CHAPITRE 1 NOTIONS GENERALES

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1 CHAPITRE 1 NOTIONS GENERALES 1.1 INTRODUCTION Un phénomène d'orgne dynamque se caractérse par une sollctaton varant à la fos dans le temps et dans l'espace, dans lequel les forces d'nerte, produt de la masse par l'accélératon, jouent un rôle sgnfcatf dans la réponse. Par abus de langage, le terme "chargement dynamque" est souvent et mproprement attrbué à des phénomènes dont la seule caractérstque est d'être varable dans le temps; s la vtesse de chargement est lentement varable, l'accélératon est fable et les forces d'nerte ne représentent plus une part sgnfcatve de la réponse. De tels phénomènes sont qualfés de cyclques, s la charge est alternée, ou de quas-statque monotone. A ttre d'exemple, on ctera : phénomène quas-statque monotone: mse en charge lente d'une structure par une force P(t) crossante (fgure 1.1a) dans lequel P(t) vare "lentement"; les seules forces applquées à la poutre sont, outre la force P(t), les réactons R(t) aux ponts d'appus, elles auss varables dans le temps; phénomène dynamque : mpact de la structure résultant par exemple d'une chute de mssle, produsant une force P(t); les forces applquées sont alors la force P(t), les réactons R'(t) aux ponts d'appus et les forces d'nerte f (t) dépendant de la répartton des masses et des accélératons dans la structure (fgure 1.1b); chargement cyclque : sollctaton de la structure de la fgure 1.1a par une force lentement crossante, pus décrossante; c'est le cas de l'acton de la houle sur une plate-forme offshore; chargement dynamque alterné : la force P(t) vare rapdement de façon crossante, pus décrossante comme dans le cas d'une machne vbrante posée sur la structure de la fgure 1.1a. Ce type de chargement est également celu ndut par une sollctaton ssmque mposée à la structure. 1

2 p p(t) (a) Fgure 1.1 : Chargement d'une poutre Forces d nerte (b) 1. CARACTÉRISATION DES ACTIONS Les actons agssant sur les structures peuvent être classées en sollctatons détermnstes et aléatores, suvant le degré de connassance de celles-c, et pour les sollctatons détermnstes en actons pérodques, mpulsves ou entretenues suvant leur forme de varaton dans le temps. A chaque type d'acton correspond un mode de caractérsaton et une méthode de résoluton la meux approprée CHARGEMENT DETERMINISTE S le chargement applqué est parfatement défn par sa varaton temporelle et spatale, le chargement est qualfé de détermnste. Un tel chargement peut être : ) Pérodque s le dagramme de chargement se reprodut à l'dentque au bout d'une durée T, appelée pérode de la sollctaton. Parm les chargements pérodques, on dstnguera les chargements harmonques et les chargements anharmonques. Un chargement harmonque est typquement celu engendré par une machne tournante (fgure 1.). La sollctaton est défne par son ampltude A, et sa pulsaton ω. Elle est décrte par une foncton snusoïdale : (1.1) yt () = Asn( ωt) On verra dans la sute du cours qu'l est souvent pratque de défnr les sollctatons harmonques sous la forme d'une foncton complexe (1.) yt () =ρ t e ω où ben évdemment seule la parte réelle de l'équaton (1.) a une sgnfcaton. Dans l'équaton (1.) ρ est un nombre complexe.

3 Sollctaton Tem ps Fgure 1. : Chargement harmonque Le chargement peut être également pérodque, sans être harmonque; on le qualfera d'anharmonque. Ce type de chargement est celu engendré, par exemple, par un propulseur de navre (fgure 1.3). L'analyse de Fourer nous ndque que le chargement peut être exprmé comme une somme de chargements harmonques caractérsés chacun par une ampltude A j et une pulsaton ω j. Reprenant la formulaton de l'équaton (1.) un tel chargement s'écrt sous la forme d'une somme d'harmonques : jω0 (1.3) yt () = Ae j + j= ( t) où ω o est la pulsaton de l'harmonque fondamentale. Sollctaton Temps Fgure 1.3 : Chargement pérodque anharmonque ) non pérodque, de type mpulsf ou entretenu; le chargement ne se reprodut pas à l'dentque après un ntervalle de temps T. Le chargement mpulsf est caractérsé par une sollctaton de fable durée totale, telle celle ndute par le front d'une onde de choc heurtant la structure (fgure 1.4). Par fable durée, l faut entendre une sollctaton dont la durée est pette en regard de la pérode de vbraton de la structure. Un tel chargement est défn par sa varaton temporelle (1.4) yt () = ft () S l'on ne s'ntéresse qu'à la réponse maxmale de la structure sous l'effet de cette mpulson, on verra qu'l est possble de caractérser ce chargement à l'ade d'une quantté smplfée, appelée spectre de choc. Le spectre de choc défnt le déplacement 3

