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1 PC 13/14 TD INDUCTION AC1 : Loi de Lenz On considère une spire circulaire (C) fixe, conductrice de résistance R soumise à un champ magnétique extérieur uniforme variable et orthogonal à la surface du circuit B(t) = B z (t)e z Déterminer le sens du courant induit dans la spire sachant que B z (t) est une fonction croissante du temps Que peut-on dire si B z (t) est une fonction décroissante? Que peut-on dire si B z (t) est une fonction quelconque? Peut-on traduire la loi de Lenz par : «le courant induit crée un champ magnétique qui s oppose au champ magnétique extérieur»? AC2 : Spire soumise à un champ magnétique variable Un solénoïde d axe (Oz), suffisamment long pour que les effets de bord soient négligeables, comporte n spires par unité de longueur parcourues par un courant d intensité I(t) Les spires de ce solénoïde sont circulaires de rayon a Un circuit filiforme en forme de spire unique de rayon b et de résistance R entoure ce solénoïde 1 Rappeler l expression du champ magnétique créé par le solénoïde 2 Déterminer le courant i(t) circulant dans la spire en fonction de I(t) 3 Vérifier la validité de la loi de Lenz AC3 : Inductance propre d une bobine On reprend le même solénoïde qu à AC2 et on en considère une longueur Il n y a plus la spire extérieure de rayon b 1 Déterminer successivement : - le flux ϕ à travers une spire quelconque du solénoïde - le flux propre à travers toutes les spires de la tranche de longueur - l inductance propre correspondante 2 Déterminer l énergie emmagasinée de deux manières différentes

2 Exercice 1 : Pince Ampèremétrique Sur la notice de fonctionnement d une pince Ampèremétrique de la marque Chauvin- Arnoux, on peut lire l extrait suivant : 1 Justifier la relation indiquée dans le texte et donner les hypothèses implicites 2 Doit-on tenir compte des phénomènes d auto et de mutuelle induction dans ce dispositif? Pourquoi? 3 Proposer un circuit électrique plus réaliste pour illustrer l intégration du signal 4 Pourquoi ce dispositif n est-il pas adapté pour mesurer des courants continus? Proposer un type de capteur permettant d accéder à la mesure de courants continus

3 Exercice 2 : déplacement d un aimant Un petit aimant est déplacé de haut en bas devant un bobinage relié à un oscilloscope La manipulation est représentée sur les photos ci-dessous Commenter les courbes obtenues Exercice 3 : Chauffage par induction Le champ magnétique B(t) = B 0 cos(100πt)e z est uniforme dans le cylindre (non conducteur) de rayon a et nul en dehors Un disque troué en Cuivre, de conductivité γ, de rayon b et d épaisseur e entoure le cylindre On donne γ =5,910-7 Sm -1 On négligera le phénomène d auto-induction 1 Quelles dimensions maximales (on ordre de grandeur) doit-on donner au conducteur pour que l effet de peau ne soit pas limitatif? 2 Justifier que le champ électrique dans le conducteur est de la forme E = E(r,z,t)e θ 3 Calculer la puissance moyenne perdue par effet Joule dans le disque conducteur Exercice 4 : Freinage par courants de Foucault Un disque métallique de rayon a, d épaisseur e et de conductivité électrique γ est en rotation uniforme autour de son axe Oz à la vitesse angulaire ω 0 A partir de l instant t = 0, on impose un champ magnétique constant et uniforme B = B 0 e z 1 Déterminer la densité volumique de courants j( M, t) dans le métal On admettra que le potentiel électrique est nul dans le conducteur, ce qui revient à supposer que celui-ci reste localement neutre et on négligera le phénomène d auto-induction 2 En déduire, par une méthode énergétique, l évolution de la vitesse angulaire ω(t) On notera J le moment d inertie du disque par rapport à son axe

