Définition Soient a et b deux entiers non tous nuls. Le plus grand diviseur commun à a et b est le PGCD de a et b. On le note PGCD (a ; b) ou a b.
|
|
- Léonard Paradis
- il y a 1 ans
- Total affichages :
Transcription
1 PGCD de deux entiers naturels Diviseurs communs à deux entiers naturels Soient a et b deux entiers naturels non tous les deux nuls. L ensemble des diviseurs communs à a et b est une partie de Z non vide (elle contient 1) et ses éléments sont tous inférieurs ou égaux à a et à b. donc cet ensemble possède un plus grand élément. Définition Soient a et b deux entiers non tous nuls. Le plus grand diviseur commun à a et b est le PGCD de a et b. On le note PGCD (a ; b) ou a b. Exemple : Les diviseurs de 36 sont : 36 ; 18 ; 12 ; 9 ; 6 ; 4 ; 3 ; 2 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 ; 18 ; 36 Les diviseurs de 45 sont : 45 ; 15 ; 9 ; 5 ; 3 ; 1 ; 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45 Les diviseurs communs à 36 et 45 sont 9 ; 3 ; 1 ; 1 ; 3 ; 9 donc PGCD(36 ; 45) = 9 Remarque : Le PGCD de deux entiers relatifs est un entier supérieur ou égal à 1. Deux entiers opposés ont les mêmes diviseurs donc PGCD(a ; b) = PGCD( a ; b) = PGCD( a ; b) Propriété Pour tout entier naturel c, l ensemble des diviseurs communs à c et 0 est l ensemble des diviseurs de c. Propriété Si a divise b, alors PGCD(a ; b) = a. Détermination du PGCD de 2 entiers naturels : Avec Excel : la formule en cellule A3 est : =PGCD(A1 ;A2) Avec XCas Choisir le menu Math, Entier, La commande gcd(36, 45 permet d obtenir que PGCD(36 ; 45) = 9 A la main Utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers (démonstration après) Algorithme d Euclide (démonstration après) Algorithme d Euclide Propriété : Soit a, b, c et q des entiers relatifs tels que a = b q + c. Les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs communs à b et c. Notation : D(a, b) est l ensemble des diviseurs communs à a et b Soit d un diviseur commun à a et b, d divise a b q donc d divise c, donc D(a, b) D (b, c) Soit δ un diviseur commun à b et c, δ divise b q + c donc δ divise a donc D(b, c) D (a, b) d où D(a, b) = D (b, c) Notation : D(a, b) est l ensemble des diviseurs communs à a et b 1
2 Soit d un diviseur commun à a et b, d divise a b q donc d divise c, donc D(a, b) D (b, c) Soit δ un diviseur commun à b et c, δ divise b q + c donc δ divise a donc D(b, c) D (a, b) d où D(a, b) = D (b, c) Remarque : dans la division euclidienne de a par b, il existe un entier r (0 r < b) tel que a = b q + r donc D(a, b) = D (b, r) Propriété : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. Soit la suite d entiers définie par r 0 = b r 1 est le reste de la division euclidienne de a par b si r 1 0, r 2 est le reste de la division euclidienne de b par r 1 si r 2 0, r 3 est le reste de la division euclidienne de r 1 par r 2 si r n 1 0, r n est le reste de la division euclidienne de r n 2 par r n 1 etc. La suite des restes est finie et le dernier terme non nul de cette suite est le PGCD(a ; b) Exemple Calcul de PGCD (4095 ; 98) 4095 = = = = = 7 2 Le dernier reste non nul est 7 donc PGCD (4095 ; 98) = 7 : Par définition du reste de la division euclidienne : 0 r n < < r 2 < r 1 < b La suite (r n ) est strictement décroissante, à termes positifs donc contient au plus b + 1 éléments donc il existe un entier k tel que r k 0 et r k + 1 = 0. Par définition de la suite, il existe un entier relatif q k tel que : r k 1 = q k r k donc r k divise r k 1 D(a ; b) = D(b ; r 1) = = D(r k 1 ; r k) r k divise r k 1 donc D(r k 1 ; r k) = D(r k) Les diviseurs communs à a et b sont donc les diviseurs de r k donc PGCD(a ; b) = r k Propriété : Soit a et b deux entiers non nuls, tout diviseur commun à a et b est un diviseur de leur PGCD Soit k un entier