6 Solide en rotation autour d un axe de direction fixe

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1 6 oli n rottion utour un irtion fi Après voir éfini ls grnurs t ls téorès l éniqu u soli, il nous rst à ppliqur s téoris à s s prtiqus. L prir pl qu nous vons trité étit lui s prtiuls rgés où l on s rnit à l niqu u point. Dns l s l niqu u soli, trois s sont nvisgls pour l ouvnt u soli : - un ouvnt trnsltion, - un ouvnt rottion, - l oinison s u préénts. L tritnt u ouvnt trnsltion st siilir u tritnts niqu u point. Nous llons on ns pitr tritr ls ouvnts rottion n l sn ouvnt trnsltion. Pour évitr rntrr ns s tritnts tétiqus triils qui pportnt pu élénts suppléntirs à l oprénsion psiqu s ouvnts rottion, on s rstrinr à l étu solis nt un sétri spériqu ou linriqu. 6. ont inrti Lors ouvnt rottion, l réprtition s sss u soli pr rpport à l rottion st un rtéristiqu ssntill. l st néssir âtir un grnur intrinsèqu u soli qui prnn n opt tt réprtition ss. L prièr ié pourrit êtr éfinir un prt un grnur : ss istn à l. is l istn à l pprîtrit nouvu ns l prssion l vitss qu point slon l rltion v ω, lors u lul u ont inétiqu. n éfinit on l grnur intrinsèqu: ss istn à l istn à l soit : 6.. ont inrti pr rpport à un n prnnt H i l projté ortogonl sur l rottion qu point A i ffté un ss i. i l istriution ss st isrèt on l lul pr ( H A ) i l istriution ss st ontinu on l lul pr HA i i i i. v l ss voluiqu noté insi pour n ps l onfonr v l ron polir. H i A i prssions pr rpport u s u rpèr rtésin n ooronnés rtésinns : i st l : ( + ) i st l : ( + ) i st l : ( + ) n ooronnés linriqus : i st l : v soit : Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT - 5 -

2 6.. ont inrti pr rpport à un point Pour s risons filité lul, il put êtr intérssnt éfinir l ont inrti pr rpport à un point r n fft ns l s un sétri spériqu ls s,, t sont équivlnts t on : t on : ( + + ) ( + + ) ( + ) ( + ) ( + ) + + v t on pour ls solis à sétri spériqu: 6.. Bs prinipl inrti Lors u ouvnt rottion un soli, l rottion n orrspon ps forént u s sétri u soli. i l soli possè s s sétri l oi s s u rpèr s n éuit fin filitr ls luls. n fft : Tout sétri térill st prinipl inrti Tout prpniulir à un pln sétri térill st prinipl inrti n pourr on très souvnt êtr onfronté à éfinir s onts inrti pr rpport à un rottion qui n orrspon ps u s sétri u soli. Aussi toujours fin filitr ls luls, v-t-on proér insi : L soli possè-t-il s s sétri prttnt trouvr s s 'inrti? NN n oisi l rpèr l plus pté U n éfini ls s u rpèr n fontion s s sétri u soli L s oisi st s 'inrti n lul l tri 'inrti n lul irtnt ls onts prinipu 'inrti L s lulé st s 'inrti n igonlis l tri t on pri l s propr fin 'otnir ls onts prinipu 'inrti Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT - 5 -

3 Dns ours on v s liitr u solis à sétri linriqu t spériqu t on l s rtésinn sr un s prinipl inrti t on ur : - pour l sétri spériqu - pour l sétri linriqu Don on lulr or s onts inrti puis on n éuir l ont inrti pr rpport à notr qulonqu pr l rltion sipl : α + β où l st vtur irtur + α β δ δ 6..4 Téorè Hugns-tinr téorè prt lir l ont inrti pr rpport à un qulonqu v l ont inrti un prllèl pssnt pr l ntr inrti u soli. n fft on : H A i H HA v HA HA HH H A t on + ( HH + H A) HH + H A + HH H A HH + HH H A + HH HH H A H A HH H A HH H A + Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT

4 Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT pls luls onts inrti ont inrti un isqu plin L sétri st linriqu on prn on : L volu un isqu ron t épissur st V on : 4 4 ont inrti un ôn plin régulir L ôn st oogèn ron u sot t utur L ss u ôn st (f Ann4 5..) on lulons l ont inrti pr rpport à l : n v utilisr l résultt préént n onsiérnt l ôn o un pilnt isqus ron r : v r t r ( f Ann4 4..) n otint : r 4 r