4 maxmal d'une structure smplfée (oscllateur à 1 degré de lberté; cf. chaptre ) soums au chargement (1.4). Sollctato Temps Fgure 1.4: Chargement mpulsf Le chargement entretenu peut être défn comme le chargement résultant d'une successon d'mpulsons. C'est typquement le cas d'une sollctaton ssmque s l'accélératon du sol est connue de façon détermnste (fgure 1.5). Sollctaton ÿ(t) Temps Fgure 1.5 : Sollctaton entretenue Par opposton au chargement mpulsf, la durée totale de la sollctaton est grande vs-à-vs de la pérode propre de la structure. Typquement une sollctaton non pérodque entretenue peut être défne à l'ade d'une équaton du type (1.4). On verra cependant que des méthodes de résoluton avantageuses des équatons du mouvement font appel à l'analyse fréquentelle pour laquelle la sollctaton est défne par son spectre de Fourer, qu n'est autre que l'analogue de l'équaton (1.3) pour une foncton non pérodque. (1.5) 1 + ωt yt () = A( ω) e d π ω 4

5 De façon smlare à la sollctaton mpulsve, s l'on ne s'ntéresse qu'à la réponse maxmale de la structure, la sollctaton pourra être défne par son spectre de réponse qu caractérse le déplacement maxmal d'une structure à 1 degré de lberté soumse à la sollctaton (1.4) représentée sur la fgure CHARGEMENT ALEATOIRE Beaucoup des chargements sollctant les structures de Géne Cvl ne peuvent être défns de façon détermnste par une équaton du type (1.4). Ils ne sont généralement connus que par leur valeur moyenne. Il s'agt typquement des mouvements vbratores engendrés par le trafc ferrovare ou router (fgure 1.6), le vent. La sollctaton est dte aléatore et est représentée par sa densté spectrale de pussance. (1.6) DSP( ω ) = lm s + s / s / yte () πs ω t dt La réponse de la structure à des chargements aléatores, fat l'objet de la dynamque stochastque qu ne sera pas abordée dans ce cours. Sollctaton Temps Fgure 1.6 : Chargement aléatore 5

6 1.3 MISE EN EQUATION D'UN PHÉNOMÈNE DYNAMIQUE La mse en équaton d'un problème dynamque est l'une des étapes les plus délcates de l'analyse de la réponse d'une structure. Pluseurs technques, qu seront utlsées ndfféremment dans la sute du cours, sont résumées c-après. Elles font appel sot à des quanttés vectorelles, sot à des grandeurs scalares FORMULATION DIRECTE Cette formulaton consste à dentfer le torseur des efforts qu s'exerce sur la structure à étuder et à écrre qu'l est égal à la varaton de la quantté de mouvement du système; cette formulaton est connue sous le nom de seconde lo de Newton, ou lo fondamentale de la dynamque. Généralement ce torseur comporte sx composantes : les forces suvant les tros drectons des axes du référentel et les moments autour des tros axes. Désgnant par pt () le torseur des efforts applqués à une masse M anmée d'une vtesse d u v = dt, la quantté de mouvement est égale à Mv et le théorème de la quantté de mouvement fournt l'équaton : d du d u (1.7) pt () = ( M ) = M Mu(t) dt dt dt sot (1.8) p() t Mu(t) = 0 La quantté M u représente la force d'nerte agssant sur le système. Elle est égale au produt de la masse par l'accélératon. L'écrture (1.8) de l'équaton d'équlbre dynamque du système est connue sous le nom de prncpe d'alembert qu s'énonce : L'équlbre dynamque satsfat l'équaton dans laquelle le torseur des efforts applqués, dmnué des forces d'nerte, est égal à 0. L'ntroducton d'un torseur d'effort complémentare, égal à l'opposé du produt de la masse par l'accélératon, permet d'écrre les équatons générales d'équlbre de façon analogue à celle d'un problème statque. 6

