Calculs d aires, encadrements

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1 Clculs d irs, ncdrmnts pg d 5 Clculs d irs, ncdrmnts I Clculs d irs. Soit f( = t g( =. On not A l ir d l région R du pln compris ntr l courb d f t l ds bscisss sur [; ]. Clculr g( d n fonction d A. On urit pu ussi ppliqur l formul d l ir d un région compris ntr du courbs : c st l intégrl d l différnc d. C st bin l mêm chos à cus du théorèm d linérité : l intégrl d un différnc d du fonctions st bin l différnc ds intégrls ds du fonctions (c st un ds rrs propriétés d form «mchin du truc» vris pour ls intégrls. f g g R f t g sont du fonctions réciproqus l un d l utr, donc lurs courbs sont symétriqus pr rpport à l prmièr bissctric y =. En fft, dir qu un point (; b st sur l courb d f équivut à dir qu l point (b; st sur l courb d g (puisqu, sur [; ], on l équivlnc b = = b. Donc l région R symétriqu d R ussi pour ir A, puisqu un symétri il consrv ls irs. Ctt région st délimité pr l ds ordonnés (symétriqu d l ds bscisss, l courb d g (symétriqu d l courb d f t l droit horizontl d éqution y = (symétriqu d l droit vrticl d éqution =. Qul st l rpport ntr ctt région R t l intégrl dmndé? Si on lui jout l région d l intégrl dmndé, on obtint l crré construit sur [; ], crré dont on connît l ir. Donc g( d = A, soit d = d Thèm : fonctions réciproqus.. Mêms nottions f, g, A qu dns l mpl précédnt. Qull st l ir d l région d pln compris ntr l courb d f t cll d g sur [; ]? On procèd pr différnc d irs : l ir chrché st l différnc d du intégrls : d d = A d près l mpl précédnt. R. Tst Soit f( = ln(+ t g( =. Démontrr n utilisnt l idé ds du mpls précédnts (fonctions réciproqus, symétri, irs qu f( d = f( f( f f( g( d (bc 5. g f( f( f(. Soit f( = +. L courb d f dmt comm symptot n + l droit d éqution y =. Clculons l ir d l région compris ntr ctt symptot t l courb d f sur [; ] (vc >, puis l limit d ctt ir lorsqu tnd vrs +. On dmttr qu d = ln(

2 Clculs d irs, ncdrmnts pg d 5 L ir dmndé st obtnu pr différnc : f( d = d = ln(. S limit lorsqu tnd vrs + st donc + (limit du logrithm. C résultt n smbl ps surprnnt, mis voyz l mpl suivnt. 5. Soit f( = +. L courb d f dmt comm symptot n + l droit d éqution y =. Clculons l ir d l région compris ntr ctt symptot t l courb d f sur [; ] (vc >, puis l limit d ctt ir lorsqu tnd vrs +. On dmttr qu d =. 6. Soit f( =. On dmttr qu, pour tout, II f( d =. Soit A l ir du domin limité pr l courb d g, l ds bscisss t ls droits = t =. Soint ls points A(; t B(;, t T l tngnt à l courb d f u point B. Ctt tngnt coup l ds bscisss n C. Soit A l ir du tringl ABC. Démontrr qu A + A = (bc 999. L énoncé initil étit plus générl, vc A( ; t B( ; f(. Encdrmnts d intégrls L théorèm principl st l «théorèm d intégrtion d un inéglité» : à prtir d un inéglité ntr du fonctions, on déduit un inéglité ntr du intégrls (sous crtins conditions. Un conséqunc prticulièr d c théorèm st l inéglité d l moynn, qui s ppliqu lorsqu ls fonctions ncdrnts sont ds constnts. Il fut pnsr à cs théorèms chqu fois qu on dmnd d démontrr un inéglité concrnnt ds intégrls. Attntion, pièg : bin vérifir qu b (sinon l ordr st rnvrsé. Divrs L ir dmndé st obtnu pr différnc : f( d = d =. S limit lorsqu tnd vrs + st donc (d près ls limits d l ponntill. Ctt fois, c résultt smbl surprnnt. L région ntr l courb t son symptot contint ds distncs ussi longus qu on vut (puisqu l courb n rjoint jmis son symptot. On put y prcourir ds millirds d kilomètrs n lign droit, t pourtnt son ir st fini (t mêm ptit, infériur à. C st comm un récipint ouvrt sns fond, d profondur illimité, qui n pourrit mêm ps contnir un dmi-litr d liquid. Mis l crvu humin n put ps s forgr nturllmnt d tlls imgs mntls : l infini st n dhors d notr prcption, surtout qund il st considéré comm un tout chvé. Thèm : ir ntr un courb t son symptot.. Encdrr ln( d pr ds constnts. Puisqu ln( pour, on : soit. Encdrr ln( d ( ln( d d ln( d d,

