Terminale S. Lycée Desfontaines Melle Chapitre 11 Probabilité Conditionnement et indépendance

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Terminale S. Lycée Desfontaines Melle Chapitre 11 Probabilité Conditionnement et indépendance"

Transcription

1 Termiale S. Lycée Desfotaies Melle Chapitre 11 Probabilité Coditioemet et idépedace I. Probabilité coditioelle 1- Exemple Das u lycée coteat N élèves, 4% des élèves sot des filles, % des garços. Parmi les filles, 30% sot iteres et 70% exteres. Parmi les garços, 60% sot iteres et 40% exteres. O tire au hasard ue fiche das le fichier de tous les élèves du lycée, o ote le résultat obteu qui peut être "fille itere", "fille extere", "garço itere" ou "garço extere". O peut représeter cette situatio par le graphique ci-cotre, appelé arbre podéré. Remarquez que la somme des probabilités iscrites sur les braches issues d u même œud est égale à 1. Ceci est vrai quelque soit l arbre podéré. Cette loi est coue sous le om de loi des œuds. Le chemi -0.4 F 0.7 E représete l évéemet "la fiche tirée est celle d ue fille extere". O le ote l évéemet F E Calculos la probabilité de cet évéemet : Si N est la populatio totale des élèves, le ombre de filles est 0.4 N et puisque parmi elles, 70% sot exteres, le ombre de filles exteres est N. Aisi, parmi les N élèves, N sot des filles exteres doc e supposat l équiprobabilité (du fait que le tirage se fait au b de filles exteres hasard), P(F E)= = N = b total d élèves N Notos que cette probabilité est le produit des ombres iscrits sur chaque brache du chemi. Iterprétos les ombres sur chaque brache : Le ombre iscrit sur la brache -0.4 F est la probabilité que la fiche soit celle d ue fille, doc P(F)=0.4 Le ombre iscrit sur la brache F 0.7 E est la probabilité d obteir la fiche d u élève extere sachat que c est ue fille.. Cette probabilité se ote P F (E) et se lit "probabilité de E sachat F". O a doc P(F E)=P(F) P F (E) et doc P F (E)= P(F E) P(F) 2- Probabilité de B sachat A Défiitio : Soit A et B deux évéemets, A état de probabilité o ulle. La probabilité que l évéemet B se réalise sachat que l évéemet A est réalisé, est le ombre oté P A (B) et défii par P A (B)= P(A B) P(A) Coséqueces sur la probabilité d ue itersectio : Soit A et B deux évéemets de probabilités o ulles : Illustratio sur des arbres podérés : Le chemi e trait plei représete l évéemet A B. La probabilité de ce chemi cad de cet évéemet est le produit de ses braches : P(A B)=P A (B)P(A) P(A B)=P A (B)P(A)=P B (A)P(B) Le chemi e trait plei représete aussi l évéemet A B. La probabilité de ce chemi cad de cet évéemet est le produit de ses braches : P(A B)=P B (A)P(B) 1/6

2 Remarques : Soit A et B deux évéemets. A de probabilité o ulle. Alors ÒB =1 P (B). ÒA P A ( ÒB ) =1 P A (B) et P ÒA ( ) P A (A)=1 Si A et B sot icompatibles alors P A (B)=0 3- Formule de probabilités totales (a) Cas particulier Soit A u évéemet de probabilité o ulle. Alors, pour tout évéemet B, B état l uio des évéemets icompatibles A B et ÒA B o a : P(B)=P(A B)+P( ÒA B ) =P A (B)P(A)+P ÒA (B)P( ÒA ) P(A B) P( ÒA B ) (b) Gééralisatio Défiitio : Dire que les évéemets A 1, A 2,, A formet u système complet de Ω ou ue partitio de Ω sigifie que les évéemets A i sot o vides, icompatibles deux à deux ( i, j, A i A j =Ø) et que leur réuio est Ω ( A 1 A 2 A =Ω ). Théorème : Formule des probabilités totales Soit A 1, A 2,, A ue partitio de Ω. Alors pour tout évéemet B, B état la réuio des évéemets icompatibles B A 1, B A 2,, B A, P(B)=P( B A 1 ) +P( B A 2 ) + P( B A ) =P A1 (B)P( A 1 ) +P A2 (B)P( A 2 ) + +P A (B)P( A ) II. Idépedace 1. Idépedace de deux évéemets. Défiitio : O dit que deux évéemet A et B sot idépedats lorsque P(A B)=P(A) P(B). Cela reviet à dire, si P(A)ý0, que P A (B)=P(B) et si P(B)ý0 que P B (A)=P(A)) Remarque : La secode formulatio red plus aturelle la défiitio : il parait ormal de cosidérer comme "idépedats", au ses ituitif du terme, deux évéemets A et B dès lors que la réalisatio de B e déped pas de celle de A (et iversemet). Propriété : Si deux évéemets A et B sot idépedats alors ÒA et B le sot aussi, aisi que A et ÒB et que ÒA et ÒB. 2. Idépedace de deux variables aléatoires Défiitio : Soit Ω u uivers et P ue loi de probabilité sur Ω. Deux variables aléatoires sur Ω, X et Y sot dites idépedates lorsque pour toute valeur x prise par X et pour toute valeur y prise par Y : P(X=x et Y=y)=P(X=x) P(Y=y) III. Modélisatio d expérieces idépedates 1- Expérieces idépedates. Il est fréquet qu ue expériece aléatoire E cosiste à echaier plusieurs expérieces E 1, E 2,, E. Si chacue d elles se déroule das des coditios qui e dépedet pas des résultats des autres épreuves, o dit e lagage courat que ces épreuves E k sot idépedates. Das ce cas, u résultat de E est la doée d ue liste ordoée doat les résultats obteus aux épreuves E 1, E 2,, E. E accord avec les règles de foctioemet des arbres podérés, o modélise l expériece aléatoire E e défiissat la probabilité d ue liste de résultats comme le produit des probabilités de chacu de ces résultats. 2/6