7 L'équaton (1.8) est en fat un système de N équatons assocées chacune à un degré de lberté de la masse M. En général N=6, tros translatons et tros rotatons. Suvant le degré de lberté consdéré, M désgne la masse ou l'nerte massque en rotaton, parfos désgnée J. La méthode drecte est ben adaptée à la formulaton des équatons d'équlbre de systèmes dscrets dans lesquels les masses sont concentrées en des ponts de la structure; la dffculté résde dans l'évaluaton correcte du torseur p(t) qu résulte des lasons et nteractons entre masses METHODE DES PUISSANCES VIRTUELLES Cette méthode est partculèrement ben adaptée à la mse en équaton des mleux contnus pour lesquels masse et radeur sont dstrbuées dans tout le système. On trouvera dans Salençon (001) un tratement complet du Prncpe des Pussances Vrtuelles dont seules les grandes lgnes sont rappelées c-dessous. Cette méthode se révèlera partculèrement utle dans la deuxème parte du cours lorsqu'on abordera l'étude des propagatons d'ondes dans les poutres ou les mleux nfns. La lo fondamentale de la dynamque, écrte sous forme dualsée sur l'espace vectorel des mouvements vrtuels, exprme que la somme des pussances vrtuelles des efforts extéreurs et des efforts ntéreurs est égale à la pussance vrtuelle des quanttés d'accélératon dans tout mouvement vrtuel Û du système: (1.9) P(U) ˆ + P(U) ˆ = A (U) ˆ e Les efforts extéreurs au système étant modélsés par des denstés volumques de forces F(x,t) et des denstés surfacques de force à son contour T(x,t), la pussance des efforts extéreurs s'écrt: (1.10) P ( ˆ) (,) (,). ˆ e U = ρ xtfxt Ux () dω+ Txt (,). Ux ˆ () da Ω La pussance des efforts ntéreurs s'exprme à l'ade du tenseur des contrantes σ ( xt, ) et du taux de déformaton vrtuel dxt: ˆ (, ) (1.11) P ( ˆ ) (, ). ˆ U = σ x t d ( x ˆ, t ) dω Ω Ω Dans le cas partculer où le mouvement vrtuel le théorème de l'énerge cnétque: Û est égal au mouvement réel on en dédut 7

8 d (1.1) P (U) + Pe (U) = A (U)= K( U) dt où K(U) désgne l'énerge cnétque du système: (1.13) 1 = ρ KU ( ) ( xtu, ) ( xt, ) d Ω Ω FORMULATION ENERGETIQUE - PRINCIPE DE HAMILTON Cette formulaton, à l'opposé de la méthode drecte, ne fat ntervenr que des grandeurs scalares. Elle peut être obtenue à partr du Prncpe des Pussance Vrtuelles en regroupant les efforts ntéreurs et extéreurs en un champ de force F dont on admet qu'l dérve d'un potentel V; contrarement au PPV on fat donc une hypothèse sur le chargement du système (forces extéreures) et sur sa lo de comportement (forces ntéreures). Désgnant par T l'énerge cnétque du système, V son énerge potentelle défne par F = gradv où F c représentent les forces conservatves, W nc le traval des forces non c conservatves, telles les forces d'amortssement, le prncpe de Hamlton stpule que pour tout ntervalle de temps [t 1, t ] (1.14) t t1 δ ( T-V) dt+ δw dt=0 t t1 nc où δ désgne une varaton arbtrare des quanttés. Les équatons de Lagrange qu représentent une autre forme ben connue de mse en équaton d'un système peuvent se dédure du prncpe de Hamlton. Dans la formulaton de Lagrange, les énerges cnétque et potentelle, ans que le traval des forces non conservatves sont exprmées en foncton de coordonnées, dtes généralsées, du système. Le chox de ce système de coordonnées généralsées, q = 1, n, permet de faclter la descrpton de la cnématque du système. où T= T( q, q ), V = V( q ), δ W = ΣQδ q q désgne la dérvée par rapport au temps de q. Le prncpe de Hamlton (1.14) s'écrt alors : nc (1.15) t t1 ( T T V δ q + δq δ q + Qδ q )dt= 0 q q q 8

