Fondements mathématiques des probabilités Théorie de la mesure Correction des exercices

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1 Fondemens mahémaiques des probabiliés héorie de la mesure Correcion des exercices N. Baradel 7 février 16 1 D Exercice 1 : Payoffs e sraégies Dessins au ableau. 1. Exercice : Prix de call e de pu Sous AOA, pour deux processus X e Y, nous avons avec les inégaliés prises au sens p.s. X Y =, X Y résula que nous uiliserons ou au long de l exercice. Quesion 1 Premièremen, on a C = S K + S p.s., par absence d opporunié d arbirage, il vien C S. Ensuie, C p.s. e S KB S K + = C d où C e S KB C ce qui donne Finalemen S KB + C. S KB + C S. 1

2 Quesion On effecue un raisonnemen analogue. Premièremen, on a P = K S + KB p.s., par absence d opporunié d arbirage, il vien P KB. Ensuie, P p.s. e KB S K S + = P d où P e KB S P ce qui donne Finalemen KB S + P. KB S + P KB. Quesion 3 Soien C K 1 un call de maurié de srike K 1 e C K un call de maurié e de srike K avec K 1 K. Puisque C K 1 = S K 1 + S K + = C K p.s., par absence d opporunié d arbirage, C K 1 = S K 1 + S K + = C K. On a donc K 1 K = C K 1 C K Soien mainenan C 1 un call de maurié 1 de srike K e C un call de maurié e de srike K avec 1. À la Quesion 1, pluô que de se concenrer sur la dae, on aurai pu en déduire qu à oue dae inférieure à la maurié, S KB + C p.s. ; or S K + S KB + p.s. d où S K + C : le prix du call es oujours supérieur à sa valeur inrinsèque. En pariculier, en = 1 avec le call C, on a C 1 = S 1 K + C 1 d arbirage, C C. On a donc = C C p.s., par absence d opporunié Quesion 4 De même, on monre que le prix du pu es décroissan avec le srike. Par conre, pour le sens de variaion face à la maurié, on ne peu pas uiliser la borne inférieur comme avec le call, le sens n es plus le bon. En fai, le prix du pu n es pas monoone avec la maurié. 1.3 Exercice 3 : Arbre binomial à une période Quesion 1 Ω = {ω d, ω u }, F = {, {ω d }, {ω u }, {ω d, ω u }}, P = 1 pδ ωd + pδ ωu, p =, 75.

3 Quesion La probabilié risque-neure es la mesure de probabilié Q équivalene à P qui rend les acifs réacualisés maringales. Une elle probabilié doi donc vérifier en = : S = E Q S F p.s. 1 + r où r =, 5 es le aux de l acif sans risque donné par l énoncé. Puisqu il n y a que deux éas de la naure, la probabilié Q s écri nécessairemen Q = 1 qδ ωd + qδ ωu. La précédene égalié se réécri, en = S = r 1 qs 1ω d + qs 1 ω u, q = S 1 + r S 1 ω d S 1 ω u S 1 ω d. Remarque : pour êre une probabilié, q doi êre compris enre e 1. Cela implique que Ce qui se réécri encore S 1 ω d S 1 + r S 1 ω u S 1 ω d 1 r S 1ω u 1 S S Puisqu on exige que Q P, e que chacun des deux éas de la naure a un poids posiif sous P, il en es de même pour Q. Les inégaliés ci-dessus son alors srices. Applicaion numérique : q = = 1. Quesion 3 La probabilié risque-neure es celle qui rend ous les acifs maringales. Le prix du call s écri comme une espérance condiionnelle : C = E Q C1 F 1 + r Pour le pu, on a P = E Q P1 F 1 + r Applicaion numérique : C = P = = 1 1 qs1 ω d K + + qs 1 ω u K r = 1 1 qk S1 ω d + + qk S 1 ω u r , ,