3 U exemple : O cosidère l expériece aléatoire E qui cosiste à echaier les trois expérieces suivates : E 1 : O lace ue pièce de moaie équilibrée; les issues de l expériece sot otés P et F. E 2 : O tire au hasard u jeto das ue ure qui cotiet jetos dot 3 umérotés "1" et 2 umérotés "4"; les issues de l expériece serot otés J 1 et J 4 E 3 : O tire au hasard ue boule das ue ure qui cotiet 2 boules rouges et 1 boule verte; les issues de l expériece serot otés R et V. Lorsque l o effectue successivemet les trois expérieces E 1, E 2, E 3, l issue de l ue quelcoque des trois expérieces e déped pas de l issue des autres expérieces; ces expérieces sot doc idépedates. L arbre ci-cotre idique toutes les listes de résultats possibles pour E : (o "podère" les braches de l arbre e adoptat pour chaque expériece E 1, E 2, E 3, le modèle de la loi équirépartie et e appliquat l idépedace des expérieces (aisi par exemple P F( J 1 ) =P( J 1 ) = 3 ). La probabilité d obteir la liste ( P,J 1,V) est le produit des probabilités des évéemets P, J 1 et V cad Cas particuliers où les expérieces répétées sot idetiques et idépedates. Il s agit du cas particulier où les expérieces E 1, E 2,, E sot les répétitios d ue même épreuve. U exemple : tirages successifs avec remise. Ue ure cotiet 4 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules oires. O tire au hasard ue boule de l ure, o ote sa couleur et o la remet das l ure puis o tire à ouveau ue boule de l ure. Le fait que la première boule tirée soit remise etre les deux tirages red ces tirages idetiques et idépedats. L arbre cicotre idique les listes de résultats possibles : O cosidère l évéemet S :"obteir ue boule rouge exactemet". S est réalisé par les listes (evts élémetaires) (R,V), (R,N), (V,R) et (N,R) doc la probabilité d u évéemet état la somme des probabilités des évéemets élémetaires qui le costituet, P(S)=P((R,V))+P((R,N))+P((V,R))+P((N,R)). Or la probabilité d ue liste de résultats est le produit des probabilités de chacu des résultats doc P((R,V))= 4 3 ; P((R,N))= 4 2 ; P((V,R))= 3 4 ; P((N,R))= 2 4. D où P(S)= = O effectue maiteat tirages successifs avec remise (Ã2). Ces tirages sot doc idetiques et idépedats. Calculos la probabilité p pour qu au mois ue des boules soit rouges : Notos A l évéemet :"au mois ue des boules est rouge". L évéemet cotraire est A : "aucue des boules est rouge" cad que A est composé que de l évéemet élémetaire ( ÒR,ÒR,,ÒR ). Les tirages état idetiques et idépedats, P ( A ) Détermios le plus petit etier tel que p Ã0. : p Ã0.ñ1 Ã0.ñ ñ l l0.01 Âl0.01 ñ Ã l d où p =P( ) = Ã-0.01ñ Â0.01ñl (car l l0.01 <0). Or l A =1 P ( ) A =1 Âl0.01 (car la fct l est strictemet croissate sur IR +* ) ó7.8 doc le plus petit etier tel que p Ã0. est 8. (cad que le ombre miimum de tirages à faire pour que la proba de tirer au mois ue boule rouge soit supérieure à % est de 8).. 3/6

