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1 Exercice 1 : On considère un point M appartenant à une digue en terre (Figure ci-dessous). Ce point est sollicité par un effort surfacique p. n, d autre part, on a mesuré la valeur de la contrainte normale au point M pour une normale y : T (M, y ). y = q avec q < p. 1-1) Calculer le vecteur contrainte T (M, n ). 1-2) Soit τ la contrainte tangentielle pour une normale y. Tracer le cercle de Mohr à l aide de p, q et τ. Représenter l angle correspondant à α sur le cercle de Mohr. En déduire la valeur de en fonction de p, q et α. 1-3) Calculer les contraintes principales en fonction de p, q et α. Exercice 2 : En un point P, situé sur la surface extérieure d un cylindre soumis à un moment de torsion C, l état de contraintes est défini par la matrice plane suivante, où τ est la contrainte de torsion : 0 τ 0 τ ) Représenter l état de contraintes sur les faces d un cube infiniment petit isolé en P dans les axes xyz. Travaux Dirigés 1/7 m. Sanbi

2 2-2) Déterminer les éléments principaux des contraintes. 2-3) Tracer le tri-cercle de Mohr. En déduire les cisaillements principaux en module. Exercice 3 : Soit l état plan de contraintes au point P représenté sur la figure ci-dessous. Les contraintes sont en MPa. 3-1) Écrire la matrice des contraintes en P dans le repère (xyz). 3-2) Déterminer les éléments principaux des contraintes. 3-3) On se place dans le plan des contraintes (xyz). 3-3-a) Calculer les composantes du vecteur contrainte, ainsi que les contraintes normale et tangentielle s exerçant sur un plan de coupe dont la normale fait un angle de 30 par rapport à l axe x. 3-3-b) Déterminer les normales au plans de coupe sur lesquels s exercent les contraintes de cisaillement maximum. E n déduire la valeur de ce cisaillement et la valeur de la contrainte normale correspondante. 3-4) Reprendre le problème avec le cercle de Mohr. Exercice 4 : On considère les trois états plans de contraintes ci-dessous. Les axes sont principaux. Les contraintes sont en MPa. 4-1) Écrire les matrices relatives à ces trois états de contraintes. 4-2) D après le critère de Von Mises, quel est l état de contrainte le plus dangereux? Travaux Dirigés 2/7 m. Sanbi

3 Exercice 5 : Considérons le carré infiniment petit, de coté unité, dans les axes xy.. Les déformations dans le plan xy valent ε xx = ε yy = +50µd ; ε xy = 100µd 5-1) Tracer la figure déformée du carré. 5-2) Déterminer les éléments principaux de déformation. Tracer la figure déformée d un carré isolé dans les axes principaux et de côté 2 Exercice 6 : Soit une barre sollicitée en traction (figure ci-contre). 6-1) Écrire la matrice des déformations dans le repère principal de la déformation longitudinale ε x et du coefficient de Poisson ν du matériau. 6-2) Déterminer dans le repère principal XY la position angulaire des axes h pour lesquelles ε hh = 0 App. Num.: Le matériau est en alliage d Aluminium AU4G. Calculer la position angulaire en degré des axes h par rapport à l axe de traction. Travaux Dirigés 3/7 m. Sanbi