3 Clculs d irs, ncdrmnts pg d On put démontrr qu ( n ( n+ d = (pour. n + En utilisnt l mêm gnr d idé qu dns l mpl précédnt, n déduir qu ( n d (bc 5. n + Puisqu ln( pour, on : d ln( d ( ( ln( d d, soit Attntion, puisqu l fonction st négtiv vc, l intégrl n st ps égl à l ir, mis à l opposé d l ir. b. On put démontrr qu d = ln(b ln( (pour > t b >. ( 5 En déduir, sns clcultric, l inéglité : ln / 5 5 L logrithm d un quotint st l différnc ds logrithms. Cl suggèr d ppliqur l propriété vc b = 5 t =. On st donc rmné u problèm équivlnt : 5 montrr qu d. Qund un qustion dmnd d démontrr un inéglité concrnnt un intégrl, il st nturl d pnsr u théorèm d intégrtion d un inéglité. Pour pouvoir l ppliqur, il fut prtir d un inéglité sns intégrl concrnnt l fonction. On ssy donc d ncdrr ctt fonction sur [; 5]. C st un fonction décroissnt, donc pour 5, on : 5. On intègr l duièm inéglité d à 5 (justifictions : ls fonctions sont continus t 5 : 5 d 5 d soit ln d bs t d hutur. ( 5 (l duièm mmbr st l ir d un rctngl ( n L idé nouvll ici st qu on chrch un mjortion d ( n pr un fonction d, ps pr un constnt. Utilisr ussi l linérité pour «sortir l cofficint». L rcic s prolong pr l rchrch d l limit d l intégrl lorsqu n tnd vrs + vc l théorèm ds gndrms. 5. Attntion, difficultés : chngmnt d nom d l vribl d intégrtion, born d intégrtion vribl. On dmttr qu, pour tout, on sin( (c qu on put démontrr pr l étud d l fonction sin(. On ppll f( l ir sous l courb d l fonction sinus ntr t (pour. Détrminr un mjortion d f( pr un polynôm du scond dgré. A A y = y = f( L idé st d intégrr l inéglité sin(. Mis on voudrit l intégrr d à. Il y donc du utilistions différnts d l lttr. Il fut lors réécrir l inéglité vc un utr lttr t, qu on prndr comm vribl d intégrtion, t on intégrr d à (on fi, t c st t qui vri d à. Donc on prt d l inéglité sin(t t t on l intègr d à (justifictions : ls fonctions sont continus, ls borns sont dns l bon ordr, t l inéglité st bin vérifié pour tout t dns [; ].

