LOI BINOMIALE ÉCHANTILLONNAGE

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1 LOI BINOMIAL ÉCHANTILLONNAG Activité de recherche : On aelle "exérience" le fait de jeter 15 fois un dé cubique arfaitement équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On s intéresse au nombre d obtentions de la face n On souhaite obtenir exactement 3 fois la face n 6 lors de cette exérience. Déterminer à l aide d un arbre ondéré le nombre de chemins favorables à cet événement. 2. n déduire que la robabilité d obtenir exactement 3 fois la face n 6 lors de cette exérience est à eu rès égal à 0, Créer un algorithme ermettant de simuler cette exérience. 4. Modifier l algorithme récédent our rééter 1000 fois l exérience et vérifier le résultat de la question 2. I : Éreuve de Bernoulli et loi binomiale : 1. chéma de Bernoulli : xemle : On lance deux fois une ièce de monnaie arfaitement équilibrée. Les deux lancers sont indéendants (c est-à-dire que le résultat du second lancer ne déend as du résultat du remier). À chaque lancer, on a (F) = (P) = 1 2. F F P On eut rerésenter la succession des deux lancers ar un arbre et faire figurer les robabilités sur chaque branche de cet arbre (On dit dans ce cas qu il s agit d un arbre ondéré). P F P La robabilité d obtenir deux fois "Face" est (F,F) = = 1 4 La robabilité d obtenir deux fois "Pile" est (P,P) = = 1 4 La robabilité d obtenir "Face" suivi de "Pile" est (F,P) = = 1 4 La robabilité d obtenir "Pile" suivi de "Face" est (P,F) = = 1 4 htt://lux.math.free.fr/ Dérivées (1L) Page 1/11

2 xercice 1. : Une ièce n est as arfaitement équilibrée. n effectuant un grand nombre de lancers, on a remarqué que "Face" est obtenu dans 40% des cas et "Pile" dans 60% des cas. On admet donc qu à chaque lancer, on a (F) = 2 5 et (P) = 3 5. On lance deux fois cette ièce de monnaie. Les deux lancers sont indéendants. (a) Rerésenter la situation ar un arbre et faire figurer les robabilités sur chaque branche de cet arbre. (b) Déterminer (P,P) et (F,F). (c) Déterminer la robabilité de l événement : «obtenir une fois "Pile" et une fois "Face"» (d) On considère la variable aléatoire X qui à chaque éventualité fait corresondre le nombre de fois que l on a obtenu "Face". Donner la loi de robabilité de X et calculer l esérance mathématique de X. xercice 2. : On utilise une ièce de monnaie dont on ne sait as si elle est équilibrée. Pour cette ièce on suose que la robabilité d obtenir "Face" est un nombre réel de l intervalle [0;1]. (a) Donner la valeur de la robabilité d obtenir "Pile". (b) On lance deux fois cette ièce de monnaie. Les deux lancers sont indéendants. i. Rerésenter la situation ar un arbre ondéré. ii. On considère la variable aléatoire X qui à chaque éventualité fait corresondre le nombre de fois que l on a obtenu "Face". Donner la loi de robabilité de X et calculer l esérance mathématique de X. htt://lux.math.free.fr/ Dérivées (1L) Page 2/11

3 Définition : On aelle éreuve de Bernoulli une éreuve ayant deux éventualités : (succès) et (échec). La loi de Bernoulli de aramètre associe à l événement la robabilité et à la robabilité. xemle : On considère une éreuve de Bernoulli, les deux éventualités sont : "uccès" et : "Échec". Notons () = et () =. On réète trois fois cette éreuve, de manière indéendante, et on s intéresse au nombre de uccès que l on obtient sur les trois essais. On eut traduire la situation ar un arbre de robabilités : D arès l arbre, la robabilité d obtenir la suite (;;) est : () = 2 () De même la robabilité de (;;) est 2 () et la robabilité de (;;) est aussi 2 () La robabilité d obtenir exactement deux uccès sur les trois essais est la robabilité de l événement :{(;;);(;;);(;;)}. lle est donc égale à 3 2 (). n notant x i le nombre de uccès obtenus sur les trois essais, on eut justifier que l obtient la loi de robabilité ci-dessous : x i i () 3 3() () 3 htt://lux.math.free.fr/ Dérivées (1L) Page 3/11