4 Quesion 4 La relaion de parié call-pu es : C + KB = P + S. En =, on a C + K 1+r 14, 76 e P + S 14, Exercice 4 : Conra forward sur devise Quesion 1 1 : L invesissemen de B f dollar en rappore B f = 1 dollar en. L emprun de F B d euros en coûe F B d euros en. Le porefeuille vau donc en : S B f F B d = S F. : En, je reçois 1 dollar conre F euros. Ce dollar, je l échange conre S euros. En somme, on récupère S F En, par absence d opporunié d arbirage, S B f F B d =, i.e. F = S B f B d Quesion En, je reçois 1 dollar conre F euros e je donne un dollar conre F euros. Au final, je reçois F F euros, monan non aléaoire. On en dédui donc qu en, le conra vau Puis, en foncion de S e S, F F B d S B f B d B f S B d B d = S B f B f S B d B d 1.5 Exercice 5 : Opion Américaine Quesion 1 Une opion européenne ne peu êre exercée qu à maurié. L opion américaine peu êre exercée à maurié ou avan. Puisque l ensemble des choix possibles de l opion américaine es plus grand que celui de l opion européenne, son prix es plus élevé, par absence d opporunié d arbirage. Si à une dae [, ], C e > C a, on achèe le call américain e on vend le call européen : on encaisse C e C a >. Puis on aend la dae erminale sans exercer e, puisque C e = Ca = S K +, le flux es nul en dae. Quesion Nous avons C e p.s., de plus PS > K > ce qui assure que PC e > >. Si Ce = il y a alors arbirage, on a C e > p.s.. De plus, S KB S K + = C e p.s. e PS > K < implique que PC e > S K >. Si C e = S KB il y a alors arbirage, on a S KB < C e. Combinan les deux inégaliés, on en dédui 4

5 C e > max, S KB. Quesion 3 On a C a C e > S KB + S K +. On en dédui qu il n es jamais inéressan d exercer un call américain avan sa maurié. Il es préférable de le revendre si nous souhaions nous en séparer. Ainsi, l exercice opimal du call américain es la maurié. Quesion 4 Supposons que nous vendions un call américain e acheions un call européen ; si la personne en face de nous exerce, nous lui devons la valeur inrinsèque e revendons le call européen don la valeur es plus élevée. S il ne l exerce pas avan maurié, le résula es nul. Ainsi, si le prix du call américain es supérieur au prix du call européen, il y a un arbirage. On a C a = C e p.s Exercice 6 : Duplicaion Quesion 1 Le prix se décompose en : γ = K 1 B + CK 1, CK,. Quesion Le prix se décompose comme sui : CO = max C K,, P K, = max C K,, C K, + Ke r S = C K, + Ke r S + = C K, + P Ke r, D où, par absence d opporunié d arbirage, en oue dae, CO = C K, + P Ke r, 5

6 D.1 Exercice 1 : Duplicaion d un produi dérivé en modèle binomial à n périodes Voir cours.. Exercice : Convergence du modèle Binomial vers le modèle de Black Scholes Quesion Nous avons Puisque a R, R n = 1 + a n n n + ea 1 + r n n n + er Quesion 3 Nous avons vu que, dans le modèle binomial, pour que le marché vérifie l absence d opporunié d arbirage, il fau que e il suffi que n, d n < 1 + r n < u n Ce qui es éviden compe enu de la définiion de d n, r n e u n. Quesion 4 il vien Nous avons, par définiion, S n n i = S n n i 1 Xn i. Par récurrence immédiae, S n n i = S i k=1 X n k Quesion 5 On pose q n = Q n Xi+1 n = u n F i. S n E Qn n i r n F i = S n n i E Qn X n i+1 F i = 1 + rn 1 = r n 1 q n d n + q n u n q n = 1 + r n d n u n d n. 6