4 IV. Exercices Exercice 1 A l aide de l arbre ci-cotre, préciser : P( ÒA ), P A ( ÒB ) et P ÒA ( ÒB ). E déduire P(A B), P( ) P( ÒA B ) et P( ÒA ÒB ). A ÒB, Exercice 2 O doe P(A)= 1 2, P(B)= 1 4 et P(A B)= Calculer P A(B) et P B (A). Exercice 3 O doe P(A)= 1 2, P(B)= 1 3 et P(A B)= 2 3. Calculer P(A B), P A(B) et P B (A). Exercice 4 O doe P(A)= 1 3, P A(B)= 1 4 et P ÒA (B)= 1. Calculer P(B) 2 Exercice O doe P(A)= 1 2, P(B)= 3 4 et P(A B)= 2. Calculer P A(B), P B (A), P( ÒA ÒB ), P ÒA ( ÒB ). Exercice 6 Das ue populatio, 20% des idividus ot les yeux bleus. parmi ceux-ci, 70% ot les cheveux clairs et parmi les autres, 40% ot les cheveux clairs. U idividu arrive. 1. Quelle est la probabilité pour qu il ait les cheveux clairs. 2. L idividu a les cheveux clairs; calculer la probabilité pour qu il ait les yeux bleus. Exercice 7 (BAC ES jui 2001, Amérique du Nord) Das cet exercice, les probabilités demadées serot doées sous forme décimale, évetuellemet arrodies à 10-3 près. Lors d ue equête réalisée par l ifirmière auprès d élèves de classes de termiale, o appred que 60% des élèves sot des filles. De plus 40% des filles et 30% des garços fumet. 1. O choisit u élève au hasard. O ote A l évéemet : "l élève choisi fume" et F l évéemet : "l élève choisi est ue fille". Quelle est la probabilité que : (a) cet élève soit ue fille qui fume? (b) Cet élève soit u garço qui e fume pas? (c) Cet élève fume? 2. L equête permet de savoir que : - parmi les élèves fumeurs, la moitié ot des parets qui fumet ; - parmi les élèves o fumeurs, 6% ot des parets o fumeurs. O ote B l évéemet : "l élève choisi a des parets fumeurs". (a) Calculer P(B). (b) Calculer la probabilité qu u élève fume sachat qu il a des parets fumeurs. (c) Calculer la probabilité qu u élève fume sachat qu il a des parets o fumeurs. Exercice 8 (Atilles-Guyae, jui 2001) Das cet exercice, les probabilités demadées serot doées sous forme de fractios irréductibles. U joueur achète 10 u billet permettat de participer à u jeu costitué d u grattage suivi d ue loterie. Il gratte ue case sur le billet. Il peut alors gager 100 avec ue probabilité de 1 ou bie e rie gager. 0 G désige l évéemet : "le joueur gage au grattage". Il participe esuite à ue loterie avec le même billet. A cette loterie, il peut gager 100, ou 200, ou bie e rie gager. L 1 désige l évéemet : "le joueur gage 100 à la loterie". L 2 désige l évéemet : "le joueur gage 200 à la loterie". P désige l évéemet : "le joueur e gage rie à la loterie". Si u joueur a rie gagé au grattage, la probabilité qu il gage 100 à la loterie est 1, et la probabilité qu il gage 200 à la loterie est /6

5 1. (a) Faire u arbre sur lequel o idiquera les reseigemets qui précèdet. (b) Calculer la probabilité pour que le joueur e gage rie à la loterie, sachat qu il a rie gagé au grattage. Compléter l arbre avec cette valeur. (c) Au bout de chaque brache, idiquer le gai algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déductio faite du prix du billet. 2. O ote X la variable aléatoire qui représete le gai algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déductio faite du prix du billet. 2 La probabilité de l évéemet "X=0" est 12. (a) Motrer que la probabilité que le joueur gage 100 à la loterie, sachat qu il a gagé 100 au grattage, est égale à (b) Calculer la probabilité que le joueur gage rie à la loterie, sachat qu il a gagé100 au grattage. (c) Détermier la loi de probabilité de X. Calculer l espérace de X. Exercice Ue machie M 1 est costituée de deux élémets A et B. U défaut d u seul élémet suffit à mettre la machie hors service et o exclut toute autre évetualité de pae. Les défauts évetuels des élémets A et B sot deux évéemets idépedats qui se produiset avec les probabilités respectives a=0.1 et b= Calculer la probabilité pour que A et B soiet hors service e même temps. 2. Calculer la probabilité pour que la machie M 1 soit hors service. 3. Calculer la probabilité pour que la machie M 1 foctioe. 4. Calculer la probabilité de l évéemet V : "u seul élémet est e pae".. O suppose que la machie M 1 est hors service. Quelle est la probabilité d avoir u seul élémet e pae? Exercice 10 Ue ure cotiet quatre boules : deux rouges portat les uméros 1 et 2, ue verte umérotée 1 et ue jaue umérotée 2. O extrait au hasard ue boule de l ure. O cosidère les variables aléatoires X, Y et Z associat respectivemet à chaque tirage : - le uméro porté par la boule; - le ombre de boules rouges obteues (0 ou 1) - le ombre de boules jaues obteues (0 ou 1). 1. Détermier la loi de probabilité de chaque variable aléatoire. 2. (a) Etudier l idépedace des variables aléatoires X et Y. (b) Etudier l idépedace des variables aléatoires X et Z. Exercice 11 O sait que 3% des idividus d ue populatio lycéee pratiquet le cyclisme (sport A), que 2% pratique le teis (sport B) et que 1% pratiquet les sports A et B. 1. O iterroge au hasard ue persoe de la populatio cosidérée. (a) Quelle est la probabilité pour que cette persoe pratique au mois u des sports cosidérés? (b) Quelle est la probabilité pour que cette persoe e pratique aucu des sports cosidérés? (c) Quelle est la probabilité pour que cette persoe pratique le sport A et e pratique pas le sport B? (d) Quelle est la probabilité pour que cette persoe pratique u et u seul des sports cosidérés? 2. O iterroge au hasard ue persoe de la populatio cosidérée pratiquat le sport A. Quelle est la probabilité pour que cette persoe pratique le sport B? (o doera le résultat sous forme de fractio irréductible) 3. O désige par u etier supérieur ou égal à 2. O choisit, au hasard et de faço idépedate, persoes de la populatio cosidérée (o assimilera ces choix à tirages avec remise). (a) Quelle est la probabilité p pour qu au mois ue des persoes choisies pratique le sport A? (b) Détermier le plus petit etier tel que p Ã0.. Exercice 12 (Réuio-jui 2002) Das u lot de 100 pièces de moaie toutes de même apparece, ot été mélagées 60 pièces équilibrées et 40 pièces truquées. La probabilité d apparitio de "PILE" lors d u jet d ue pièce truquée est 3 4. La probabilité d apparitio de "PILE" lors d u jet d ue pièce équilibrée est 1 2. O suppose que les différets lacers dot il sera questio das la suite sot idépedats les us des autres. Les résultats serot doés sous forme de fractios irréductibles. 1. O pred ue pièce au hasard et o la lace : Soit T l évéemet : "la pièce est truquée". /6

