TD: Transformée de Fourier

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1 TD: Transformée de Forier Définition + Soit ne fonction complee f de la variable réelle Si elle est de carré sommable, c est-à-dire si l intégrale f( d converge (on se reportera a cors de mathématiqes por discter le critère de convergence, on définit sa transformée de Forier F (, fonction de la variable par: TF(f = F ( = π + f(e i d Inversement, f( se dédit de F ( par la transformée de Forier inverse, qi a por epression: TF (F = f( = π + F (e i d La transformée de Forier est ne etension des séries de Forier: f( est alors ne somme contine (et non pls discrète de sinsoïdes Si f( est périodiqe, de période a, alors: f( = + a p ep ( i π a p Si f( n est pas périodiqe, alors: f( = + = F (ei d Dans ce dernier cas, est ne plsation, et à l intervalle d correspond ne composante harmoniqe complee élémentaire: df = F (de i F (, transformée de Forier de f, représente donc la distribtion des plsations spatiales de f Si f( est à valers réelles: F ( = π + f( cos(d i π + f( sin(d Eemples Implsion en crénea Soit f( = por < et f( = por > Vérifier qe la transformée de Forier s écrit: F ( = π sinc( π sin α où sinc α = α et = 4π Tracer F ( Sins cardinal Réciproqement, la transformée de Forier d n sins cardinal est ne implsion en crénea 3 Gassienne Soit f( = ep ( ( Vérifier qe la transformée de Forier est également ne gassienne qi s écrit: F ( = ep ( ( avec = 8 Tracer F ( 4 Lorentzienne Soit f( = Vérifier qe la transformée de Forier s écrit: F ( = ( π +( 8 ep = 4 Tracer F ( avec Il eiste plsiers définitions possibles On pet, par eemple, poser: F ( = + f(e j d et f( = π + F (e+j d On pet assi décider de symétriser les formles en introdisant π dans les de epressions

2 ISEN-Brest Kany TD: Transformée de Forier 5 Eponentielle de la forme ep( Réciproqement, la transformée de Forier de f( = π 8 ep ( 6 Dirac est ne Lorentzienne Soit f( = por < et f( = por > Cette fonction, notée sovent δ (, est en réalité ne distribtion (voir cors de mathématiqes Montrer qe la transformée de Forier est constante et s écrit: F ( = π 7 Constante Soltion Réciproqement, la transformée de Forier de la fonction constante f( = π est la fonction de Dirac Implsion en crénea Si =, la fonction est normée (ie + f(d = La transformée de Forier s écrit: F ( = π + f(e i d = [ ] +/ F ( = π e i i / π +/ / e i d = π e i/ e +i/ i = π sin( = π sinc( où sinc( = sin La transformée de Forier d n crénea est n sins cardinal F ( s annle ne première fois por = ±π/ ce qi permet de définir la larger caractéristiqe d n sins cardinal D où: = 4π = 4π Sins cardinal Soit f( = sin( avec = π f( s annle lorsqe = ± π = ± + f(d = + sin( d = + La fonction est normée si π représente donc la larger caractéristiqe d sins cardinal = = π = sin( d = π (voir nnee On admet qe la transformée de Forier s écrit: F ( = π (signe( + signe( où signe( = + si > et signe( = si < F ( représente donc ne implsion en crénea de larger = D où: = 4π La transformée de Forier d n sins cardinal est n crénea 3 Gassienne Soit ne gassienne définie par: f( = ep ( ( Lorsqe = ± f(, on a: f( = e représente donc la larger caractéristiqe de la gassienne + f(d = + ep( ( d = + ep( ( d = + ep( τ dτ avec τ = On ne pet pas définir l écart-type d n sins cardinal car + f(d ne converge pas On pet également définir ne gassienne par: f( = ep( ( Elle est alors normée por = π et correspond à l écart-type de la distribtion (ie σ = + f(d = ( La transformée de Forier, dans ce cas, s écrit: F ( = ep( ( avec =