7 Quesion 6 Limie de q n q n = 1 + r n d n 1 + r = 1 + r n n e σ /n u n d n 1 + r n e σ /n 1 + r n e σ /n 1 e σ /n 1 1 σ + o 1 = e σ /n e σ = n n /n 1 + σ + o 1 n n 1 σ + o n σ + o 1 n n = = 1 + o1 σ + o 1 + o1 n n 1 n d où Limie de ne Q n logx n 1 q n n + 1 ne Q n logx1 n = nq n [σ n + log 1 + r n = n q n 1 σ n + n log ] [ + n 1 q n σ n + log 1 + r n Commençons par la deuxième parie n log 1 + r [ ] r 1 = n n n + o = r + o1 n r n r n Pour la première parie, reprenons le développemen de q n mais poussons à l ordre le numéraeur : n q n 1 σ n = σ σ + o 1 n n n 1 σ n σ + o 1 n n 1 σ + o 1 n n = 1 σ n 1 + o 1 ] d où, = σ + o1 1 + o 1 n + σ 7

8 ne Q n logx n 1 n + r σ Pour la limie de ne Q n logx n 1, remarquons que puisque ne Q n logx n 1 a une limie finie, E Q n logx n 1 end vers. E donc ne Q n logx1 n = ne Q n logx1 n E Q n logx1 n σ = La limie de nv ar Q n logx1 n es donc celle de ne Q n logx n 1 Nous avons nv ar Q n logx1 n = nq n [σ n + log [ = nq n + n 1 q n 1 + r n σ n + σ n log 1 + r n = σ + n q n 1 σ [σ n n σ log 1 + r n ] [ + n 1 q n σ n + log + log 1 + r ] n n log 1 + r n + log 1 + r n + n log 1 + r n ] 1 + r n Pour le dernier élémen, comme n log 1 + r n a une limie finie, comme ou à l heure, n log 1 + r n end vers. L élémen cenral es le double du calcul inermédiaire que nous avons eu pour le calcul de l espérance e muliplié par log 1 + r n qui end vers. Nous avions comme limie pour le calcul inermédiare σ, c es à dire une limie finie, de même, la parie cenrale end vers. Finalemen ] nv ar Q n logx n 1 n + σ Quesion 7 E Q n Nous avons exp i n logxk n = E Q n [exp i logx1 n ] n k=1 8

9 [ E Q n [exp i logx1 n ] = q n e i σ n +log1+ r n ] [ + 1 q n e i σ n +log1+ r n ] = e i log1+ r n [ q n e iσ n + 1 qn e iσ ] n = e i log1+ r n [q n 1 + iσ n σ n + o [ = e i log1+ r n 1 + q n 1iσ n σ n En reprenan le calcul de l espérance de la quesion précédene, on a q n 1iσ n = σ = σ i + o 1 n n 1 + o 1 n i + o 1 n = σ n i + o q n 1...] n + o ] 1 n o 1 n En combinan e en reprenan l expression de la foncion caracérisique, nous avons E Q n [exp i logx1 n ] n = e in log1+ r n [1 σ n i σ n Nous en déduisons la limie E Q n [exp i logx n 1 ] n n + eir e σ i σ = e i + o ] n 1 n r σ σ Nous reconnaissons la foncion caracérisque d une loi N r σ héorème de Levy perme de conclure. Quesion 8 Nous avons Nous avons monré que n S n = S exp log Xk n n log Xk n k=1 L n + k=1 D où le résula de convergence par coninuié. r σ + σw, σ. Le 9