6 Soit P l évéemet : "o obtiet PILE". (a) Calculer la probabilité d obteir "PILE". (o pourra s aider d u arbre) (b) Quelle est la probabilité que la pièce soit truquée sachat que l o a obteue "PILE"? 2. O pred ue pièce au hasard et o la lace 4 fois. - si au cours des quatre lacers o obtiet 4 fois "PILE", o décide d élimier la pièce, - das le cas cotraire, o décide de coserver la pièce. - O ote E l évéemet : "la pièce est élimiée" (a) Quelle est la probabilité que la pièce soit élimiée sachat qu elle est équilibrée? (b) Quelle est la probabilité que la pièce soit coservée sachat qu elle est truquée? (c) Quelle est la probabilité d avoir pris ue pièce équilibrée et de l avoir élimiée ou d avoir ue pièce truquée et de l avoir coservée? Exercice 13 (Réuio-jui 200) O cosidère trois ures U 1, U 2 et U 3. L ure U 1 cotiet deux boules oires et trois boules rouges; l ure U 2 cotiet ue boule oire et quatre boules rouges; l ure U 3 cotiet trois boules oires et quatre boules rouges. Ue expériece cosiste à tirer au hasard ue boule de U 1 et ue boule de U 2, à les mettre das U 3, puis à tirer au hasard ue boule de U 3. Pour i preat les valeurs 1,2 et 3, o désige par N i (respectivemet R i ) l évéemet "o tire ue boule oire de l ure U i " (respectivemet "o tire ue boule rouge de l ure U i ") 1. Reproduire et compléter l arbre de probabilités ci-cotre : 2. (a) Calculer la probabilité des évéemets N 1 N 2 N 3 et N 1 R 2 N 3. (b) E déduire la probabilité de l évéemet N 1 N 3. (c) Calculer de faço aalogue la probabilité de l évéemet R 1 N Déduire de la questio précédete la probabilité de l évéemet N Les évéemets N 1 et N 3 sot ils idépedats?. Sachat que la boule tirée das U 3 est oire, quelle est la probabilité que la boule tirée de U 1 soit rouge? Exercice 14 (Polyésie jui 2006) O a posé à 1000 persoes la questio suivate : "Combie de fois êtes-vous arrivé e retard au travail au cours de deux deriers mois?". Les réposes ot été regroupées das le tableau ci-cotre : 1. O choisit au hasard u idividu de cette populatio. (a) Détermier la probabilité que l idividu ait eu au mois u retard le premier mois. (b) Détermier la probabilité que l idividu ait eu au mois u retard le deuxième mois sachat qu il e a pas eu le premier mois. 2. O souhaite faire ue étude de l évolutio du ombre de retards sur u grad ombre de mois ( u etier aturel o ul). O fait les hypothèses suivates : - si l idividu a pas eu de retard le mois, la probabilité de e pas e avoir le mois +1 est si l idividu a eu exactemet u retard le mois, la probabilité de e pas e avoir le mois +1 est si l idividu a eu deux retards ou plus le mois, la probabilité de e pas e avoir le mois +1 est ecore O ote A l évéemet "l idividu a eu aucu retard le mois " B l évéemet "l idividu a eu exactemet u retard le mois " C l évéemet "l idividu a eu deux retards ou plus le mois " Les probabilités des évéemets A, B, C sot otées respectivemet p, q et r. (a) Pour le premier mois (=1), les probabilités p 1, q 1 et r 1 sot obteues à l aide du tableau précédet. Détermier les probabilités p 1, q 1 et r 1. (b) Exprimer p +1 e foctio de p, q et r. O pourra s aider d u arbre. (c) Motrer que, pour tout etier aturel o ul, p +1 =-0.2p (d) Soit la suite ( u ) défiie pour tout aturel o ul par u =p -0.. Démotrer que ( u ) est ue suite géométrique dot o doera la raiso. (e) Détermier lim +õ u. E déduire lim +õ p. 6/6

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson 4 L E Ç O N Loi biomiale Niveau : Première S + SUP (Covergece) Prérequis : Variable aléatoire, espérace, variace, théorème limite cetral, loi de Poisso 1 Loi de Beroulli Défiitio 41 Loi de Beroulli Soit

Plus en détail

Correction Bac ES France juin 2010

Correction Bac ES France juin 2010 Correctio Bac ES Frace jui 010 Exercice 1 (4 poits) (Commu à tous les cadidats) Pour ue meilleure compréhesio, les réposes serot justifiées das ce corrigé. Questio 1 Le ombre 3 est solutio de l équatio

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue

Plus en détail

Probabilités exercices corrigés

Probabilités exercices corrigés Termiale S Probabilités Exercices corrigés Combiatoire avec démostratio Ragemets Calcul d évéemets Calcul d évéemets Calcul d évéemets 6 Dés pipés 7 Pièces d or 8 Agriculteur pas écolo 9 Boules Jeux 6

Plus en détail

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS CHAPITRE 4 MATRICES ET SUITES 1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS 11/ Présetatio et modélisatio O cosidère u système ui peut se trouver soit das u état A, soit das u état, et

