Dérivées des fonctions de référence Du nombre dérivé à la fonction dérivée. 1 ère S. f a h f a k k h h. Objectifs : f a h f a lim 0

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1 ère S Objectifs : Dérivées des foctios de référece Du ombre dérivé à l foctio dérivée Poursuivre l objet d étude des deu cpitres précédets : l tgete à ue courbe Psser de l otio de ombre dérivé à l otio de foctio dérivée e s ppuyt sur les foctios de référece (et elever l difficulté u iveu de l otio d u ombre dérivé) Ds ce cpitre, o s itéresse à des foctios prticulières (foctios de référece) qui vot ous permettre esuite de trviller vec des foctios plus géérles O v psser e revue u certi ombre de foctios I Dérivée d ue foctio costte k ) Défiitio O ppelle foctio costte ue foctio qui pred toujours l même vleur Ds ce prgrpe, o cosidère ue foctio costte f : k où k est u ombre fié ) Aspect grpique (pproce epérimetle) L représettio grpique d ue foctio costte est ue droite D prllèle à l e des bscisses Ituitivemet, e tout poit l tgete à l représettio grpique de f est cofodue vec D Or le coefficiet directeur de l droite D est ul doc o peut cojecturer que le coefficiet directeur de l tgete e tout poit est égl à 3 ) Propriété Pour ue foctio costte f, le ombre dérivé e tout réel est égl à Pour tout réel, o : f '( ) O peut doc bie défiir ue foctio f ssociée à f qui doe le ombre dérivé e tout réel O observe que le résultt e déped ps de 4 ) Démostrtio fié O cosidère u réel o ul f f k k f f lim Le résultt de cette limite est fii doc f est dérivble e et II Dérivée de l foctio ) Aspect grpique (pproce epérimetle) f : f ' L foctio f est ue foctio liéire de coefficiet L représettio grpique de l foctio f est ue droite D psst pr l origie du repère et de coefficiet directeur Ituitivemet, e tout poit l tgete à l représettio grpique de f est cofodue vec D Or le coefficiet directeur de l droite D est égl à doc o peut cojecturer que le coefficiet directeur de l tgete e tout poit est égl à ) Propriété Pour l foctio f, le ombre dérivé e tout réel est égl à Pour tout réel, o : f '( ) O observe que le résultt e déped ps de 3 ) Démostrtio fié O cosidère u réel o ul f f f f lim Le résultt de cette limite est fii doc f est dérivble e et f '

2 III Dérivée de l «foctio crré» ( ) ) Aspect grpique (pproce epérimetle) f : L représettio grpique C de l foctio f est ue prbole de sommet O (origie du repère) À l ide d u LGD, o peut fcilemet cojecturer que l tgete à C e u poit d bscisse pour coefficiet directeur O rrive fcilemet à étblir u lie, ue reltio simple etre le coefficiet directeur de l tgete et l bscisse du poit ) Propriété Pour l foctio f, le ombre dérivé e tout réel est égl à Pour tout réel, o : f '( ) 3 ) Démostrtio IV Dérivée de l «foctio cube» 3 ) Aspect grpique (pproce epérimetle) f : 3 À l ide d u LGD, o peut cojecturer que l tgete à l représettio grpique C de f e u poit d bscisse pour coefficiet directeur 3 ) Propriété Pour l foctio f, le ombre dérivé e tout réel est égl à 3 Pour tout réel, o : f '( ) 3 3 ) Démostrtio fié O cosidère u réel o ul fié O cosidère u réel o ul f f f f lim Le résultt de cette limite est fii doc f est dérivble e et f ' 3 3 f f f f lim Le résultt de cette limite est fii doc f est dérivble e et V Dérivée de l foctio iverse ) Aspect grpique (pproce epérimetle) f ' 3 f : L représettio grpique C de l foctio f est ue yperbole de cetre O (origie du repère) À l ide d u LGD, o peut cojecturer que l tgete à C e u poit d bscisse (o ulle) pour coefficiet directeur 3 4

3 ) Propriété ) Propriété Pour l foctio f, le ombre dérivé e tout réel est égl à Pour tout réel, o : f '( ) 3 ) Démostrtio fié O cosidère u réel o ul f f f f lim Le résultt de cette limite est fii doc f est dérivble e et f ' VI Dérivée de l «foctio rcie crrée» ) Aspect grpique f : L représettio grpique C de l foctio f est ue demi-prbole de sommet O (origie du repère) O v démotrer que l tgete à C e u poit d bscisse > pour coefficiet directeur Pour l foctio f, le ombre dérivé e tout réel > est égl à Pour tout réel >, o : 3 ) Démostrtio Étude e fié O cosidère u réel o ul f f f '( ) (O complique l écriture mis cel simplifie le problème) f f lim Le résultt de cette limite est fii doc f est dérivble e et Cs où = f f (qutité cojuguée du umérteur) f ' Lorsque pred des vleurs positives de plus e plus proces de, pred des vleurs positives de plus e plus proces de Pr coséquet, pred des vleurs positives de plus e plus grdes Lorsque ted vers e restt strictemet positif, ted vers Pour l première fois, o v écrire ue églité ds lquelle vot iterveir des ifiis 5 6