4 Clculs d irs, ncdrmnts pg d 5 On obtint : sin(t dt t dt, soit f(. Justifictions : puisqu sin(t t, l ir f( st bin égl à l intégrl sin(t dt, t pour clculr t dt on utilis l formul d l ir d un tringl. Avc t ds suits (méthod ds rctngls 6. Soit f :. Encdrr I = f( d / L fonction f : st décroissnt sur R. Donc, pour, on f(, soit f(. Donc on put ncdrr I = ( I (, soit I 7. Soit n un ntir nturl t I n = l suit I n. f(n f(n + n n + f( d (inéglité d moynn : n+ n f(n + d. Encdrr I n t n déduir l limit d n n + f(n n n + L fonction f : st décroissnt sur R. Donc, pour n n +, on (n+ f( n. Donc, pr l théorèm d ncdrmnt d un intégrl : (n+ (n + n I n n (n + n, soit n+ I n n. Ls du suits qui ncdrnt I n ont pour limit (propriétés ds suits géométriqus, donc d près l théorèm ds gndrms l limit d I n st. 8. Encdrr I = d à moins d un unité près. Si on utilis ls idés précédnts, à prtir d, on obtindrit I. Mis l mplitud d l ncdrmnt srit, c qui st trop grnd. L idé st d frctionnr l intrvll [; ] n du : [; ] t [; ], t d utilisr l rltion d Chsls : I = I + I (vc ls nottions d l mpl précédnt. / / / On ncdr séprémnt chqu intégrl t on fit l somm : I t I, donc I + I. Ctt fois l mplitud d l ncdrmnt st, c qui convint. 9. Encdrr I = III 9 d à moins d un unité près. Mêm méthod qu précédmmnt, vc I = I +I +... I 8 (ttntion u déclg d indic, qui vint d c qu l drnir intrvll st [8; 9] I L mplitud d l ncdrmnt st, c qui convint. 9 L ncdrmnt put êtr simplifié grâc à l formul d l somm ds trms d un suit géométriqu (à n jmis oublir : ( I 9 9, soit n gros I (clculs à vérifir. Utilistion ds règls d clcul. On dmt qu (cos( d = + 8. En déduir qu (sin( d = + 8. Utilisr cos ( + sin ( = t l linérité. Thèm : clculs indircts d intégrls pr résolution d un systèm provnnt d somms t d d différncs, n utilisnt l linérité.

5 Clculs d irs, ncdrmnts pg 5 d 5. Clculr I = sin( d. L fonction f : sin st périodiqu d périod (cr f(+ = sin(+ = f(. Or l intrvll [ ; ] pour mplitud. Donc l intégrl l mêm vlur qu sur tout utr intrvll d mplitud, pr mpl : I = sin( d. Or f st impir t ls du borns sont opposés, donc I =. On combiné du propriétés : périodicité, fonction impir.. Sign d un intégrl. Attntion : piègs Soit θ un rél dns [; ]. Qul st l sign d I = Ouh là! intégrl, cosinus, logrithm,, θ... θ cos(θ / ln( d? θ Ls borns sont touts ls du. Or pour, on ln(. Donc, pour tout θ, l fonction à intégrr st négtiv. Ensuit, il fut svoir dns qul ordr sont rngés t cos(θ. En s idnt du crcl trigonométriqu, on trouv finlmnt : si θ, I t si θ <, I. Rmrqu sur l sttut ds nottions t θ : sur l dssin, on voit θ, mis ps. C st norml, prc qu n st qu un lttr «mutt». C st just un mrqu syntiqu pour définir l intégrl. On urit d illurs pu primr ctt intégrl sns utilisr l lttr : «l intégrl d à cos(θ d l fonction ln» A l riguur, on put dir qu prnd comm vlurs ls bscisss d tous ls points dssinés n gris dns l région étudié. Dir «tous» ls points pliqu un pu l usg du mot «intégrl» : l intégrl tint compt intégrlmnt d tous cs points. cos(θ cos(θ < θ < I < < θ < I > Prmièr vérifiction impértiv : st-c qu l fonction à intégrr st bin défini t continu ntr ls borns d intégrtion? Sulmnt si l intrvll [ st inclus dns ]; + [ (logrithm. C n st l cs qu si cos(θ >, soit θ ; [. Ensuit, il y du qustions à s posr : qul st l sign d l fonction à intégrr (sur l intrvll d intégrtion t qul st l ordr ds borns?