10 .3 Exercice 3 : Opion lookback en modèle binomial à deux périodes Quesion Ω = {ω dd, ω du, ω ud, ω uu }, F = {, Ω}, F 1 = {, {ω dd, ω du }, {ω ud, ω uu }, Ω}, F = PΩ. Quesion 3 Dans le modèle binomial à deux périodes, la probabilié risque-neure es définie par q = 1 + r d = u d 3 La probabilié risque-neure du modèle es alors Q = 1 q δω d,d + q1 qδω d,u + q1 qδω u,d + q δω u,u Quesion 4 On applique une récurrence en arrière. L absence d opporunié d arbirage doi êre respecée à chaque nœud de l arbre. On a, pour ou s, {, 1, } avec s C s = E Q C 1 + r F s s En = 1, dans le nœud supérieur de l arbre, on obien C 1 {ω ud, ω uu } = 1 1 qs du K + + qs uu K + = r 63 e dans le nœud inférieur C 1 {ω dd, ω du } = 1 1 qs du K + + qs uu K + = 1 + r Puis on en dédui C 1, 16 C = E Q C1 1 + r F = r qc 1{ω ud, ω uu } + 1 qc 1 {ω dd, ω du } 6, 45. Quesion 5 On es ené de faire comme précédemmen. Cependan, ici, la valeur de l opion dépend de oue la rajecoire, on ne peu pas uiliser le fai que les nœds se rejoignen. L arbre n es pas recombinan. Vu qu on a écri expliciemen la probabilié Q sur ou Ω, il suffi de calculer direcemen C. On a 1

11 C = r EQ sups s K + F s 1 = 1 + r 1 q sups, S d, S d K + + q1 qsups, S d, S du K + + q1 qsups, S u, S du K + + q sups, S u, S uu K + = 1 1, , 95 1, , , , 39.4 Exercice 4 : ransformée de Maringale Quesion 1 e que Le processus M es une F-maringale si M es F-adapé, inégrable n N, E M n+1 F n = M n p.s. E M n+1 M n F n = Puisque H e S son adapés e que F j 1 F j, on a H j 1 S j S j 1 F j. Soi i N. Pour ou j i, F j F i. On a donc M i F i e M es F-adapé. M es un processus inégrable puisque, pour ou i, il es la somme de i produis de deux variables aléaoires, la première H j 1 es bornée e la seconde, S j S j 1 es inégrable. Il rese à monrer la relaion de maringale. Soi i N. On a E M i+1 M i F i = EH i S i+1 S i F i = H i ES i+1 S i F i = p.s. Nous avons uilisé successivemen H es F-adapé donc H i es F i -mesurable e S es une maringale donc ES i+1 S i F i = p.s. Quesion.5 Exercice 5 : Maringales de carré inégrable Quesion 1 Il suffi de développer le membre de droie e d appliquer la propriéé de maringale. E M M s F s = E M M s M + M F s = EM F s M s EM F s + M s = EM F s M s + M s = EM F s M s = EM M s F s. 11

12 Quesion M es inégrable e F-adapée puisque M es de carré inégrable e F-adapée. De plus, en uilisan la Quesion 1, nous avons immédiaemen EM M s F s C es à dire que M es une sous-maringale. Nous aurions pu rerouver ce résula en uilisan l inégalié de Jensen condiionnelle à la foncion convexe x x..6 Exercice 6 : Limie L de variables aléaoires Gaussiennes La variable aléaoire X n de loi N µ n, σn adme la foncion caracérisique φ Xn : expiµ n σn/. Nous avons : R, φ Xn = exp iµ n σn iµ exp σ n + D où, par la caracérisaion de Lévy, il exise une variable aléaoire X elle que De plus X n L n + X EX n = µ n µ = EX n + V X n = σn n + σ = V X Ce qui, addiionné à la convergence en loi, équivau à la convergence dans L. 1