9 En ntégrant par partes le terme (1.16) t t1 t T T t d T q t q 1 dt q t 1 δq dt= δq - δq dt et en reconnassant que le premer terme du membre de drote est nul, pusque δq est nul à t 1 et t, l vent (1.17) t t1 d T T V + + Q δ q dt =0 dt q q q qu dot être valable pour toute varaton arbtrare δq. Il en résulte : d T T V (1.18) + = Q dt q q q qu consttuent les équatons de Lagrange du système. Exemple d'applcaton Consdérons le pendule de la fgure 1.7 consttué de masses m 1 et m relées par des barres rgdes de longueur L 1 et L. La descrpton de la cnématque du système est asément obtenue en retenant comme coordonnées généralsées les angles θ 1 et θ que forment les barres avec la vertcale. x θ 1 L 1 m 1 θ L y m Fgure 1.7 : Pendule Dans le référentel ndqué sur la fgure 1.7, les coordonnées (x, y ) des deux masses s'exprment par : 9

10 (1.19a) x = L sn( θ ) y = L cos( θ ) x = L sn( θ ) + L sn( θ ) y = L cos( θ ) + L cos( θ ) d'où l résulte (1.19b) x 1 = L 1θ 1cos( θ 1) y 1 = L1θ 1sn( θ1) x = L θ cos( θ ) + L θ cos( θ ) y = L θ sn( θ ) L θ sn( θ ) Les énerges cnétque et potentelle s'écrvent : 1 1 (1.0a) T = m 1(x 1 + y 1) + m (x + y ) (1.0b) V = ( m + m ) g(l y ) + m g(l y ) où g désgne l'accélératon de la pesanteur En reportant les équatons (1.19a) et 1.19b) dans (1.0a) et (1.0b), les quanttés T et V sont exprmées en foncton des varables généralsées q 1 = θ 1, q = θ. Les équatons de Lagrange (1.18), après calcul des dérvées, condusent aux deux équatons dfférentelles régssant l'équlbre dynamque du système (1.1a) ( m1+ m) L 1θ 1 + ml1l θcos( θ-θ1) - m L L θ sn( θ -θ ) + ( m + m ) g L sn( θ ) = (1.1b) ml θ + ml1l θ1cos( θ-θ1) + m L L θ sn( θ -θ ) + m g L sn( θ ) = L'exemple c-dessus llustre la pussance des méthodes énergétques pour la mse en équaton de systèmes complexes. La méthode drecte applquée au même système est de mse en œuvre beaucoup plus lourde et peut être source d'erreurs CONCLUSION Il convent de réalser que toutes les méthodes exposées c-dessus sont équvalentes et condusent aux mêmes équatons d'équlbre. Le chox de la méthode la meux approprée dépend du problème à trater. 10

11 La méthode drecte est plus ntutve mas se révèle de mse en œuvre dffcle pour les systèmes complexes du fat de l'utlsaton de grandeurs vectorelles. La méthode énergétque, du fat de l'utlsaton de grandeurs purement scalares, ou celle des pussances vrtuelles se révèlent très pussantes et smples de mse en œuvre. Elles consttuent le fondement des méthodes numérques, telle la méthode des éléments fns. 1.4 MODÉLISATION EN DYNAMIQUE L'analyse d'un problème dynamque est complexe du fat que les forces d'nerte provennent des déplacements de la structure qu sont eux-mêmes relés aux forces d'nerte. Il en résulte que l'équaton d'équlbre dynamque est rége par un système d'équatons dfférentelles, du ème ordre, comme on l'a vu au paragraphe 3.0 (éq. 1.8 ou 1.13). S de plus la masse du système est réparte contnûment, les déplacements et accélératons dovent être calculés en tout pont; l'équlbre dynamque est rég par un système d'équatons aux dérvées partelles qu est obtenu, par exemple, à partr de la formulaton du prncpe des pussances vrtuelles (éq. 1.9). Toutefos, la modélsaton d'une structure peut permettre des smplfcatons mportantes représentant une approxmaton suffsante d'un pont de vue pratque de la soluton exacte du problème. Ces smplfcatons sont llustrées c-après sur la structure smplfée de la fgure 1.1a représentant une poutre avec une densté de masse au mètre lnéare m(x) MODELISATION EN MASSES CONCENTREES S'l est possble de concentrer la masse de la poutre en un nombre fn, restrent de ponts, appelés nœuds, une smplfcaton mportante est ntrodute car les forces d'nerte n'exstent qu'en ces ponts (fgure 1.8). m 1 m m 3 f I1 f I f I3 Fgure 1.8 : Modélsaton en masses concentrées Dans ce cas, l est suffsant d'exprmer les déplacements et accélératons aux nœuds de la structure. Le nombre de composantes du déplacement nécessare pour décrre complètement le champ de forces d'nerte est appelé nombre de degrés de lberté dynamques du système. 11