relatif, PGCD(k a ; k b) = k PGCD(a ; b) Propriété 1 : D(r k 1 ; r k) = D(r k) donc tout diviseur commun à a et b est un diviseur de leur PGCD Propriété 2 : deux cas : Si k > 0, reprendre l algorithme d Euclide en multipliant chaque ligne par k. Si k < 0, PGCD(k a ; k b) = PGCD( k a ; k b ) PGCD(k a ; k b) = k PGCD( a ; b) PGCD(k a ; k b) = k PGCD(a ; b) Application : 26 = 2 13 et 39 = 3 13 donc PGCD( 26 ; 39) = 13 PGCD(2 ; 3) = 13 Propriété : Le PGCD de deux entiers non nuls est égal au produit de leurs diviseurs premiers communs chacun d eux étant affecté de son plus petit exposant. Exemple : = et = Les diviseurs premiers (d exposant non nul) communs aux deux décomposition sont 7 et 19. donc PGCD( ; ) = = 931 Nombres premiers entre eux Définition : Deux entiers naturels a et b sont dits premiers entre eux lorsque leur PGCD est 1. Propriété : Soit a et b deux entiers relatifs d est leur PGCD si et seulement s il existe deux entiers relatifs a et b tels que a = d a, b = d b et PGCD(a ; b ) = 1 : Soit d = PGCD(a ; b), d divise a et b donc il existe deux entiers relatifs a et b tels que a = d a, b = d b PGCD(a ; b) = PGCD(d a ; d b ) = d PGCD(a ; b ) or d = PGCD(a ; b), donc d = d PGCD(a ; b ) donc PGCD(a ; b ) = 1 2
3 Réciproquement Supposons qu'il existe deux entiers relatifs a et b tels que a = d a, b = d b et PGCD(a ; b ) = 1 PGCD(a ; b) = PGCD(d a ; d b ) = d PGCD(a ; b ) = d 1 donc PGCD(a ; b) = d Applications : Diviseurs communs à deux entiers PGCD (4095 ; 98) = 7 donc les diviseurs communs à et 98 sont les diviseurs de 7 soit 7 ; 1 ; 1 ; 7. Simplification de fractions Avec l algorithme d Euclide : PGCD( ; ) = 208 donc = et = et 245 et 209 sont premiers entre eux donc = (fraction irréductible) Théorème de Bezout : a et b sont deux entiers, PGCD(a ; b) = d alors il existe deux entiers relatifs u et v tels que : a u + b v = d a et b sont deux entiers premiers entre eux si et seulement s il existe deux entiers relatifs u et v tels que : a u + b v = 1 : Soient a et b deux entiers premiers entre eux Supposons a > 0 et b > 0 Soit la suite d entiers définie par r 0 = a r 1 = b r 2 est le reste de la division euclidienne de r 0 par r 1 donc r 0 = r 1 q 1 + r 2 donc r 0 r 1 q 1 = r 2 soit a b q 1 = r 2 de la forme a u 2 + b v 2 = r 3 avec u 2 et v 2 entiers relatifs r 3 est le reste de la division euclidienne de r 1 par r 2 donc r 1 = r 2 q 2 + r 3 donc r 1 r 2 q 2 = r 3 soit b (a b q 1) q 2 = r 3 de la forme a u 3 + b v 3 = r 3 avec u 3 et v 3 entiers relatifs r 4 est le reste de la division euclidienne de r 2 par r 3 donc r 2 = r 3 q 3 + r 4 donc r 2 r 3 q 3 = r 4 a b q 1 q 3 (a u 3 + b v 3) = r 4 de la forme a u 4 + b v 4 = r 4 avec u 4 et v 4 entiers relatifs r n 1 est le reste de la division euclidienne de r n 2 par r n 3. r n 1 = r n 2 q n 2 + r n 3 Supposons qu'au rang n 2 : r n 2 = a u n 2 + b v n 2 avec u n 2 et v n 2 entiers relatifs et au rang n 1 : r n 1 = a u n 1 + b v n 1 avec u n 1 et v n 1 entiers relatifs Montrons que la propriété est vraie au rang n + 1 r n est le reste de la division euclidienne de r n 2 par r n 1. r n = r n 1 q n 1 + r n 2 r n = (a u n 1 + b v n 1) q n 1 + a u n 2 + b v n 2 de la forme : r n = a u n + b v n avec u n et v n entiers relatifs La suite (r n ) vérifie donc : pour tout n de N, il existe deux entiers relatifs u et v tels que : r n = a u n + b v n. cette suite est telle qu'il existe un rang k tel que r k = PGCD(a, b) = d donc il existe deux entiers relatifs u et v tels que : a u + b v = d Si a et b sont des entiers relatifs tels que PGCD(a, b) = d, alors PGCD( a, b) = PGCD(a, b) = PGCD( a, b) = d Si a > 0 et b < 0, PGCD(a, b) = d avec a et b positifs donc il existe deux entiers relatifs u et v tels que : a u + ( b) v = 1 soit a u + b ( v) = 1, u et v étant deux entiers relatifs Même démonstration pour a < 0 et b > 0 ou a < 0 et b < 0. Cas particulier d = 1 Si a et b sont premiers entre eux, il existe deux entiers u et v tels que a u + b v = 1 (démonstration précédente) Réciproquement : S il existe deux entiers relatifs u et v tels que : a u + b v = 1, soit d = PGCD(a ; b), d divise a u + b v donc d divise 1, or d > 0 donc d = 1 a et b sont premiers entre eux. Remarque : attention si a u + b v = d, alors on a uniquement que PGCD (a ; b) divise d 3