13 3 D Exercice 1 : Maringales Quesion 1 Rappelons la définiion du mouvemen brownien. Définiion 1 Mouvemen Brownien. B es un mouvemen brownien associé à la filraion F si B = s <, B B s F s s <, B B s N, s B es coninu p.s. Le processus B es F adapé e, pour ou, éan de loi normale, il es inégrable. De plus, pour ou s < EB F s = EB s + B B s F s = B s + EB B s F s = B s + EB B s = B s p.s. d où B es une maringale. Puisque, B es normal e qu une variable aléaoire normale adme ous les momens exponeniels, il n y aura pas de problème pour l inégrabilié des deux processus suivans. De même, les deux suivans éan des foncions mesurables du mouvemen brownien, ils son ous les deux adapés. Il rese à vérifier la propriéé de maringale. Pour le premier E le dernier EB F s = EB s + B B s F s = EB s + B s B B s + B B s F s = B s + B s EB B s F s + EB B s F s = B s + B s EB B s + EB B s = B s + s = B s s p.s. Ee σb σ Fs = e σ Ee σb s e σb Bs F s = e σbs σ Ee σb B s = e σbs σ σ e s = e σbs σ s p.s. 3. Exercice : Caracérisaion du mouvemen brownien Si B es un mouvemen brownien, on monre de manière analogue au roisième processus de l Exercice 1 que M λ es une maringale. Monrons la réciproque. Nous avons par hypohèse, pour ou s <, Ee iλb λ Fs = e iλbs λ s 13

14 On en dédui Ee iλb Bs F s = e λ s Puis en appliquan l opéraeur espérance, Ee iλb Bs = e λ s En uilisan la caracérisaion de Lévy e en reconnaissan la foncion caracérisique d une loi normale cenrée de variance s, on en dédui B B s N, s Pour l indépendance, muliplions par e iλbx, x s Ee iλbx+b Bs F s = e iλbx e λ s Puis en appliquan l opéraeur espérance Ee iλbx+b Bs F s = e λ x e λ s Vu que la foncion caracérisique de la somme es le produi des foncions caracérisques, les deux variables aléaoires son indépendanes. Puisque B x x s engendre F s, on a B B s F s Enfin, la coninuié es auomaique puisqu elle es supposée. 3.3 Exercice 3 : Mouvemens Browniens Uilisons une caracérisaion du mouvemen brownien. Un processus es un mouvemen brownien si c es un processus gaussien cenré, c es un processus coninu, sa foncion de covariance es s, mins,. Quesion 1 1 a B a, 1 a B a 1 1 a B a,..., 1 a B a n 1 a B a n 1 = 1 Ba a, B a 1 B a,..., B a n B a n 1 ransformaion linéaire d accroissemen d un mouvemen brownien, le veceur es gaussien. Le processus es la composée, à une consane près, d un mouvemen brownien coninu e de la foncion coninue x a x, il es donc coninu. Le processus es cenré, E 1 B a a = 1 EB a a =. 14

15 Enfin, sa foncion de covariance s écri 1 E a B 1 a a B a s = 1 a EB a B a s = 1 a mina, a s = min, s. Quesion De même, on regarde le veceur des accroissemens, les B se simplifien, B1 + B,..., B n+ B n 1+. Il s agi d accroissemen du mouvemen brownien mais pris à parir de, le veceur es donc gaussien. La coninuié es clair puisque le mouvemen brownien es coninu. Enfin, sa foncion de covariance es E B + B B s+ B = EB + B s+ EB + B EB s+ B + EB = mins +, + + = mins, Quesion 3 De même, on regarde le veceur des accroissemens, e il s agi bien d un veceur gaussien. La coninuié sur R + es claire. Pour la coninuié en, posons u = 1/ e regardons quand + i.e. quand u +. Nous reconnaissons un résula du cours sur le mouvemen brownien. B u u Ce qui assure la coninuié en. Enfin, sa foncion de covariance es n + E B 1/ sb 1/s = s min1/, 1/s = mins/, s/s = mins,. 3.4 Exercice 4 : Inégrale de Wiener Quesion 1 Voir D Exercice 6 c es la même chose en vecoriel. Quesion Par définiion, X k X k 1 = lim L sur [ k 1, k ],pas n i=1 f i 1W i W i 1 Puis on prend le veceur des X k X k 1. Comme f n es pas aléaoire, chaque élémen du veceur es la limie d une suie qui es à chaque fois une combinaison linéaire de lois normales indépendanes, i.e. gaussienne. E chaque composane du veceur es indépendane. Ainsi, par la quesion 1, la limie es encore gaussienne. 15

