Analyse Factorielle des

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1 Analyse Factorielle des Correspondances multiples et Classification Ascendante Hiérarchique Michel Tenenhaus 1

2 1. Les données Race Taille Poids Vitesse Intell. Affect. Agress. Fonction 1 Beauceron TA++ PO+ V++ INT+ AF+ AG+ Utilité Basset Berger-Allemand Boxer Bull-Dog TA- TA++ TA+ TA- PO- PO+ PO+ PO- V- V++ V+ V- INT- INT++ INT+ INT+ AF- AF+ AF+ AF+ AG+ AG+ AG+ AG- Chasse Utilité Compagnie Compagnie g Bull-Mastiff Caniche Chihuahua Cocker TA++ TA- TA- TA+ PO++ PO- PO- PO- V- V+ V- V- INT++ INT++ INT- INT+ AF- AF+ AF+ AF+ AG+ AG- AG- AG+ pg Utilité Compagnie Compagnie Compagnie Colley Dalmatien Doberman Dogue Allemand TA++ TA+ TA++ TA++ PO+ PO+ PO+ PO++ V++ V+ V++ V++ INT+ INT+ INT++ INT- AF+ AF+ AF- AF- AG- AG- AG+ AG+ pg Compagnie Compagnie Utilité Utilité Dogue Allemand Epagneul Breton Epagneul Français Fox-Hound Fox-Terrier TA++ TA+ TA++ TA++ TA- PO++ PO+ PO+ PO+ PO- V++ V+ V+ V++ V+ INT INT++ INT+ INT- INT+ AF AF+ AF- AF- AF+ AG+ AG- AG- AG+ AG+ Utilité Chasse Chasse Chasse Compagnie Fox-Terrier Grd Bleu de Gascogne Labrador Lévrier Mastiff TA- TA++ TA+ TA++ TA++ PO- PO+ PO+ PO+ PO++ V+ V+ V+ V++ V INT+ INT- INT+ INT- INT AF+ AF- AF+ AF- AF AG+ AG+ AG- AG- AG+ Compagnie Chasse Chasse Chasse Utilité Mastiff Pékinois Pointer Saint-Bernard Setter TA++ TA- TA++ TA++ TA++ PO++ PO- PO+ PO++ PO+ V- V- V++ V- V++ INT- INT- INT++ INT+ INT+ AF- AF+ AF- AF- AF AG+ AG- AG- AG+ AG Utilité Compagnie Chasse Utilité Chasse Setter Teckel Terre-Neuve TA++ TA- TA++ PO+ PO- PO++ V++ V- V- INT+ INT+ INT+ AF- AF+ AF- AG- AG- AG- Chasse Compagnie Utilité

3 2. Le tableau de Burt TABLEAU DE BURT TA- TA+ TA++ PO- PO+ PO++ VE- VE+ VE++ INT- INT+ INT++ AF- AF+ AG- AG+ Comp Chas Util TA TA TA PO PO PO VE VE VE IN IN IN AF AF AG AG Comp Chas Util TA- TA+ TA++ PO- PO+ PO++ VE- VE+ VE++ INT- INT+ INT++ AF- AF+ AG- AG+ Comp Chas Util 3

4 3. Le tableau des khi-deux Poids Vélocité Intelligence Affection Agressivité Fonction Taille 25.3 (.000) 15.9 (.000) 3.6 (.46) 14.0 (.001) 2.1 (.36) (.003) Poids 18.4 (.001) 1.35 (.85) 9.5 (.008) 2.6 (.28) (.000) Vélocité 3.16 (.53) 3.0 (.23).57 (.75) 8.49 (.08) Intelligence 3.9 (.14) 1.15 (.56) 4.14 (.39) Affection 1.8 (.18) (.000) Agressivité 7.07 (.03) Les niveaux de signification sont entre parenthèses. Rouge = liaison significative Bleu = liaison non significative 4

