Fonctions linéaires, fonctions affines.

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1 Chaitre. Fonctions linéaires, fonctions affines. A quoi servent les fonctions? Première question que se osent les élèves lorsqu'ils aréhendent l'analyse our la remière fois. Pour faire simle, l'es fonctions servent à beaucou de choses: 1) Tout d'abord, c'est la formalisation de formules qui ourront ensuite être retranscrites sur un tableur our effectuer de manière systématique un même roblème. 2) Dans le même ordre d'idée, on eut rééter lusieurs fois la même oération de manière automatique dans le cadre de la rogrammation. 3) Grâce aux fonctions, on eut mettre certains hénomènes en équation et calculer ensuite quand vont subvenir certains événements (au niveau du tems, de l'esace, our la hysique, essayer de lanifier un crack boursier ou une évolution de rix en économie). 4) L'asect grahique est imortant. Certaines fonctions ne sont connues que ar leur rerésentation grahique. Pour d'autres, on eut tracer leur rerésentation grahique et déterminer grahiquement les solutions de certaines équations. En classe de troisième, on ne voit malheureusement quasiment rien de tous ces asects. On fait cette année une initiation (mise en lace du vocabulaire, etits exercices), qui va ermettre d'aller beaucou lus loin les années à venir. I.Fonctions linéaires. Définir la fonction linéaire de coefficient de linéarité a, c'est associer à chaque nombre x, le nombre ax. On dit que ax est l'image de x ar la fonction. Notation: la fonction linéaire de coefficient a est notée: x è a x. On lit : fonction qui à x associe a x. Si la fonction s'aelle f, l'image de x est f (x), et on a f (x) = a x. x est un antécédent de f (x). exemle 1: Soit f la fonction linéaire de coefficient 2. f: x a 2x f (0) = 0 f (2) = 4 f (3) = 6. 6 est l'image de 3 ar la fonction f. On dit aussi que 3 est un antécédent de 6 ar f. exemle 2: On cherche maintenant les antécédents de 18. f (x ) = 18 2 x = 18 soit x = 9 18 a un seul antécédent ar f, c'est le nombre 9. En fait, ar une fonction linéaire, un nombre n'a qu'un seul antécédent. Ce n'est as le cas our toutes les fonctions. Contre-exemle: on considère la fonction c définie sur IR ar c (x) = x 2 Par cette fonction, le nombre 4 a deux antécédents: 2 et 2. De lus, ar cette fonction, 5 n'a aucun antécédent. exemle 3: Soit f une fonction linéaire de coefficient a. f ( x ) = a x. Donc f ( 0 ) = a 0 f ( 0 ) = 0 Fonction nulle Par une fonction linéaire, l'image de 0 est toujours 0. remarque 1: Soit f une fonction linéaire de coefficient 0. Alors our tout nombre x, on a f( x ) = 0 x soit f ( x ) = 0. La fonction linéaire de coefficient 0 associe à tout nombre 0. La fonction qui associe à tout nombre 0 est aelée fonction nulle. La fonction nulle est une fonction linéaire. remarque 2: les fonctions linéaires corresondent à des situations de roortionnalité. Le coefficient de linéarité de la fonction corresond au coefficient de roortionnalité de la situation de roortionnalité associée.

2 Exemle: on considère la situation qui our un nombre de dromadaires normalement constitués, on étudie le nombre totale de attes du troueau. Chaque dromadaire ayant quatre attes, il est clair que c'est une situation de roortionnalité de coefficient de roortionnalité 4. si le troueau est comosé de x dromadaires, on a bien 4 x attes. A cette situation, on eut donc associer une fonction f de coefficient 4. Ce lien entre situation de roortionnalité et fonction linéaire eut s'avérer très utile. Effectivement, les fonctions linéaires ont des roriétés dites de linéarité. (i) Si f est une fonction linéaire, et x et y deux nombres, on a f (x + y ) = f ( x ) + f ( y ). (ii) Si f est une fonction linéaire, et x et k deux nombres, on a f ( k x ) = k f ( x ). Démonstration de ces deux roriétés. On note a le coefficient de la fonction f. f (x + y ) = a (x + y ) f (x + y ) = a x + a y f (x + y ) = f ( x ) + f ( y ). f ( k x ) = a (k x ) f ( k x ) = a k x f ( k x ) = k a x f ( k x ) = k f ( x ). la multilication est associative. la multilication est commutative. Alication a un tableau de roortionnalité. Voici un tableau de roortionnalité dont on ne connaît as le coefficient. Grâce aux théorèmes récédents, il va être ossible de comléter le tableaux sans calculer ce coefficient On eut associer à ce tableau une fonction linéaire f, et on sait que f (3) = 8. f (6) = f ( 2 3 ) donc grâce à (ii), on a f (6) = 2 f (3) f (6) = 16 f (9) = f ( ) donc grâce à (i), on a f (9) = f (3) + f (6) f (9) = f (9) = 24 Enfin, 96 = = 12 f (3) 96 = f (12 3) 96 = f (36) Bilan: II. Une alication des fonctions linéaires: les ourcentages. rendre % de x, c'est calculer 100 x. fonction linéaire associée: x 100 x. augmenter x de %, c'est calculer x (1 +. fonction linéaire associée: x è x (1 + f (x ) = x + x 100. f (x ) = x 1 + x 100. f ( x ) = x ( 1 + exemle 1: Un commerçant décide au 1 er janvier d'augmenter tous ses tarifs de 10 %. Si on note x l'ancien rix et P(x) le nouveau rix, on a:

3 P(x) = x ( /100) P (x) = x 1,1 diminuer x de %, c'est calculer x (1-. fonction linéaire associée: x è x (1 - exemle 2: Notre commerçant décide our les soldes de baisser ses rix de 20 %. Si y rerésente le rix arès le 1 er janvier, et Q (y) le rix soldé, on a: Q (y) = y ( 1 20 Q (y) = y 0,8. Remarque: si on note x le rix avant le 1 er janvier et Q ' (x) le rix soldé, on a: Q ' (x) = ( x 1,1) 0,8. Q ' (x) = x 0,88 Q ' (x) = x ( Cela rerésente une baisse de 12 % ar raort au rix d'origine. III. Fonctions affines On considère a et b deux nombres réels. Associer à chaque nombre x le nombre a x + b. c'est définir la fonction affine, x è ax + b Notations La fonction affine qui à x associe a x + b se note x è a x + b (à x on associe a x + b) Si la fonction s'aelle f, f(x) = a x + b est l'image de x ar f. exemle 1: Soit f la fonction affine définie our tout réel x ar f (x) = 3 x + 5. f (0 ) = f (4) = f ( 5 ) = f ( 0 ) = 5 f (4 ) = 17 f (5 ) = 20 On cherche maintenant les antécédents de 50 ar la fonction f. f (x) = 50 3 x + 5 = 50 3 x = x = 45 x = 45 x = a un seul antécédent ar f, c'est le nombre 15. remarque 1: Soit f une fonction linéaire. f ( x ) = a x Donc f ( x ) = a x + 0. Donc f est une fonction linéaire. Toutes les fonctions linéaires sont des fonctions affines (rendre b =0). Il existe des fonctions affines qui ne sont as linéaires. remarque 2: On dit que la fonction linéaire x a a x est la fonction linéaire associée à la fonction affine x è a x + b. Définition d'une fonction constante On aelle fonction constante une fonction de la forme f: x è b. Pour tout réel x, l'image de x est le nombre b exemle 2: Soit f la fonction définie ar f ( x ) = 5 f (0) = 5 f (2 ) = 5 f ( 3 ) = 5

4 remarque 1: Soit f une fonction constante telle que our tout x, f ( x ) = b. alors, f ( x ) = 0 x + b. Donc f est une fonction affine. Toutes les fonctions constantes sont des fonctions affines. Il existe des fonctions affines qui ne sont as constantes. exemle 3: On définit trois fonctions, f, g, et h ar f (x) = 5 x. g ( x ) = 3 h ( x ) = 5 x + 3 f est une fonction linéaire et donc affine. g est une fonction constante, et donc affine. h est une fonction affine. remarque 1: On cherche une fonction qui soit à la fois linéaire, affine et constante. Soit f une telle fonction. f (x) est de la forme f ( x ) = a x + b. Comme f est une fonction linéaire, on a : b = 0. Comme f est une fonction constante, on a: a = 0. Bilan: Pour tout réel x, f ( x ) = 0 x + 0. Soit f (x ) = 0. Conclusion: la seule fonction qui soit à la fois linéaire et constante (et donc affine), est la fonction nulle. IV. Proortionnalité des accroissements. On considère la fonction affine f: x ï ax + b; Lorsque x augmente (ou diminue) d'un certain nombre h, alors son image varie de ah. f (x + h) = a ( x + h ) + b f (x + h) = a x + a h + b f (x + h) = a x + b + a h f (x + h) = f ( x ) + a h Conséquence: a h = f ( x + h ) f ( x ) a = f ( x + h ) f ( x ) h utilisation: f, la fonction x ï 3x + b On ne connaît as b, mais on sait que f ( 5 ) = 3 On veut trouver f ( 9) f ( 9 ) = f ( 5 + 4) f ( 9 ) = f ( 5 ) + a 4 f ( 9 ) = f ( 5 ) f ( 9 ) = f ( 9 ) = 15 Autre formulation : Si f est une fonction affine de la forme: f(x) = a x + b, alors f(x') f (x) our tous réels différents x et x ', on a : a = A retenir x' x f (x ' ) f ( x ) = a x ' + b ( a x + b ) f (x ' ) f ( x ) = a x ' + b a x b f (x ' ) f ( x ) = a x ' a x f (x ' ) f ( x ) = a ( x ' x) f(x' ) f (x) Donc a = (x ' différent x, donc on eut diviser ar (x ' x)) x' x

5 Cette formule est lus souvent utilisée que la remière, lorsqu'on connaît deux nombres et leurs images. alication: Déterminer une fonction affine à artir de la donnée deux nombres et leurs images. Déterminer la fonction affine f telle que: f (5 ) = 8 f ( 9) = 20 On cherche d'abord a avec la formule, uis b avec une des valeurs numériques f (x) = a x + b f (9) f (5) a = a = 20 8 a = 12 a = Maintenant que l'on a trouvé a, il reste à trouver b. f (9) = b 20 = 27 + b b = b = 7 Remarque: on aurait u tou aussi bien travailler avec f(5) = 8 On aurait eu alors: f ( 5 ) = b 8 = 15 + b donc b = 8 15 b = 7 Conclusion : f (x) = 3 x 7