4 xercice 3. : La société qui imrime des tickets our un jeu de grattage a reçu la consigne d imrimer 5% de tickets gagnants. Ces tickets gagnants sont soigneusement mélangés avec les autres tickets qui eux sont erdants. Lorsqu une ersonne achète un ticket, on note : G l événement : «le ticket est gagnant»; P l événement : «le ticket est erdant». Une ersonne achète trois tickets. (a) Rerésenter un arbre ondéré qui illustre la situation. (b) Quelle est la robabilité que les trois tickets achetés soient gagnants? (c) Justifier que la robabilité qu un seul des trois tickets soit gagnant est égale à 0, (d) On aelle X la variable aléatoire égale au nombre de tickets gagnants obtenus (sur les trois tickets achetés). Donner la loi de robabilité de X. Calculer l esérance mathématique de X. Définition : On aelle schéma de Bernoulli, la réétition n fois, de manière identique et indéendante, d une éreuve de Bernoulli. i X est la variable aléatoire corresondant au nombre de succès à l issue du schéma de Bernoulli, on aelle loi binomiale la loi de robabilité de la variable aléatoire X. htt://lux.math.free.fr/ Dérivées (1L) Page 4/11

5 2. Coefficients binomiaux : Définition : On réète n fois, de manière indéendante, une éreuve de Bernoulli et on considère l arbre corresondant à cette réétition. On aelle coefficient binomial ( n k) le nombre de chemins de l arbre réalisant k succès. xemle : i l on considère l arbre de l exemle age 2 corresondant à 3 réétitions, on eut établir les 8 chemins suivants : ; ; ; ; ; ; ; Un seul chemin réalise 3 succès : c est. On a donc ( 3 3) = 1. Trois chemins réalisent 2 succès : ce sont ; ;. On a donc ( 3 2) = 3. Trois chemins réalisent 1 succès : ce sont ; ;. On a donc ( 3 1) = 1. Un seul chemin réalise 0 succès : c est. On a donc ( 3 0) = 1. xercice 4. : Faire un arbre corresondant à un schéma de Bernoulli à 4 réétitions. n déduire que : ( 4 4) =...; ( 4 3) =...; ( 4 2) =...; ( 4 1) =...; ( 4 0) =... Remarque(s) : Les coefficients binomiaux euvent être donnés ar une calculatrice ou un ordinateur. Pour déterminer le coefficient ( ) 4 2 Calculatrice TI : 4 MATH PRB ncr 2 NTR Calculatrice Casio : 4 OPTN PROB ncr 2 Tableur : =COMBIN(4;2) xercice 5. : Observer le tableau ci-dessous qui donne les coefficients binomiaux et comlétez-le : k n Proriété : Dans un schéma de Bernoulli comortant n réétitions, si est la robabilité du succès de l éreuve de Bernoulli, la robabilité d obtenir k succès (avec0 k n) est : (X = k) = ( n k) k () n k. On dit que la loi binomiale a our aramètres n et. On la note B(n; ). xemle : Une ièce de monnaie n est as équilibrée et la robabilité d obtenir "Pile" est égale à 0,6. On jette 10 fois cette ièce. La robabilité d obtenir 7 fois "Pile" est : (X = 7) = ( ) ,6 7 (1 0,6) 10 7 = ( 10 7) 0,6 7 0,4 3. Montrez à l aide de votre calculatrice que cette robabilité est environ égale à : 0, htt://lux.math.free.fr/ Dérivées (1L) Page 5/11

6 xercice 6. : Dans un schéma de Bernoulli comortant 9 réétitions la robabilité du succès est 0,65. On aelle X le nombre de succès obtenus. Déterminer (X = 0); (X = 3); (X = 8); (X 2). On donnera dans chaque cas la valeur exacte uis une valeur arochée au millième rès. htt://lux.math.free.fr/ Dérivées (1L) Page 6/11