5 4. Le tableau disjonctif complet Race T- T+ T++ P- P+ P++ V- V+ V++ I- I+ I++ Af- Af+ Ag- Ag+ Compagnie Chasse Utilité Beauceron Basset Berger all Boxer Bull-dog Bull Mastiff Caniche Chihuahua Cocker Colley Dalmatien Doberman Dogue all Epagneul br Epagneul pg fr Fox-Hound Fox-Terrier Grd Bl de G Labrador Lévrier Mastiff Pékinois Pointer St-Bernard Setter Teckel Terre neuve x ijl = 1 si il individu id i possède la modalité liél de la variable j = 0 sinon 5

6 5. Analyse Factorielle des Correspondances Multiples ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES MULTIPLES DES VARIABLES x 1, x 2,, x m = ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES DU TABLEAU DISJONCTIF COMPLET 6

7 Visualisation des données Tableau disjonctif complet F 2 (i) * i 1 x 11 x mpm F 1 F 2 i x 11i x mpmi n F 1i F 2i 0 F 1 (i) Carte des individus G 2 (jl) jl 0 G 1 (jl) G 1 G 2 G 1 (11) G 1 (mp m ) G2(11) G2(mpm) Carte des modalités 7

8 Notations Les données - n individus - m variables qualitatives x 1,, x m - la variable x j a p j modalités {j1, j2,, jp j } - p = p 1 + p p m - la modalité jl a une fréquence absolue n jl et une fréquence relative n jl /n m dans le tableau disjonctif complet. Application - n = 27 chiens - m = 6 variables (Fonction en supplémentaire) - p = 16 = somme des modalités des variables actives 8

9 Le nuage de points associés aux profils-ligneslignes Agressivité+. 1. m p j j1 1 x ij m 1, x 0 ij *Mastiff. 0 *f J *Cocker 1 Taille+ *Chihuahua a 1 Taille- 9

10 p Inertie totale : 1 m Résultats Dimension du nuage de points : p - m Moyenne des valeurs propres : p 1 m p m 1 m On retient les axes associés à des valeurs propres p supérieures à 1/m. 10

11 Résultats VALEURS PROPRES INERTIE TOTALE NUMERO VALEUR POURCENT. POURCENT. PROPRE CUMULE Il y a 3 valeurs propres supérieures à 1/m = 1/6 =

12 Résultats COORDONNEES, CONTRIBUTIONS ET COSINUS CARRES DES INDIVIDUS AXES 1 A INDIVIDUS COORDONNEES CONTRIBUTIONS COSINUS CARRES IDENTIFICATEUR P.REL DISTO beauceron basset berger allemand boxer bull-dog bull-mastiff caniche chihuahua cocker colley dalmatien doberman dogue allemand epagneul breton epagneul français fox-hound fox-terrier grand bleu de gascogne labrador levrier mastiff pékinois pointer saint-bernard setter teckel terre-neuve

13 Contribution des individus à la construction Variance de F h : des axes Var(F ) 1 n 2 h F h (i) h n i 1 Contribution de l individu i à la construction de l axe h : Contribution (i) h 1 F(i) h n h 2 13

14 Contribution des modalités à la construction Variance de G h : des axes Var(G h ) G h (jl) m p j j 1 l 1 n jl n m 2 h Contribution de la modalité jl à la construction de l axe h : Contribution h (jl) n jl G n m h h (jl) 2 14

15 Résultats COORDONNEES, CONTRIBUTIONS ET COSINUS CARRES DES MODALITES ACTIVES AXES 1 A MODALITES COORDONNEES CONTRIBUTIONS COSINUS CARRES LIBELLE P.REL DISTO Taille ta ta ta CONTRIBUTION CUMULEE = Poids po po po CONTRIBUTION CUMULEE = Vélocité é v v v CONTRIBUTION CUMULEE = Intelligence int int int CONTRIBUTION CUMULEE = Affection af af CONTRIBUTION CUMULEE = Aggressivité ag ag CONTRIBUTION CUMULEE =

