H = H = H =30 7 F = 15 F = F = F = F = F = 23 5

Transcription

1 BREVET BLANC de MATHEMATIQUES Classe de troisième Correction des exercices 1. Racines carrées Connaître les règles de calcul avec des racines carrées Savoir effectuer un produit ou un quotient avec des radicaux F = 6 F = 9 7 F = 9 7 F = 7 G = 147 G= 49 G=7 H = 700 H = H =0 7 I = I = I = 7 D = 2 7 D= D=2 F = F = F = F = 9 F = Savoir effectuer une somme avec des radicaux E = E=2 15 E=16 F = F = F = F = F = Théorème de Thalès calculer une distance avec le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle 1. Le point B appartient au cercle de diamètre [AC] : ABC est donc un triangle rectangle en B. 2. Dans le triangle rectangle ABC, d'après le théorème de Pythagore : AC 2 =AB 2 BC 2 1=64 BC 2 BC 2 =1 64 BC 2 =17 donc BC= 17 cm. OAB est un triangle isocèle en O car OA=OB=4,5 cm (ce sont des rayons du cercle)

2 montrer qu un triangle est rectangle (réciproque du théorème de Pythagore) Montrer que 2 droites sont parallèles (réciproque du théorème de Thalès) 1. [AC] est le côté le plus long du triangle ABC AC 2 =15 2 AC 2 =225 AB 2 BC 2 = AB 2 BC 2 =1 144=225 On a donc bien : AC 2 =AB 2 BC 2 D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. 2. On sait que les points A,E,B et A,F,C sont alignés dans cet ordre, de plus : AE AB = 9 =1 AF AC = 5 15 = 1 On a donc bien : AE AB = AF AC D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (BC) sont parallèles.. Aire ABC = AB BC 2 Aire ABC = 9 12 =54 cm2 2 Le triangle AEF est une réduction de coefficient 1 Donc Aire AEF = Aire ABC 1 2 du triangle ABC. Aire AEF = Aire AEF =6 cm 2 Calculer une distance avec le théorème de Thalès 1. On sait que : - Les droites (NQ) et (PR) sont sécantes en M - Les droites (QR) et (NP) sont parallèles MQ D'après le théorème de Thalès : MN = MR MP =QR NP,2 = MR 10 =QR 7

3 Comme,2 = MR 10 alors MR= 10,2 =4 cm. Donc PR=10 4=6 cm 2. On sait que les points P,S,N et P,R,M sont alignés dans cet ordre et : PS PN =4,2 7 = 5 PR PM = 6 10 = 5 Comme PS PN = PR PM, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (RS) et (MN) sont parallèles.. Notion de fonction Déterminer l image d un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique Ce graphique représente une fonction h. a. h 0 = 1 b. 2 et 2 ont pour image 0 par la fonction h. c. Donne une valeur approchée : de l'image de 4 par la fonction h : h 4,2 de l'image de par la fonction h : h 1, de(s) antécédent(s) de par la fonction h :,9 et,9 sont les antécédents de par la fonction h. de(s) antécédent(s) de (-2) par la fonction h : 1 2 n'a pas d'antécédent par h. 0 1 Complète ce tableau de données et les phrases concernant une fonction h. x h(x) a. est l'image de 4 par la fonction h. b. Un antécédent de 4 par la fonction h est. c. h( 2) = 7 et h(7) = -2. d. Un nombre ayant pour image -17 par la fonction h est 12. e. L'image de 12 par la fonction h est -17. f. a pour antécédent 15 par la fonction h. 4. Trigonométrie Calculer une longueur dans un triangle rectangle grâce au sinus, cosinus ou tangente d'un angle ABC est un triangle rectangle en A, AB = 5 cm et BCA = 5. Calculer la longueur BC. 5 C Dans le triangle rectangle ABC : sin BCA = AB CB sin 5 = 5 CB donc 5 CB= sin 5,7 cm B 5 cm A

4 MNP est un triangle rectangle en M tel que PN = 5,4 cm et MPN = 42. Calculer MP M Dans le triangle rectangle MNP : cos MPN = PM PN cos 42 = PM 5,4 donc PM =5,4 cos 42 4 cm P 42 5,4 cm N Calculer un angle dans un triangle rectangle grâce au sinus, cosinus ou tangente d'un angle RST est un triangle rectangle en S tel que RS = 4 cm et ST = 7 cm. Calculer la mesure de l'angle SRT. R Dans le triangle rectangle RST : tan SRT = ST RS tan SRT = 7 4 donc SRT 60 4 cm S 7 cm T 5. Calcul littéral et équations Développer une expression littérale en utilisant ou non les identités remarquables Développer les expressions suivantes en utilisant les identités remarquables quand c'est possible. A= x 2 A= 2 x 2 2 x A=x 2 6 x 9 B= 5 6 x 2 B=5 2 6 x x B=6 x 2 60 x 25 C= 5 x 5 x C= 2 5 x 2 C=64 25 x 2 D= 5 x 6 x 7 D= 6 x 7 5 x 6 x 5 x 7 D=1 x 21 0 x 2 5 x D= 0 x 2 17 x 21 E= 2 x 4 x E= 2 x 2 x x 4 4 x E= 16 x 2 x x E=2 x 2 20 x 2 F = x x 2 F = x x x x F = 9 x 2 6 x 1 6 x 2 24 x 4 F =9 x 2 6 x 1 6 x 2 24 x 4 F = 27 x 2 0 x Factoriser des expressions algébriques dans lesquelles le facteur est apparent Factoriser des expressions algébriques en utilisant une identité remarquable Factoriser les expressions algébriques suivantes : G= 2 x 4 x 5 x 2 x G= 2 x [ 4 x 5 x ] G= 2 x 4 x 5 x G= 2 x 7 x 1 H = 5 x 2 5 x 7 2 x H = 5 x 5 x 5 x 7 2 x H = 5 x [ 5 x 7 2 x ] H = 5 x x 1 I = x I = x I =[ x 4 7][ x 4 7] I = x 11 x on reconnaît l'identité remarquable : a 2 b 2 = a b a b

