2. On présente ensuite une proposition : l'équiprobabilité à chaque étape entraîne l'équiprobabilité sur l'ensemble des résultats.

Transcription

1 rbre de déombremet et arbre de probablté Pla du documet. O présete tout d'abord la règle du produt pour les arbres de déombremet avec, e cas partculer, le cardal d'u produt cartése d'esembles fs.. O présete esute ue proposto : l'équprobablté à chaque étape etraîe l'équprobablté sur l'esemble des résultats.. O applque cette proposto à l'échatlloage das ue populato fe (approche sodage) : échatllo de talle à probablté égale avec remse pus sas remse. 4. Pour les échatlloages de l'exemple, o utlse ue autre modélsato à l'ade de probabltés codtoelles et d'arbres de probablté. 5. Illustrato des paragraphes et 4 das le cas d'ue populato de talle ; arbre de déombremet, arbre de probablté et tableau présetat la dstrbuto de probablté coote et les deux dstrbutos margales des deux trages.. Règle du produt (pour les arbres de déombremet), k résultats possbles ( e dépedat que de l'étape k) alors le ombre total de résultats possbles est S ue expérece comporte K étapes avec, pour chaque étape k, k, K K k = k. k Preuve Par récurrece sur K Pour K = a ;, Sot { } l'esemble des résultats de la ère étape et,,, { b, ;, } l'esemble des résultats de la ème étape correspodat au résultat a de la ère étape. { } L'esemble des résultats de l'expérece s'écrt : ( a, ) ;,,,, b a : Ω= Ω avec Ω = ( a, b, ) ;, Ω { }. Les ( ) =, Ω= et o sot à dsots et de même cardal. O e dédut par le lemme du berger card( Ω ) =, d'où le résultat pour K =. O suppose la proprété vérfée au rag K. K a,, N, les résultats des K premères étapes, avec N = d'après O désge par l'hypothèse de récurrece et,, N, par b,,, K + les résultats de l'étape K + correspodat au résultat des K premères étapes désgé par. L'esemble des résultats de l'expérece s'écrt : ( a, ) ;,,,, b N K + preuve fate pour K = permet de coclure. a k = { } Ω= et la k rbre de déombremet et arbre de probablté. Jeae Fe p. /8

2 Cas partculer. Cardal d'u espace produt d'esembles fs. Das le cas où, pour tout k de, K, l'esemble des résultats de l'étape k est u esemble f k de cardal k, alors l'esemble des résultats de l'expérece est le produt cartése K... K, esemble f de cardal k. k =. Equprobablté sur l'esemble des résultats s équprobablté à chaque étape Proposto (cadre probablste) S ue expérece aléatore comporte K étapes avec, pour chaque étape k, ( k, K ), k résultats possbles équprobables ( k e dépedat que de l'étape k) alors le ombre total de K résultats possbles est k et ls sot équprobables. k = Preuve Le résultat cocerat le déombremet des résultats possbles est déà démotré. Il reste à prouver que, s l'o a équprobablté à chaque étape, alors o a équprobablté sur l'esemble des résultats. O rasoe par récurrece sur K. Pour K = O repred les otatos utlsées précédemmet. L'uvers assocé à l'expérece aléatore est Ω= a, ;,,, b,. L'évéemet "obter le résultat a à la premère {( ) } b, à la deuxème étape" s'écrt {(,, )} Ω {( ), = a, b, ; }.,, les évéemets élémetares ( ) étape pus la premère étape" s'écrt a b et l'évéemet "obter le résultat à a { a, b, },, Par hypothèse, pour tout de, sot équprobables. O ote p la probablté commue à ces évéemets. O a alors, pour tout de,, P( Ω ) = p pusque Ω est la réuo de ces évéemets élémetares (évdemmet à compatbles). Par hypothèse, les évéemets Ω,,, sot équprobables. O ote q la probablté commue à ces évéemets. O a doc, pour tout de,, q= p. Les évéemets Ω sot à compatbles et formet ue partto de Ω. O e dédut : = P( Ω ) = P( Ω ) d'où = = q q = et, pour tout de,, q p =. = Les évéemets élémetares {( a, )},,,,, b, sot équprobables. La sute de la démostrato par récurrece est évdete. rbre de déombremet et arbre de probablté. Jeae Fe p. /8