16 Résultats (modalités actives) COORDONNEES ET VALEURS-TEST DES MODALITES AXES 1 A MODALITES VALEURS-TEST LIBELLE Taille ta ta ta Poids po po po Une modalité jl a une position sur l axe h significativement différente du centre de gravité 0 si la valeur-test G h (jl) n jl (n 1) n n 3. Vélocité é jl v v v est supérieur à 2 en valeur absolue. 4. Intelligence int int int Affection af af Aggressivité ag ag

17 Résultats (modalités illustratives) COORDONNEES ET VALEURS-TEST DES MODALITES AXES 1 A MODALITES VALEURS-TEST COORDONNEES LIBELLE EFF DISTO Fonction compagnie chasse utilité Pourquoi la chasse n est-elle pas significative? 17

18 Carte des individus Mettre la fonction en couleur 18

19 Carte des modalités 19

20 Carte des modalités (avec contributions et trajectoires) 20

21 Lien entre les deux analyses : les relations de transition A 1 / h près, chaque individu est représenté au milieu de ses caractéristiques : (1) F h (i) 1 h 1 m m p j j 1 l 1 x ijl G h (jl) A 1/ h près, chaque modalité est représentée au milieu de ses caractéristiques ti : (2) 1 1 G n h (jl) xijl Fh (i ) n h jl l 1 Conséquence : La représentation graphique des modalités p j d une variable est centrée ( ). l 1 n jlgh (jl) 0 21

22 Représentation simultanée des individus et des modalités (Représentation pseudo-barycentrique) Mettre la fonction en couleur 22

23 Représentation des modalités au milieu des individus (Représentation barycentrique) 23

24 Représentation d un individu id supplémentaire Le Porcelaine On ignore l origine du nom de ce très beau chien courant de petite vénerie. Il est fort probable qu il le doit à la délicatesse et à l élégance de sa robe blanche tachée d orange clair. Descendant des chiens blancs du roy, qui constituèrent en grande partie les meutes royales de François 1 er à Louis XV, il fut croisé au XIX e siècle avec plusieurs races françaises (Céris, Montemboeuf, Billy). Son élégance cache beaucoup d ardeur et d endurance et son odorat très fin en fait un chien de lièvre très apprécié. Club du Porcelaine : Président : M. Frappier, Château de la Touche, Queaux, L Isle-Jourdain Taille : 55 à 58 cm, Poids : 25 à 30 kg 24

25 Le Porcelaine 25

26 6. Classification ascendante hiérarchique (Méthode de Ward) F 1 F p-m * * * * * * g 2 * ** * g * * * * * 1 ** * * * * * F * * g 3 * * ** * * F 2 nin j 2 Distance de Ward : D(G i, G j ) = d (gi,g j) n(n n ) i j 26

27 Classification i Ascendante Hiérarchique Etape initiale Chaque individu forme une classe. On regroupe les deux individus les plus proches. Etape courante A chaque étape, on regroupe les deux classes G i et G j minimisant le critère de Ward D(G i, G j ). 27

28 Décomposition de l inertie totale F p-m * * * * * * * g 2 * * * g * * * 1 * * * g * F * * * g 3 * * * F 1 * F 2 n i 2 I(N,g) d (g i,g) K K i I(G i,g i i 1 n i 1 n = + Inertie totale t Inertie inter-classes Inertie intra-classes = (p/m)-1 28 n )

29 Inertie inter-classes et critère de Ward Dans SPAD Critère de Ward = Indice Toute la population D(G 1,G 2 ) G 1 G 2 D(G 3,G 4 ) D(G 5,G 6 ) G 3 G 4 G 5 G Inertie expliquée par la typologie G 1, G 2 = D(G 1,G 2 ) - Inertie expliquée par la typologie G 1, G 5, G 6 = D(G 1,G 2 ) + D(G 5,G 6 ) - Inertie expliquée par la typologie G 3, G 4, G 5, G 6 = D(G 1,G 2 )+D(G 5,G 6 )+D(G 3,G 4 ) 29

30 Qualité de la typologie en K classes Le critère de Ward cumulé sur les K-1 dernières étapes représente l inertie inter-classes de la typologie en K classes. La qualité de la typologie est mesurée par la part d inertie totale expliquée par la typologie. 30