7 3. sérance mathématique d un loi binomiale : Proriété : L esérance mathématique de la loi binomiale B(n; ) de aramètres n et est : = n. xemles : i on réète 10 fois une éreuve de Bernoulli dans laquelle la robabilité du succès est 0,5 l esérance mathématique du nombre de succès est : = 10 0,5 = 5. i on réète 8 fois une éreuve de Bernoulli dans laquelle la robabilité du succès est 0,25 l esérance mathématique du nombre de succès est : = 8 0,25 = 2. xercice 7. : Un QCM (questionnaire à choix multiles) est comosé de 8 questions indéendantes. Pour chaque question quatre réonses sont roosées et une seule de ces quatre réonses est juste. Un candidat réond au hasard aux 8 questions de ce QCM. On aelle N le nombre de réonses justes qu il obtient. (a) Montrer que la loi de robabilité de N est une loi binomiale dont on donnera les aramètres. (b) Calculer (N = 8) et(n = 4) uis en donner des valeurs arochées au millième rès. (c) Calculer l esérance mathématique de N. (d) Comment doit-on noter ce QCM our qu un candidat qui réond au hasard ait en moyenne 0. xercice 8. : On jette 10 fois de suite une ièce arfaitement équilibrée. On aelle X le nombre de "Pile" obtenus. (a) Donner la robabilité d obtenir exactement 4 fois "Pile". (b) Donner dans un tableau la loi de robabilité de X. (c) Calculer l esérance mathématique de X. (d) Rerésenter cette loi de robabilité ar un diagramme en bâtons. II : Échantillonnage : xercice 9. : Tester des roortions ur un baril contenant erles de cinq couleurs, on eut lire dans un tableau, reroduit ci-contre, la réartition des couleurs. bleu rouge vert jaune marron 30% 25% 25% 10% 10% Pour vérifier cette affirmation, on a rélevé au hasard et avec remise 256 erles. L échantillon obtenu comrend 72 erles bleues, 72 erles rouges, 50 erles vertes, 37 erles jaunes et 25 erles marron. Que eut-on en conclure? htt://lux.math.free.fr/ Dérivées (1L) Page 7/11

8 Rael : On considère un caractère ayant une roortion dans une oulation donnée. On considère des échantillons de taille n dans cette oulation. i 0,2 0,8 et si n 25 alors 95% au moins des échantillons sont tels que la fréquence du caractère dans l échantillon aartient à l intervalle [ 1 ;+ 1 ]. n n Cet intervalle est aelé intervalle de fluctuation au seuil de 95%. Remarque : Plus la taille n de l échantillon est grande et lus la fréquence observée dans l échantillon est roche de la fréquence existant dans la oulation. xemle : D arès l Insee, la roortion de femmes dans la oulation française est d environ 51,6%. - i on observe des échantillons de 100 ersonnes rerésentatifs de cette oulation, alors 95% d entre eux doivent corresondre à une fréquence se trouvant dans l intervalle de fluctuation au seuil de 95%. On a = 0,516 et n = 100. L intervalle de fluctuation au seuil de 95% est alors : [ 1 ;+ 1 ] = [0,516 1 ;0, ] = [0,416;0,616]. n n i on observe des échantillons de 1000 ersonnes l intervalle de fluctuation au seuil de 95% est alors : [ 1 ;+ 1 ] = [0,516 1 ;0, ] = [0,484;0,548] environ. n n i on observe des échantillons de ersonnes l intervalle de fluctuation au seuil de 95% est alors : [ 1 ;+ 1 ] = [0,516 n n ;0, ] = [0,506;0,526]. xercice 10. : D arès l Insee, la roortion de femmes dans la oulation française est d environ 51,6%. Un observateur se lace à la sortie d une gare et note le sexe des ersonnes qui assent. On admettra que la roortion de femmes dans la oulation qui sort de la gare est identique à la roortion de femmes dans la oulation française. On eut assimiler le assage des ersonnes à un schéma de Bernoulli. 1. Déterminer la robabilité que les quatre remières ersonnes qui sortent soient toutes des hommes. 2. Déterminer la robabilité que, sur les dix remières ersonnes qui sortent, il y ait exactement cinq femmes. 3. Comléter, en utilisant une calculatrice ou un ordinateur, le tableau suivant corresondant à la loi de robabilité du nombre N de femmes armi les dix remières ersonnes qui sortent. (On donnera les résultats au dix-millièmes). n i (N = n i ) 4. Justifier que (N [2;8]) 95%. htt://lux.math.free.fr/ Dérivées (1L) Page 8/11