3 . pplcato au trage successf à probablté égale avec remse et sas remse O tre "au hasard" (c'est-à-dre avec équprobablté) successvemet et avec remse (resp. sas remse) deux boules d'ue ure coteat boules umérotées de à. Pour tout de,, o ote (resp. ) l'évéemet "obter la boule au premer trage" (resp. "obter la boule au deuxème trage"). Proposto Que le trage sot avec ou sas remse, o a, pour tout de,, P( ) = et P( ) =. Das le cas du trage avec remse, o a, pour tout de, et tout de,, P( ) = ; les évéemets et sot dépedats e probablté. Das le cas du trage sas remse, o a pour tout de, et tout de,, P( ) = s, 0 so ; les évéemets et e sot pas dépedats ( ) e probablté. Preuve Das le cas d'u trage avec remse, l'esemble des résultats possbles est Ω= {(, ) ;,,, } ; o a card( Ω ) = (cas partculer de la règle du produt pour le cardal d'u esemble produt) et chaque évéemet élémetare a la même probablté / (proposto c-dessus). Pour tout de, et tout de,, o a : = {(, );, }, = {(, );, } et =,, de cardal, et respectvemet. {( )} O e dédut : pour tout de, et tout de P P P ( ) =, ( ) =, ( ) = et le résultat aocé.,, Das le cas d'u trage sas remse, l'esemble des résultats possbles est Ω= {(, ) ;,,, \{ } } ; o a card( Ω ) = ( ) (règle du produt pour u arbre de déombremet) et chaque évéemet élémetare a la même probablté : /(-) (proposto c-dessus). Pour tout de, et tout de,, o a : - = {(, );, \{ } } = {(, ) },, \{} { { }} { } = (, );, \ = (, ), \{} et = {(, ) } s, so ; - card( ) =, card( ) = (règle de la somme pour u arbre de déombremet) et card( ) = s, 0 so ; - P ( ) =, P ( ) = et P ( ) = s, 0 so. ( ) rbre de déombremet et arbre de probablté. Jeae Fe p. /8

4 Comme o a : PP ( ) ( ) =, pour tout de et,,,,, e sot pas dépedats e probablté. 4. Modélsato avec les probabltés codtoelles, et tout de, ; les évéemets u leu d'utlser la proposto c-dessus, o peut modélser les deux trages e utlsat les probabltés codtoelles et les arbres de probabltés (arbres podérés). O utlse les mêmes otatos que c-dessus pour l'esemble des résultats possbles et pour et,,. les évéemets Das le cas du trage avec remse, o a, par hypothèse : pour tout de,, P ( ) = et pour tout de, P( ). O e dédut, pour tout pour tout de =, et tout de, P( {(, )}) = P( ) = P( ) P ( ) = = (règle du produt pour u arbre podéré). O retrouve l'équprobablté des évéemets élémetares. Ef o e dédut : pour tout de,, P( ) = P( ), =, = (règle de la somme pour u arbre podéré). Das le cas du trage sas remse, o a, par hypothèse : pour tout d e,, pour tout de,, P( ) s =, 0 so. ( ) P = et O e dédut, pour tout pour tout de, et tout de, \ { } P( {(, ) }) = P( ) = P( ) P ( ) = = ( ), (règle du produt pour u arbre podéré). O retrouve l'équprobablté des évéemets élémetares. Ef o e dédut : pour tout de,, P( ) = P( ), =, \{ } ( ) = (règle de la somme pour u arbre podéré). rbre de déombremet et arbre de probablté. Jeae Fe p. 4/8