16 Le processus X es gaussien : il suffi d écrire X 1, X X 1,..., X n X n 1 qui es un veceur gaussien, par indépendance des accroissemens. Il es caracérisé par sa foncion de covariance e sa foncion de moyenne ; le processus es clairemen cenré, calculons l espérance du produi. Remarquons que, pour u <, avec X = fsdw s, X X u = X u + X X u X u = X u + X X u X u En discréisan l espérance de la seconde parie, on obien immédiaemen car les accroissemens des browniens sur [, u] son indépendans de ceux sur [u, ]. Il ne rese que la première parie. n n E f i 1 W i W i 1 = E i=1 i=1 n f i 1 f j 1 W i W i 1 W j W j 1 j=1 n = E f i 1 W i W i 1 = n i=1 i=1 f i 1 i i 1 n + u f d Pour la version avec g, il suffi de faire la même preuve en calculan EX u Y avec Y = gsdw s. Quesion 3 Prenons X s e X X s. Nous avons vu que le premier es une limie d accroissemen de browniens sur [, s], le deuxième sur [s, ] qui son indépendans enre eux. La limie l es aussi e X es un processus à accroissemens indépendans. Quesion 4 Nous savons que c es une loi normale cenrée. Sa variance es 1 E fsdw s = 3.5 Exercice 7 : Pon Brownien 1 fs ds. Quesion 1 Remarquons que, [, 1], B 1, B B 1 es un veceur gaussien car B en es un. Une covariance nulle caracérise l indépendance. Remarquons de plus que le veceur es cenré. E Z B 1 = E B B 1 B 1 = min1, = 16

17 Quesion Nous avons e m = EZ = Ks, = EZ s Z = E B s sb 1 B B 1 = E B s B se B 1 B E B 1 B s + se B1 = mins, s min1, min1, s + s = mins, s Quesion 3 Z = Z 1 es encore un processus gaussien cenré coninue. Il suffi de calculer sa foncion de covariance, Ks, = K1 s, 1 = min1 s, 1 1 s1 = 1 + min s, 1 + s + s = mins, s Quesion 4 On pose u = /1. Nous avons 1 = 1/1+u. Lorsque 1, u +. D où, on en dédui Y = B u 1 + u = u B u p.s. u +. u + 1 u Ensuie, Y es un processus gaussien cenré, il es coninu sur R + mais égalemen en par la quesion précédene. Il rese à calculer sa foncion de covariance. s EZ s Z = E 1 sb s 1 B = 1 s1 min 1 s 1 1 s = min s1, 1 s = mins, s 1 17

18 4 D Exercice 3 : héorème de Girsanov Quesion A 1 Cours. Quesion A On pose V := 1 Z s E P Y Z F s On uilise la définiion de l espérance condiionnelle : V es l espérance condiionnelle sous Q de Y par rappor à F s, i.e. V = E Q Y F s si elle es F s -mesurable e si, pour ou X F s -mesurable bornée, E Q XY = E Q XV. Nous allons vérifier que V vérifie la définiion. Nous uiliserons la relaion de changemen de probabilié E Q X = E P Z X où X es une variable aléaoire F -mesurable. On a X E Q XV = E Q E P Y Z F s Z s = E P XE P Y Z F s On en dédui V = E Q Y F s. = E P XY Z = E Q XY Quesion B 1 Voir Exercice 1 du D 3. Quesion B On uilise la caracérisaion de l énoncé e la Quesion A e que B es un mouvemen brownien sous P. E Q e iθw Ws Fs = E P Z e iθw Ws Fs Z s = E P e σ+iθb Bs F s e σ s/+iθσ s = E P e σ+iθb Bs e σ /+iθσ s = e σ+iθ s σ s/+iθσ s = e σ / iθσ θ / s σ s/+iθσ s = e θ s 18