Plus en détail

Chapitre 4 Lois discrètes

Chapitre 4 Lois discrètes Chapitre 4 Lois discrètes 1. Loi de Beroulli Ue variable aléatoire X est ue variable de Beroulli si elle e pred que les valeurs 0 et 1 avec des probabilités o ulles. P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p = q, avec

Plus en détail

EXERCICES : DÉNOMBREMENT

EXERCICES : DÉNOMBREMENT Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris

Plus en détail

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités coditioelles - Suites géométriques - foctios epoetielles Calculatrice autorisée Termiale ES123 Eercice 1 : 5 poits Partie A : Ue agece de locatio

Plus en détail

Dénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices

Dénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

P : Dénombrements / Probabilités en univers fini

P : Dénombrements / Probabilités en univers fini P : Déombremets / Probabilités e uivers fii Déombremet & Combiatoire P.1 O tire les cartes! O tire 5 cartes das u jeu de 32 cartes usuel. Combie y a-t-il de tirages possibles vérifiat les coditios suivates

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures) ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

Plus en détail

Dénombrement. 1 Dénombrer des listes 2 1.1 Permutation... 2 1.2 Arrangement... 3 1.3 p-liste... 4

Dénombrement. 1 Dénombrer des listes 2 1.1 Permutation... 2 1.2 Arrangement... 3 1.3 p-liste... 4 1 Déombremet Table des matières 1 Déombrer des listes 2 1.1 Permutatio................................ 2 1.2 Arragemet............................... 3 1.3 -liste.................................... 4

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1)

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1) Corrigé ESSEC III 008 par Pierre Veuillez Das certaies situatios paris sportifs, ivestissemets fiaciers..., o est ameé à miser de l arget de faço répétée sur des paris à espérace favorable. O se propose

Plus en détail

Probabilités et statistique pour le CAPES

Probabilités et statistique pour le CAPES Probabilités et statistique pour le CAPES Béatrice de Tilière Frédérique Petit 2 3 jui 205. Uiversité Pierre et Marie Curie 2. Uiversité Pierre et Marie Curie 2 Table des matières Modélisatio de phéomèes

Plus en détail

Probabilité 1 - L1 MMIA

Probabilité 1 - L1 MMIA Probabilité 1 - L1 MMIA Tra Viet Chi, vtra@u-paris10fr, Bureau E12(G) Exercice 1 (Pour démarrer) 1 Soiet A et B deux esembles Rappelez les défiitios de l itersectio A B, de l uio A B, de la différece A

Plus en détail

Terminale S. Terminale S 1 F. Laroche

Terminale S. Terminale S 1 F. Laroche Termiale S Exercices. Rappels et exercices de base 3.. QCM (P. Egel) 3.. QCM, Atilles 005 4. 3. QCM, Liba 009, 3 poits 4. 4. QCM, C. étragers 007. 5. QCM, Frace 007 5 6. 6. QCM, N. Calédoie 007 7. 7. QCM

Plus en détail

II. Permutations sans répétitions et notation factorielle

II. Permutations sans répétitions et notation factorielle février 2012 ORRIGE II. Permutatios sas répétitios et otatio factorielle Aalyse combiatoire 4 ème - 1 I. Itroductio Les différets modèles mathématiques costruits pour étudier les phéomèes où iterviet le

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Eocés 1 Déombremet Exercice 1 [ 01529 ] [correctio] Soiet E et F deux esembles fiis de cardiaux resectifs et. Combie y a-t-il d ijectios de E das F?

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Statistiques inférentielles

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Statistiques inférentielles BTS Mécaique et Automatismes Idustriels Statistiques iféretielles, Aée scolaire 2005 2006 Statistiques iféretielles 1. Itroductio vocabulaire Pour étudier ue populatio statistique, o a recours à deux méthodes

Plus en détail

Séquence 9. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Intervalles de fluctuation 3. Estimation 4. Synthèse de la séquence 5. Exercices de synthèse

Séquence 9. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Intervalles de fluctuation 3. Estimation 4. Synthèse de la séquence 5. Exercices de synthèse Séquece 9 Itervalles de fluctuatio, estimatio Objectifs de la séquece Das le chapitre 2, o étudie des itervalles de fluctuatio des variables aléatoires X F =, fréqueces des variables aléatoires biomiales

Plus en détail

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal :

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal : Colles du 3 ovembre 014 Solutio de la questio de cours 1. (i) Soit E u esemble de cardial. L esemble (E) peut alors être partitioé comme suit : (E) (E), où (E) est l esemble des parties de E de cardial.