31 CAH sur les dix composantes principalesp CLASSIFICATION HIERARCHIQUE (VOISINS RECIPROQUES) SUR LES 10 PREMIERS AXES FACTORIELS DESCRIPTION DES NOEUDS NUM. AINE BENJ EFF. POIDS INDICE HISTOGRAMME DES INDICES DE NIVEAU * * * * ** ** ** *** *** *** **** **** ***** ***** ****** ****** ******* ******* ******** ********* ********** ************ ************** ************************ ******************************* ****************************************************************** SOMME DES INDICES DE NIVEAU =

32 DENDROGRAMME (% d inertie expliquée) beau coll -----* sett epag *-----* levr fox * gran * * poin berg dobe -----*-* * dogu mast * bull terr sain -----*---*----* * cock epag boxe labr dalm --*---*---* * fox cani * teck bull --* bass péki chih --* *--* * * * 32

33 Étude de la typologie en 4 classes DECOMPOSITION DE L'INERTIE CALCULEE SUR 10 AXES INERTIES INERTIES EFFECTIFS DISTANCES INTER-CLASSES INTRA-CLASSE CLASSE 1 / CLASSE 2 / CLASSE 3 / CLASSE 4 / TOTALE QUOTIENT (INERTIE INTER / INERTIE TOTALE) :

34 Visualisation de la typologie dans le premier plan principal 34

35 35

36 36

37 Description des classes : les parangons PARANGONS CLASSE 1/ 4 EFFECTIF: RG DISTANCE IDENT setter CLASSE 2/ 4 EFFECTIF: RG DISTANCE IDENT saint-bernard CLASSE 3/ 4 EFFECTIF: RG DISTANCE IDENT dalmatien CLASSE 4/ 4 EFFECTIF: RG DISTANCE IDENT bull-dog

38 Description des classes : les khi-deux entre les variables et la typologie VARIABLE KHI-2 DEG.LIB SIG Taille Poids Vélocité Fonction Affection Agressivité intelligence

39 Tableaux de contingence croisant la Taille et le Poids avec la typologie CROISEMENT DE LA PARTITION AVEC LA TAILLE EFFECTIF CL1 CL2 CL3 CL ta ta ta CROISEMENT DE LA PARTITION AVEC LE POIDS EFFECTIF CL1 CL2 CL3 CL po po po

40 Description de la typologie à l aide de la Taille et du Poids Taille Petite Moyenne Grande Poids Moyen Grand Classe 4 Classe 3 Classe 1 Classe 2 40

41 Description de la typologie à l aide des variables CLASSE 1 / 4 CLASSE 3 / POURC MODALITES POURC MODALITES MOD/CLA CARACTERISTIQUES DE LA VARIABLE MOD/CLA CARACTERISTIQUES DE LA VARIABLE LA CLASSE : CLASSE 1 / 4 CONTIENT... LA CLASSE : CLASSE 3 / 4 CONTIENT % de po+ Poids 100.0% de ta++ Taille 80.0% de v++ Vélocité 70.0% de af- Affection 60.0% de chasse Fonction 50.0% de ag- Agressivité 50.0% 0% de ag+ Agressivité % de ta+ Taille 100.0% de af+ Affection 80.0% de po+ Poids 80.0% de int+ Intelligence 80.0% de v+ Vélocité 60.0% de compagnie Fonction 60.0% 0% de ag- Agressivité CLASSE 2 / POURC MODALITES MOD/CLA CARACTERISTIQUES DE LA VARIABLE LA CLASSE : CLASSE 2 / 4 CONTIENT % de utilité Fonction 100.0% de ta++ Taille 100.0% de af- Affection 100.0% de po++ Poids 80.0% de v- Vélocité é 80.0% de ag+ Agressivité CLASSE 4 / POURC MODALITES MOD/CLA CARACTERISTIQUES DE LA VARIABLE LA CLASSE : CLASSE 4 / 4 CONTIENT % de po- Poids 100.0% de ta- Taille 85.7% de compagnie Fonction 85.7% de af+ Affection 71.4% de ag- Agressivité 71.4% de v- Vélocité