4 Exemple : Déterminer u et v tels que u v = PGCD(a ; b) = soit 684 = = soit 96 = donc 96 = 780 ( ) 96 = = donc 12 = ( ) soit 12 = = 12 8 donc PGCD(a ; b) = 12 ; u = 8 et v = 23 Théorème de Gauss : Si a, b et c sont des entiers tels que a divise le produit b c et si a est premier avec b, alors a divise c. Sous forme plus symbolique : Si a / b c et si PGCD(a ; b) = 1 alors a / c. D après le théorème de Bézout, il existe deux entiers u et v tels que : a u + b v = 1 d où : a c u + b c v = c. Puisque a / a et a / b c, alors a / a c u + b c v, c est-à-dire a / c. Conséquences : a, b et c sont des entiers strictement positifs. 1. Si a et b divisent un entier c, et si a et b sont premiers entre eux, alors a b divise c. 2. Si un nombre premier p divise un produit a b, alors p divise a ou b. 3. Si un nombre premier divise un produit de nombres premiers, alors il est égal à l un d entre eux. 4. La décomposition en facteurs premiers d un entier est unique (à l ordre près). 1. Si a divise c, il existe un entier relatif k tel que c = k a. Si de plus b divise c = k a, a et b sont premiers entre eux, donc d après le théorème de Gauss, b doit diviser k, d où k = b k 0 et c = a b k 0 soit a b divise c. 2. Si p ne divise pas a, le PGCD de p et a n étant pas p est donc 1. p et a sont premiers entre eux, donc d après le théorème de Gauss, p doit diviser b. 3. C est une conséquence de Pourrait être démontré en utilisant 3. Exemples : Montrer qu un entier est divisible par un autre : Pour montrer qu un entier est divisible par 60, il suffit de démontrer qu il est divisible par 3 et 5 donc, 3 et 5 étant premiers entre eux, par 3 5 puis qu il est divisible par 4 15 et 4 étant premiers entre eux, l entier est divisible par 4 15 donc par 60. Montrer que si a et b sont premiers entre eux, alors a + b et a b sont premiers entre eux. Soit p un diviseur premier commun à a + b et à a b. p divise a b donc d après la conséquence 2 du théorème de Gauss, p divise soit a soit b. si p divise a alors p divise (a + b) a donc p divise b si p divise b alors p divise (a + b) b donc p divise a dans les deux cas, on aboutit à une contradiction puisque a et b sont premiers entre eux donc a + b et a b sont premiers entre eux Déterminer tous les couples d entiers naturels (x ; y) vérifiant : 32 x = 45 y. 32 = 2 5 et 45 = 3 2 ( 5 donc 32 et 45 sont premiers entre eux 32 divise 45 y donc 32 divise y donc il existe un entier relatif k tel que y = 32 k en remplaçant : 32 x = 45 y donc 32 x = 45 ( 32 k soit x = 45 k les couples d entiers naturels (x ; y) vérifiant : 32 x = 45 y sont de la forme (45 k ; 32 k) avec k ( Z Vérification : k = k n est un entier naturel. Prouver que (n 2 1) n 2 (n 2 + 1) est divisible par = N = (n 1) n (n + 1) n ( n 2 + 1) n 0 (4) donc N 0 (4) n 1 (4) donc (n 1) 0 (4) donc N 0 (4) n 2 (4) donc n 2 0 (4) donc N 0 (4) n 3 (4) donc n (4) donc N 0 (4) n 0 (3) donc N 0 (3) n 1 (3) donc (n 1) 0 (3) donc N 0 (3) 4