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

chapitre VIII exercices et problèmes de synthèse algorithmique et turbo-pascal

chapitre VIII exercices et problèmes de synthèse algorithmique et turbo-pascal chapitre VIII eercices et problèmes de sythèse algorithmique et turbo-pascal Algèbre liéaire et probabilités : Chaîes de Marov (esco 93) Partie A 4 3 O cosidère la matrice M = 8 6 ) a) Détermier les valeurs

Plus en détail

Le montant des intérêts acquis est la différence entre la valeur acquise et le capital placé :

Le montant des intérêts acquis est la différence entre la valeur acquise et le capital placé : http://maths-scieces.fr OPÉRATIONS FINANIÈRES A INTÉRÊTS OMPOSÉS I) Itérêts et valeur acquise Défiitio U capital est placé à itérêts composés lorsque le motat des itérêts produits à la fi de chaque période

Plus en détail

Statistique descriptive bidimensionnelle

Statistique descriptive bidimensionnelle 1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets

Plus en détail

Correction HEC III 2007

Correction HEC III 2007 HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page Correctio HEC III 7 Voie écoomique La correctio comporte 9 pages. Eercice. Par dé itio est ue valeur propre de t si et seulemet si est ue valeur propre de T: Et

Plus en détail

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour

Plus en détail

Questions Chapitre 2 L approche statistique de la réalité 1

Questions Chapitre 2 L approche statistique de la réalité 1 Questios Chapitre 2 L approche statistique de la réalité 1 Expliquer la otio de variable et défiir les différets types de variables Décrire les échelles de classificatio et trasformer les doées pour passer

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

II LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009

II LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009 M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted

Plus en détail

Probabilités. Voir en bibliographie l ouvrage [1], pages 52 et 53.

Probabilités. Voir en bibliographie l ouvrage [1], pages 52 et 53. Probabilités «Pour compredre l actualité, ue formatio à la statistique est aujourd hui idispesable ; c est ue formatio qui développe des capacités d aalyse et de sythèse et exerce le regard critique. Le

Plus en détail

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

Plus en détail

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9

Convergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9 Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios

Plus en détail

Polynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.

Polynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes. Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités

Plus en détail

Remise à Niveau Mathématiques

Remise à Niveau Mathématiques Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet Remise à Niveau Mathématiques Première partie : Calcul et raisoemet Exercices Page sur 9 RAN Calcul et raisoemet Ex - Rev 04 Mathématiques RAN - Calcul et raisoemet

Plus en détail

Processus et martingales en temps continu

Processus et martingales en temps continu Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de

Plus en détail

Éléments finis de joint mécaniques et éléments finis de joint couplés hydromécanique

Éléments finis de joint mécaniques et éléments finis de joint couplés hydromécanique Titre : Élémets fiis de joit mécaiques et élémets fi[...] Date : 28/10/2014 Pae : 1/10 Élémets fiis de joit mécaiques et élémets fiis de joit couplés hydromécaique Résumé : Cette documetatio porte sur

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé : Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +

Plus en détail

20. Algorithmique & Mathématiques

20. Algorithmique & Mathématiques L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus

Plus en détail

DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011

DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011 MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR LE PRICING D OPTIONS DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011 Table des matières 1 Notatios et équatio de Black-Scholes 2 11 Notatios 2 12 Équatio de Black-Scholes

Plus en détail

Comportement d'une suite

Comportement d'une suite Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **

Plus en détail

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés Suites umériques Covergece de suites Exercice [ 047 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles covergeat vers l et l avec l < l. Motrer

Plus en détail

Devoir de statistiques: CORRIGE

Devoir de statistiques: CORRIGE CPP - la prépa des INP ( ème aée). Bordeaux, 6/04/04. Devoir de statistiques: CORRIGE durée h Doées: O rappelle que si Z suit ue loi N (0, ), o a P(Z.96) 0, 975 et P(Z.65) 0, 95. Exercice. θ et O cosidère

Plus en détail

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES 1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1

Plus en détail

Séries réelles ou complexes

Séries réelles ou complexes 6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés

Plus en détail

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING LE Age KHOURI Nadie M MMD PROJE DE MONE ARLO SUJE : LE PRIING Selim ZOUGHLAMI QUESION : Supposos d abord que X est u mouvemet browie W t G([ 0, ]) Alors W0 G( 0 ) suit ue loi N(0,0) et doc W 0ps 0 Esuite,

Plus en détail

Modes propres de vibration ; interprétation ondulatoire

Modes propres de vibration ; interprétation ondulatoire SPECIALITE TS ( PHYSIQUE ) : FICHE CURS 6 1/5 MDES PRPRES DE IBRATI Ce qu'il faut reteir Modes propres de vibratio ; iterprétatio odulatoire 1. Productio d u so à l aide d u istrumet de musique U istrumet

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps

Plus en détail

55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR.

55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. 55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. CHANTAL MENINI 1. U pla possible Les exemples qui vot suivre sot des pistes possibles et e aucu cas ue présetatio exhaustive. De même je ai pas fait ue étude systématique

Plus en détail

REQUÊTES. Il est possible de créer des formulaires ou des états à partir de requête.

REQUÊTES. Il est possible de créer des formulaires ou des états à partir de requête. Cliclasolutio Aée 2006/2007 REQUÊTES Utilité des requêtes QUESTIONNER LA BASE DE DONNÉES La foctio classique d'ue requête est de répodre à ue questio sur la base de doées. "Quels sot les cliets habitat

Plus en détail

Maîtrise de Mathématiques TER Le bandit manchot à deux bras

Maîtrise de Mathématiques TER Le bandit manchot à deux bras Maîtrise de Mathématiques TER Le badit machot à deux bras Deis Cousieau Sous la directio de Jea-Michel Loubes Septembre 2003 Table des matières 1 Présetatio du problème 2 1.1 Exemple de la machie à sous,

Plus en détail

Chapitre 13. Statistiques et probabilités. Sommaire

Chapitre 13. Statistiques et probabilités. Sommaire 13 Chapitre Chapitre 13 Statistiques et probabilités Les statistiques et les probabilités occupet ue place importate das l eseigemet de certaies classes préparatoires Les pricipales foctios écessaires

Plus en détail

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3 1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que

Plus en détail

Les Nombres Parfaits.