4 3 On note τ le temps de relaxation et on suppose que le mouvement du disque est totalement arrêté pour une durée de l ordre de 5τ Déterminer l intensité du champ magnétique nécessaire à un arrêt au bout de 5 secondes On donne, pour un disque en cuivre : µ Cu = 8, kgm -3 et γ Cu = 5, Sm -1 4 Le système de freinage ne produit pas un champ magnétique uniforme sur le disque mais localisé sur une zone limitée de ce disque grâce à un électroaimant (figure cidessous) Commenter Exercice 5 : Mesure d un coefficient d inductance mutuelle On considère deux bobines identiques, formées de N spires circulaires de rayon R (bobines plates bobinées sur une seule épaisseur), d inductance L, que l on place de telle façon que les deux bobinages soient coaxiaux, avec le même sens d enroulement, la distance entre leurs centres étant repérée le long de l axe commun Oz par la longueur d On se propose de mesurer le couplage entre les deux bobines en envoyant dans l une d elles, dite la première, une tension triangulaire et en comparant à l oscilloscope cette tension avec la tension induite dans l autre, celle-ci étant en circuit ouvert On a branché en série entre le générateur de fonction et la première bobine une résistance R = 100 Ω On néglige la résistance R des bobines 1 Faire le schéma du montage 2 Les traces observées à l oscilloscope ont l allure suivante : Les réglages de l oscilloscope sont les suivants :

5 balayage horizontal : 0,2 ms/div trace supérieure : 1 V/div trace inférieure variable (voir tableau) En faisant varier la distance d entre les bobines, on observe pour l amplitude crête à crête A du signal induit, mesurée en divisions de l écran, les valeurs suivantes : Calibre 0,01 V/div 5 mv/div 2 mv/div 1 mv/div d (cm) A 4,3 3,3 2,6 4,3 3,4 2,3 4,0 2,1 2,4 2a Ecrire les équations électriques du circuit 2b Etablir l expression de l inductance mutuelle M entre les deux bobines en fonction de la période T du signal d entrée, de son amplitude crête à crête e, de l amplitude crête à crête A du signal induit et de la résistance R (on pourra utiliser le fait que la tension induite est visiblement un carré «parfait») 2c Calculer alors, en mh, l inductance mutuelle entre les deux bobines pour chaque valeur de d Exercice 6 : Principe d un alternateur Un alternateur est constitué d un cadre carré, de côté a = 10 cm, plongé dans un champ magnétique uniforme et constant créé par un aimant permanent Ce cadre, qu un opérateur extérieur fait tourner à une vitesse angulaire ω constante, est relié électriquement (grâce à un système appelé balais) à un oscilloscope qui permet de visualiser la tension aux bornes de l alternateur 1 Expliquer le fonctionnement du dispositif 2 Etablir l expression du flux du champ magnétique à travers le cadre et en déduire la fem induite 3 On double la vitesse angulaire Que devient l oscillogramme? 4 Les calibres de l oscilloscope sont 1V/div et 5 ms/div Estimer la norme du champ magnétique créé par l aimant

6 Exercice 7 : Freinage par induction Une spire carrée de côté a, de masse m, tombe dans le champ de pesanteur Dans le demi-espace x > 0, règne un champ magnétique uniforme et permanent B = B 0 e z A l instant t = 0, la spire se trouve dans la situation représentée sur la figure ci-contre, sa vitesse est v(0) = v 0 e x et son côté inférieur est en x = 0 1 Mettre en place une analyse qualitative de la situation et dégager deux phases distinctes 2 Justifier que le mouvement de la spire reste vertical 3 On suppose que la spire admet une résistance R et on néglige le phénomène d autoinduction Déterminer la loi de vitesse v(t) de la spire dans la 1 ère phase Que peut-on dire de l évolution de la vitesse dans la phase 2? 4 On suppose maintenant que la spire est dans un matériau supraconducteur : sa résistance électrique est nulle On ne peut plus négliger l auto-induction de la spire et on note L son inductance propre Reprendre l étude de la question 3 et préciser la condition d oscillation de la spire Exercice 8 : Barre mobile sur un rail circulaire Une barre conductrice est mobile sur un fil circulaire conducteur Le circuit est fermé par un fil La barre, de masse m et de longueur, est lâchée à l instant t = 0, l angle θ 0 (0) étant petit, dans le champ magnétique B = B 0 e z La liaison avec l axe est parfaite La résistance de la barre est notée R, les résistances des autres éléments du circuit étant négligeables On donne le moment d inertie de la barre J = J Oz = 1 3 m 2 1 Effectuer une analyse qualitative de la situation 2 Déterminer le mouvement de la barre 3 Effectuer un bilan énergétique

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