5 n 2 (3) donc n (3) donc N 0 (3) n 0 (5) donc N 0 (5) n 1 (5) donc (n 1) 0 (5) donc N 0 (5) n 2 (5) donc n (5) donc N 0 (5) n 3 (5) donc n (5) donc N 0 (5) n 4 (5) donc n (5) donc N 0 (5) donc 3, 4, 5 divisent N. Ces nombres étant premiers entre eux, divise N donc 60 divise N. Méthode de résolution de l équation a x + b y = c. 1) On détermine d = PGCD(a ; b). 2) Si c n est pas un multiple de d, l équation n a pas de solutions entières. Sinon, on divise a, b et c par d. On obtient alors une équation de la forme A x + B y = C, avec A et B premiers entre eux. 3) On détermine à l aide de l algorithme d Euclide une solution particulière (u ; v) de l équation. A x + B y = C 4) On écrit. A u + B v = C En soustrayant membre à membre, on voit que l équation est équivalente à : A (x u) = B (y v). A et B étant premiers entre eux, A divise B (y v) donc d après le théorème de Gauss, A divise (y v) donc il existe un entier relatif k tel que y v = k A d où par substitution x u = k B 5) Vérification Si x = u k B et y = v + k A, alors A x + B y = A u + B v = C Finalement l ensemble des solutions est l ensemble des couples de la forme : (u k B ; v + k A), où k désigne un entier relatif arbitraire. Exemple : x et y désignent des entiers relatifs. a. Montrer que l équation (E) 65 x 40 y = 1 n a pas de solution. 65 x 40 y = 5 (13 x 8 y) or x et y sont des entiers relatifs donc 65 x 40 y est un multiple de 5 1 n est pas un multiple de 5 donc l équation (E) 65 x 40 y = 1 n a pas de solution. b. Montrer que l équation (E') 17 x 40 y = 1 admet au moins une solution. 40 et 17 sont premiers entre eux donc d après le théorème de Bezout l équation (E') 17 x 40 y = 1 admet au moins une solution. c. Déterminer à l aide de l algorithme d Euclide un couple d entiers relatifs solution de l équation (E'). L 1 40 = L 2 17 = L 3 6 = donc 1 = or 5 = en remplaçant 1 = 6 (17 6 2) soit 1 = or 6 = en remplaçant 1 = 3 ( ) 17 soit = 1 ou encore 17 ( 7) 40 ( 3) = 1 ( 7 ; 3) est solution de (E'). d. Résoudre l équation (E'). 17 x 40 y = = 1 En soustrayant membre à membre, on voit que l équation est équivalente à : 17 (x + 7) 40 (y + 3) = 0 40 et 17 étant premiers entre eux, 40 divise (x + 7) donc d après le théorème de Gauss, 40 divise (x + 7) donc il existe un entier relatif k tel que (x + 7) = 40 k d où par substitution (y + 3) = 17 k Vérification : Si x = k et y = k, alors 17 x 40 y = 17 ( 7) 40 ( 3) = 1 donc l ensemble des solutions est l ensemble des couples de la forme : ( k ; k), où k désigne un entier relatif arbitraire. Petit théorème de Fermat : Soit a un entier relatif et p un nombre premier. Si p ne divise pas a alors a p 1 1 [p] soit a un entier relatif soit r le reste de la division euclidienne de a par p ; alors a r [p] donc a p 1 r p 1 [p] or r 0 donc il suffit de démontrer le théorème dans le cas où a est un entier positif. Soit p un nombre premier et a un entier naturel. 5
6 On sait que : (a + 1) p = a p p 1 p 2 p + a + a a p 1 Soit k un entier est telle que 1 k p 1. p ( p 1)... ( p k + 1) k est un entier avec : = k! donc k! = p (p 1) (p k + 1) donc p divise k!. Or p est un nombre premier, dont il est premier avec tous les entiers naturels qui lui sont inférieurs en particulier avec k! On en déduit, d après le théorème de Gauss, que p divise. On vient de prouver que : pour tout entier naturel k tel que 1 k p 1, 0 [p]. (a + 1) p = a p p 1 p 2 p + a + a a + 1 donc (a + 1) p a p + 1 [p] 1 2 p 1 Démontrons par récurrence sur a que : a p a [p]. On vérifie que la propriété est vraie au rang 0 : 0 p = 0 donc 0 p 0 [p] On vérifie que la propriété est héréditaire. On suppose que la propriété est vraie pour un certain rang a ; on a donc : a p a [p]. Or on a démontré à l étape précédente que (a + 1) p a p + 1 [p] en utilisant l hypothèse de récurrence, on obtient : (a + 1) p a + 1 [p] la propriété est donc vraie au rang n + 1. Conclusion : Si p est un nombre premier, pour tout entier naturel a, a p a [p] ou encore a p a est un multiple de p. Si p ne divise pas a, p étant un nombre premier, il est premier avec a. p divise a p a = a (a p 1 1), donc d après le théorème de Gauss p divise a p 1 1, soit : a p 1 1 [p]. Applications : Etudier les restes de la division euclidienne de 12 n par un nombre premier 5. 