3 ISEN-Brest Kany TD: Transformée de Forier Or : I = + ep( d = π La fonction est normée si π = = π La transformée de Forier s écrit: F ( = π + f(e i d = π + e (( Soit X = ( + i = 4 +i( 4 ( = ( 6 On pose: τ = i( ( + 8 On a: F ( = F ( = ( e ( 4 Lorentzienne π + e (τ + ( ( 6 d = [ ( + i( 8 + ( 4 64 π + ] = [ +i d e τ dτe ( 6 = = 8 4 = e ( avec = 8 La transformée de Forier d ne gassienne est également ne gassienne Soit ne Lorentzienne définie par: f( = Lorsqe = ± + f(d = + +( ( + i( 8 ] + π π ( e 6 f(, on a: f( = représente donc la larger caractéristiqe de la Lorentzienne d +( = + dτ +τ dτ en posant τ = La fonction est normée si [rctan τ] + = = On admet qe: F ( = π e ( On a: F ( = ep 5 Eponentielle π (voir paragraphe sivant avec = π et = = 4 La transformée de Forier d ne Lorentzienne est ne eponentielle ( Soit ne distribtion eponentielle définie par: f( = ep Lorsqe = ± f(, on a: f( = ( e ep + f(d = + avec τ = La fonction est normée si = = La transformée de Forier s écrit: F ( = π + F ( = F ( = π { π F ( = 6 Dirac { e i d + + } + i +i π +( représente donc la larger caractéristiqe de l eponentielle d = + = π +i+ ep( f(e i d = π + { } [ ] = e π i i d = + ep( τdτ e ( +i d [ ] ( + e +i +i ( e +i d i = ( + π 4 = ( + π 4 ( (+( avec = = 4 La transformée de Forier d ne eponentielle est ne Lorentzienne Soit f( ne implsion en crénea très corte ( et normé = + La transformée de Forier pet s obtenir de de façons: Se démontre en considérant I = + ep( d et J = + ep( y dy On a I = J et IJ = + ep( ( + y ddy En passant en coordonnées polaires ( + y = r et ds = rdrdθ, on montre qe: IJ = π; d où I = J = π On ne pet pas définir l écart-type de cette distribtion car + f(d ne converge ( pas On pet également définir ne distribtion eponentielle par: f( = ep Elle est alors normée por = et correspond à l écart-type de la distribtion (ie σ = + f(d = ( La transformée de Forier, dans ce cas, s écrit: F ( = π +( } 3

4 ISEN-Brest Kany TD: Transformée de Forier Soit à partir d calcl de l implsion en crénea: F ( = π sinc( Soit à partir de la définition: F ( = π + δ (e i d = π e i = π La transformée de Forier d n Dirac est constante: F ( = π 7 Constante Soit f( la fonction constante f( = π Cette fonction n est pas normée et possède ne larger caractéristiqe infinie F ( = π + f(e i d = π + e i d n est pas définie π On admet qe F ( est ne distribtion nlle qel qe soit à l eception de la valer = où elle est infinie La transformée de Forier de la fonction constante f( = π est n Dirac 3 Code avec Mathematica Transformée de Forier In[]:= Needs["Calcls ForierTransform "] Crénea In[]:= =;DeltaX=; f[ ]=*UnitStep[+DeltaX/]*UnitStep[-+DeltaX/]; TF=CompleEpand[Sqrt[/( Pi] ForierTransform[f[],, ]]; TF=TF/{Im[UnitStep[DeltaX]]->, Re[UnitStep[DeltaX]]->} Ot[5]= DeltaX Sqrt[--] Sin[ ] Pi In[6]:= TF=TF/ DeltaX->4 Pi/DeltaU Ot[6]= Pi Sqrt[--] Sin[------] Pi DeltaU In[7]:= f[ ]=f[]/{->,deltax->}; F[ ]=TF/{->,DeltaU->4 Pi}; Plot[f[],{,-,},PlotRange->{,}]; Plot[F[],{,-,},PlotRange->{-,5}] 4

5 ISEN-Brest Kany TD: Transformée de Forier Ot[]= -Graphicsf Sins Cardinal In[]:= f[ ]=Sin[]/; F[ ]=Integrate[f[] Cos[ ],{,-Infinity,+Infinity}]; Plot[f[],{,-3 Pi,3 Pi},PlotRange->{-,}]; Plot[F[],{,-,},PlotRange->tomatic] Ot[4]= -Graphics- tre méthode In[5]:= F[ ]=Sqrt[/( Pi] ForierTransform[f[],, ]; Plot[F[],{,-,},PlotRange->tomatic] Ot[6]= -Graphicsf Gassienne In[7]:= =;DeltaX=; f3[ ]= Ep[-( /DeltaX^]; TF=Sqrt[/( Pi] Integrate[f3[] Cos[ ],{,-Infinity,+Infinity}]; TF=TF/ Sqrt[DeltaX^(-]->/DeltaX 5

