Remarquons à présent, en séparant les deux premers termes de la somme des autres, que b 1 a 1 =0 1 ) a 1 + ( b 1 a 1 ). 2 ( 2a a 1 ). Donc La proposton 3.3 assure que le temps ms par le système pour passer d un état de total déséqulbre à celu d équlbre parfat est totalement néglgeable devant le temps ms pour l évoluton nverse. Pour un nombre de partcules égal à 100, m 0,50 est majoré par 256 tands que m 50,0 est de l ordre de sot quelques mlle mllards de mllards de mllards... 4 Suggestons 1. Justfer le len entre l évoluton de la presson abordé dans l ntroducton et le modèle de l urne d Ehrenfest. 2. Commenter et llustrer la proposton 1.2. On pourra mettre en évdence par la smulaton la vtesse de crossance de a m a a et le fat qu à a fxé, d m a d croît mas lentement. 3. Démontrer la proposton Démontrer la proposton 2.2 et explquer le sens de la remarque Explquer le sens de la secton Démontrer la proposton 3.1 et réconcler les théores cnétque et thermodynamque. 7. Illustrer par la smulaton les dfférents comportements du modèle qu ont été ms en évdence dans le texte. Janver Copyrght c F. Malreu. GNU FDL Copyleft. Page n 6.

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