Chapitre 5 : Suites classiques

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1 Chapitre 5 : Suites classiques Objectifs : Révisios sur les suites arithmétiques et géométriques. Révisio du théorème de croissace comparée. Savoir exprimer e foctio de les termes d ue suite récurrete du type u +1 = au + b (a,b R fixés) ou u + = au +1 + bu, et être capable de calculer leur limite. 1 Rappels Cocerat les suites arithmétiques et géométriques, il est importat de savoir les étudier e gééral, de maière autoome : iutile d appredre par cœur les propositios cidessous sas les avoir comprises! 1.1 Suites arithmétiques Défiitio (Suite arithmétique) Ue suite (u ) est dite arithmétique si il existe u réel r tel que N, u +1 = u +r. Propositio (Propriétés des suites arithmétiques) Si (u ) est ue suite arithmétique, alors 1. Il existe u uique r R tel que N, u +1 = u + r. O appelle r la raiso. O a r = u 1 u 0.. N, u = u 0 + r 3. p N, u = u p + ( p)r. 4. Mootoie et limite Si r > 0 alors (u ) est strictemet croissate et lim u = + Si r = 0, alors (u ) est costate. Si r < 0, alors (u ) est strictemet décroissate et lim u =. 5. k=p u k = ( p + 1) (u p + u ) et e particulier u k = ( + 1) (u 0 + u ) Démostratio: Le seul poit qui est pas immédiat est le derier. O remarque, après réaragemet de la somme que u k = (u 0 + u ) + (u 1 + u 1 ) + + (u + u 0 ). Aisi u k = (u k + u k ) = = (u 0 + kr + u 0 + ( k)r) (u 0 + u 0 + r) = ( + 1)(u 0 + u ) J. Gärter. 1

2 1. Suites géométriques Défiitio 1..1 (Suite géométrique) Ue suite (u ) est dite géométrique si il existe u réel q tel que N, u +1 = qu. Propositio 1..1 (Propriétés des suites géométriques) Soit (u ) ue suite géométrique. 1. E dehors de cas de la suite ulle, q est uique et s appelle la raiso de (u ).. N, u = u 0 q 3. p N, u = u p q p 4. Mootoie et limite Si q > 1 et u 0 > 0 (u ) est strictemet croissate et lim u = +. Si q = 1, (u ) est costate. Si q ]0,1[ et u 0 > 0, (u ) est strictemet décroissate et coverge vers 0. Si q = 0, (u ) est statioaire à 0. Si q ] 1,0[, (u ) est o mootoe et coverge vers 0. Si q = 1, (u ) e pred au plus deux valeurs et diverge si u 0 0. Si q < 1, (u ) est o mootoe et o borée. De plus lim u = u = ( + 1)u 0 Si q = 1 u +1 u 0 sio q 1 Exercice : éocer la propositio aalogue lorsque u 0 < 0. Démostratio: Etudios mootoie et limite das le cas q > 1 : q +1 q = (q 1)q > 0 sot (u ) est strictemet croissate. Pour la limite, remarquos que q = (q 1 + 1). D après la formule du biôme de Newto, q 1+(q 1). O e déduit par ecadremet que lim u = +. Das le cas où 0 < q < 1, o remarque que (u ) est l iverse d ue suite géométrique de raiso 1, d où le résultat. q Efi u k = u 0 q k. O peut doc déduire le résultat du derier poit de l idetité remarquable a b = (a b) 1 a k b 1 k. Les suites classiques peuvet iterveir utilemet das divers comparaisos. Par exemple das la propositio qui suit. Propositio 1.. Soit u ue suite à termes strictemet positifs. 1. Si il existe q ]0,1[ tel que, à partir d u certai rag 0, u +1 coverge vers 0.. Si il existe q > 1 tel qu à partir d u certai rag 0, u +1 vers +. u u q, alors u q, alors u diverge Démostratio: Par récurrece, o motre suivat les cas que 0 u u 0 q 0, ou que u u 0 q 0. O coclu à l aide du théorème d ecadremet. J. Gärter.

3 Exercice. Motrer que q > 0, lim q = 0. (O pourra cosidérer la suite défiie par N, u = q, et utiliser la propositio ci-dessus). 1.3 Suites de référeces O peut dès à préset utiliser le fait que les suites ( α ), (l β ()), (exp()), (a ), () et ( ) tedet vers + si α > 0,β > 0 et a > 1. Et o se souviedra du théorème de croissace comparée, que l o retiet souvet sous la forme «l expoetielle l emporte sur la puissace qui l emporte sur le logarithme» : Théorème (Croissace comparée) Pour tous 0 < α < α, 0 < β < β et 1 < a < a o a 1. Si 0 < β < β, alors lim l β l β = 0. Quels que soiet α > 0 et β > 0, alors lim l β α = 0 3. Si 0 < α < α α alors lim = 0 α α 4. Quels que soiet α > 0 et a > 1, lim a = 0 5. Si 1 < a < a a alors lim a = 0 a 6. Quelque soit a > 1, lim = 0 7. lim = 0 Suites classiques : protocole d étude L objectif de cette sectio est d itroduire ue méthode pour exprimer le terme d idice u de certaies suites récurretes «simples» explicitemet e foctio de..1 Suites arithmético-géométriques Défiitio.1.1 (Suite arithmético-géométrique) O dit qu ue suite réelle (u ) est arithmético-géométrique si il existe a,b R tels que N, u +1 = au + b Remarque. Si a = 1 o obtiet ue suite arithmétique, et si b = 0, ue suite géométrique. Exemple. Soit (u ) la suite défiie par u 0 = 0 et pour tout N, u +1 = 3u + 4. Soit l R tel que l = 3l + 4. O a l =. Soit (v ) la suite auxiliaire défiie pour tout par v = u l = u +. O a v +1 = 3u + 6 v u + = 3 J. Gärter. 3