19 4. Exercice 4 : Momens de la soluion de l EDS de Black Scholes Quesion 1 Cee EDS es linéaire, elle adme une unique soluion. On applique Iô à la soluion proposée, S = x + µ σ S s ds + σs s dw s + 1 σ S s ds = x + µs s ds + σs s dw s Quesion Quesion 3 On sai que si Z N, 1, alors E e sz = e s /. On en dédui ES = xe Par la formule d Iô, µ σ E e σ W = xe µ. S α = x α + S α = x α + S α = x α + αs α 1 s ds s + 1 αµss α ds + αµ + αα 1σ αα 1S α s ασss α dw s + 1 Ss α ds + d < S > s αα 1σ S α s ds ασs α s dw s On remarque que S α sui la même EDS que S avec x = x α, µ = αµ + αα 1σ e σ = ασ. Quesion 4 On dédui de 3 que ES α = x e µ. On aurai pu rouver ce résula en prenan direcemen la soluion de S élevée à la puissance α puis en calculan l espérance comme à la quesion. 19

20 5 D Exercice : EDP Quesion 1 En appliquan la formule d Iô, M s = u, x+ s u v, x+b v dv+ s En uilisan l EDP vérifiée par u, M s = u, x + D où M es une maringale locale. s u x v, x+b v db v + 1 u x v, x + B v db v. s u xx v, x+b v dv. Quesion pariculier, Comme M es une maringale, elle es d espérance consane, en EM = EM. En uilisan la définiion de M, on en dédui Efx + B = u, x. 5. Exercice 3 : Le modèle de Vasicek pour le aux d inérê Quesion 1 Il suffi d appliquer la formule d Iô à X. dx = bx + e b dr = bx + e b [a br d + σdb ] = bx + ae b bx + σe b db = ae b + σe b db Quesion En écriure inégrale, cela donne X = X + ae bs ds + σ = r + a b eb 1 + σ Puis, en uilisan X = e b r, e bs db s e bs db s r = re b + a b 1 e b + σe b e bs db s

21 Quesion 3 La variable aléaoire r es la somme d une quanié non aléaoire e d une inégrale de Wiener. C es donc une variable aléaoire de loi normale. Sa moyenne es la consane, c es à dire Er = re b + a b 1 e b E la variance se calcule par l isomérie d Iô. V arr = E σ e b e bs db s = σ e b E e bs ds = σ e b e bs ds = σ e b b eb 1 = σ 1 e b b Quesion 6 Il nous fau rouver la loi de r u du. Dans un premier emps, réécrivons la diffusion de r enre e u. Nous avons d où r u = r e bu + a u b 1 e bu + σe bu e bs db s r u = r e bu + ab 1 e bu + σe bu e bs db s du = r e bu du + a b 1 e bu du + σ u u e bu e bs db s du On pose B, = 1 eb, nous avons b r u = r B, + a u b B, + σ e bu e bs db s du Inéressons-nous à la dernière inégrale, nommons-la I,. Nous appliquons Fubini sochasique. 1

22 I, = σ I, = σ I, = σ I, = σ u e bu e bs db s du 1s ue bu e bs db s du 1s ue bu e bs dudb s e bs e bu du db s s I, = σ b e bs e bs e b db s I, = σ b 1 e b s db s Nous en déduisons que r u sachan r sui une loi normale car c es la somme d une consane e d une inégrale de Wiener. La moyenne es donc cee consane. Calculons la variance de l inégrale de Wiener qui donnera celle de la loi normale. Nous uilisons l isomérie d Iô. EI, = σ b = σ b = σ b 1 e b s ds 1 e b s + e b s ds 1 e b B, + b Nous avons donc les deux momens de la loi normale. Rappelons que si X es une loi normale de moyenne µ e de variance σ, Nous avons donc E e X = e µ+σ / ab σ P, = exp r B, B, + B, + b P, = exp r B, + B, ab σ / σ B, b 4b 1 e b b