Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.

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1 Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) [006885] Eercice Calculer l aire du parallélogramme construit sur les vecteurs u Calculer le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs 0 u, v et w 0 3 ( 3 ) ( et v 4 3 Montrer que le volume d un parallélépipède dont les sommets sont des points de R 3 à coefficients entiers est un nombre entier ) Correction Vidéo [00753] Eercice 3 Calculer les déterminants des matrices suivantes : a b c c a b b c a a a b 0 a a 0 b c 0 a a a 0 a c a a b a 0 a 0 0 b 0 0 a Indication Correction Vidéo [006886] Eercice 4

2 Calculer les déterminants suivant : a a a n a a a a a a (0) (0) a + b a a a a + b a a a a + b Correction Vidéo [006887] Eercice 5 Soit (a 0,,a n ) C n, C Calculer 0 a 0 n a 0 + a n Indication Correction Vidéo [0043] Eercice 6 Soit a un réel On note n le déterminant suivant : a 0 0 n 0 a n a n a Calculer n en fonction de n Démontrer que : n n a n n a i i Indication Correction Vidéo [0045] Eercice 7 Déterminant de Vandermonde Montrer que t t t n t t t n t n t n t n n (t j t i ) i< j n Indication Correction Vidéo [00453] Retrouver cette fiche et d autres eercices de maths sur eo7emathfr

3 Indication pour l eercice 3 Règle de Sarrus Développer par rapport à la deuième ligne 3 Faire apparaître des 0 sur la première colonne 4 Utiliser la linéarité par rapports à chaque ligne et chaque colonne pour simplifier les coefficients 5 Faire apparaître des 0 6 Faire apparaître des 0 7 Permuter les lignes et les colonnes pour faire apparaître une matrice triangulaire par blocs Indication pour l eercice 5 Développer par rapport à la dernière colonne Indication pour l eercice 6 Développer par rapport à la première colonne pour obtenir n et un autre déterminant facile à calculer en développant par rapport à sa première ligne Indication pour l eercice 7 Faire les opérations suivantes sur les colonnes C n C n t n C n, puis C n C n t n C,, C C t n C Développer par rapport a la bonne ligne et reconnaître que l on obtient le déterminant recherché mais au rang n 3

4 Correction de l eercice ( ) a b Le déterminant de la matrice est c d a c b d ad bc Donc ( 8) 6 Nous allons voir différentes méthodes pour calculer les déterminants Première méthode Règle de Sarrus Pour le matrice 3 3 il eiste une formule qui permet de calculer directement le déterminant a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 a a a 33 + a a 3 a 3 + a a 3 a 3 a 3 a a 3 a a 3 a 3 a a a 33 Donc Attention! La règle de Sarrus ne s applique qu au matrices Deuième méthode Se ramener à une matrice diagonale ou triangulaire Si dans une matrice on change un ligne L i en L i λl j alors le déterminant reste le même Même chose avec les colonnes L L 0 4 5L ( 3 ) 6 On a utilisé le fait que le déterminant d une matrice diagonale (ou triangulaire) est le produit des coefficients sur la diagonale 4 Troisième méthode Développement par rapport à une ligne ou une colonne Nous allons développer par rapport à la deuième colonne ( 0) (+3) ( ) Bien souvent on commence par simplifier la matrice en faisant apparaître un maimum de 0 par les opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes Puis on développe en choisissant la ligne ou la colonne qui a le plus de 0 5 On fait apparaître des 0 sur la première colonne puis on développe par rapport à cette colonne L L L 4 L Pour calculer le déterminant 3 3 on fait apparaître des 0 sur la première colonne, puis on la développe L L L Donc 96 4

5 6 La matrice a déjà beaucoup de 0 mais on peut en faire apparaître davantage sur la dernière colonne, puis on développe par rapport à la dernière colonne L L On développe ce dernier déterminant par rapport à la première colonne : Toujours la même méthode, on fait apparaître des 0 sur la première colonne, puis on développe par rapport à cette colonne L L 4 7 L 0 0 L 0 3 L 4 L 4 L On développe par rapport à la deuième colonne : Correction de l eercice ( ) ( ) a b L aire A du parallélogramme construit sur les vecteurs u et v est la valeur absolue du c d déterminant a b c d donc A ad bc Ici on trouve A abs où abs désigne la fonction valeur absolue Le volume du parallélépipède construit sur trois vecteurs de R 3 est la valeur absolue du déterminant de la matrice formée des trois vecteurs Ici 0 ( V abs 0 3 abs ) où l on a développé par rapport à la première ligne 3 Si un parallélépipède est construit sur trois vecteurs de R 3 dont les coefficients sont des entiers alors le volume correspond au déterminant d une matrice à coefficients entiers C est donc un entier Correction de l eercice 3 Par la règle de Sarrus : a b c c a b b c a a3 + b 3 + c 3 3abc On développe par rapport à la seconde ligne qui ne contient qu un coefficient non nul et on calcule le déterminant 3 3 par la règle de Sarrus :

6 3 3 L L 4 On développe par rapport à la première colonne : +L 0 0 +L 0 0 L 4 L 4 +L ( ) Le déterminant est linéaire par rapport à chacune de ses lignes et aussi chacune de ses colonnes Par eemple les coefficients de la première ligne sont tous des multiples de 5 donc On fait la même chose avec la troisième ligne : Et enfin les coefficients la première colonne sont des multiples de et ceu de la troisième colonne sont des multiples de 7 donc : Les coefficients sont plus raisonnables! On fait + L et L pour obtenir : L a a b 0 a a 0 b c 0 a a L 4 0 c a a a a b 0 L 0 0 b b c 0 a a L 4 L 4 c c 0 0 On fait ensuite les opérations suivantes sur les colonnes : C C +C et C 3 C 3 C 4 pour obtenir une dernière ligne facile à développer : 5 a a b b b c c 0 a c c a b 0 0 b b c 0 a bc(bc 4a ) 6