5 est un nombre premier, et 5 ne divise pas 12 alors d après le petit théorème de Fermat : [5] soit [5] Or pour tout entier naturel k, (12 4 ) k = 12 4 k donc 12 4 k ( 1 [5], il s ensuit donc que pour tout entier r : 12 4 k + r 12 r [5] il suffit donc de réaliser une étude de cas suivant le reste de la division euclidienne de n par 4. Si n = 4 k, (où k ( ) alors 12 n = 12 4 k or 12 4 k ( 1 [5] donc 12 n ( 1 [5] Si n = 4 k + 1, (où k N) alors 12 n = 12 4 k + 1 or 12 4 k [5] et 12 2 [5] donc 12 n ( 2 [5] Si n = 4 k + 2, (où k ( ) alors 12 n = 12 4 k + 2 or 12 4 k + 2 ( 12 2 [5] et 12 2 ( 4 [5] donc 12 n 4 [5] Si n = 4 k + 3, (où k N) alors 12 n = 12 4 k + 3 or 12 4 k [5] et [5] donc 12 n 3 [5] Dans une division euclidienne par 4, les restes possibles sont 0, 1, 2 ou 3. Tous les cas ont donc été envisagés. 6
Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Contrôle de mathématiques
Contrôle de mathématiques Correction du Lundi 18 octobre 2010 Exercice 1 Diviseurs (5 points) 1) Trouver dans N tous les diviseurs de 810. D 810 = {1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 27; 30; 45; 54; 81; 90;
108y= 1 où x et y sont des entiers
Polynésie Juin 202 Série S Exercice Partie A On considère l équation ( ) relatifs E :x y= où x et y sont des entiers Vérifier que le couple ( ;3 ) est solution de cette équation 2 Déterminer l ensemble
Préliminaire : Logique et raisonnement mathématique... 3 Arithmétique... 9 Géométrie plane... 27 Annexes...47
Université Paris 6, Licence FONDNATEXP, UE Maths LG308 http://www.math.jussieu.fr/~romagny/lg308 Version de Septembre 2006 Le cours de ce premier semestre est composé de deux parties principales : Arithmétique,
2 30 402 457 1 est le plus grand nombre premier connu en 2005. Son ordre de grandeur est de :
ARITHMETIQUE Emilien Suquet, suquet@automaths.com I Introduction aux différents ensembles de nombres L'ensemble de tous les nombres se nomme l'ensemble des réels. On le note IR (de real en allemand) On
Sur l algorithme RSA
Sur l algorithme RSA Le RSA a été inventé par Rivest, Shamir et Adleman en 1978. C est l exemple le plus courant de cryptographie asymétrique, toujours considéré comme sûr, avec la technologie actuelle,
3 ème E IE1 nombres entiers et rationnels Sujet 1 2015-2016
3 ème E IE1 nombres entiers et rationnels Sujet 1 2015-2016 Exercice 1 : (1,5 points) Je suis un nombre de 4 chiffres, multiple de 9 et de 10. Mon chiffre des dizaines est le même que celui des centaines.
M2 EFM TD MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES : ARITHMÉTIQUE CHRISTOPHE RITZENTHALER
M2 EFM TD MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES : ARITHMÉTIQUE CHRISTOPHE RITZENTHALER 1. Euclide, relation de Bézout, gcd Exercice 1. [DKM94,.14] Montrer que 6 n 3 n our tout entier n ositif. Exercice 2. [DKM94,.15]
Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés
Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment
Cours d arithmétique Première partie
Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant
Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009
Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 mat231-exo-03.tex (29 septembre 2008) Feuille d exercices n o 3 Exercice 3.1 Soit K un corps commutatif et soit {P 0, P 1,... P n } une famille de polynômes de
XI- Division euclidienne, pgcd et algorithme d Euclide
XI- Division euclidienne, pgcd et algorithme d Euclide L arithmétique consiste à travailler exclusivement avec des nombres entiers. Quand on additionne deux nombres entiers, on obtient un nombre entier,
Nombres premiers. Comment reconnaître un nombre premier? Mais...