5 J = 2 x x 2 on reconnaît l'identité remarquable : a 2 b 2 = a b a b J =[ 2 x x ][ 2 x x ] J = 2 x x 2 x x J = x 7 7 x 5 Savoir mettre en équation un problème Le collège Picasso a acheté 25 exemplaires d'un livre. Pour le même montant, le collège Renoir achète le même livre 1,20 de moins, ce qui lui permet d'en acheter 5 de plus. Quel est le prix d'un livre acheté par le collège Picasso? Soit x le prix d'un livre acheté par le collège Picasso. Prix d'un livre acheté par le collège Renoir : x 1,2 x est solution de l'équation suivante : 25 x=0 x 1,2 25 x=0 x 6 5 x= 6 x= 6 5 donc x=7,2 Le collège Picasso a donc payé 7,20 pour chaque livre. Résoudre une équation produit et une équation du type x 2 =a Résoudre les équations suivantes : x 1 x =0 Si A B=0 alors A=0 ou B=0 x 1=0 ou x =0 x= 1 x= x= 1 5 x x 4 =0 Si A B=0 alors A=0 ou B=0 5 x=0 ou x 4=0 x= 5 x=4 x= 5 x=2 Les solutions sont x= 1 et x= Les solutions sont x= 5 et x=2 x 2 =5 L'équation a deux solutions : 5 et 5 x 2 = 6 L'équation n'a pas de solution. x 2 =2 x 2 =2 x 2 =6 L'équation a deux solutions : 6 et 6 x 2 14= 6 x 2 70 x 2 6 x 2 = x 2 =56 x 2 = 56 9 L'équation a deux solutions : 56 et 56 E=4 x x x 1 1. Factoriser 4 x 2 9. Utiliser alors ce résultat pour factoriser E. 4 x 2 9= 2 x 2 2 on reconnaît l'identité remarquable : a 2 b 2 = a b a b = 2 x 2 x E=4 x x x 1 E= 2 x 2 x 2 x x 1

6 E= 2 x [ 2 x x 1 ] E= 2 x x 4 2. Développer et réduire E. E=4 x x x 1 E=4 x x x 2 x 1 x 1 E=4 x x 2 2 x x E=4 x x 2 x E=6 x 2 x 12. Résoudre l'équation 2 x x 4 =0. 2 x x 4 =0 Si A B=0 alors A=0 ou B=0 2 x =0 ou x 4=0 2 x= x=4 x= 2 x= 4 L'équation a deux solutions : 2 et Géométrie dans l'espace Calculer le rayon du cercle intersection connaissant le rayon de la sphère et la distance du plan au centre de la sphère Calculer l aire d une sphère de rayon donné Calculer le volume d une boule de rayon donné On réalise la section d'une sphère de centre O et de rayon 6 cm par un plan passant par le point O' situé à 5 cm de O. 1. Calculer le rayon de la section O'M. Dans le triangle OO'M rectangle en O', d'après le théorème de Pythagore : OM 2 =OO' 2 O' M =5 2 O ' M 2 O ' M 2 =6 25 O ' M 2 =11 Donc O ' M= 11, cm 2. Calculer l'angle O 'OM au degré près. O' O M cos O ' OM = OO' OM cos O ' OM = 5 6 donc O ' OM 4. Calculer l'aire de cette sphère, puis son volume. Aire sphère =4 6 2 = 144 cm 2 Volume boule = 4 6 = 2 cm Connaître et utiliser le fait que, dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, l aire d une surface est multipliée par k 2 le volume d un solide est multiplié par k

7 On réalise la section d'un cône de révolution (C), de sommet S, de base le disque de centre O et de génératrice [SA], par un plan parallèle à la base passant par le point A' de la génératrice [SA]. SA = cm ; SO = 6 cm et SA' = 5 cm. 1. Calculer le volume du cône (C). Dans le triangle SOA rectangle en O : SA 2 =SO 2 OA 2 2 =6 2 OA 2 OA 2 = OA 2 =2 Donc OA= 2 5, cm Volume cône = OA2 SO = 2 6 = 56 cm 2 2. Soit (C') le cône de sommet S et de base le disque de rayon [O'A']. Calculer le coefficient de réduction faisant passer de (C) à (C'). Le coefficient de réduction est : SA' SA =5. Calculer la longueur O'A'. S O' O A' A O ' A' = OA 5 O ' A' = 5 2, cm. Calculer l'aire du disque de base de (C), puis le volume de (C). Aire base = 2 2 =2 cm 2 Volume=56 cm 4. Calculer de deux manières différentes l'aire du disque de base de (C'), puis le volume de (C'). Méthode 1 : en utilisant le coefficient de réduction Aire base 2 =2 5 2 = 175 4,4 cm 2 16 Volume petit cône =56 5 = cm Méthode 2 : en utilisant le rayon du petit cône (sa hauteur est de 6 5 =,75 cm) Aire base 2 =, 2 4,2 cm 2 Volume petit cône =,2,75 42, cm Les résultats ne sont pas tout-à-fait identiques en raison des valeurs approchées utilisées.