12 S dans l'exemple de la fgure 1.8, les seuls déplacements possbles des nœuds sont les déplacements vertcaux, la structure comporte 3 x 1 = 3 degrés de lberté. Dans le cas le plus général, les nœuds de la structure possèdent une masse et une nerte massque en rotaton et peuvent subr des translatons et des rotatons dans l'espace; chaque nœud possède 6 degrés de lberté et la structure 6N degrés de lberté, où N est le nombre de nœuds. La modélsaton en masses concentrées est très utle pour les systèmes dans lesquels une grande parte de la masse est effectvement concentrée à certans emplacements : c'est le cas par exemple des bâtments où la masse prncpale se stue aux nveaux des planchers; la masse de la structure porteuse (poteaux, voles) peut alors être, avec une approxmaton suffsante, réparte aux nveaux des planchers (pour moté au nveau nféreur et pour moté au nveau supéreur) DEPLACEMENTS GENERALISES Il est évdent, par passage à la lmte du cas précédent, que le système de la fgure 1.1 possède un nombre nfn de degrés de lberté. Il exste cependant une approche alternatve permettant de rédure le nombre de degrés de lberté. Cette approche est fondée sur l'hypothèse que la déformée de la structure peut être représentée par la somme de fonctons représentant chacune une déformée possble du système. Ces fonctons sont appelées déplacements généralsés de la structure. La fgure 1.9 llustre cette proposton. Vx ( ) = πx bsn( 1 ) L + πx bsn( ) L 3 + 3πx bsn( ) L L Fgure 1.9 : Déplacements généralsés Dans ce cas, la déformée de la structure peut être exprmée par une somme nfne de sére trgonométrques : 1

13 (1.) nπ x vx ( ) = bn sn( ) L n= 1 Les quanttés b n représentent les coeffcents de la sére trgonométrque de Fourer et peuvent être assmlées aux coordonnées du système. Dans cet exemple, le nombre nfn de degrés de lberté de la poutre est représenté par un nombre nfn de déplacements généralsés (les termes de la sére de Fourer). L'avantage de l'approche est, en lmtant le nombre de termes de la sére à quelques termes, de permettre une représentaton satsfasante d'un pont de vue pratque de la déformée de la poutre. Ce concept peut être généralsé à toute foncton ψ n (x) compatble avec les condtons lmtes du système, mas chose arbtrarement. (1.3) vx ( ) = Zψ ( x) n n n Pour tout ensemble de fonctons ψ n (x), la déformée de la poutre dépend des ampltudes Z n qu sont les coordonnées généralsées du système. Cette noton de coordonnées généralsées a été ntrodute précédemment dans l'établssement des équatons de Lagrange d'un système. Le nombre de fonctons ψ n représente le nombre de degrés de lberté du système. En règle générale, une melleure précson de la réponse dynamque d'un système est obtenue avec une modélsaton à l'ade de déplacements généralsés qu'avec une modélsaton en masses concentrées; toutefos la résoluton numérque est plus complexe MODELISATION ELEMENTS FINIS Cette approche combne à la fos les avantages de la modélsaton en masses concentrées et celle de la modélsaton à l'ade de déplacements généralsés. Elle est llustrée sur la fgure Cette méthode est applcable à tout type de structure et est partculèrement pussante d'un pont de vue numérque. Reprenant l'exemple de la fgure 1.1, la structure est subdvsée en un nombre arbtrare d'éléments, de dmensons quelconques. Les nœuds du système représentent le système de coordonnées généralsées. Le déplacement de la structure est exprmé en foncton de ces coordonnées généralsées à l'ade de fonctons de déplacement, de façon smlare à (1.3). Ces fonctons sont appelées fonctons d'nterpolaton car elles défnssent le déplacement entre les nœuds consdérés. En prncpe, les fonctons d'nterpolaton peuvent être défnes par toute foncton contnue satsfasant les condtons géométrques de déplacement des nœuds. 13