Introduction Nombres premiers Nombres premiers Rutger Noot IRMA Université de Strasbourg et CNRS Le 19 janvier 2011 IREM Strasbourg Definition Un nombre premier est un entier naturel p > 1 ayant exactement
Démonstrations exigibles au bac
Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Raisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
STRUCTURES ALGÉBRIQUES FONDAMENTALES
STRUCTURES ALGÉBRIQUES FONDAMENTALES A. BOUARICH 1. Notion de relations binaires 1.1. Relation binaire d équivalence sur un ensemble. Définition 1. Soit A un ensemble non vide. Une fonction propositionnelle
1 Définition et premières propriétés des congruences
Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon
Correction du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
L usage de la calculatrice n est pas autorisé.
e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble
Applications linéaires
Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison
Logique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Collège LANGEVIN WALLON CORRIGE du BREVET BLANC DES 25 et 26 mai 2004 SÉRIE COLLÈGE
Collège LANGEVIN WALLON CORRIGE du BREVET BLANC DES 5 et 6 mai 004 SÉRIE COLLÈGE Durée heures MATHEMATIQUES Rédaction, présentation, orthographe (4 points) PARTIE I : ACTIVITES NUMERIQUES (1 points) Dans
FONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES
FONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES AYBERK ZEYTİN 1. DIVISIBILITÉ Comment on peut écrire un entier naturel comme un produit des petits entiers? Cette question a une infinitude d interconnexions entre les nombres
À propos des matrices échelonnées
À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E
Cours et activités en arithmétique pour les classes terminales - 3 e édition
Cours et activités en arithmétique pour les classes terminales - 3 e édition Groupe de travail sur la liaison Lycées-Universités IREM de Marseille 2 Table des matières 1 Introduction 7 2 Un projet de cours
avec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
1 Exercices à savoir faire
Licence 1 Mathématiques 2013 2014 Algèbre et Arithmétique 1 Feuille n 5 : Congruences, indicatrice d Euler, RSA 1 Exercices à savoir faire Exercice 1 1 Trouver tous les couples (x, y) Z 2 tels que 3x +
Limites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Continuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Applications linéaires
Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 18 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R (x + y, x
Développement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Exercices théoriques
École normale supérieure 2008-2009 Département d informatique Algorithmique et Programmation TD n 9 : Programmation Linéaire Avec Solutions Exercices théoriques Rappel : Dual d un programme linéaire cf.
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
La fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Mathématiques assistées par ordinateur
Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynômes réels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Année 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/ eiserm/cours # mao Document
Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient
Université Lille 1 Algèbre 2010/11 M51.MIMP Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient Exercice 1 Soient G, G deux groupes et f un homomorphisme de G dans G. Montrer que si A G, alors f( A )
Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
P (X) = (X a) 2 T (X)
Université Bordeaux I - année 00-0 MHT0 Structures Algébriques Correction du devoir maison Exercice. Soit P (X) Q[X]\Q.. Soit D(X) := pgcd(p (X), P (X)). a) Montrer que si deg D alors il existe α C tel
Manuel d utilisation 26 juin 2011. 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2
éducalgo Manuel d utilisation 26 juin 2011 Table des matières 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2 2 Comment écrire un algorithme? 3 2.1 Avec quoi écrit-on? Avec les boutons d écriture........
Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale
Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application
Chapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Fonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths
Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 009 L Maths (a) Rappelons d abord le résultat suivant : Théorème 0.. Densité de Q dans R. QUESTIONS DE COURS. Preuve. Il nous faut nous montrer que tout réel est
Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires :
Exo7 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R R f 1 x,y = x + y,x y f : R R f x,y,z = xy,x,y f : R R f x,y,z = x + y + z,y z,x
Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres
Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire
Table des matières. 3 Suites de nombres réels 29. 3.2 Limites... 30
Table des matières 1 Généralités 3 1.1 Un peu de logique................................. 3 1.1.1 Vocabulaire................................ 3 1.1.2 Opérations logiques............................ 4 1.1.3
CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 2009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES. (Classe terminale S)
MA 09 CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 009 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Classe terminale S) DURÉE : 5 heures La calculatrice de poche est autorisée, conformément à la réglementation. La clarté et
Arithmétique. 2 ième année de DUT Informatique. Version 2.1 3 février 2009. Ph. Roux
Arithmétique 2 ième année de DUT Informatique Version 2.1 3 février 2009 Ph. Roux 2002-2009 Table des matières Table des matières 2 1 cours magistral 3 1.1 Divisibilité.................................
BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n 1 Janvier 2012 - durée : 2 heures
BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n 1 Janvier 2012 - durée : 2 heures Les calculatrices sont autorisées. L orthographe, le soin et la présentation sont notés sur 4 points. Activités numériques (12 points)
Corrigé Pondichéry 1999
Corrigé Pondichéry 999 EXERCICE. = 8 = i ). D'où les solutions de l'équation : z = + i et z = z = i. a. De manière immédiate : z = z = b. Soit θ la mesure principale de arg z : cos θ = Par suite arg z
Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015
Énoncé Dans tout le problème, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n est pas un ensemble fini. Tous les espaces vectoriels considérés sont des K espaces vectoriels de dimension finie.
Chapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Algorithmes - Solutions
Algorithmes - Solutions I Algorithmes liés au programme de la classe de première Du fait de l importance du travail d arithmétique en terminale, les algorithmes plus directement liés à la classe de première
Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4
Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4 Exercice 1 Ecrire un programme de construction de la figure suivante. On utilisera seulement deux mesures : le rayon du cercle est 8 cm, la largeur d
Partie numérique Exercice 1 1) Les nombres 288 et 224 sont pairs donc ils sont divisibles par 2. Ils ne sont donc pas premiers
Partie numérique Eercice 1 1) Les nombres 88 et sont pairs donc ils sont divisibles par. Ils ne sont donc pas premiers entre eu car leur Plus Grand Commun Diviseur est supérieur ou égal à. ) Pour calculer
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
1 Questions de coût (de la vie?)
1 Université Paul Sabatier Année 2009-2010 Préparation à l'agrégation Arithmétique des entiers et des polynômes Option C emmanuel hallouin@univ-tlse2.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ hallouin/eh-agreg.html
Définition : On obtient les nombres entiers en ajoutant ou retranchant des unités à zéro.
Chapitre : Les nombres rationnels Programme officiel BO du 8/08/08 Connaissances : Diviseurs communs à deux entiers, PGCD. Fractions irréductibles. Opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire.
Algorithmes et logique au lycée
Algorithmes et logique au lycée Octobre 2009 N 36 Publication de l'irem de l'académie d'aix-marseille IREM - Campus de Luminy, case 901, 163, avenue de Luminy - 13288 Marseille cedex 9 - Tél.04 91 82 94
UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1
UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA & SMI Semestre 1 Module : Algèbre 1 Année universitaire : 011-01 A. Redouani & E. Elqorachi 1 Contenu du Module : Chapitre 1 : Introduction Logique
JEUX AVEC LES CHIFFRES DES DÉVELOPPEMENTS DÉCIMAUX DE QUELQUES RATIONNELS
JEUX AVEC LES CHIFFRES DES DÉVELOPPEMENTS DÉCIMAUX DE QUELQUES RATIONNELS Jean Luc Bovet, Auvernier Notre merveilleuse manière d écrire les nombres, due, dit-on, aux Indiens via les Arabes, présente en
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Thierry JOFFREDO. Mémo DNB. Première partie : calcul, fonctions. Année 2006-07
Thierry JFFRED ØØÔ»»ÛÛ󼄯ÓÒÙØ ºÖ Mémo DN Première partie : calcul, fonctions nnée 006-07 CLCUL SUR LES FRCTINS Fractions égales n obtient une fraction égale en multipliant (ou en divisant) numérateur
Support de cours de préparation au concours de Professeur des Ecoles
Support de cours de préparation au concours de Professeur des Ecoles Denis Vekemans 1 1. Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Continuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Probabilités Loi exponentielle Exercices corrigés
Probabilités Loi exponentielle Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : densité de probabilité Exercice 2 : loi exponentielle de paramètre
Que faire en algorithmique en classe de seconde? ElHassan FADILI Lycée Salvador Allende
Que faire en algorithmique en classe de seconde? BEGIN Que dit le programme? Algorithmique (objectifs pour le lycée) La démarche algorithmique est, depuis les origines, une composante essentielle de l
Introduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
2.1. Les fonctions. Les fonctions se définissent de la manière suivante : NomDeLaFonction(param1, param2,...)= { \\ Code de la fonction
TP1, prise en main de Pari/GP et arithmétique Le programme que nous allons utiliser pour les TP se nomme PARI/GP dont le point fort est la théorie des nombres (au sens large). Il est donc tout à fait adapter
Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Exercices à savoir faire
Licence 1 Mathématiques 2014 2015 Algèbre et Arithmétique 1 Feuille n 6 : équations aux congruences, Z/nZ Exercices à savoir faire Exercice 1 1. Trouver tous les couples (x, y) Z 2 tels que 3x + 7y = 5.
