Probabilités conditionnelles

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1 Probabilités conditionnelles Table des matières I Activités de découverte 1 1 Activité Formule générale Exemples a) Expérience b) Expérience 2 : c) Expérience 3 : II Arbre pondéré 2 1 Exemples a) Expérience III Formule des probabilités totales 3 1 Définition et propriété préliminaire Formule des probabilités totales Exercice IV Événements indépendants 4

2 I Activités de découverte 1 Activité On veut savoir si le fait de fumer joue un rôle aggravant dans une maladie, la probacytose. On a effectué une étude statistique sur une population de personnes. Voici les chiffres obtenus : 400 personnes sont à la fois fumeurs et malades 600 personnes sont non fumeurs et malades personnes sont fumeurs et sains personnes sont non fumeurs et sains 1. Placer ces données dans un tableau à double entrée 2. On choisit une personne au hasard de cette population. On appelle M l événement «La personne est malade» et F l événement «La personne est un fumeur» Quelle est la probabilité que : Cette personne soit un fumeur? Un non fumeur? Malade? Saine On choisit une personne au hasard parmi les fumeurs, quelle est la probabilité qu elle soit malade? On choisit une personne au hasard parmi les non fumeurs, quelle est la probabilité qu elle soit malade? On va définir p M (F) qui se lira «probabilité de F sachant M». Pour cela, on imagine une nouvelle expérience, celle dont les issues possibles sont celles réalisant M et parmi celles ci, les issues favorables à F. Donc p M (F)= =... Calculer de même p M (F)=... 2 Formule générale A et B sont deux événements d un même universω. Lorsqu il y a équiprobabilité on peut écrire nombre d issues de A B nombre d issues de A B nombre d issues deω p A (B)= = nombre d issues de A nombre d issues deω nombre d issues de A = Définition Soit A un événement de probabilité non nulle et B un événement quelconque du même univers. On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A, le quotient p A (B)= p(a B). p(a) Lycée du golfe Page 1/5

3 3 Exemples a) Expérience 1 On revient sur l étude statistique concernant une population de personnes Malades Sains Fumeurs Non fumeurs Calculer p F (M) et p F (M). b) Expérience 2 : Dans un jeu de 32 cartes, on extrait au hasard une carte. Déterminer la probabilité que la carte tirée soit une dame, sachant que c est une figure. Déterminer la probabilité que la carte tirée soit le roi de carreau, sachant qu elle est rouge. c) Expérience 3 : Une urne contient trois boules rouges et deux boules vertes Un jeu consiste à tirer deux boules au hasard successivement et sans remise On gagne si la deuxième boule tirée est rouge 1. Blaise tire une première boule : elle est rouge. Est-il en droit de se réjouir? 2. Simon tire une première boule : elle est verte. Est-il en doit de se réjouir? R 1 : «la 1ère boule tirée est rouge» R 2 : «la 2ème boule tirée est rouge» Calcul de p R1 (R 2 ) : On a tiré une boule rouge dans l urne, il reste alors 4 boules et parmi elles 2 rouges donc p R1 (R 2 )= 2 4 = 1 2 Calcul de p R1 (R 2 ) : On a tiré une boule verte dans l urne, il reste alors... boules et parmi elles... rouges donc p R1 (R 2 )= II Arbre pondéré On peut représenter une épreuve par un arbre de probabilité, en indiquant sur les branches de premier niveau les probabilités de A et A, puis sur les branches de deuxième niveau les probabilités conditionnelles. Lycée du golfe Page 2/5

4 1 Exemples a) Expérience 3 1. Faire un arbre de probabilité correspondant à l expérience 3 du paragraphe I. 2. Calculer la probabilité de l événement E : «tirer une boule rouge puis une boule verte» 3. Comment à l aide de l arbre pourrait-on calculer la probabilité de l événement F : «tirer deux boules de couleurs différentes» F=A B où A=R 1 R 2 et B=R 1 R 2 A et B sont incompatibles donc p(a B) = p(a) + p(b) Propriété On retiendra les propriétés des arbres de probabilité : La somme des probabilités affectées aux branches issues d un même noeud est 1 ; Un chemin AB correspond à l événement A B et P(A B) est le produit des probabilités affectées à chacune des branches qui le constituent ; La probabilité d un événement correspondant à plusieurs chemins de l arbre est la somme des probabilités de ces chemins. Ne pas confondre p(a B) et p A (B). III Formule des probabilités totales 1 Définition et propriété préliminaire Soit les événements B, B 1,B 2 et B 3 qui vérifient : B=B 1 B 2 B 3 Si i j alors B i et B j sont incompatibles c est à dire B i B j = Lycée du golfe Page 3/5

5 On dit alors que B 1,B 2 et B 3 forment une partition de B Dans ces conditions p(b)= p(b 1 )+ p(b 2 )+ p(b 3 ) 2 Formule des probabilités totales Propriété Si les événements B 1,B 2 et B 3 forment une partition de l univers et A est un événement alors p(a)= p(a B 1 )+ p(a B 2 )+ p(a B 3 ) p(a)= p(b 1 ) p B1 (A)+ p(b 2 ) p B2 (A)+ p(b 3 ) p B3 (A) Remarque : Si B est un événement quelconque, les événements B et B forme une partition de l univers. 3 Exercice Au pays des Mathix, le docteur Gynéco, malgré les progrès de l échographie, fait des erreurs sur le sexe des enfants à naitre. Il se trompe une fois sur vingt si c est un garçon et une fois sur dix si c est une fille. Il vient de dire à Madame Bertrand qu elle attendait une fille. Quelle est la probabilité que ce soit vrai? On utilisera un arbre et les notations suivantes : F : «l enfant à naître est une fille» G : «l enfant à naître est un garçon» A : «le docteur annonce un garçon» B : «le docteur annonce une fille». IV Événements indépendants Intuitivement : deux événements sont indépendants (en probabilité) si la réalisation de l un des deux événements n influence pas les chances que l autre se réalise. Propriété Soit p une loi de probabilité sur un universω, Etant donné deux événements A et B de probabilités non nulles, il y a équivalence entre les égalités suivantes : p A (B)= p(b) p B (A)= p(a) p(a B)= p(a) p(b). Définition Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si p(a B)= p(a) p(b) Remarque : Ne pas confondre «incompatibles» et «indépendants». Deux événements incompatibles ne sont jamais indépendants. Lycée du golfe Page 4/5

6 Exemples Indépendance de couleurs et de numéros 1, 2, 3, 1, 2 et 1 On extrait au hasard un jeton d un sac contenant les six jetons représentés ci-dessus. On note : R l événement : «le jeton est rouge» ; U l événement : «le numéro est 1» ; D l événement : «le numéro est 2». Les événements R et U sont-ils indépendants? Et les événements R et D? Lycée du golfe Page 5/5