Chap 2 Probabilités conditionnelles

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1 Chap 2 Probabilités conditionnelles Terminale ES Chap 2 - Probabilités conditionnelles I. Notion de probabilité conditionnelle (TES.120, TES.121)...5 1) Conditionnement par un événement...5 2) Probabilité de «A intersection B»...5 II. Représentation par un tableau ou par un arbre pondéré (TES.122, TES.123, TES.124)...6 1) Représentation par un tableau à double entrée...6 2) Représentation par un arbre...7 III. Formule des probabilités totales (TES.125)...9 1) Partition d'un univers...9 2) Formule des probabilités totales...9 3) Cas particulier : Partition de l'univers en 2 événements...9 A. Gniady Chap 2 Probabilités conditionnelles 1 / 10

2 A. Gniady Chap 2 Probabilités conditionnelles 2 / 10

3 Vérifier les acquis p 170 Activités : conditionnement : 1 p 171 ; partition et proba totale : 2 p 171 TES.12 Chap2 Probabilités conditionnelles Exercices TES.120 TES.121 TES.122 TES.123 TES.124 TES.125 Calculer une probabilité conditionnelle pa(b). Calculer la probabilité d'une intersection p(a inter B). Calculer des probabilités conditionnelles à l'aide d'un tableau. Construire et utiliser un arbre pondéré en lien avec une situation donnée. Exploiter la lecture d un arbre pondéré pour déterminer des probabilités. Calculer la probabilité d un événement à l'aide de la formule des probabilités totales. 22 p 178, p 180, 30 p 179 Feuille 4, 6 25 p 178 AP p p 173 Feuille p 178 Feuille 36, 37, 39 AP p p 179 Feuille 43(avec binom) AP p p 175, 34 p 180, 38 p 180, 43 à 46 p 181 Feuille 41 Exercices bilan : Bac : 50 p p 185 (loi binom fin), 57 p 186, 62 p 187, 64 p 188(esper) Feuille 51 (loi binom fin), 56 Avec les suites : 53 p 185, 67 p 189, Feuille 59 AP : Feuille 44 Algo : 56 p 186 (loi binom) Feuille 34, 29 TP : 51 p 184 (excel) A. Gniady Chap 2 Probabilités conditionnelles 3 / 10

4 A. Gniady Chap 2 Probabilités conditionnelles 4 / 10

5 I. Notion de probabilité conditionnelle (TES.120, TES.121) 1) Conditionnement par un événement Définition : On considère une expérience aléatoire, munie d'une loi de probabilité P sur son univers Ω. Soit A et B deux événements de l'univers Ω tels que P ( A) 0. On appelle «probabilité conditionnelle de B sachant A», le nombre noté P A ( B) défini par : P A ( B)= P ( A B) P ( A). Concrètement, P A ( B) est la probabilité que l'événement B se réalise sachant que l'événement A est déjà réalisé. Remarques : - Le nombre P A ( B) est une probabilité, appelée probabilité conditionnelle. Il a donc toutes les propriétés d'une probabilité, à savoir : 0 P A ( B) 1 et P A ( B)=1 P A ( B). - De la même manière, si l'événement B est tel que P (B) 0, on peut définir la probabilité de A sachant P( A B) B par P B ( A)=. P (B) Exemple 1 : Dans un groupe de jeunes, 40% sont des filles et 45% font du ski. Parmi les filles, il y a 30% de skieuses. Parmi les garçons, il y a 55% de skieurs. Traduire les données chiffrées par des probabilités. Notons F l'événement «la personne est une fille» et S : «la personne fait du ski». D'après l'énoncé, on peut écrire : P ( F )=0,4 P (S )=0,45 P F (S )=0,3 et P F (S )=0,55 2) Probabilité de «A intersection B» Propriété : Soit A et B deux événements d'un même univers Ω tels que P ( A) 0. On a alors P ( A B)=P ( A) P A ( B). Preuve : Immédiate d'après la définition. Remarque : Si A et B sont deux événements d'un même univers Ω tels que P ( B) 0. Alors, on a aussi P ( A B)=P ( B ) P B ( A). On reprend l'exemple 1 ci-dessus : On rencontre au hasard un jeune de ce groupe qui fait du ski. Quelle est la probabilité que ce soit une fille? On cherche à calculer P S ( F ). Par définition, on a : P S (F )= P ( S F ) P (S F ) =. P ( S) 0,45 Il nous faut donc calculer P (S F ) : D'après la propriété ci-dessus, on a P (S F )=P( F ) P F (S)=0,4 0,3=0,12 A. Gniady Chap 2 Probabilités conditionnelles 5 / 10