4 Exercice 7 : On considère un point P à la surface d un corps en un endroit où ne s applique aucune force extérieure. Les résultats enregistrés sur chaque jauge d une rosette à 45 collée dans le plan tangent en P sont 950µd, 175µd et 475µd pour les jauges J 1,J α et J 2 respectivement. 7-1) Quels sont les éléments principaux de la déformation? 7-2) Dans quelle direction α enregistrerait-on une dilatation linéaire nulle? 7-3) Dans quel système d axes enregistrerait-on une distorsion extremum? Exercice 8 : On donne une matrice de déformation dans les axes principaux : [ɛ] xyz = ε zz Le matériau a comme caractéristiques : E=200 GPa et ν = 0.3. Calculer la matrice des contraintes correspondante en : 8-a) Contraintes planes, 8-b) Déformations planes. Exercice 9 : Une rosette 45 (x,α,y,β) à quatre jauges (avec une quatrième jauge β perpendiculaire à la jauge centrale α est collée en un point P situé à la surface d un corps en un endroit où ne s exerce aucune force extérieure (l état de contraintes est plan). Les mesures indiquées par les trois jauges J x, J a, et J β sont : La jauge J y ne donne aucune indication. ε xx = 10 3 ; ε αα = ; ε ββ = ) Montrer que : ε xx + ε yy = ε αα + ε ββ. En déduire la valeur de ε yy. 9-2) Déterminer l expression littérale de la déformation linéaire unitaire ε αα en fonction de ε xx, ε yy et ε xy. En déduire la valeur numérique de ε xy. Travaux Dirigés 4/7 m. Sanbi

5 9-3) Le matériau a comme caractéristiques : E= 200 GPa et ν = 1/3. Calculer la déformation linéaire unitaire ε zz. on rappelle que l état de contraintes est plan), puis la matrice des contraintes [σ] dans le repère xyz. 9-4) Déterminer, avec le cercle de Mohr, les éléments principaux des contraintes dans le plan xy (préciser l angle entre x et X) et la valeur du cisaillement maximum en module. 9-5) Calculez la contrainte équivalente de Von Mises. Exercice 10 : Deux forces P et Q sont appliquées simultanément au centre de gravité de la section droite libre d une poutre encastrée. Une rosette rectangulaire collée au point M indique : ε xx = ; ε αα = ; ε yy = Le module de YOUNG du matériau vaut 200 GPa. 10-1) Déterminer la matrice des contraintes au point M dans le repère xyz en fonction de P, Q et A. On rappelle que la contrainte tangentielle due à Q vaut 3Q/2A au point M. 10-2) Déterminer les expressions littérales de ε xx, ε yy, ε αα et en fonction de P, Q, A, E et ν. 10-3) En déduire les valeurs numériques : (a) du coefficient de POISSON ν. (b) des forces P et Q (en kn). Travaux Dirigés 5/7 m. Sanbi

6 Exercice 11 : Soit un point P situé à la surface d un corps en un endroit où ne s exerce aucune force extérieure. La matrice des contraintes dans le repère xyz (où z est la normale extérieure au corps, et où x et y sont dans le plan tangent au corps) vaut en MPa: [σ] = ) Étude des contraintes au point P (a) Représenter l état de contraintes sur les faces d un cube infiniment petit en P. (b) Calculer la contrainte normale s exerçant sur une facette dont la normale α est la bissectrice de xy. (c) Déterminer les éléments principaux des contraintes. (d) Calculer le cisaillement maximum en module au point P. (e) On veut un coefficient de sécurité de 3 par rapport au critère de VON MISES. Calculer la limite élastique du matériau. 11-2) Étude des déformations au point P On colle une rosette 45, x, α et y au point P. Calculer la valeur des dilatations que l on doit mesurer suivant les axes x, α et y sachant que E = 200 GPa et ν = 0.3. Travaux Dirigés 6/7 m. Sanbi

7 Exercice 12 : Soit un point P situe à la surface d un cylindre de rayon R soumis à une force de traction P et a un couple de torsion M. Le plan π est tangent en P au cylindre. Le matériau est isotrope de constantes élastiques E et ν. 12-1) Calculer les élongations unitaires ε αα (x, β) = +45 et ε ββ (x, β) = 45 suivant les directions α et β dues a : (a) P (ε αα et ε ββ en fonction de P, R, E et ν). (b) M (ε αα et ε ββ en fonction de M, R, E et ν). (c) P et M. 12-2) En déduire les expressions de P et M en fonction de R, E, ν, ε αα et ε ββ. 12-3) Application numérique : R = 10 mm, E= 200 GPa, ν = 0.3, σ e = σ e = 240MP a, ε αα = et ε ββ = Travaux Dirigés 7/7 m. Sanbi

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