5 ont inrti un spèr rus o pour l lul u ntr inrti on s rèn à s luls sur ls élénts surf. L sétri spériqu prt lulr l ont inrti pr rpport u point t n éuir l ont inrti pr rpport à l slon L élént surf st lors θ sinθ o on l vu n Ann4 4.. l surf un spèr vut 4 θ sinθ 4 4 t on 4 sinθθ 4 4 ont inrti un spèr plin L sétri spériqu prt lulr l ont inrti pr rpport u point t n éuir l ont inrti pr rpport à l slon r L élént volu st : r rθ rsinθ 4 o on l vu n f Ann4 4.. l volu un spèr vut r r rθ rsinθ 4 r r sinθθ 4 5 osθ / / / 4/ / t on [ ] 4 Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT

6 6. s un soli à sétri linriqu ou spériqu Dns l s u soli à sétri linriqu ou spériqu ls s u rpèr orrsponnt v ls s prinipu inrti. Ls rltions fonntls i-ssous onsrvnt tout lur générlité, is pour ls ppliqur ns l s générl tlls vont êtr présntés ii, il sr néssir rourir à s luls triils prouits inrti pour s plr ns l s prinipl inrti. 6.. ont inétiqu - ont inrti oit l rottion linr utour l noé L prssion u ont inétiqu : Put s érir snt qu : L v l t qu pour tout point situé à un istn l rottion on : L prouit vtoril onn : v v / l / où l prssion u ont inétiqu : ( ) ( L ) où on put ontrr qu l son tr st nul t on l projtion sur l rottion u ont inétiqu s érit : L L l L 6.. Téorè u ont inétiqu pr rpport à l rottion L projtion u ont inétiqu t u ont s fors pr rpport à l rottion prt érir : L t Ft Ft Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT

7 6.. prssion l énrgi inétiqu un soli n rottion utour un fi n sit qu : ξ v Dns l s un soli n rottion nt un point fi l prssion l énrgi s siplifi. n vu n.. qu l prssion l vitss st ns s : v ω qui prt érir : ξ ( ) v v v w ξ ξ ( v) w ξ ( v) w L w Dns l s l rottion utour l irtion fi pssnt pr l point on : L L w t qui prt érir : ξ 6.. Anlogi v l ouvnt trnsltion n put fir pprîtr l nlogi grâ u tlu suivnt : Grnur Trnsltion slon l ottion utour l nrgi inétiqu ξ v ξ Téorè fonntl Ft Ft Torsur inétiqu p L i nous prt iu nous rnr opt l iportn onts inrti ns l oprénsion psiqu s ouvnts rottion. Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT

8 TAVAUX DG U LA DYNAQU DU LD tu un stllit géosttionnir ri : tu un pnnu solir n souit rélisr l ssrvissnt position un nsl pnnu solir ont l isposition st l suivnt : L spnt ntr qu pnnu solir st. qu pnnu pour insion l5 t L t un ss. lulr ls onts inrti pr rpport u s oriontu t vrtiu un pnnu solir. n utilisnt l téorè Hugns-tinr n éuir l ont inrti l nsl slon l t l. L vitss rottion u pnnu vut ω ω + ω v ω 4, r s t ω 6 r s. prir puis lulr ls ont inétiqus slon ls s t l nsl s pnnu. 4 lulr l oupl otur néssir à l is n rottion l nsl n 4. Ls frottnts sont négligés. ri : tu u stllit L stllit ss t st ssiill à un spèr plin iètr. L l prir puis lulr l ont inrti l spèr plin. lulr l énrgi inétiqu stllit géosttionnir ltitu r4 k qui tourn sur lui-ê n un inut. r ri : tu un pi root L pi un root st onstitué un i-oul rtiulé. β G α figur figur Détrinr l position u ntr inrti l i-oul ron r Déuir très siplnt l prti, l ont inrti un i-oul slon l L i oul st n équilir sur l pln inliné. Fir un iln s fors. 4 prir ls onitions équilir. 5 n éuir l rltion lint α t β. 6 n éuir l pnt il issil. Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT

9 ri orrigé n 4 : L pnul torsion L pnul st souis à un oupl torsion ont rppl où st l onstnt torsion. - n ppliqunt l téorè u ont inétiqu, onnr l éqution ifférntill u ouvnt. - n éuir l pulstion u ouvnt osilltoir ri orrigé n 5 : L pnul psnt P - Donnr l prssion u ont u pois. - Donnr l prssion u ont inrti isqu ss tournnt utour un istnt un istn u ntr ss. - n éuir l éqution ifférntill u ouvnt : 4 - Dns l s fils osilltions, on put pproir sin pr. iplifir l éqution ifférntill t n éuir l pério s osilltions. ri orrigé n 6 : L pnul sipl ) prir l ont inrti un spèr plin ss t ron r, utour un qulonqu pssnt pr l ntr l spèr. ) n utilisnt l téorè Hugns-tinr onnr l prssion u ont inrti l spèr suspnu à un tig ss négligl t longuur. ) Fir un iln s fors s ppliqunt à l spèr à l équilir. 4 ) prir l énrgi potntill psntur pour un ngl qulonqu (on prnr l énrgi potntill null pour ). 6 ) n ppliqunt l téorè l énrgi éniqu ontrr qu l on l éqution ifférntill : g + ( os) ξ + r 5 Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT - 6 -

10 TN : ri orrigé n 4 : L pnul torsion L pplition u téorè u ont inétiqu u pnul souis à un oupl torsion ont rppl où st l onstnt torsion onn l éqution ifférntill: + truisnt un ouvnt osilltoir pulstion ω ri orrigé n 5 : L pnul psnt P L pplition u téorè u ont inétiqu à isqu ss tournnt utour un istnt un istn u ntr ss onn v l ont u pois g sin l éqution ifférntill : + g sin qui ns l r s fils osilltions put s pproir pr : + g truisnt un ouvnt osilltoir pulstion v + g ω t pério T ω g Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT - 6 -

11 ri orrigé n 6 : L pnul sipl L pnul onstitué un spèr ron r t ss suspnu à un tig ss négligl vnt l spèr. n : + r 5 T L énrgi potntill psntur st pris égl à pour, on on v ξ p g( os ) P os l prssion : L énrgi inétiqu vut : ξ L téorè l énrgi éniqu onn : ξ soit ξ st t on l éqution ifférntill : + r + g( os) 5 g + ( os) + r 5 g st un éqution v ω u tp : + ω ( os) qui n érivnt onn un éqution u r + 5 tp : + ω sin o l s préént u pnul psnt. tuions un pu plus n étil l ouvnt u pnul à l i u portrit ps qui st l rprésnttion n siss u gré lirté (ii ) t s érivé n oronné (ii ). D près l éqution ifférntill i-ssus on ± g + r 5 ( os ) nrgi éniqu supériur à g Point 'équilir stl Point 'équilir instl Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT - 6 -

12 Anns Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT - 6 -

13 Ann. Ls intégrls. Définitions Priitiv oit f un fontion réll ou opl éfini ns un intrvll. n ppll priitiv f tout fontion réll ou opl éfini ns tll qu F f ntégrl oint (,,,., n ) un suivision [,] tll qu l fontion f it un vlur onstnt i ns qu intrvll ] i, i+ [, on ppll intégrl f l nor rél : ( - )+ ( - )+..+ n ( n - n- ) nor s not : [ F( ) ] f ( ) F ( ) F ( ). Propriétés ntégrls équivlnts : f ( ) f ( u) u f ( t ) t ultiplition pr un onstnt : λ f ( ) λ f ( ) ntégrl un so : ( ( ) + g( ) ) f ( ) + Vlur solu un intégrl : f g( ) f ( ) f ( ) ntrvlls ontigus : f ( ) f ( ) + f ( ) pposé l intégrl : Vlur onn : f ( ) f ( ) f ( ). étos intégrtion n notnt u u u t u ls érivés sipls t ouls pr rpport u tps t. t t ntégrtion pr prtis : u v t u v ngnt vril (t) u v t : f ) f ( ( t) ) β ( ( t ) t v (α) t (β) α Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT

14 For ifférntill : Ann Ls ifférntills δ W A l + Différntill t : i A, A t A sont ls érivés un ê fontion A tlls qu : A A A + Al A l A, A t A lors st un ifférntill t : W A l + Al + A l l l l L istintion ntr ifférntill t for ifférntill st iportnt r on n put lulr l vlur W ntr u points t qu v un ifférntill : W Dns l s un for ifférntill, lul n st ps irtnt possil, W épn u in suivi ntr ls u points t. W Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT

15 . olutions tps + t solution k t solution + k t solutions Ann qutions ifférntills A kt t + B A kt ikt + B ikt ou A oskt + Bsin kt Aos( kt ) + p + q n posnt + pr + q t t rt rt > : A + B r α + jβ r α jβ < : αt r t r solutions : ( At + B ) ( Aos βt + B sin βt ). éto résolution Dns l s un éqution ifférntill inoogèn (v un son r) on proè n u tps : n prn un solution u tp u son r v s onstnts à étrinr t on rpl ns l éqution ifférntill inoogèn pour otnir l vlur s onstnts. n r l solution l éqution oogèn. Puis on itionn ls u solutions. pl : oit à résour soit n rplçnt K t on + K solution t où l solution générl : A A Kt Kt + K t + K où st un onstnt K Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT

16 Ann 4 luls surfs t volus 4. Forulir 4.. offiints ooronnés rtésinns ooronnés linriqus ooronnés spériqus r θ ooronnés rtésinns ooronnés linriqus ooronnés spériqus r θ ooronnés rtésinns ooronnés linriqus ooronnés spériqus r r.sinθ Déplnt éléntir lul surfs r. r.θ r r.sinθ. θ rtésinns linriqus périqus rtésinn... linriqu... périqu r.θ.r.sinθ. r.r.sinθ. r.θ.r générl lul volus o pour l lul surf il st néssir pour lul prir l élént volu qui prt trouvr ls orns intégrtion ls plus sipls. V Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT

17 4. pls luls surfs 4.. urf un rl Ls rpèrs linr ou spériqu puvnt êtr utilisés ns s. i l on oisi l nottion linriqu on un surf ns l pln,, ), t on un élént surf v vrint à t à : ( 4.. urf un spèr L rpèr spériqu oit êtr utilisé ns s. L ron l spèr st onstnt t égl à. qu élént surf st ns l pln éfini pr (, θ, ) t vut : rθ r sinθ l st iportnt notr qu l surf oplèt l spèr orrspon à: θ vrint à t vrint à sinθ θ [ osθ ] ( + ) 4 r θ r θ Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT

18 4. pls luls volus 4.. Volu un linr L rpèr linriqu s ipos nturllnt. Pour un linr ron t utur on un élént volu t un volu 4.. Volu un spèr L rpèr spériqu s ipos nturllnt. L ron l spèr st onstnt t égl à. L élént volu st t un volu r rθ r sinθ r r sinθθ Volu un ôn L rpèr linriqu s ipos. Pour un ôn régulir ron u sot t utur. n pri l élént volu pr r o étnt un suprposition isqus utur r infinitésil. n rrqunt qu r st fontion, on l pri grâ à l rltion Tls t insi t un volu r Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT

19 Ann 5 luls ntrs inrti 5. Définition u ntr inrti L ntr inrti (ou ntr ss) st l rntr s points u sstè ponéré pr lur ss. l st néssir l onnîtr pour lolisr l point pplition u pois un orps t pour ls ouvnts trnsltion. i l istriution ss st isrèt on l lul pr A i i v l ss totl u sstè. i i l istriution ss st ontinu on l lul pr A v l ss voluiqu. n put ussi érir t on A 5. Propriétés u ntr inrti Assoitivité : Du sstès ntrs t sss rsptifs,,, ont pour ntr ss : ( ) + + étri térill : i un sstè possè un élént sétri térill qui vérifi pour tout point A : ( s( )) ( A) A Alors l élént sétri ontint l ntr ss. 5. luls ntrs inrti 5.. ntr inrti un ôn plin régulir L ôn st oogèn ron u sot t utur L volu u ôn st (f.4.4..) t on s ss L sétri térill iniqu qu l ntr inrti pprtint à l. l suffit on lulr l ooronné u ntr inrti slon : v (f.4.4..) n otint : Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT - 7 -

20 5.. ntr inrti un i spèr plin L volu un i spèr st (f.4.4..) t on s ss L sétri térill iniqu qu l ntr inrti pprtint à l. l suffit on lulr l ooronné u ntr inrti slon : v r rθ r sinθ (f.4.4..) t r osθ 4 sinθ osθ θ r r 8 sin θ ntr inrti un i spèr rus L sétri térill iniqu qu l ntr inrti pprtint à l. l suffit on lulr l ooronné Pour l i spèr rus l ron st onstnt t égl à, on put fir l lul sur s élénts surf, t éfinir un nsité ssiqu surf : v L élént surf st lors θ sinθ t on osθ : 5..4 ntr inrti un isqu pré sin θ sinθ osθθ [ osθ ] sinθθ Un isqu ron st pré à l siss un trou irulir ron L st sétri on lul on uniqunt l siss u ntr ss. L ss u isqu non pré vut : L ss évié vut : L ss u isqu pré vut : ( ) L siss s lul n utilisnt l propriété ssoitivité rpplé n.4.5. n notr qu l siss u rl non pré st null t qu l ss évié st onsiéré o négtiv ns l lul. ( ) Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT - 7 -