6 Ainsi : P S (F )= 0,12 0,45 = ,267 à 10 3 près. Conclusion, on croise un skieur au hasard du groupe de jeune, la probabilité que ce soit une fille est de environ 0,267. Exercice 1 : Dans une population donnée, 84% des personnes possèdent un téléphone portable et 75% des personnes possèdent un ordinateur. De plus, 60% des personnes de cette population déclarent posséder les deux. On rencontre au hasard une personne de cette population. On considère les événements T : «la personne rencontrée possède un téléphone portable» et O : «la personne rencontrée possède un ordinateur». a. Traduire les données de l'énoncé par des probabilités. b. Calculer la probabilité conditionnelle de O sachant T. c. Déterminer la probabilité que la personne rencontrée possède un téléphone portable sachant qu'elle a un ordinateur. Exercice 2 : Lors d'une enquête menée auprès d'une population, on a constaté que 85% des personnes sont des femmes et que, parmi ces femmes, 62% travaillent à temps partiel. On choisit une de ces personnes au hasard et on considère les événements F : «la personne choisie est une femme» et T : «la personne choisie travaille à temps partiel». a. Traduire en termes de probabilités les données numériques de l'énoncé. b. Calculer la probabilité que la personne choisie soit une femme travaillant à temps partiel. (Exo corrigé Indice page 151) II. Représentation par un tableau ou par un arbre pondéré (TES.122, TES.123, TES.124) 1) Représentation par un tableau à double entrée Certains tableaux à double entrée peuvent permettre de déterminer des probabilités conditionnelles. Soit A et B deux événements d'une même expérience aléatoire. On peut construire un tableau comme ci-dessous : A Ā Total B P ( A B) P ( Ā B) P ( B) B P ( A B) P ( Ā B) P ( B) Total P ( A) P ( Ā) 1 La probabilité de l'événement A B se situe à l'intersection de la colonne A et de la ligne B. P A ( B) est alors le quotient des valeurs de P ( A B) et de P ( A) Exemple : Représenter la situation de l'exemple 1 ci-dessus (paragraphe I) par un tableau à double entrée. Puis calculer la probabilité que, sachant que la personne rencontrée skie, ce soit un garçon. S S F F Total 0,12 calculé précédemment 0,45 Total 0,4 1 A. Gniady Chap 2 Probabilités conditionnelles 6 / 10

7 Exercice 3 : La répartition des voitures garées dans un parking est donnée dans le tableau ci-dessous. Marque française Marque étrangère Diesel Essence Total 0,43 0,12 0,55 0,34 0,11 0,45 Total 0,77 0,23 1 On choisit au hasard une voiture garée dans ce parking. Sachant qu'il est de marque française, quelle est la probabilité que ce soit un diesel? (Corrigé Indice page 151) 2) Représentation par un arbre Dans le cas d'une expérience aléatoire mettant en jeu des probabilités conditionnelles dans un univers Ω, on peut modéliser la situation à l'aide d'un arbre pondéré. Pour cela, on peut envisager deux niveaux de branches : un premier niveau qui indique la probabilité d'un événement A, puis un second niveau qui permet de faire figurer les probabilités conditionnelles d'un événement B selon que A est réalisé ou non. Evénement 1 er niveau 2 ème niveau correspondant au Probabilité chemin parcouru P A ( B) B A B P ( A B)=P ( A) P A ( B) P ( A) A P A ( B) B A B P ( A B)=P ( A) P A ( B) P ( Ā) Ā P Ā( B) B Ā B P ( Ā B)=P ( Ā) PĀ( B) P Ā( B) B Ā B P ( Ā B)=P ( Ā) PĀ( B) Vocabulaire des arbres : Une branche relie deux événements. Sur chaque branche, on note la probabilité correspondante : la probabilité de la branche reliant A et B est P A ( B). Un chemin est une succession de branches : il représente l'intersection des événements rencontrés sur ce chemin. La probabilité d'un chemin est donc la probabilité de l'intersection des événements rencontrés sur ce chemin. Un nœud est le point de départ d'une ou plusieurs branches. Règles sur les arbres : Lorsqu'une situation est représentés par un arbre pondéré, les règles suivantes s'appliquent : Règle n 1 (règle des nœuds) : La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1. Règle n 2 (principe multiplicatif) : La probabilité d'un événement correspondant à un chemin est le produit des probabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin. Règle n 3 : La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins conduisant à cet événement. A. Gniady Chap 2 Probabilités conditionnelles 7 / 10