4 La suite (v ) est géométrique de raiso 3 : pour tout, v = v 0 3. Comme v 0 = u 0 + =, o a v = 3. O e déduit que u = + 3 et lim u = +. Propositio.1.1 (Protocole d étude des suites arithmético-géométriques) Soit a,b R tel que a 1 et (u ) ue suite réelle telle que N, u +1 = au + b. L applicatio f : x ax + b a u uique poit fixe l = b (i.e. f(l) = l). La suite auxiliaire (v ) défiie par N, v = u l est géométrique de raiso a. Si a < 1, la suite (u ) coverge vers l. +1 O a de plus u k = ( + 1)l + v 0. Démostratio: l = al + b doc puisque a 1, o l = b. De plus si N, o a v +1 = u +1 l = (au + b) (al + b) = a(u l) = av La suite (v ) est géométrique de raiso a. Si a < 1, limv = 0 et limu = lim(v +l) = l. O a efi u k = l + v 0 a k +1 = ( + 1)l + v 0 Remarque. Il est importat de savoir recoaître ce type de suites, qui iterviet souvet e probabilités.. Suite défiies par ue relatio de récurrece liéaire d ordre Défiitio..1 (Récurrece liéaire d ordre ) O dit qu ue suite (u ) vérifie ue relatio de récurrece liéaire d ordre si il existe a,b R tels que N, u + = au +1 + bu A quelle coditio ue suite géométrique satisfait elle ue récurrece liéaire d ordre? Propositio..1 (Equatio caractéristique) Ue suite géométrique (q ) de raiso q o ulle satisfait la relatio de récurrece liéaire u + = au +1 + bu si et seulemet si q est solutio de l équatio x ax b = 0 Cette équatio est appelée équatio caractéristique de la récurrece. Démostratio: Puisque q 0, o a l équivalece N, q + = aq +1 +bq q = aq+b. Le théorème suivat, qui sera démotré lors du cours sur les espaces vectoriels, explicite au mieux le comportemet gééral des suites défiies par ue relatio de récurrece liéaire d ordre, lorsque b 0. Si b est ul, o obtiet ue suite géométrique (de raiso a). Théorème..1 Soit a,b R avec b 0. Soit (u ) ue suite réelle telle que N, u + = au +1 +bu. Notos (E) l équatio caractéristique x = ax + b et = a + 4b so discrimiat. J. Gärter. 4

5 1. Si > 0, (E) possède deux solutios réelles distictes q 1 et q. Alors il existe λ,µ R tels que N, u = λq 1 + µq. Si = 0, (E) possède ue uique solutio q R. Alors il existe λ,µ R tels que N, u = (λ + µ)q 3. Si < 0, (E) possède deux solutios complexes cojuguées z 1 = ρe iθ et z = ρe iθ. Alors il existe λ,µ R tels que N, u = ρ (λcos(θ) + µ si(θ)) Ce qu o peut ecore écrire, à l aide de la formule de Moivre lambda,µ R, N, u = λre(z 1 ) + µ Im(z 1 ) Remarque. Les suites récurretes liaires d ordre iterviedrot souvet e probabilités. E pratique, o détermie l allure de la suite à l aide de l équatio caractéristique, puis les coefficiets λ,µ à l aide de u 0 et u 1. Exemple. 1. Soit (u ) défiie par u 0 =, u 1 = 3 et N, u + = 5u +1 6u. L équatio caractéristique est x 5x + 6 = 0, le discrimiat est 5 4 > 0. O a deux solutios réelles q 1 = et q = 3. Soit N. u est de la forme λ + µ3, λ,µ R. Mais u 0 = et u 1 = 3 doc { λ + µ = doc λ = 3 et µ = 1. Aisi λ + 3µ = 3 N, u = 3 3. Soit (u ) défiie par u 0 = 1, u 1 = et N, u + = u +1 u. L équatio caractéristique est x x +, de discrimiat 4 < 0. Les solutios complexes cojuguées sot 1 ± i. O met 1 + i sous forme expoetielle : 1 + i = e i π 4.Soit N. u est de la forme ( ) (λcos( π 4 ) + µ si(π 4 ) ), où λ,µ R. Mais u 0 = 1 et u 1 = doc λ ( = 1 ) λ + µ = doc λ = 1 et µ = 1. Aisi N, u = ( ) ( cos( π 4 ) + si(π 4 ) ) 3. Soit (u ) défiie par u 0 = 1, u 1 = 4 et pour tout u + = 4u +1 4u. L équatio caractéristique est x 4x + 4 = (x ) il y a ue solutio double. O a doc l existece de λ,µ R tels que pour tout N u = (λ + µ). Comme u 0 = µ = 1 et u 1 = (λ + µ) = 4 doc λ = 1 et pour tout, u = ( + 1). J. Gärter. 5

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