21 Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT ntr inrti un soli sipl Un soli st oposé u prllélépipès rtngls otés, t pour l prir t, t pour l son. Ls ooronnés rsptivs s u ntrs inrti s u solis sont : t Ls sss rsptivs : t t l ss totl 5 où ls ooronnés u ntr inrti :

22 Ann.6 Ls vturs Vtur lir : Vtur éfini uniqunt pr s irtion son sns t s vlur, son point pplition pouvnt êtr qulonqu ns l sp. Vtur glissnt : Vtur éfini uniqunt pr s roit tion son sns t s vlur, son point pplition pouvnt êtr qulonqu sur l roit tion. Vtur lié : Vtur éfini pr s roit tion son sns, s vlur t son point pplition. ont n un point un vtur lié : L ont n un vtur V point pplition A vut : A V Torsur : st l nsl onstitué u ont t son vtur [ V, ]. ont pr rpport à un un vtur lié : L ont unitir un vtur V point pplition A vut : ( A V ) pr rpport à l pssnt pr vtur o géoétriqu vturs : L so géoétriqu vturs lirs, glissnt ou lié st un vtur lir. ésultnt vturs : st un s prtiulir so géoétriqu vturs glissnt ou lié. ll n ist qu si ls vturs sont onournts u ê point ou prllèls t ê sns. i ls vturs sont liés, l résultnt st un vtur lié, insi pr pl l résultnt s vturs pois éléntirs st un vtur pois ont l point pplition st l ntr grvité u soli onsiéré. Prouit slir : st l nor rél u v os( u, v) qui st un grnur intrinsèqu (inépnnt l s lul). oint ls vturs u t v on u v + + Prouit vtoril : st un vtur lir w ont l sns st tl qu il for un trièr ( u v, w), positif, ont l irtion st prpniulir u pln foré pr ls vtursu, v, t nor u v u v sin( u, v). L sns u vtur épn l orinttion l sp oisi t éfini pr l règl l in roit. n ussi v u t v : u v w Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT - 7 -

23 Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT Ann 7 Ls opérturs ls prttnt prir lolnt s rltions intégrls. 7. L grint t opértur vtoril git sur un slir. l st l vtur norl à l surf nivu (surf où V st onstnt) irigé ns l sns s V roissnts. r r V V gr n utilisnt ls nottions vus n A.4.4. : V V V V gr + + oit pr pl n ooronnés spériqus : θ θ V r V r r V sin 7. L ivrgn t opértur slir git sur un vtur. tt vlur orrspon u flu φ u vtur sortnt un unité volu à trvrs un surf fré. φ iv li n utilisnt ls nottions vus n A.4.4. : ( ) ( ) ( ) + + iv oit pr pl n ooronnés rtésinns : ( ) iv L rottionnl t opértur vtoril git sur un vtur. vtur st prllèl à l norl u pln pour lqul l irultion éléntir st il. n rot n utilisnt ls nottions vus n A.4.4. : rot où st l nottion un étrinnt.

24 oit pr pl n ooronnés rtésinns : rot 7.4 ltions ntr opérturs rot iv gr V rot 7.5 ltions intégrls oint un volu liité pr un surf t un surf liité pr un our fré. Forul toks : irultion sur l our fré r Forul strogrsk : Flu à trvrs un surf fré Forul u rottionnl : n rot Forul u grint : Forul Klvin : V n V r grv grv n rot n n iv Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT

25 ATNN Déplnt éléntir : + Volu éléntir : V rt v / rt / + rt Forulir P YLNDQU Déplnt éléntir : + Volu éléntir : V l v / l / + + l. r P '. PHQU Déplnt éléntir : r r + rθ + rsin θ Volu éléntir : V r rθ r sinθ r r v rθ / r sinθ spr θ spr r rθ r sin θ r θ + rθ r / sinθ osθ r r r sinθ + θ osθ + sinθ NT D NT : A NT D NT : HA t pour ls solis à sétri spériqu: + TH FNDANTAL : [ P] [ ] t NG : p t F /, t Ft ξ p δw ξ ( p v + L ω ) spr L t Ft ξ ξ / ξ / r.θ θ + v r r r.sinθ / θ r r.sinθ. θ r r r.θ θ r.sinθ. r.θ r.sinθ. r θ Univrsité Liogs..U.T. u liousin. it G... Briv Frnçois BNT

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