ENSEIGNEMENT DES FONCTIONS AU COLLÈGE

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1 ENSEIGNEMENT DES FONCTIONS AU COLLÈGE

2 FONCTION Première idée de dépendance : variable Relation entre grandeurs dont les variations sont liées par une loi Approche ensembliste : correspondance terme à terme des éléments de deux ensembles

3 L analyse épistémologique nous a conduit à poser que c est l idée de dépendance qui fonde les concepts de fonction et de variable. Rappelons seulement que chez Leibniz ( ), le mot «fonction» désigne une relation entre grandeurs dont les variations sont liées par une loi. L approche ensembliste de la notion de fonction par une mise en correspondance terme à terme des éléments des deux ensembles modélisés par un graphe, évacue cette idée de contrainte entre deux grandeurs. (Comin, 2005, p. 38)

4 PROGRAMME DE SIXIÈME Proportionnalité en lien avec les grandeurs Organisation et représentation de données Lecture de graphiques Passage d un type de représentation à un autre Les graphiques cartésiens sont au programme de sixième.

5 MANUEL DE 6 ÈME (NOUVEAU PRISME)

6 L utilisation de tableaux ou de schémas fléchés peut être envisagée, sans être systématisée. Des expressions telles que «p de 7,5 kg = 26», pour évoquer le prix de 7,5 kg dans une situation «masse prix» peuvent être utilisées. Elles sont accompagnées de formulations orales du type «le prix de 7,5 kg de marchandise est égal à 26».

7 PROGRAMME DE CINQUIÈME Proportionnalité «des variations d une grandeur en fonction d une autre grandeur mais toute définition de la notion de fonction est exclue.» Activités graphiques Représentation et traitement de données

8 La proportionnalité commence à être étudiée dans le cadre purement numérique (tableaux de nombres ) Des expressions telles que «en fonction de», ou «est fonction de» sont utilisées quand c est nécessaire. L usage des expressions utilisées en sixième peut être poursuivi, et évoluer vers celui d expressions du type p(7,5 kg) = 26.

9 PROGRAMME DE QUATRIÈME Utilisation de la proportionnalité «Des situations issues de la vie courante ou des autres disciplines permettent de mettre en oeuvre un coefficient de proportionnalité exprimé sous forme de pourcentage.» Proportionnalité Traitement des données «usage du tableur ou de la calculatrice» Calculer des distances parcourues, des vitesses moyennes et des durées de parcours en utilisant l égalité d = vt.

10 PROGRAMME DE TROISIÈME Notion de fonction Image, antécédent, notations f(x), x f(x). «Toute définition générale de la notion de fonction et d ensemble de définition sont hors programme». «La détermination d un antécédent à partir de l expression algébrique d une fonction n est exigible que dans le cas des fonctions linéaires ou affines».

11 CAPACITÉS DU PROGRAMME DE TROISIÈME Déterminer l image d un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule. Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique.

12 La notation f(x) est introduite pour des valeurs particulières de la variable du type f(2), f(-3), en veillant à différencier avec les élèves le statut des parenthèses dans ce type de notation de leur signification dans un calcul algébrique. Le travail fait dans les classes antérieures dans le cadre des grandeurs avec des expressions telles que p de 7,5 kg, puis p(7,5 kg) = 26 facilite cette différenciation.

13 EXTRAIT DE MANUEL (PHARE)

14 Les notations fonctionnelles amènent à utiliser des lettres avec une nouvelle signification. Au collège, les lettres ont été utilisées: - de façon «expressive» en référence à des grandeurs; - pour désigner des inconnues; - pour désigner des valeurs indéterminées; - pour désigner des variables.

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16 ACTIVITÉS D UN MANUEL DE TROISIÈME

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19 ACTIVITÉS D UN AUTRE MANUEL DE TROISIÈME

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22 DES DÉFINITIONS DANS LES MANUELS Une fonction est un procédé qui associe à un nombre x un nombre unique f(x). Une fonction est un outil mathématique qui, à un nombre, fait correspondre un nombre. Le processus qui, à un nombre, fait corespondre un autre nombre unique s appelle une fonction.

23 Extrait d un manuel de troisième

24 Un autre manuel de troisième

25 Des exercices posés en troisième Soit la fonction f définie par : f : x (x 3) 2 1. Calculer les images de 2 et de 5 par f. 2. a) Que représente f (-1) pour le nombre -1? b) Calculer f (-1).

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28 SUITE DU PROGRAMME DE TROISIÈME Fonction linéaire, fonction affine Proportionnalité. Fonction linéaire. Coefficient directeur de la droite représentant une fonction linéaire. Fonction affine. Coefficient directeur et ordonnée à l origine d une droite représentant une fonction affine.

29 CAPACITÉS SUR LES FONCTIONS LINÉAIRES ET AFFINES - Déterminer par le calcul l image d un nombre donné et l antécédent d un nombre donné. - Déterminer l expression algébrique d une fonction linéaire à partir de la donnée d un nombre non nul et de son image. - Représenter graphiquement une fonction linéaire. - Connaître et utiliser la relation y = ax entre les coordonnées (x,y) d un point M qui est caractéristique de son appartenance à la droite représentative de la fonction linéaire x ax. - Lire et interpréter graphiquement le coefficient d une fonction linéaire représentée par une droite.

30 - Déterminer par le calcul l image d un nombre donné et l antécédent d un nombre donné par une fonction affine. - Connaître et utiliser la relation y = ax + b entre les coordonnées (x,y) d un point M qui est caractéristique de son appartenance à la droite représentative de la fonction linéaire x ax + b. - Déterminer une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de leurs images. - Représenter graphiquement une fonction affine. - Lire et interpréter graphiquement les coefficients d une fonction affine représentée par une droite. - Déterminer la fonction affine associée à une droite donnée dans un repère.

31 QUELQUES COMMENTAIRES En classe de Troisième, il s agit de compléter l étude de la proportionnalité par une synthèse d un apprentissage commencé à l école primaire. L utilisation de tableaux de proportionnalité permet de mettre en place le fait que le processus de correspondance est décrit par une formulation du type «je multiplie par a». Cette formulation est reliée à x ax. Certains traitements des situations de proportionnalité utilisés dans les classes précédentes sont reliés aux propriétés d additivité et d homogénéité de la fonction linéaire.

32 Parmi les situations qui ne relèvent pas de la proportionnalité, certaines sont cependant modélisables par une fonction dont la représentation graphique est une droite. Cette remarque peut constituer un point de départ à l étude des fonctions affines. Pour les fonctions affines, la proportionnalité des accroissements de x et y est mise en évidence.