Taux d évolution moyen.
Chapitre 1 Indice Taux d'évolution moyen Terminale STMG Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Indice simple en base 100. Passer de l indice au taux d évolution, et réciproquement.
Quelques tests de primalité
Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars
CALCULATRICE AUTORISEE
Lycée F. MISTRAL AVIGNON BAC BLANC 2012 Epreuve de MATHEMATIQUES Série S CALCULATRICE AUTORISEE DUREE : 4 heures Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu il est complet Ce sujet comporte 3 pages
Logique informatique 2013-2014. Examen
Logique informatique 2013-2014. Examen 30 mai 2013. Durée 3h. Tous les documents sont autorisés. Seuls les résultats du cours peuvent être utilisés sans démonstration. Le barême et la longueur des solutions
Algorithmique et programmation : introduction
PAD INPT ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION 1 Cours, Semaine 0 avril mai 2013 Algorithmique et programmation : introduction Résumé Ce document décrit le module «Algorithmique et Programmation 1». Il introduit
Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Fondements de l informatique: Examen Durée: 3h
École polytechnique X2013 INF412 Fondements de l informatique Fondements de l informatique: Examen Durée: 3h Sujet proposé par Olivier Bournez Version 3 (corrigé) L énoncé comporte 4 parties (sections),
Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
x 8 = 0 3x - 6 = 2x + 2 3x² 6 = 2x² + 2
Partie numérique : 16 points Exercice n 1 (4 points) : Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, 3 réponses sont proposées, mais une seule est exacte. Aucune justification n'est demandée. Écrire le numéro
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
CONCOURS GÉNÉRAL DES LYCÉES SESSION DE 2001 COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Classe terminale S) Durée : 5 heures La calculatrice de poche est autorisée. La clarté et la précision de la rédaction seront prises
Incertain, Marché financier, M1 - Arnold Chassagnon, Université de Tours, PSE - Automne 2015
Incertain, Marché financier, - M1 - Arnold Chassagnon, Université de Tours, PSE - Automne 2015 Plan du cours 1. Incertain, actifs financiers et marché financier 2. Les conditions d un marché sans arbitrage
I. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point
03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de
I. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Second degré : Résumé de cours et méthodes
Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : DÉFINITIN n appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f () = a + b + c (a,b et c réels avec a 0). Remarque : Par abus
Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples
36 Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples (Ω, B, P est un espace probabilisé. 36.1 Définition et propriétés des probabilités conditionnelles Définition 36.1
Mathématiques. Option Spécifique. Stéphane Perret. Version 3.001
Mathématiques Option Spécifique Stéphane Perret Version 3.00 Table des matières I Première année Les principes de base de la logique 3. Le principe de non-contradiction....................... 3. Le principe
Continuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Devoir commun Décembre 2014 3 ème LV2
Devoir commun Décembre 2014 3 ème LV2 Collège OASIS Corrigé de l Epreuve de Mathématiques L usage de la calculatrice est autorisé, mais tout échange de matériel est interdit Les exercices sont indépendants
Cryptographie. 1. Le chiffrement de César. Exo7. 1.1. César a dit...
Exo7 Cryptographie Vidéo partie 1. Le chiffrement de César Vidéo partie 2. Le chiffrement de Vigenère Vidéo partie 3. La machine Enigma et les clés secrètes Vidéo partie 4. La cryptographie à clé publique
Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés.
Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R
UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES
UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010 N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES 1 Les énoncés La plupart des phrases que l on rencontre dans un livre
TD2 Fonctions mesurables Corrigé
Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles
Ensembles et applications. Motivations. Exo7
o7 nsembles et applications Vidéo partie 1. nsembles Vidéo partie 2. Applications Vidéo partie 3. Injection, surjection, bijection Vidéo partie 4. nsembles finis Vidéo partie 5. Relation d'équivalence