Les Nombres Parfaits. Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie

Plus en détail

LES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.

LES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil. Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la

Plus en détail

Cours de Statistiques inférentielles

Cours de Statistiques inférentielles Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios

Plus en détail

2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES

2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 1. Défiitios L'itérêt est l'idemité que doe au propriétaire d'ue somme d'arget celui qui e a joui pedat u certai temps. Divers élémets itervieet das le calcul

Plus en détail

CHAPITRE 22. Machines à sous

CHAPITRE 22. Machines à sous CHAPITRE 22 Machies à sous 22. Corrigé possible du texte 22.. Eocé du problème et défiitio du modèle statistique associé O étudie ici u modèle statistique avec observatios icomplètes : o dispose d observatios

Plus en détail

Consolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe

Consolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe Cosolidatio La société THEOS, qui commercialise des vis, exerce so activité das trois villes : Paris, Nacy et Nice. Le directeur de la société souhaite cosolider les résultats de ses vetes par ville das

Plus en détail

Apprentissage: cours 3a Méthodes par moyennage local

Apprentissage: cours 3a Méthodes par moyennage local Appretissage: cours 3a Méthodes par moyeage local Guillaume Oboziski 1 er mars 2012 Réferece : chap. 6 of [Hastie et al., 2009] ad chap. 6 of [Devroye et al., 1996]. Algorithmes par moyeage local O cosidère

Plus en détail

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de

Plus en détail

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter

Plus en détail

Chapitre 1: Calcul des intérêts

Chapitre 1: Calcul des intérêts Chapitre 1: Calcul des itérêts Ce chapitre vise à familiariser le lecteur avec les otios suivates : Itérêt Taux d itérêt omial Taux d itérêt périodique Valeur acquise Valeur actuelle Capitalisatio Le lecteur

Plus en détail

c. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives

c. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives Calcul des itervalles de cofiace our les EPCV 996-004 - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio e oit das la oulatio totale des méages - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio das ue sous oulatio das les méages

Plus en détail

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E).

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E). Chapitre 1 Tribus 1.1 Défiitios Soit E u esemble. O appelle classe de parties de E u sous-esemble o vide de P(E). Défiitio 1.1.1. Ue tribu A sur E est u sous-esemble o vide de P(E) tel que : (i) la partie

Plus en détail

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.

Plus en détail

Deuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES

Deuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES DEUXIEME PARTIE Deuième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre. L assurace de capital différé Chapitre 2. Les opératios de retes Chapitre 3. Les assuraces décès Chapitre 4. Les assuraces

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce

UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce Aée Uiversitaire 2003 / 2004 Auditoire : Troisième Aée Études Supérieures Commerciales & Scieces Comptables DÉCISIONS FINANCIÈRES Note de cours N 3 Première

Plus en détail

UV SQ 20. Automne 2006. Responsable d Rémy Garandel ( m.-el. remy.garandel@utbm.fr ) page 1

UV SQ 20. Automne 2006. Responsable d Rémy Garandel ( m.-el. remy.garandel@utbm.fr ) page 1 UV SQ 0 Probabilités Statistiques UV SQ 0 Autome 006 Resposable d Rémy Garadel ( m.-el. remy.garadel@utbm.fr ) page SQ-0 Probabilités - Statistiques Bibliographie: Titre Auteur(s) Editios Localisatio Niveau

Plus en détail

Organisme de recherche et d information sur la logistique et le transport LES PREVISIONS DES CONSOMMATIONS

Organisme de recherche et d information sur la logistique et le transport LES PREVISIONS DES CONSOMMATIONS LES PREVISIONS DES CONSOMMATIONS Les logiciels utilisés pour la gestio des stocks itègret de ombreuses foctios de calcul. L ue des plus importates est l exécutio des prévisios des cosommatios futures d

Plus en détail

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015

BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 2015 CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES FILIÈRE MP BANQUE ÉPREUVE ORALE DE MATHÉMATIQUES SESSION 5 avec corrigés V. Bellecave, J.-L. Artigue, P. Berger, J.-P. Bourgade, S. Calmet, A. Calvez, D. Cleet, J. Esteba,

Plus en détail

Exercices de mathématiques

Exercices de mathématiques MP MP* Thierry DugarDi Marc rezzouk Exercices de mathématiques Cetrale-Supélec, Mies-Pots, École Polytechique et ENS Coceptio et créatio de couverture : Atelier 3+ Duod, 205 5 rue Laromiguière, 75005 Paris

Plus en détail

Chapitre 16 : Espaces vectoriels

Chapitre 16 : Espaces vectoriels PCSI Préparatio des Khôlles -4 Chapitre 6 : Espaces vectoriels Exercice type Soit E=R[X] et F ={P E, P(X)=XP (X)+P()}, motrer que F est u sous-espace vectoriel de E. : O a bie F E. Si P =est le polyôme

Plus en détail

Exercices sur l échantillonnage

Exercices sur l échantillonnage TS Exercices sur l échatilloage Pour les itervalles de luctuatio asymtotique au seuil 95 %, o utilisera la ormule : u0,05 ; u0,05 ou, évetuellemet,,96 ;,96. 8 La roortio de aissaces d eats rématurés est