7 6 On fait d abord les opérations C C C 3 et C C C 4 et on développe par rapport à la première ligne : a 0 a a 0 3 ( ) 0 a 0 3 b a 0 a 0 b 0 0 a a b 0 a 0 0 b 0 0 a 0 b 0 0 a b 0 0 a 0 b 0 a Le premier déterminant à calculer se développe par rapport à la deuième colonne et le second déterminant par rapport à la première colonne : ( ) a 0 a 0 b 0 a + 3 b b 0 a 4a3 + 7b 7 Nous allons permuter des lignes et des colonnes pour se ramener à une matrice diagonale par blocs Souvenons-nous que lorsque l on échange deu lignes (ou deu colonnes) alors le déterminant change de signe Nous allons rassembler les zéros On commence par échanger les colonnes C et C 3 : C C 3 : Puis on échange les lignes L et L 4 : L L 4 : Notre matrice est sous la forme d une matrice diagonale par blocs et son déterminant est le produit des déterminants ( 3) ( 6) Correction de l eercice 4 On retire la première colonne à toutes les autres colonnes a a a n a a a a 3 a a n a a a a 0 a a a a a a a On développe par rapport à la dernière ligne : a a a n a ( ) n a 0 ( ) n a (a a ) n 0 0 a a 7

8 Où l on a reconnu le déterminant d un matrice triangulaire supérieure Donc a (a a ) n On va transformer la matrice correspondante en une matrice triangulaire supérieure, on commence par remplacer la ligne par L (on ne note que les coefficients non nuls) : Puis on remplace la ligne par (attention il s agit de la nouvelle ligne ) et on continue ainsi de suite jusqu à L n L n L (n est la taille de la matrice sous-jacente) : ( ) n On fait attention pour le dernier remplacement L n L n L n légèrement différent et qui conduit au déterminant d une matrice triangulaire : : ( ) n ( ) n 0 ( ) n En conclusion { 0 si n est pair si n est impair 3 On retire la colonne C au autres colonnes C i pour faire apparaître des 0 : a + b a a a + b b b 3 a a + b a b 0 0 a 0 a a a a + b b 0 a 0 0 b On remplace ensuite L par L L n (ou ce qui revient au même : faites les opérations L L + puis L L +, chacune de ces opérations fait apparaître un 0 sur la première ligne) pour obtenir une matrice triangulaire inférieure : na + b 0 0 a b a 0 (na + b)b n b 0 a 0 0 b 8

9 Correction de l eercice 5 Commençons par un travail préparatoire : le calcul du déterminant de taille (n ) (n ) : Γ k où le bloc en haut à gauche est de taille k k On développe, en commençant par la première ligne, puis encore une fois par la première ligne, pour trouver que Γ k k ( ) n k Autre méthode : on retrouve le même résultat en utilisant les déterminant par blocs : A B (0) C deta detc Revenons à l eercice! Contrairement à l habitude on développe par rapport à la colonne qui a le moins de 0 En développant par rapport à la dernière colonne on obtient : 0 a 0 n a 0 + a n ( ) n a 0 + ( ) n a + + ( ) n 3 a + ( ) ( + a n ) ( ) n +k a k Γ k + ( ) ( + a n )Γ n k0 ( ) n +k a k k ( ) n k + ( + a n ) n k0 a 0 + a + a + + a n n + n Correction de l eercice 6 En développant par rapport à la première colonne on trouve la relation suivante : 9

10 0 0 0 n n a n + ( ) n a 0 (n ) a a Notons δ ce dernier déterminant (dont la matrice est de taille n n ) On le calcule en développant par rapport à la première ligne a 0 0 δ ( ) (n ) 0 a ( ) (n )a a Donc Prouvons la formule n a n a (n ) n a n a n i i par récurrence sur n Initialisation Pour n, a a a donc la formule est vraie Hérédité Supposons la formule vraie vraie au rang n, c est-à-dire n a n a n 3 i i Calculons n : n a n a (n ) par la première question a (a n n 3 a i ) a (n ) par l hypothèse de récurrence a n a a n a i n i i i i a (n ) La formule est donc vraie au rang n Conclusion Par le principe de récurrence la formule est vraie pour tout entier n Correction de l eercice 7 Notons V n le déterminant à calculer et C,,C n les colonnes de la matrice correspondante Nous allons faire les opérations suivantes sur les colonnes en partant de la dernière colonne C n est remplacée par C n t n C n, puis C n est remplacée par C n t n C, jusqu à C qui est remplacée par C t n C On obtient donc t t t n V n t t t n t t n t t t n t n t t n t t n t t t n t n t t n t n tn t n n On développe par rapport à la dernière ligne et on écrit ti k tk i t n ti k (t i t n ) pour obtenir : t t n t (t t n ) t (t t n ) V n ( ) n t t n t (t t n ) t (t t n ) t n t n 0

11 Nous utilisons maintenant la linéarité du déterminant par rapport à chacune des lignes : on factorise la première ligne par t t n ; la second par t t n, On obtient t t t V n ( ) n (t t n )(t t n ) (t n t n ) t t t t n tn t Donc n V n V n (t n t j ) Si maintenant on suppose la formule connue pour V n c est-à-dire V n (t,,t n ) i< j n (t j t i ) Alors on obtient par récurrence que j n V n (t,,t n,t n ) V n (t,,t n ) j (t n t j ) i< j n n (t j t i )

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