6 ISEN-Brest Kany TD: Transformée de Forier Ot[]= DeltaX (DeltaX /6 Sqrt[] E In[]:= TF=TF/ DeltaX->8/DeltaU Ot[]= Sqrt[] (4 /DeltaU DeltaU E In[]:= f[ ]:=f3[]/{->,deltax->} F[ ]:=TF/{->,DeltaU->8} Plot[f[],{,-,}]; Plot[F[],{,-,},PlotRange->{,5}] f Ot[5]= -Graphics Lorentzienne In[6]:= =;DeltaX=; f4[ ]= / (+( /DeltaX^; TF=Sqrt[/( Pi] Integrate[f4[] Cos[ ],{,-Infinity,+Infinity}]; TF=TF/ {Sqrt[DeltaX^(-]->/DeltaX,Sqrt[DeltaX^]->DeltaX,(^^(/4->Sqrt[bs[]], Sqrt[^]->bs[]}/{bs[]/^->/bs[]}/Sqrt[Pi/bs[]]->Sqrt[Pi]/Sqrt[bs[]] Ot[9]= Pi DeltaX Sqrt[--] (DeltaX bs[]/ E In[3]:= TF=TF/ DeltaX->4/DeltaU Ot[3]= Sqrt[ Pi] ( bs[]/deltau DeltaU E In[3]:= f[ ]:=f4[]/{->,deltax->} F[ ]:=TF/{->,DeltaU->4} Plot[f[],{,-,}]; Plot[F[],{,-5,5},PlotRange->{,}] 6

7 ISEN-Brest Kany TD: Transformée de Forier Ot[34]= -Graphics- f Dirac In[35]:= f5[ ]=DiracDelta[]; TF=Sqrt[/( Pi] ForierTransform[f5[],, ] Ot[36]= Sqrt[ Pi] In[37]:= Plot[f5[],{,-,},PlotRange->{,}]; Plot[TF,{,-5,5},PlotRange->{,}] Ot[38]= -Graphicsf 4 Code avec Python # -*- coding: tf-8 -*- from sympy import * print("implsion en crénea" print("====================" 7

8 ISEN-Brest Kany TD: Transformée de Forier print("sins cardinal" print("==============" print("gassienne" print("==========" print("lorentzienne" print("============"

9 ISEN-Brest Kany TD: Transformée de Forier 5 nnee: calcl de + sinc d Soit I( = e t +t dt On a: D où: di( d d I( d = te t +t dt et d I( d = t e t +t dt + I( = (+t e t +t dt = [ ] t e t e dt = t = t= On cherche les soltions de l éqation différentielle: Soltion homogène: I( = cos + B sin Soltion particlière (par variation de la constante: On impose: d I( cos + B sin =, d où: d I( d + I( = di( d = cos + B sin sin + B cos d I( d = sin + B cos cos B sin et l on a: d + I( = sin + B cos = D où: = sin et B = cos On en dédit: = sin t t dt et B = cos t t dt Soltion totale: I( = cos + B sin + ( sin t t dt cos + ( cos t t dt sin D où: I = cos + B sin + sin(t t dt = cos + B sin + sin + d en posant = t On pose: J( = sin + d { f = sin f = cos [ ] En intégrant par parties: g = + g = cos, on a: J( = + cos (+ (+ d L intégrale: cos (+ d est majorée par: (+ d qi est elle-même majorée par J( est donc majorée par Conditions limites: I( = B = I( = sin + d = J( (par nicité On a: lim J( = Or: lim I( = I( = e t + t dt = sin d = J( + sin d qi est l intégrale qe l on cherche à calcler +t dt = [rctan(t] = π Comme lim J( = lim I(, on en dédit: + sinc d = π O bien, tot simplement, avec Python: from sympy import *; =symbols(""; print(integrate(sin(/,(,,oo #pi/ 6 pplications en physiqe En optiqe ondlatoire, on définit l amplitde complee f(t d n train d ondes qi est la TF (temporelle de son profil spectral F (ω Pls la drée d train d onde est corte, moins l onde est monochromatiqe (Cette propriété est liée à l inégalité d Heisenberg: E T > La TF de l interférogramme I(δ d ne lmière polychromatiqe contient son profil spectral L intensité de la figre de diffraction de Franhofer (à l infini est proportionnelle a carré de la TF (spatiale de la transparence de la ppille de diffraction En électricité, la réponse d n qadripôle à n signal qelconqe s obtient en eprimant le signal d entrée à l aide de sa transformée de Forier (temporelle et en cherchant la réponse de chaqe fréqence à partir d diagramme de Bode d circit 9