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

/RJLTXHERROpHQQH. Symbole (norme IEC 1 ) x

/RJLTXHERROpHQQH. Symbole (norme IEC 1 ) x /RJLTXHERROpHQQH I. Défiitios I.. Variable biaire O appelle variable biaire (ou logique), ue variable preat ses valeurs das l esemble {0, }. Eemple : état d u iterrupteur, d u bouto poussoir, la présece

Plus en détail

Cryptographie et algorithmique

Cryptographie et algorithmique F.Gaudo 1 er ovembre 2010 Table des matières 1 Avat de commecer 2 2 Préformattage d'u texte pour aalyse 3 2.1 Élimiatio de la poctuatio et des espaces das u texte................. 3 2.2 Formatage du texte

Plus en détail

MATHÉMATIQUES CYCLE TERMINAL DE LA SÉRIE SCIENTIFIQUE CLASSE DE PREMIÈRE

MATHÉMATIQUES CYCLE TERMINAL DE LA SÉRIE SCIENTIFIQUE CLASSE DE PREMIÈRE Aexe MATHÉMATIQUES CYCLE TERMINAL DE LA SÉRIE SCIENTIFIQUE CLASSE DE PREMIÈRE L eseigemet des mathématiques au collège et au lycée a pour but de doer à chaque élève la culture mathématique idispesable

Plus en détail

HEC. Gilles Mauffrey. METHODES QUANTITATIVES AVEC EXCEL Programmation linéaire, programmation dynamique, simulation, statistique élémentaire

HEC. Gilles Mauffrey. METHODES QUANTITATIVES AVEC EXCEL Programmation linéaire, programmation dynamique, simulation, statistique élémentaire HEC Gilles Mauffrey METHODES QUANTITATIVES AVEC EXCEL Programmatio liéaire, programmatio dyamique, simulatio, statistique élémetaire La Modélisatio LA MODELISATION Modèle et typologie des modèles. La otio

Plus en détail

Bio-Statistique. 1 ère partie. Discipline : Bio-statistique, Bio-mathématique et Sciences de l Information

Bio-Statistique. 1 ère partie. Discipline : Bio-statistique, Bio-mathématique et Sciences de l Information Bio-Statistique 1 ère partie Disciplie : Bio-statistique, Bio-mathématique et Scieces de l Iformatio OBJECTIFS PEDAGOGIQUES Réaliser l importace du problème de la variabilité ihérete au doées médicales,

Plus en détail

Comment utiliser ce que vous POSSÉDEZ pour réduire ce que vous DEVEZ

Comment utiliser ce que vous POSSÉDEZ pour réduire ce que vous DEVEZ Commet utiliser ce que vous POSSÉDEZ pour réduire ce que vous DEVEZ Survol du compte Mauvie U La majorité des Caadies gèret leurs fiaces comme suit : 1. Ils déposet leur reveu et autres actifs à court

Plus en détail

MATHEMATIQUES Option scientifique Mardi 9 mai 2006 de 8h à 12h

MATHEMATIQUES Option scientifique Mardi 9 mai 2006 de 8h à 12h ECOLE DE HUTES ETUDES COMMERCILES DU NORD Cocors d'admissio sr classes préparatoires MTHEMTIQUES Optio scietifiqe Mardi 9 mai 6 de 8h à h La présetatio, la lisibilité, l'orthographe, la qalité de la rédactio,

Plus en détail

Régime d encouragement à l éducation permanente (REEP)

Régime d encouragement à l éducation permanente (REEP) Régime d ecouragemet à l éducatio permaete (REEP) RC4112(F) Rev. 01 Avat de commecer Ce guide s adresse-t-il à vous? Ce guide vous itéressera si vous voulez participer au Régime d ecouragemet à l éducatio

Plus en détail

La France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe

La France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe 1/5 Trois objectifs poursuivis par le gouveremet : > améliorer la compétitivité fiscale de la Frace > péreiser les activités de R&D > faire de la Frace u territoire attractif pour l iovatio Les icitatios

Plus en détail

capital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...

capital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3... Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1

Plus en détail

Correction Devoir commun Classes de Secondes concernées : 2nde 10, 2nde 11, 2nde13,

Correction Devoir commun Classes de Secondes concernées : 2nde 10, 2nde 11, 2nde13, LYCEE GRAND AIR Correctio Devoir commu Classes de Secodes cocerées : de 10, de 11, de13, feuilles + papier millimétré. 08/0/013 Exercice 1 : L aée lumière. 1. D après le texte, la vitesse de la lumière

Plus en détail

eduscol Ressources pour le lycée général et technologique

eduscol Ressources pour le lycée général et technologique eduscol Ressources pour le lycée gééral et techologique Ressources pour la classe de secode géérale et techologique Méthodes et pratiques scietifiques Thème sciece et prévetio des risques d'origie humaie

Plus en détail

Ressources pour le lycée général et technologique

Ressources pour le lycée général et technologique éduscol Ressources pour le lycée gééral et techologique Ressources pour la classe termiale géérale et techologique Probabilités et statistique Ces documets peuvet être utilisés et modifiés libremet das

Plus en détail

Corrigé de Mathématique éco HEC

Corrigé de Mathématique éco HEC Corrigé de Mathématique éco HEC EXERCICE Hypothèses. M 3 R est l espace vectoriel des matrices carrées d ordre 3 à coefficiets réels. A M 3 R : s A 3 A,j, s A 3 A,j, s 3 A 3 somme des coefficiets des liges

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice

Plus en détail