9 Proriété : oit X le nombre de succès dans la réétition d une éreuve soumise à une loi binomiale B(n; ). oit a le lus etit entier tel que (X a) > 2,5%. oit b le lus etit entier tel que (X b) 97,5%. On a ainsi (a X b) 95% et l intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence de réalisation du succès est l intervalle [ a n ; b n ]. ur les calculatrices TI, la commande binomcdf(n,,k) retourne, our une variable aléatoire X suivant la loi de robabilité de aramètres n et, la robabilité (X k). Cette commande ermet de déterminer a, ainsi que b. Remarque : Cet intervalle de fluctuation au seuil de 95% est à eu rès le même que celui donné ar [ 1 ;+ 1 ] mais il n est as centré en. n n Alication : une règle de décision : Lorsque l on effectue un échantillonnage aléatoire sur une oulation, il y a au moins 95% de "chances" our que la fréquence observée f d un certain caractère dont la roortion est dans la oulation soit dans l intervalle de fluctuation raelé ci-dessus. Mais la fluctuaution d échantillonnage eut exliquer que dans 5% des cas, cette fréquence observée "sorte" de cet intervalle. On met alors en lace la règle de décision suivante : -i la roortion f observée sort de l intervalle de fluctuation révu, on ne sera as en mesure de valider l hyothèse : "l échantillon rovient d une oulation où la roortion du caractère est " et on la rejettera, en gardant à l esrit que dans 5% des cas, c est la hasard (et non un quelconque trucage) qui ourrait exliquer cette sortie de l intervalle de fluctuation. -i la roortion f observée est dans l intervalle de fluctuation révu, on ne sera as en mesure de valider l hyothèse : "l échantillon rovient d une oulation où la roortion du caractère est " et on la validera donc, en gardant à l esrit que même our un échantillon "truqué" ou "non rerésentatif", on ourrait observer une fréquence aartenant à l intervalle de fluctuation révu quand on maniule des échantillons aléatoires. htt://lux.math.free.fr/ Dérivées (1L) Page 9/11

10 xemle : On émet l hyothèse qu un caractère se résente dans une oulation avec une roortion de 0,516. On observe, sur un échantillon de taille 50, la fréquence de ce caractère et on trouve f = 0,4. On se ose la question de savoir si cette fréquence est "comatible" avec l hyothèse émise. Que eut-on dire avec l intervalle centré en? On considère le diagramme à barres ci-dessous rerésentant la loi binomiale B(50; 0,516). On eut justifier que l intervalle de fluctuation au seuil de 95% est obtenu avec a = 19 et b = 33 ; c est donc [ ; ] = [0,38;0,66]. On "rejette" les valeurs inférieures à a et celles suérieures à b. htt://lux.math.free.fr/ Dérivées (1L) Page 10/11

11 Utilisation de la calculatrice (TI) : La commande se, se trouvant dans le menu LIT OP fonctionne ainsi : seq(x 2,X,0,4), retourne la liste des X 2 our les entiers X allant de 0 à 4. : {0;1;4;9;16}. Ainsi, seq(x,x,0,100) L 1 remlit la liste L 1 des entiers de 0 à 100. La commande binomcdf(n,,l 1 ) L 2 remlit la liste L 2 avec les nombres (X k) où X suit la loi B(n,). xercice 11. : Un constructeur affirme que la robabilité qu un de ses téléviseurs ait une anne dans les 5 ans suivant son achat est égale à 0, Déterminer, en utilisant votre calculatrice, l intervalle de fluctuation au seuil de 95%de la fréquence de anne our un échantillon de 100 téléviseurs. 2. Une association de consommateurs effectue un test sur 100 ersonnes ayant ce modèle de téléviseur. Dans cet échantillon, 17 ersonnes ont eu une anne dans les 5 ans suivant leur achat. Que eut-on enser de l affirmation du constructeur? 3. L association ense maintenant effectuer un test sur 500 ersonnes. Déterminer l intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence de anne our un échantillon de 500 téléviseurs. Interréter. xercice 12. : Une société fabrique des boîtes en lastique de deux couleurs : des vertes et des bleues. La fabrication est automatisée et la machine est réglée à un niveau de 42% de boîtes vertes et 58% de boîtes bleues, corresondant à la demande du marché. Un test est fait sur un échantillon de 180 boîtes rélevées au hasard. L échantillon comorte autant de boîtes bleues que de boîtes vertes. La machine est-elle déréglée? htt://lux.math.free.fr/ Dérivées (1L) Page 11/11