14 v V 3 =1 θ θ 3 =1 Fgure 1.10 : Modélsaton éléments fns Les avantages de la procédure résdent dans le fat : qu'un nombre arbtrare de nœuds peut être ntrodut, que les calculs sont grandement smplfés en chosssant des fonctons d'nterpolaton dentques pour tous les éléments, que les équatons dynamques du système sont fortement découplées car le déplacement d'un nœud n'affecte que les nœuds vosns. La méthode des éléments fns est de lon la méthode la plus pussante pour la résoluton des problèmes dynamques en permettant d'exprmer les déplacements d'une structure quelconque à l'ade d'un ensemble fn de coordonnées. 1.5 METHODES DE RESOLUTION On ne donnera c qu'un bref aperçu des méthodes de résoluton des équatons d'équlbre dynamque d'un système. De plus amples détals seront fourns dans la sute du cours lors des applcatons. La méthode de résoluton la meux adaptée, ou la plus effcace, dépend du comportement de l'ouvrage à étuder (lnéare ou non-lnéare) et du mode de défnton de la sollctaton applquée : temporelle (éq. (1.4), fréquentelle (éq. (1.) ou (1.3)), spectrale (utlsaton de spectres de réponse d'un oscllateur à un degré de lberté). Il convent de réalser que dans la plupart des applcatons pratques, l'obtenton d'une soluton analytque est naccessble et que le recours à des méthodes numérques se révèle ndspensable. 14

15 1.5.1 INTEGRATION TEMPORELLE Il s'agt de lon de la méthode la plus lourde de mse en œuvre; en contreparte, c'est la méthode la plus générale. Elle consste à ntégrer pas à pas dans le temps les équatons du mouvement. Symbolquement, la vtesse et le déplacement à l'nstant t étant connus, le problème consste à calculer le nouvel état d'équlbre à l'nstant t+dt. L'ntégraton temporelle est applcable à tout type de comportement de la structure, qu'l sot lnéare ou non-lnéare. Pour un système non-lnéare, dont les proprétés varent au cours de la sollctaton, c'est la seule méthode applcable. L'applcaton de la méthode nécesste que la sollctaton sot décrte complètement au cours du temps INTEGRATION FREQUENTIELLE La méthode consste à résoudre les équatons du mouvement dans le domane fréquentel. La sollctaton est représentée par sa transformée de Fourer (éq (1.3), (1.5) ou (1.6)) et la résoluton est effectuée pour chaque harmonque. La soluton globale est obtenue par superposton des solutons ndvduelles, qu s'nterprète comme une transformée de Fourer nverse. La méthode n'est ben évdemment applcable qu'aux système lnéares et requert la défnton de la sollctaton par son spectre de Fourer. Avec l'avènement des transformées de Fourer rapde (FFT), la méthode se révèle extrêmement pussante. On verra de plus qu'elle est partculèrement ben adaptée à l'étude des phénomènes d'nteracton sol-structure ou flude-structure; elle est également fondamentale en dynamque stochastque INTEGRATION MODALE-SPECTRALE C'est de lon la méthode la plus utlsée en dynamque des structures. L'dée consste à utlser comme système de coordonnées généralsées une base partculère consttuée par les modes propres de vbraton de la structure. Le chox de cette base permet de découpler les équatons du mouvement et de ramener le système à la résoluton de N équatons dfférentelles découplées, où N est le nombre de degrés de lberté du système. L'expérence montre qu'un nombre lmté de modes propres, p<<n, est suffsant pour obtenr une représentaton satsfasante de la soluton qu est égale à la somme des réponses dans chaque mode. S de plus seule la réponse maxmale, au cours du temps, du système est cherchée, la sollctaton peut être défne de façon smplfée par son spectre de réponse. On notera que la méthode de décomposton modale est également applcable pour l'ntégraton drecte des équatons du mouvement et l'obtenton de la réponse temporelle du 15

16 système, on parle alors de méthode modale-temporelle. La méthode reste lmtée au cas des systèmes lnéares SYNTHESE Le tableau c-dessous permet de résumer les méthodes de résoluton applcables suvant la nature du système à analyser et suvant la caractérstque de la grandeur cherchée pour la réponse. Les méthodes sont classées dans l'ordre de faclté de mse en œuvre, de la plus smple à la plus complexe pour chaque confguraton. Système Lnéare Système Non-lnéare Réponse maxmale u = max[ u( t )] m t Modale - spectrale Modale - temporelle Fréquentelle Intégraton drecte Intégraton drecte Réponse temporelle u (t) Modale - temporelle Fréquentelle Intégraton drecte Intégraton drecte Tableau Méthodes de résoluton numérque 16