4 f f lim Le résultt de cette limite est ps u réel doc f est ps dérivble e Grpiquemet, l courbe de l foctio «rcie crrée» dmet ue demi-tgete (demi cr f est ps défiie à guce de ) ; cette demi-tgete est l demi-droite [Oy) Bil : f est dérivble e tout réel > et O dit que l foctio f est dérivble sur f ' L foctio «rcie crrée» est défiie sur [ ; + [ mis est dérivble sur ] ; + [ L foctio «rcie crrée» est défiie e ( f ) mis est ps dérivble e Le domie de dérivbilité est plus petit que le domie de défiitio (O dit prfois que l courbe de l foctio rcie crrée «prt» perpediculiremet à l e des bscisses, ou qu elle prt «verticlemet) L étude des limites ifiies ser vue plus trd VII Dérivée de foctios puissces d epost etier reltif est u etier turel supérieur ou égl à ) f : Propriété (dmise ss démostrtio) Pour l foctio f, le ombre dérivé e tout réel est égl à Pour tout réel, o : f '( ) ) f : Propriété (dmise ss démostrtio) 3 ) Remrque Les résultts de ce prgrpe géérliset les résultts pour les foctios «crré», «cube» et «iverse» Pr eemple, pour = 5 5 f ( ) 4 f ' 5 Il est itéresst de oter que l formule etier égtif Pr eemple, pour = f ( ) f ' 3 O peut ussi écrire f ( ) VIII Foctio dérivée et f ' 3 ) Bil des prgrpes précédets ' est vlble ussi bie pour etier positif que pour Pour ccue des foctios de référece, o pu défiir ue foctio dérivée (vec ue epressio cque fois différete) O est isi pssé de l otio de ombre dérivé (locl) à l otio de foctio dérivée (globle) Plus géérlemet, ous ppredros ds le cpitre suivt à clculer des dérivées pour des foctios plus compliquées ) Défiitio f est ue foctio défiie sur u itervlle I O dit que f est dérivble sur I lorsque f est dérivble e tout réel I Ds ce cs, o défiit ue ouvelle foctio f ' : I f '( ) (ombre dérivé de f e ) ppelée «foctio dérivée» de f (ou plus simplemet dérivée de f) 3 ) Applictios Pour l foctio f, le ombre dérivé e tout réel o ul est égl à Pour tout réel, o : f '( ) Predre l vleur e u réel Nombre dérivé de f e Coefficiet directeur de l tgete u poit d bscisse Foctio dérivée Étudier le sige Vritios de l foctio f (ds deu cpitres) 7 8

5 Le 3-- (voir eercices de ce cpitre) Ds les e de ce cp, ous llos commecer à voir l usge que l o peut fire de l foctio dérivée ds le cs de foctios de référece L foctio dérivée évite de fire les clculs de ombres dérivés comme ous l vios fit ds le cpitre précédet (clculs logs et fstidieu e géérl) Noté le 5-- Utilistio de l foctio dérivée Pour clculer le ombre dérivé de f e, o peut : - utiliser l défiitio de bse (clcul fstidieu ; o le fer désormis très peu) - utiliser l foctio dérivée Le ombre dérivé de f e est l imge de pr f, ce qui justifie l ottio L défiitio de bse v émois servir à démotrer des propriétés téoriques Note le 7--3 L ottio f ' pred lors u utre ses : imge de pr l foctio f ' - ses turel que l o e pouvit doer tt qu o vit ps défii de foctio Note le 8--3 L ottio 4 ) Remrques f ' pred lors tout so ses f ' Lorsque f est défiie sur u domie D qui est l réuio de plusieurs itervlles, o dit que f est dérivble sur D pour eprimer qu elle est dérivble sur tous les itervlles qui costituet D f est ue foctio défiie sur u itervlle I f peut e ps être dérivble e certis réels Ds ce cs-là, l esemble de dérivbilité de f est plus petit que l esemble de défiitio de f (cs de l foctio «rcie crrée» défiie sur ; mis dérivble sur ; ) 5 ) Applictio grpique f est ue foctio défiie sur u itervlle I Lorsque f est dérivble sur I, s représettio grpique C dmet e tout poit d bscisse I ue tgete (o prllèle à l e des ordoées) Rppel : y f '( ) f ( ) Cette tgete pour équtio 6 ) Clcul de l dérivée d ue foctio Le but du cours v être d ppredre à clculer l dérivée d ue foctio quelcoque Le 3-- Le but de l suite du cours est d ppredre à clculer l dérivée d ue foctio quelcoque IX Récpitultif ) Formultio e frçis E lgge prlé, o dir que : «l dérivée d ue foctio costte est ulle» «e dérivée doe», «e dérivée doe» «3 e dérivée doe 3» etc ) Tbleu des dérivées (à svoir pr cœur) f ( ) Esemble de défiitio Esemble de dérivbilité f '( ) k (k réel fié) Les coloes du milieu sot importtes ; elles doet pour cque foctio l esemble de défiitio et de dérivbilité de cque foctio Ccue de ces foctios dérivées peut être obteue grâce à u logiciel de clcul formel 9

6 Appedice : ue blgue et sot sur u bteu tombe à l eu Que reste-t-il? Pourquoi? Cr le bteu dérivé

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