8 Exemple : Représenter la situation de l'exemple 1 par un arbre. 0,3 0,4 F 0,7 0,6 F 0,55 0,45 S S S S Exercice 4 : On considère deux événements A et B liés à une expérience aléatoire modélisée par l'arbre cidessous : B 0,7 A 0,8 B B 0,5 Ā B a. Donner la signification des nombres 0,8 ; 0,7 et 0,5. b. Compléter cet arbre avec les probabilités manquantes. c. Déterminer la probabilité de l'événement A B. (corrigé Indice page 153) Exercice 5 : Tous les élèves de terminale d'un lycée ont passé un test de certification en anglais. 80% ont réussi le test. Parmi ceux qui ont réussi le test, 95% ont suivi des cours pour préparer ce test. Parmi ceux qui ont échoué au test, 2% ont suivi les cours de préparation. a. Traduire les données numériques de l'énoncé par des probabilités. b. Représenter la situation par un arbre pondéré. c. On choisit un élève de terminale au hasard. Calculer la probabilité que ce soit un élève ayant réussi le test sans suivre les cours de préparation. (exemple pris dans hyperbole page 172) Exercice 6 : On dispose des informations suivantes sur une société : - Elle comporte 40% de cadres. - 20% des cadres sont des femmes. - Parmi les employés qui ne sont pas cadres, 60% sont des femmes. On prend au hasard la fiche d'un employé de cette entreprise et on considère les événements suivants : C : «l'employé est une cadre» et F : «l'employé est une femme». a. Représenter la situation par un arbre pondéré. b. Calculer la probabilité pour que l'employé interrogé soit une femme cadre. (exo corrigé hyperbole page 173) A. Gniady Chap 2 Probabilités conditionnelles 8 / 10

9 III. Formule des probabilités totales (TES.125) 1) Partition d'un univers On considère B 1, B 2,., B n n événements d'un même univers Ω. On dit que les événements B 1, B 2,., B n constituent une partition de l'univers Ω lorsque les événements B i (avec 1 i n ) sont deux à deux disjoints et que leur réunion est l'univers Ω. B 1... Ω B n B 2 B ) Formule des probabilités totales Si les n événements B 1, B 2,., B n d'un même univers Ω constituent une partition de Ω, alors pour tout événement A on a : P ( A)=P (A B 1 )+ P ( A B 2 )+...+ P( A B n ) B 1... Ω B n B 2 B 3... A Cette formule s'écrit aussi : P (A)=P B1 ( A) P(B 1 )+ P B2 (A) P (B 2 )+...+ P Bn (A) P (B n ) (Formule des probabilités totales). 3) Cas particulier : Partition de l'univers en 2 événements Si B est un événement d'un univers Ω, alors B et B forment une partition de Ω. Pour tout événement A, on a donc : P ( A)=P ( A B)+P ( A B) ou encore : P (A)=P B (A) P (B )+P B (A) P ( B ) B Ω B A A. Gniady Chap 2 Probabilités conditionnelles 9 / 10

10 Exercice 7 : On teste l'efficacité d'un médicament sur un échantillon d'individus ayant un taux de glycémie anormalement élevé. Dans cette expérimentation, 50% des individus prennent le médicament, les autres reçoivent un placebo. On étudie la baisse du taux de glycémie après l'expérimentation. On constate une baisse significative de ce taux chez 80% des individus ayant pris le médicament. On ne constate aucune baisse significative pour 90% des individus ayant pris le placebo. On tire au hasard la fiche de l'une des personnes de cet échantillon. a. Représenter la situation par un arbre de probabilité. b. Calculer la probabilité que le taux de glycémie de la personne choisie ait baissé significativement. A. Gniady Chap 2 Probabilités conditionnelles 10 / 10