5 5. rbre de déombremet et arbre de probablté - Exemple O tre "au hasard" (c'est-à-dre avec équprobablté) successvemet et avec remse (resp. sas remse) deux boules d'ue ure coteat boules umérotées de à. Pour tout de {,, }, o ote (resp. ) l'évéemet "obter la boule au premer trage" (resp. "obter la boule au deuxème trage"). Proposto Que le trage sot avec ou sas remse, o a, pour tout de {,, }, P( ) = et P( ) =. Das le cas du trage avec remse, o a, pour tout de {,, } et tout de {,, }, P( ) = ; les évéemets et sot dépedats e probablté. 9 Das le cas du trage sas remse, o a pour tout de {,, } et tout de {,, }, P( ) = s, 0 so ; les évéemets et e sot pas dépedats e 6 probablté. Preuves Que ce sot pour le trage avec remse ou le trage sas remse, - o peut utlser u arbre de déombremet pour lster l'esemble des résultats possbles et utlser la proposto selo laquelle l'équprobablté à chaque trage etraîe l'équprobablté sur l'esemble des résultats des trages successfs (cette proposto est admse à tous les veaux d'esegemet secodare) - o peut utlser l'formato foure sous forme de probablté codtoelle (arbre de probablté) et e dédure la probablté des évéemets élémetares. Trage avec remse - rbre de déombremet rbre de déombremet {(, ), (, ), (, ), (, )(,, )(,, )(,, ), (, ), (, ) } O a pour tout de {,, } et tout de {,, } : = ( ) ( ),, =,,, = Ω= et P est l'équprobablté sur Ω. {,,,,( )} {(, ),( ) ( )}, {(, )} rbre de déombremet et arbre de probablté. Jeae Fe p. 5/8

6 = = = et le résultat sur l'dépedace. 9 dot o dédut : P( ), P( ) et P( ) - rbre de probablté rbre de probablté P( ) 9 P( ) 9 P( ) 9 P ( ) = P( ) + P ( ) + P ( ) = O a par hypothèse, pour tout de {,, }, P ( ) = et pour tout de {,, } P( ) =. O e dédut, pour tout pour tout de {,, } et tout de {,, } ({(, )}) ( ) ( ) ( ) P = P = P P = = (règle du produt pour u arbre 9 podéré). O retrouve l'équprobablté des évéemets élémetares. Ef o e dédut : pour tout de {,, }, P( ) = P( ) {,,} = {,,} 9 = (règle de la somme pour u arbre podéré). - Tableau : dstrbuto de probablté coote et de dstrbutos margales des résultats des premer et deuxème trages trage er trage La dstrbuto coote est égale au produt des marges : dépedace e probablté des deux trages. rbre de déombremet et arbre de probablté. Jeae Fe p. 6/8

7 Trage sas remse - rbre de déombremet rbre de déombremet Ω= {(, ),(, ),(, ),(, )(,, )(,, ) } et P est l'équprobablté sur Ω. O a : = {(, ), (, )}, = {(, ), (, )}, = {(, ), (, )}, = {(, ),(, )}, = {(, ),(, )}, = {(, ),(, )}, et, pour tout de { } de {,, } : = {(, ) } s, so. P =, P = et P = s, 0 so. 6 O dédut : ( ) ( ) ( ) - rbre de probablté rbre de probablté P ( ) 6 P ( ) 6,, et tout P( ) = P( ) + P( ) = O a par hypothèse, pour tout de {,, }, P ( ) = et pour tout de {,, } P( ) s, 0 so. = O e dédut, pour tout pour tout de {,, } et tout de {,, } avec, P( {(, ) }) = P( ) = P( ) P ( ) = = (règle du produt pour 6 u arbre podéré). O retrouve l'équprobablté des évéemets élémetares. rbre de déombremet et arbre de probablté. Jeae Fe p. 7/8

8 Ef o e dédut : pour tout de{ } (règle de la somme pour u arbre podéré). = = = 6,,, P( ) P( ) {,,} {,, }\{ } - Tableau : dstrbuto de probablté coote et de dstrbutos margales des résultats des premer et deuxème trages. trage er trage La dstrbuto coote 'est pas égale au produt des marges, o dépedace e probablté des deux trages. rbre de déombremet et arbre de probablté. Jeae Fe p. 8/8