CALCUL INTEGRAL. 1. Aire sous une courbe Unité d aire dans un repère orthogonal

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1 Tle ES Clul inégrl Collège de Juilly H Kerneïs CALCUL INTEGRAL Aire sous une oure Unié d ire dns un repère orhogonl On onsidère ( O;OI,OJ ) un repère orhogonl K es le poin de oordonnées ( ;) dns e repère L unié d ire es l ire du rengle OIKJ Exemples : i L ire du rengle ABCD i-dessus es de uniés d ires OI = m e OJ = 3 m, don l ire de ABCD es 3 = m ii Dns une enreprise de friion d ojes, le oû mrginl vrie pr pliers Le grphique i-dessous représene es vriions en fonion du nomre d uniés déjà produies

2 Tle ES Clul inégrl Collège de Juilly H Kerneïs Noion d inégrle On dme que le oû ol (en Euros) pour l friion de 00 uniés orrespond à l ire sous l oure sur l inervlle [0 ; 00] L fonion oû mrginl es posiive sur [0 ; 00] L ire du domine herhé (en gris) es, en uniés d ire : 4( 00 0)+ 3( )+ ( )+ 5( )= 3700 Don le oû ol de friion de 00 uniés es de 3700 Définiion : f es une fonion oninue sur un inervlle ouver I, e son deux réels de I De plus F es l une des primiives de f On ppelle inégrle de f enre e le nomre F( ) F( ) On noe e réel f ( x)dx Remrques : i Ce nomre se li «somme de à de f ( x)dx» ou «inégrle de à de f ( x)dx» ii Ce nomre ne dépend ps de l primiive hoisie En effe, ve les noions préédenes, les ures primiives de f son de l forme G( x)= F( x)+ k ve k un nomre réel E l on remrque que G( ) G ( )= F( ) F( ) iii Dns l prique, pour luler f ( x)dx, on déermine une primiive F de f sur un inervlle onenn e, puis on éri : f ( x)dx = F( x) = F ( ) F( ) Exemple : x dx = x 3 3 = = 7 3 Propriéé : i f ( x)dx = 0 ii f ( x)dx = f ( x)dx Preuve : ve les noions préédenes i f ( x)dx = F( ) F( )= 0 ii f ( x)dx = F( ) F( )= ( F( ) F( ) )= f ( x)dx

3 Tle ES Clul inégrl Collège de Juilly H Kerneïs 3 Inégrle e ire sous une oure Propriéé : dmise f es une fonion oninue e posiive sur un inervlle I e son deux réels de I els que C es l oure représenive de f dns un repère orhogonl f ( x)dx es l ire, en uniés d ire, du domine ompris enre l oure C, l xe des sisses e les droies d équions x = e x = Remrques : i On di ussi de mnière moins rigoureuse que es l ire sous l oure C enre e ii On pourri pproher l ire sous l oure en joun les ire f ( x)dx de ous les rengles de dimensions dx (ussi pei que l on veu) e f ( x) Exemple : C es l oure représenive de l fonion x x sur l inervlle 0; + On désigne pr s() l ire, en uniés d ire, sous ee oure enre e On : dx Si, s()= = ln x x = ln Si 0 <, s()= dx x = ln x = ln Vleur moyenne d une fonion sur un inervlle Définiion : f es une fonion oninue sur un inervlle I e son deux réels de I els que < L vleur moyenne de f sur l inervlle [ ; ] es le réel : f ( x)dx 3

4 Tle ES Clul inégrl Collège de Juilly H Kerneïs Inerpréion géomérique : s où f es posiive sur [ ; ] C es l oure représenive de f dns un repère orhogonl En uniés d ire : f ( x)dx es l ire sous ee oure enre e ; e m ( ) es l ire du rengle ABCD (en gris sur le dessin) Don m, vleur moyenne de f sur [ ; ], es l «hueur» du rengle de se ( ) yn l même ire que le domine sous l oure C enre e Remrque : m l même unié que l fonion f Exemples : i Le déi en m 3 /h d une pompe à rrosge qui fonionne en éé de 6 heures à 0 heures, es modélisé pr f ( x)= 5e 0,00x où x es l heure onsidérée (6 x 0) Une primiive F de f es : F( x)= 5 0,00 e 0,00x = 500e 0,00x Le volume d eu déié pr ee pompe enre 6 heures e 0 heures es 0 f ( x)dx = F ( 0) F ( 6) 7,85 m 3 6 Le déi moyen de ee pompe enre 6 e 0 heures es égl à : 0 f ( x)dx 0 6 5,3 m 3 /h 6 Ce nomre es l vleur moyenne de l fonion f, il es don exprimé dns l même unié ii Dns une région où une épidémie ommene à se propger, on onse que le nomre de mldes onminés jours près le déu de l épidémie es M() 30 Le nomre ol de mldes sur une période de 30 jours es M()d 0 Le nomre moyen de personnes onminées pr jour es 30 M()d

5 Tle ES Clul inégrl Collège de Juilly H Kerneïs 3 Propriéés de l inégrle f e g son des fonions oninues sur un inervlle I, e son deux réels quelonques 3 Linérié Théorème : i ( f ( x)+ g( x) )dx = f ( x)dx + g( x)dx ii kf ( x )dx = k f ( x)dx pour ou réel k Preuve : i Soien F e G des primiives respeives de f e g sur I Alors F + G es une primiive de f + g sur I (Voir hpire sur les primiives) Ainsi : ( f ( x)+ g( x) )dx = F( x)+ G( x) = F( )+ G ( ) F ( )+ G ( ) = F( ) F( ) + G ( ) G ( ) = f ( x)dx + g( x)dx ii De mnière nlogue r kf es une primiive de kf sur I Exemple : Cluler ( 4 + 3e )d 0 3 Posiivié e ordre Théorème : e son deux réels de I els que Si pour ou x de [ ; ], f ( x) 0, lors f ( x)dx 0 Preuve : F es une primiive de f sur I, lors pour ou x de I, F '( x )= f ( x) Or f ( x) 0 sur [ ; ], don F es une fonion roissne sur [ ; ] Ce qui implique que F( ) F( ) es à dire F( ) F( ) 0 e don f ( x)dx 0 Théorème 3 : e son deux réels de I els que Si pour ou x de I, f ( x) g( x), lors f ( x)dx g( x)dx 5

6 Tle ES Clul inégrl Collège de Juilly H Kerneïs Preuve : Pour ou x de I, g( x) f ( x) 0, don g( x) f ( x) dx 0 es à dire g( x)dx f ( x)dx 0 e don f ( x)dx g( x)dx Exemple : L oure représenive de l fonion x ln x es siuée en dessous de s gene u poin d sisse d équion y = x ; el signifie que pour ou x de 0; +, ln x x On lors : ln xdx ( x )dx ve ( x )dx = x x oien don 33 Relion de Chsles ln xdx Théorème 4 : Pour ous réels, e de I, f ( x)dx + f ( x)dx = f ( x)dx Preuve : F es une primiive de f sur I f ( x)dx + f ( x)dx = F( ) F( ) + F () F( ) = F ()F( ) = f ( x)dx Exemple : Cluler I = f ()d ve : 3 f ()= si < 0 f ( 0)= f ()= e si > 0 Penser à l oninuié de l fonion 3 = = On 6